Toán học cao cấp tập 2 part 1 ppt

Việc liệt kế đó có thể là triệt để liệt kê hết tất cả phần tử của X nếu số phần tử của X không quá lớn : việc liệt kè cũng có thể không triệt để không liệt kê ra hết mọi phản tử của ÄX n

NGUYÊN ĐÌNH TRÍ (Chủ biện)

TA VĂN ĐĨNH - NGUYÊN HỒ QUỲNH

TOÁN HỌC

C&O CAP

NGUYEN BINH TRÍ (chủ biên)

TA VAN BINH - NGUYEN HO QUYNH

TOAN HOC CAO CAP

TAP HAI

PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH MỘT BIẾN SỐ

(Tái bản lần thứ mười)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC

hữu tỉ Q Ta cũng có thể nói tập hợp các điểm của một đoạn thẳng,

tập hợp các đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước

Khi nói đến một tập hợp ta nghĩ đồng thời đến các phần rử của tập

đó ; để chỉ a là phần tử của tap hop A ta viết a e A và đọc là a thuộc A ;

để chỉ b không là phần tử của tập hợp A ta viét b ¢ A vA đọc là

b không thuộc A

Để chứng tỏ rằng tập hợp X (gọi tất là tập X gồm các phân tử

X,Y,Z, , ta viết

X:=lX,y,z Ị

và như thế, trong biểu thức trên, ở vế phải ta đã liệt ké danh sách các

phần tử của X Việc liệt kế đó có thể là triệt để (liệt kê hết tất cả phần

tử của X) nếu số phần tử của X không quá lớn : việc liệt kè cũng có

thể không triệt để (không liệt kê ra hết mọi phản tử của ÄX) nếu số

phần tử của X quá lớn, hoặc X có vô số phần tử, khi đó ta phải dùng

dấu " " miễn là không gây hiểu nhầm.

Do đó những trường hợp không thể liệt kê ra hết tất cả các phần tử của một tập hợp, người ta dùng cách sau : Để chỉ tập hop A gdm tat

cả các phần tử có thuộc tink o (tính chất để xác định một phần tử thuộc hay không thuộc tap A) ngudi ta viết :

= {a |a có thuộc tính ơ}

Tập con

Cho hai tập hợp A và B ; nếu mỗi phần tử của A là phần tử của B thì ta nói rằng A là một tập con của B và viết là A cB; nếu A là tập con của B và tập B có ít nhất một phần tử không là phần tử của A thì

ta nói rằng A là tập con thyc sy cha B và viết là A C B

Cho A, B là hai tập, nói rằng tập Á bằng tập B và viết là A = B nếu AcBvaBcA

Tập rỗng

Theo quan niệm thông thường, một tập cần có phần tử tạo nên tập

đó ; tuy nhiên, trong toán học, để tiện cho việc lập luận người ta chấp

nhận khái niệm ráp rồng viết là Ø, là tập không chứa phần tử nào

Người ta quy ước Ø là tập con của bat ki tap A nao, @ c A Cần phân

là "từ mệnh để œ suy ra mệnh đề 8”, kí hiệu "ự © 8" được hiểu là

"từ mệnh để œ suy ra mệnh để và ngược lại, từ mệnh để 8 suy ra

mệnh để œ” hay nói khác đi "mệnh đề œ và mệnh đề B tương đương,

với nhau”

4

2

Bay giờ, giả sử A là một tập và t là một tính chất nào đó của

những phần tử của A Gọi C() là tập tất cả những phần tử của A có tính chất t, nghĩa là

C():=[xeA | x có tính chất t}

Khi đó, nếu

* C(t) = A thì mọi phần tử của A đều có tính chất t, và ta nói rằng

"V6i moi X © A, x c6 tinh chất t" và ta viét Vx € A: t(x); kí hiệu V gọi là kí hiệu phổ biến (đó la chit A viet ngược, từ chữ All (tiếng Anh))

* C(t) # Ø thì có ít nhất một phần tử x của A có tính chất t ¡ ta nói rang "Tén tai một phần tử x e A, x có tính chất t" và viết 3x € A: t(x), kí hiệu 3 gọi là kí hiệu tồn tại (đó là chữ E: viết ngược, từ chữ EXISTENCE (tiếng Anh))

Giao của hai tập

Cho A, B là hai tập, goi giao của A và B, viet la A B va đọc là

“A giao B", là tập định nghĩa bởi :

A3B:=[x]xe A và xe BỊ, Hợp của bai tập

Goi hop của tập A va tập B, viét 14 A U B vA doc 1 “A hợp B" 1a tập định nghĩa bởi :

{(AUB)UCHAU (BUC) (Am B)C= (ÁA A (BUC) (AUB) AC=(ANC) UBC)

Ca(By 7 By) = CaBy U CaBp-

Một mệnh đề thuộc loại ” là thủ đô nước Việt Nam” được gọi là

một siệnh để mở Mệnh để này không đúng mà cũng không sai Trong mệnh để trên, nếu ta điển vào chỗ trống các từ "Hà Nội” thì được một mệnh để đúng ; còn nếu điển vào chỗ trống các từ "Hải Phòng” thì được một mệnh để sai

Nói chung, trong toán học, các mệnh để mở có đạng các phương

thay x bởi một số cụ thể nào đó có thể làm cho mệnh đề đúng hoặc sai

Kí hiệu x được gọi là một biến (ấn) Tập mọi giá trị của biến sao cho

khi thay các giá trị đó vào phương trình hoặc bất phương trình thì các phương trình đó, bất phương trình đó có nghĩa, duge goi 14 mién của biến Tập nghiệm của một phương trinh hay bất phương trình là tập

6

“os

mọi phần tử của miền của biến khi thay vào mệnh để mở thì mệnh để

đó đúng Chẳng hạn nếu miền của biến x là tập các số nguyên đương

thì tập nghiệm của phương trình

x+3=09

là tập {6}, còn tập nghiệm của phương trình

x+3=2

là tập rỗng Ø,

Bây giờ, nếu lấy miền của biến là tập các số nguyên thì tập {6} là

tập nghiệm của phương trình x + 3 = 9, còn tập {~1} là tập nghiệm

của phương trình x + 3 = 2 Như thế tập nghiệm của một mệnh đề mở phụ thuộc vào tập miền biến và cùng một mệnh để mở có thể có nhiều miền biến khác nhau,

Ánh xạ

Cho hai tập E và F; ta BọI một ánh xạ ftừ E sang F và viết là

†:E— F, là mộ quy rắc làm ứng mỗi phần tử của E với một phần tử

xác định của F, E được gọi là tập gốc (hoặc tập nguồn) và F được gọi

là tập ảnh (hoặc tập đích) ; phần tử y e F ứng với phần tử x e E được gọi là ẩnh của x qua ánh xạ f và viết y = Í(x), cũng đọc là y = f(x), và

để chỉ rõ quy tác làm ứng x với y ta viet x b f(x)

Anh xa f được gọi là don dnh néu phương trình f(x) = y có nhiều

nhất một nghiệm x e E, với mọi y e F,

Ánh Xạ f được gọi là toàn ánh nếu phương trình f(x) = y có ít nhất một nghiệm x e E với mọi y e F

Ánh xạ Í được gọi là song ánh nếu phương trình f(x) = y có một nghiệm duy nhất X e E với mọi y e F Một song ánh là một ánh xạ vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh

Hai tập A và B được gọi là tương đương với nhau, viết là "A<2B" nếu tổn tại một song ánh f: A -> B

Cho tập I := {1, 2, n}, bất kì một tập X nào tương đương với I

cũng được gọi là một tập hữu hạn (có số phần tử là hữu hạn và bằng

n), khi đó ta viết card (X) = n Gọi N là tập các số tự nhiên, bất kì một tập X nào tương đương với N cũng gọi là một tập dém được, ta

viết card (N) = card (X) ; (có thể hiểu là số các phần tử của X bằng

Để mở rộng lớp nghiệm phương trình mx + n = Ö ; m, n e Z được

đưa thêm tập các số hữu tỉ Q :

Q:=Ix:x= ”;n#0;m,n e Z ; m, n chỉ có ước chung là ‡ 1}

Bây giờ để chứng tỏ rằng tập các số hữu tỉ cũng còn quá hẹp, ta

xét nghiệm đương của phương trình x° =2, và tạ có x=^Í2 ; số V2 không phải là có một số hữu t' Ta chứng minh điều này bằng phản

chứng Thật vậy, giả sử v2 là một số hữu tỉ ; khi đó x2 có dạng :

2= ”°¡m.neN;

n

với m và n chỉ có ước số chung là 1 và —‡

8

Vì cả hai vế của phương trình trên đều đương nên suy ra phương trình tương đương mỄ = 2n”, Do d6 m? chia hết cho 2 ; vì thế m chia het cho 2, và ta có thể viết m = 2p ; do đó 4p” = 2n”, nghĩa là nỄ = 2p,

Cũng lập luận như trên n cũng chia hết cho 2 và như thế m và n cùng

có ước số chung là 2 và điều đó mâu thuẫn với giả thiết, vậy V2

không thể là một số hữu tỉ, ta nói rằng J2 là một số vô tỉ Hơn nữa,

có thể chứng minh được rằng nếu n là một số nguyên dương, không là

số chính phương, nghĩa là n không là bình phương của một số nguyên

va ta néi rằng số hữu tỉ + được biểu điễn dưới dang m6t số thập phân

hữu hạn và số hữu tỉ ; được biểu điển dưới dạng số thập phân

vô hạn tuần hoàn Nói rằng ; là số thập phân hữu hạn vì khi biểu diễn = 0,25 ta có thể kết thúc ngay ở số 5 ; trong khi ; là một số

thập phân vô hạn tuần hoàn vì khi biểu diễn —= 0,333 ta có thể viết 1 3 thêm bao nhiêu số 3 nữa vẫn chưa biểu diễn đúng hẳn được số 1

nhưng nếu muốn kéo đài con số 3 đến bao nhiêu cũng viết được

Cũng như thế, có thể viết

== 0,1428571

Ở đây, sau con số l (số sau dấu phay thứ 7) ta viết dấu " " vì nếu muốn viết thêm bao nhiêu số sau đấu phẩy cũng được, chẳng hạn có thể viết :

+ 0,14285714285714

và như thế trong biểu diễn đạng thập phân của T- các số 142857

được lập lại theo thứ tự đó bao nhiêu lần tuỳ ý và nếu ta muốn dừng

lại ở số mấy cũng được miễn là đã biểu diễn đầy đủ các số ¡42857 vì biết đầy đủ 6 con số này tức là biết 4y tắc tuân hoàn của số thập

phân vô hạn tuần hoàn 0,1428571 = 1

Người ta có thể chứng mình rằng bất kì một số hiữu tỉ nào cũng có

thể biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn

Với số vô tỉ thì không như thế, người ta cũng chứng mình được rằng bất kì một số vô tỉ nào cũng biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn

không tuần hoàn, Chẳng hạn khi ta viết :

26)

thì ta chỉ có thể biết được rằng đó là biểu điển xdp xf V2 véi 5 con

Số sau dấu phẩy và từ năm con số đó không thể suy diễn để viết tiếp

những con số thập phân khác vì ¥2 là số vô tỉ, có biểu điển thập phân vô hạn không tuần hoàn

Ngoai ra như định nghĩa ở trên, tập các số thực R gồm các số hữu

tỉ và số vô tỉ, đo vậy ta có bao hàm thức

NcZzcQcR

Ta cũng đã biết rằng các tập Z, Q tương đương với N và cả 3 tập

đó : tập các số tự nhiên, tập các số nguyên và tập các số hữu tỉ là

những tập vô hạn, đếm được ; tập số thực R không phải là tập đếm

được, và ta nói rằng card (R) là continum

Trong R xây dựng được hai luật hợp thành trong là phép cộng (+)

và phép nhân (.), thoả mãn các tính chat sau:

1) Phép cộng và phép nhân có tính giao hodn :

chương 1 quyển Toán học cao cấp Tập một

11

3) Phép nhân có tính phân bố đối với phép cộng :

Tiên đê về quan hệ thứ tự toàn phan?

Trong R xây dựng được quan hệ thứ tự toàn phần <, tương thích

với cấu trúc trường, nghĩa là

x> y tương đương với X + 4 3 y +a VaeR

[ax>ay nếua>0

x > y tương đương với ax Say néua<0O

Tiên dé cận trên đúng (về tính đây của R)

Tập hợp Q các số hữu tỉ cũng thoả mãn tiên để về cấu trúc trường

và tiên để về quan hệ thứ tự toàn phần, tức là Q là một trường được sắp thứ tự Ta cũng biết ràng giữa hai số hữu tỉ a, b, tôn tại một số

a+b

hữu tỉ thứ ba, chẳng hạn „ do đó giữa hai số hữu tỉ bất kì tồn tại

CS) Về cấu trúc trường và quan hệ thứ tự bạn đọc có thể xem thêm ở chương 2 và chương L quyền Toán học cao cấp Tập một

12

vô số số hữu tỉ khác Tuy nhiên Q là một trường sắp thứ tự không

đầy, như ta sẽ thấy ở dưới Do vậy tập R các số thực còn thoả mãn

tiên đề về tính sắp thứ tự đầy của nó, đó là tiên để cận trên đúng

Trước hết ta đưa vào một số định nghĩa

Định nghĩa 1 Số thực x được gọi là cận rên của tập hợp AC R nếu Va © A,a <x Khi đó ta nói tập hợp A bị chặn trên x được gọi

là cận đưới của A nếu Và e A,a >x Khi đó ta nói tập hop A bj chan đưới Tập hợp A được gọi là bị chăn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị

chặn dưới

Định nghĩa 2 Cận trên bé nhất của tập hợp A, nếu có, được gọi là

cận trên đúng của A, kí hiệu sup A Cận đưới lớn nhất của A, nếu có,

được gọi là cận dưới đúng của A Ki hiệu inf A

sup A và inf A có thể thuộc A, cũng có thể không thuộc A Nếu

sup A « A, thi sup A là phần tử lớn nhất của A Ki hiệu max A Nếu

inf A e A thì inf A là phần tử bé nhất của A Ki hiéu min A

Bay gid ta xét tap hop A = {x € Q: x”< 2} Tap hợp ấy không rỗng, vì | e A, bị chặn trên vì Vx € A, x < 2, Nhung tap hop A

không có cận trên đúng thuộc Q, dễ thấy rằng sup A=/2, ma

⁄2sQ Với ý nghĩa ấy, ta nói rằng Q là một trường sắp thứ tự

không đầy,

Tiên đề cận trên đúng : Mọi tập hop A c R không rỗng, bị chặn trên đều có cận trên đúng thuộc R

Từ tiên để đó, để dàng suy ra rang : Một tập hop ACR khong

rỗng, bị chan dưới đêu có cận dưới đúng thuộc R

1.2.3 Trị số tuyệt đối của một số thực

Người ta gọi trị số tuyệt đối của số thực x là số thực được kí hiệu

|x|, xác định như sau :

~x nếu x<0

13

Tir dé dé dang suy ra các tính chất sau :

Công hai bất đẳng thức kép ấy từng vế một, ta được

~ (ai + |bJ) <a + b < lai + |bị

Từ đó suy ra (1.4) Để chứng minh (1.5) ta viết

Để biểu diễn hình học tập hợp các số thực R, ta xét trục Ox, voi Oo

là điểm gốc Mỗi điểm M trên trục Ox được ứng với số thực x sao cho OM=x Mỗi số thực x được ứng với điểm M trên trục Ox sao cho

OM=x Đó là một song ánh giữa tập hợp R và trục Ox Người ta gọi

trục Ox là đường thẳng thực hay trục số thực

Ảnh của các số —3, -2, -5 -1, 0, i 5 1, 2, 3 trén Ox duge

cho ở hình 1.1

14

-3 -2 -1 O1

Ầ Hình 1T

Hình 1.2 minh hoạ cách sử dụng định lí Pythagore để xác định ảnh của số vô tỉ 22 trên trục Ox

Hình 1.2 Diém A img véi sé V2

* Ta đưa vào các kí hiệu sau :

R.=[xeR:x>0),R.=[xeR:x<0],

R =R- |0), R,=R,-(0), R_=R_-{0},N =N- {0}

V6i (a, b) € R?, a <b, ta có các khoảng sau :

(a,b)=[xeR:a<x<b] fa, b] = {xe R:a<x<b} (a, bl={xeR:a<x<b} (a,b) = [xe R:a<x<b} (-~,a)= {xe R:x<a} (-~, a]= {xe R:x<a} (a, +e) = {x ER: x>a} [a, +00) = {x ER: x2a} (-2, +0) =R

* Trén truc sé thuc lấy hai điểm XỊ› Xạ Ñgười ta gọi khoảng cách giữa hai điểm ấy là số, kí hiệu d(x,, x) duge xác định bởi

(1.6) d(x}, X2) = [x] — %a|

đ

Như vậy |x| chính là khoảng cách giữa x và 0 :

|x| = d(x, 0)

Dùng các tính chất của trị số tuyệt đối của số thực, có thể suy ra

các tính chất sau đây của khoảng cách :

* Lấy điểm a trên trục số, r là một số dương Người ta gọi r — lân

cận của điểm a là khoảng kí hiệu vía, r) được xác định bởi

(1.8) v(a,r)= {xe R:|x-— a|<r}

không là cận trên của E, do đó tồn tại nạ € N sao cho nạg > b - £

hay (nạ + 1)e > b, điều này mâu thuẫn với định nghĩa cận trên đúng của b Định 1í được chứng minh IN

Hệ quả Với mọi x € R, tén tai k € Z sao cho

káx<k+l Bạn đọc hãy tự chứng minh hệ quả này

Số k trong hệ quả ấy được gọi là phần nguyên của x, kí hiệu E(x) 16

Định lí 1.2 Giữa hai số thực bất kì luôn tổn tại một số liữu tỉ

Chứng mình Giả sử c, đ là hai số thực với c < d Vì đ~— c >0 nên theo định lí 1.1, tồn tại q e N sao cho | < (d ~ c)q hay

R được gọi là tập số thực mở rộng hay đường thẳng thực mở rộng

Địmh lí 1.3 Moi tap hop A không rỗng của R đều có cận trên đúng

(sup A có thể bằng +so) và cận dưới ding (inf A cé thé bằng ~e)

(b) (xghs xp eli xpels xg els kg eho

(c) ixqt i X_ 2b" s xpecds keh ws x ECD", -

(e) bal sn =(Ub 4} ;XỊ=2:Xạ= n

* Trong thi du (a) gid tri cla day {xạ} luôn dương và giảm dần khi

n tăng đần và có khuynh hướng giảm về số không (?)

* Trong thí dụ (b) giá trị của đây {xa} luôn không đổi

* Trong thí dụ (c) giá trị của {xạ} chỉ lấy hai giá trị =1 hoặc +1

tuỳ theo n lẻ hay chẩn

* Trong thí dụ (d) giá trị của {xạ} luên đương và tăng đần theo n

* Trong thí dụ (e) giá trị của n tăng dần theo n: xạ¿¡ >Xn Thật vậy, dùng công thức khai triển nhị thức có :

18

trong đó : n! : = 1.2.3 (n ~ l)n và đọc là n giai thừa

Từ hệ thức trên, thay n bởi (n + l) ta có :

So sánh xạ và xạ¿¡ trong hai khai triển trên tz thấy rằng khai triển

của xạ„¡ nhiều hơn khai triển của xạ một số hạng, đồng thời từ số

1

hạng thứ ba trở đi thì vi i,t nén |-—< pe n n+l n n+! nên các số hạng của xạ bé thua số hạng tương ứng của xn¿|, dO VẬY Xn+| >Xn› Vn Qua những thí dụ trên ta nhận thấy một dãy số {xạ} có thể có hai

khả năng : hoặc là các giá trị có "khuynh hướng" tập trung gần một số œ

nào đó (thí dụ (a) thì œ = 0; thí dụ (b) : œ = 1 ) hoặc là không có một

số œ nào để các giá trị (xạ} tập trung quanh nó (thí dụ (c) va (d))

Định nghĩa 2 Dãy số {xạ} được gọi là hội ty néu tổn tại ae R

sao cho với mọi e > 0, tìm được nạeN_ sao cho với mọi n>nụ 1a

có |xa - al <e

Ta cũng nói rằng dãy {xạ} hội tụ đến a hay a là giới hạn của dãy

{xạ} và viết xạ —>a khi n —> œ, hay lim xX, =a

nor

Vì |xn —

<e tương đương với a—£<x„ <a+e, niên ta còn có

thể phát biểu như sau : Day {xạ} hội tụ đến a nếu mọi £ — lân cận của

ˆa đều chứa mọi phần tử của dãy trừ một số hữu hạn phần tử đầu tiên

Trong thi du (d), day {xaÌ cũng phân kì, xạ lớn lên vô cùng khí n

tăng vô hạn Ta viết x, > +0 khin 3 0,

Trong thi dy (e), day {xq} cũng tăng theo n, nhưng hiện nay chúng ta chưa đủ điều kiện để kết luận Chúng ta sẽ nghiên cứu chỉ tiết đãy này sau

1.3.2 Các tính chất của dấy số hội tụ

Định lí 1.4 (1) Nếu dấy số {xi hội tự thì giới hạn của nó là duy nhất (2) Nếu dãy số {xạ| hội tụ thì nó giới nội, tức là tấn tại một khoảng (b, c) chứa mọi phần tử Xn-

Ching minh (1) Giả sử lim Xa=a, lim xa =b, £ là một số nox now

đương bất kì Khi đó tồn tại nị eN” và nạ eN” sao cho

n>n => [xq -a|<Š

n>ng © ka-b<Š

21