Bài tập hình học cao cấp part 8 ppt

Ta hay xét tap hop cdc dung thang cia bo tam O trong E™*?: Điểm O là tâm của siêu câu S" và đồng thời cũng là tâm của siêu cầu 8"°, Ta có thể đặt tương ứng 1-1 giữa mỗi đường thẳng của b

Ta hay xét tap hop cdc dung thang cia bo tam O trong E™*?: Điểm O là tâm của siêu câu S" và đồng thời cũng là tâm của siêu cầu 8"°, Ta có thể đặt tương ứng 1-1

giữa mỗi đường thẳng của bó tâm O

nằm trong mặt phẳng xạ = 0 với

một cặp điểm xuyên tâm đối của siêu

cầu 8" Các cặp điểm này có tọa độ

là (Xị, X;, Xe, 0) VA (—x1, —X;, .,

—xu, 0) Còn mỗi đường thẳng thuộc

bó tâm O trong E°*' nhưng không

thuộc siêu phẳng x„„¡ = 0 cắt siêu cầu

S™! tai các cặp điểm xuyên tâm đối

Vậy tập hợp B = B ¬ S là một mô hình của không gian xạ ảnh n chiều

3.8 Trong không gian añn A" với hệ tọa độ afin cho trước, mỗi siêu phẳng có phương trình dạng :

AX + ãsX; + + 8aXa + Ani = 0

265

trong đó các hệ số a; không đồng thời bằng 0 với ¡ = 1,2, n Nhu vậy mỗi bộ gôm n + 1 số có thứ tự (ai,aa, aa,a„.;) xác định một siêu phẳng Hai bộ số (a,as, a„.i) và (bạ,bạ, bạ.¡) gọi là thuộc cùng một lớp tương đương nếu b; = ka; với mọi ¡ và k # 0 Mỗi lớp tương đương này xác định một siêu phẳng afñn

Bây giờ ta hãy xét tập hợp các siêu phẳng afñn của A" cùng đi

qua một điểm K (x{,x§, x) ) cố định mà mỗi lớp tương đương nói

trên ứng với một siêu phẳng Ta suy ra tập hợp các siêu phẳng añn trong A" cùng đi qua một điểm cố định có tương ứng 1-1 với tập hợp các điểm trong mô hình số học của không gian xạ ảnh n chiểu Trong mô hình này, mỗi siêu phẳng añn là một điểm xạ ảnh được xác định bởi một lớp gồm n+1 số thực có thứ tự có phần

tử đại điện là (a:,aa, aa,aa„i) Từ bộ số này ta đễ đàng xác định được phương trình của siêu phẳng añn đó như sau :

BỊXI + 82X2 + + BaXn + 8n¿¡ = Ú,

3.4 Gọi œ là một p-phẳng chứa m+1 điểm độc lập (m < p) Au,Ai, „Âm và B là một m-phẳng đi qua m+l điểm độc lập đó Can chứng minh B c œ

Ta biết rằng phẳng B được hoàn toàn xác định bởi m+1 điểm độc lập cho trước A.,Á¡, ,Ám Vì m < p nên ngoài m+1 điểm độc lập này p-phẳng œ còn chứa thêm một số điểm độc lập khác nữa

Do đó ta suy ra : œ S B = B nên B c ơ

3.5 Goi P? = P' + P"° là tổng của hai cái phẳng P' và P° và

P°zP' s P* là giao của hai cái phẳng P” và P*,

Gọi các không gian vectơ V”!, V°%1VP'!V*%* lần lượt sinh ra các phẳng P", P°, P°, P*,

Vì tổng của hai cái phẳng là cái phẳng có số chiều bé nhất chứa hai cái phẳng đó nên V°* là không gian vectơ có số chiều bé

nhất chứa V* và V°!, Do đó: VP' =W“!+V* (1)

Mặt khác giao của hai cái phẳng là cái phẳng lớn nhất thuộc

cả hai cái phẳng đó nên V**' là không gian veetơ có số chiều lớn nhất thuộc V**! và V°!, Do đó V9 = V1 ¬ V91 (2) 266

Từ (1) và (2) dựa vào công thức về số chiều của không gian vectơ ta có :

Nếu P' và P° chéo nhau thì r + s =p_— 1 WD

Ngược lại giả sử r + s = p — 1, ta cần chứng minh P' và P° chéo nhau Gọi V'*!, V**! vet! yar! là các không gian vectơ lần lượt sinh ra các phẳng P", P°, P°,P* ta có :

Từ (1) và (2) ta suy ra q + 1 = 0 nghĩa là V*%*! chỉ là vectơ Ú

Do đó: P1 = Ø nghĩa là P' và P° chéo nhau

3.7 Goi P™ = P* + P* va goi V™", V"*!, V°" là các không gian con

của V°* lần lượt sinh ra các phẳng P“, P', P*,

Với M e P' và N e P° ta suy ra M,N e P“ Do đó đường thắng MN thuộc phẳng tổng P" = P' + P° Ngược lại giả sử X là một điểm thuộc phẳng tổng P“ Cần chứng minh X thuộc một đường thẳng nào đó cắt cả P' lẫn P°

Vectơ x dai diện cho điểm X được phân tích thành hai vectơ trong đó một vectơ thuộc V**! và một vectơ thuộc V**1,

Muốn chứng minh rằng tập hợp các điểm X của đường thẳng

MN với mọi M e P' và mọi N « P* là tập hợn điểm của phẳng tổng P” = P' + P° ta phải chứng minh rằng :

267

X «MN (Me P’,N ec P*) > Jae V™ abe Vs"

sao cho a+b=x « V™ 5 V4 ye!

Gọi xià vectơ đại diện cho điểm X « MN thì cần và đủ là vectơ x thuộc không gian vectơ 2 chiêu sinh ra đường thẳng MN Gọi m và n lẩn lượt là các veetơ đại điện cho M,N độc lập (vì MzN) Do đó :

Ai, À¿, Á¿,E' của mục tiêu xạ ảnh { Aj, A},Aj;E’} Ta có ;

Do đó ta có :

2 2 s22 —_.- o 2 2 3 3

& = E02) = ma tran chuyén C = 2 0 ã

Do đó áp dụng công thức đổi mục tiêu từ (A¡,A;,À;; E} sang

CAI,A¿,Aá:E' } là [x] =OYTx] ta được kết quả :

kăi = 2X; + xã

kx, = 2x, +x, véik eR

kexy = 2x} +x}

3.9 a) Xem lời giải câu b) bài 3.8

b) Gọi (xi,xs,xs) và (xị,x;,x;) theo thứ tự là tọa độ của điểm

M đối với mục tiêu thứ nhất và xục tiêu thứ hai Ấp dựng công thức đổi mục tiêu ta có :

Giải hệ phương trình này ta tính được (Xị,x;,X; ) = ThướnnG

Vi toa độ xạ Ảnh có tính chất đẳng cấp nên ta có thể lấy tọa độ của điểm M đối với mục tiêu xạ ảnh ({Aj,A¿,A;;E'} là

C=|0 1 -2

-3 -3 -3

b) Tọa độ xạ ảnh của điểm N(0,1,1) đối với mục tiêu

(Aj, Ap, AgsE’} 1a:

{@], 65,63 } Vects OX chính là vectơ đại điện cho điểm X Do đó :

a) Một điểm X có tọa độ (x¡,x¿) đối với mục tiêu añn (Aa; Eu,E;}

nghĩa 1a AX = x,AjE, +x A3B, = ,@, +¥:e2- Khi đó trong V°

taco: OX = OA; + AgX = x,e +x,e +103 v6i OA; =e -

Vậy điểm X có tọa độ xạ ảnh là (xạ, xạ, 1)

b) Các điểm vô tận của mặt phẳng afin nhận các vectơ đại điện là các vectơ thuộc phương của mặt phẳng afin Do đó các điểm vô tận của mặt phẳng añn có tọa độ xạ ảnh dạng (xi,xz,0)

Các đường thẳng nhận vectơ A¿X làm vectơ chỉ phương (với X z

A;) đều chứa điểm vô tận này Các điểm A¡,A; của mục tiêu xạ ảnh nhận các vectơ s%,e® làm vectơ đại diện nên có tọa độ xạ ảnh là

Ai = (1,0,0), Ae = (0,1,0)

Đường thẳng xác định bởi hai điểm v6 tan Ai, As chính là đường thẳng vô tận của mặt phẳng añn Đường thẳng này có phương trình x; = 0 đối với mục tiêu xạ ảnh (Ai, Âz, As; B} và chứa tất cả các điểm vô tận của mặt phẳng añn

3.12 Ấp dụng kết quả của bài 3.11, ta lấy một điểm O nằm ngoài mặt phẳng afñn và suy ra nếu một điểm M có tọa độ afn là ŒXi,Xz)

270

thì tọa độ xạ ảnh của nó là M = (x),%2,1) vi OM = xe, +X2e tle,

là vectơ chỉ phương của đường

thẳng OM Giả sử đối với mục

tiêu afin da chon, cho đường

thẳng afin A có phương trình :

ax; + bx, + ¢ = 0 Đường thẳng

4 nay nhan vecto v= (b,-a)

làm vectơ chỉ phương Do đó

đường thẳng đi qua O nhận Y

làm vectơ chỉ phương (song

song với A) đặt tương ứng với

điểm vô tận của A, có tọa độ là

Ay (0,0)

CHÚ ¥ Trong khéng gian xa anh, diém afin thông thường và điểm vô tận đều có vai trò bình đẳng và có tên chung là điểm xạ ảnh Đối với mục tiêu xạ ảnh {Á¡,Az.A„; E} thi dugng thing x, = 0

đi qua Ai,A; đóng vai trò đường thẳng vô tận

3.18 a) Phương trình tham số của m-phẳng xác định bởi m+1 đỉnh đầu tiên A¡,Az, , Amel cla mục tiêu là :

b) Phương trình tham số của m-phẳng xác định bởi m+1 đỉnh cuối của mục tiêu À» mai; Ân ma 1 An-mams Ane TÀ :

Ta cé A; = (1,0,0), Az = (0,1,0), Ag = (0,0,1), E = (1,1,1) a) Ta tính được tọa độ các đường thẳng A¡E, A¿E, AaE :

Ta tính được tọa độ của đường thẳng qua E,E¿, E; là: [1,1,1] 272

'Chú thíh : Người ta gọi tên đường thẳng có tọa độ [1, 1, 1] là đường thẳng đơn uị Trong việc chọn mục tiêu xạ ảnh {A, Ap, As;

BỊ ta có thể chọn đường thẳng đơn vị thay cho việc chọn điểm đơn

vị

3.15 a) Giả sử X là một điểm thuộc đường thẳng AB và X = (x, x,

xạ) Ta có điểu kiện cần và đủ để ba điểm A, B, X thẳng hàng là các vectơ đại diện cho ba điểm ấy làm thành một hệ vectơ phụ

#ì đường thẳng này đi qua điểm A và điểm B nên :

{ne + Ugdg + Ugay =0

ub, + ughy + ugh, =0 Giải hệ hai phương trình này với ẩn là [uy, Uz, ug] ta tim duge kết quả như ở phần trên

3.16 Theo giả thiết đường thẳng a có phương trình :

Vì đường thẳng này đi qua ba điểm A, B, C nên ta có :

tai +Uạaa + Uạag = Ô

u,b, +uạbạ +uạbạ =0

UC, + Uglg + Ugg = 0

Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính thuần nhất này có nghiệm [u¡, uạ, uạ] không phải là nghiệm tầm thường

là :

li 42 ag

bị bạ bạ| =0

C, Cy Cạ

Cách khác Gọi a,b,c là 3 vectơ lần lượt đại điện cho ba điểm

A, B, C Ta có điều kiện cần và đủ để 8 điểm A, B, C thẳng hang trong P? là hệ ba vectơ {a, b, c} phụ thuộc tuyến tính Từ đó ta suy

274

ta có thể suy ra điều cân chứng mỉnh

8.18 Gọi I là giao điểm

của hai đường thẳng d và

Ap dung dinh li Pappus

(bài 3.19) đối với hai bộ

ứng là AA BB = §, AE ¬ BD = C, AE BD = Ở thẳng hàng

Do đó ta suy ra AA, BB, CC đồng quy tại S

(Bài tập này là nội đụng của định lÍ Desargues trong mãi phẳng xạ Ảnh )

b) Muốn xét vị trí tương đối của P và Q ta xét phương trình tìm giao PaQ:

Vì P và Q chéo nhau nên ta có :

dim (P+ Q) = dimP + dim Q+1

trận tọa độ của cdc diém Aj, Az, , An lA mét ma trận có hạng bing n nén Aj, Ag, , A, lA một hệ n điểm độc lập Gọi E 1a giao

của đường thang E,,,E véi siéu phang P Ta dé dang tinh dugc toa

độ điểm E là (1, 1, , 1,0) gam n sé 1 Bay gid néu trong ma tran trên ta thay tọa độ của điểm Á; (1 < ¡ < n) bởi tọa độ điểm E thì ta

thấy rằng ma trận này vẫn có hạng bằng n Vậy hệ điểm {Aj, ,

AuE, Aut, -, An) là một hệ n điểm độc lập Do đó (Ai, A¿, Án;

E} là một mục tiêu xạ ảnh trong siêu phẳng P

b) Với mục tiêu xạ ảnh {A¡ E} trong P°, siêu phẳng P có phương trình xạ,¡ = 0 nên mọi điểm X thuộc P đều có tọa độ thứ 280

n+1 bằng 0 Giả sử ta lấy một điểm X thuộc P có tọa độ đối với mục tiêu {A;; E} là :

X =Gi2, „ Xa, 0)

Goi {ei,es, e„.¡} là cơ sở của V"' tương ứng với mục tiêu

{Ái E} trong P" va goi V" la không gian vectơ sinh ra siêu phẳng P

Khi đó cơ sở {@,,es, en } của V° ứng với mục tiêu (Aj, As, Ay; E}

Gọi xÌà vectơ đại diện cho điểm X thuộc P Khi đó vectơ x có tọa độ đối với cơ sở {@i,6a, ea,ea„; } cũng là (Xị, Xạ, xạ, 0)

Ta có: X= x, + 4+x,e, +0@,41

hayla xX=x,e) + +x,e@,

Hệ thức này chứng tổ đối với cơ sở (e,,es, e„ } vectơ x đại điện cho điểm X có tọa độ là (X1, Xạ, xa) Do đó điểm X có tọa độ đối với mục tiêu (Aj, Ag, An; E} là (Xị, Xạ, Xa)

3.25 Trong P” tam giác A;A¿A; và một điểm E' có thể tạo nên một

mục tiêu xạ ảnh {A;, As, A;; E} khi bất cứ ba điểm nào trong bốn điểm đó không thắng hàng Một đường thẳng e không đi qua các

MỊX+ + UạX¿ + tạXs = Ö,

Ta có uy # 0, uạ # 0, uạ # 0 vì đường thẳng e nay không đi qua cdc diém Aj, Ay, As Thực hiện phép biến đổi mục tiêu bằng công thức ;

x, = ay

tị

XQ = cự,

Ug X3 =,

Ug

281

thì mục tiêu {A), Ao, Ag; E} sé bién thanh muc tiéu {A;, Ao, Ag; E}

Khi d6 déi voi muc tiéu {Aj, Ao, As; E} dutng thang e cé phuong trình :

Xị + Xa + X; = Ũ

Như vậy ta tìm được điểm đơn vị E,

NHẬN XÉT Đề làm một bài toán xạ ảnh trong P”, khi lựa chọn

mục tiêu xạ ảnh {Ai, A¿, Á;; E} ta có thể thay việc chọn điểm đơn

vị E bằng cách chọn một đường thẳng bất kì không đi qua các đỉnh của mục tiêu làm đường thẳng đơn vị e = [1, 1, 1]

3.26 Giả sử đường thẳng dị trong PÊ có phương trình :

(ay) {pes +ApXy + agX3 +a4X,=0 (a)

byx, + box, +bgxg +byx, =0 (B)

Có thể xem dạ là giao tuyến của hai mặt phẳng (œ) và (B) Gọi

R là một mặt phẳng chứa (d:) = œ ¬ B va gid sit R có phương trình:

TỊXI +TTaXa +TạXs ti Xyc =O

Điều đó có nghĩa là rị = pai + qb¡ (2)

với (p, q) ¥ (0, 0) vai = 1, 2, 3, 4

Do đó mặt phẳng (R) chứa dị có phương trình sau đây :

(pa; + qbi)x: + (paa + qba)X; + (paa + qbạ)X; + (pay + qb4)x_ = 0 (3)

© p(AiXi + AgX¿ + aạXs + agXj) + G(bix1 + boxe + bax + baxy) = O

Giá sử điểm M cho trước có tọa độ là (mị,m;, mạ, mạ) và vì Me(ŒR)nên :

P(aym, + agmy + asmy + agmy) + q(bụm + bạmg + bạmg + bạm) = 0

Ta cé thé chon p = bym, + bom, + bgms + bymy

q = ~(aymy + agm + asms + aym,)

282

Thay các giá trị của p và q vào phương trình (3) ta có phương trình mặt phẳng R đi qua M và chứa d,

Giả sử đường thẳng dạ trong PÊ chéo với dị, có phương trình :

CIX+ + C2X; + 3X3 + CX, = 0

là +đạx; + đạx: + dạx„ =0

Tương tự như phần trên ta lập phương trình mặt phẳng (8) di qua M và chứa đường thẳng dạ Phương trình biểu thị giao của hai mặt phẳng (R) và (8) chính là phương trình của đường thẳng đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng dị và dạ chéo nhau

3.27 Điều kiện cần và đủ để cho hải đường thẳng chéo nhau là

định thức ma trận các hệ số của hệ bốn phương trình đã cho khác không, nghĩa là :

Ai Ag a3 ay

bì by bạ bạ

ey Cp hg ly

Id; dg dy dy

Khi đó hệ phương trình gồm bốn phương trình đã cho có

nghiệm tâm thường tức là hai đường thẳng đã cho chéo nhau và

g(ej)=k,e¡ với i = 1, 2,.„ n+1 với mọi k, #0

Do dé ta có phương trình của phép biến đổi xạ anh fla:

x] = kx,

XQ = kX

Xnet = KasiXnet

283

Với mỗi bộ số (kạ, kạ, ka.¡) trong đó mọi kị đều khác 0 xác định một phép biến đổi xạ ảnh có tính chất biến các đỉnh của mục

tiêu {A¡; E} thành chính nó

8.29 Dựa vào kết quá của bài 3.28, ta có phép biến đối xạ ảnh f biến các điểm M có tọa độ (xụ, xạ, xạ.) thành các điểm M = ÂM) có tọa độ (kixi, ksX¿, ka,iXa¿¡) với mọi kị + 0 Mặt khác theo giả thiết phép biến đổi xạ ảnh f còn biến các điểm của siêu phẳng xạ„¡ = 0 thành chính nó tức là biến các điểm M có tọa độ (xị, xạ, xạ, 0) thành các điểm f(M) có tọa độ (kx), kxo, , kx,, 0) với k z 0 Phối hợp hai điều kiện trên ta lập được phương trình của phép biến đổi

NHẬN XÉT : Với mỗi bộ hai số (k, kạ„) # (0, 0) ta có một phép

biến đổi xạ ảnh f thỏa mãn các điểu kiện của bài toán Nếu

k = kạ¿i ta có phép đồng nhất

Phép biến đổi xạ ảnh f nói trên biến các đường thẳng d đi qua điểm Aa.¡ thành chính nó Thật vậy gọi N là giao điểm của d với siêu phẳng xa.¡ = 0 Theo giả thiết các điểm A„.; và N đều là các điểm kép của f Mặt khác ta biết rằng qua phép biến đổi xạ ảnh một đường thẳng có ảnh là một đường thẳng, do đó đường thẳng ảnh di qua An.¡ và N nghĩa là f(d) = d

CHỦ Ý Ta có thể dùng phương pháp tọa độ để chứng minh tinh chat f(d) = d như sau :

X « đường thẳng đ © [X) = alAg.i] + b[N]

Vậy mỗi điểm X thuộc đường thẳng d có tọa độ dạng :

d 9 X= (bm, bnạ, , bn„, a) với N = (nj, nạ, nạ, 0)

284