Tổng hợp bài tập hình học không gian

Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại M lấy một đoạn MS có độ dai bang 4¥3a.. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại A, lấy đoạn SA = 2a.. 2 Một mặt phẳng

Tổng hợp bài tập hình học không gian

PHAN HINH HOC

QR Cho một tam giác vuông cân ABC, AB = AÁC = a Gọi D

là điểm giữa cạnh BC Kẻ về một phía các nửa đường thẳng Ax, Dy vuông góc với mặt phẳng tam giác Lấy trên

Ax, Wy các điểm M, N sao cho AM = 2DN Hạ AI và AJ

1) Chứng minh rằng AI, AJ vuông góc với MN

2) Chứng minh rằng 5 điểm A, B, C, I, J cùng nằm trên một

1) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác vuông

Z) Gọi I là điểm giữa của BC Chứng minh rằng năm điểm |

A, LƠ, M, N cùng nằm trên một mặt cầu Tính bán kính

(418) Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một hình tròn tam |

O ban kinh R Goi M 1a diém giữa của OA, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Trên đó lấy đoạn

SM = BC

1) Chứng minh rang SA 1 BC

_ N2) Kéo dài AO cất BC tại N, trên MN lấy điểm I sao cho AI =x.|

Qua I dựng mặt phẳng (P) song song với SM và BC Chứng minh rang mat phang (P) cất tứ diện SABC theo hình thang mL!

can Tinh dién tich thiét dién theo R va x (2d) |

420 Cho tam gidc ABC vuông tại À Qua A dựng mat phang] ©

(P) song song với cạnh BC Khoảng cách giữa cạnh BC và

mặt phẳng (P) bằng 2a Hình chiếu của các cạnh AB vài

ÁC trên mặt phẳng (P) là AB' và AC' Cho AB' = Vða

va AC’ = 2V17a

1) Tính diện tích tam giác ABC

ay” Tính thể tích hình khối ABCC’B’ (2đ)

CN ne tam giác ABC vuông tại A và có BC = 2a va

1422

423

424

= aV3 M là một điểm bất kỳ trên BC, kẻ MH, MK

lần lượt vuông góc với AB và;AC Trên đường thẳng vuông

góc với mặt phẳng (ABC) tại M lấy một đoạn MS có độ

dai bang 4¥3a Dat MC =

1) Chứng minh rằng tất cả các mặt bên của hình chớp SMHAK

là các tam giác vuông

2) Tinh MH va MK và thể tích của hình chóp SMHAK theo

3) Với giá trị nào của x thi thể tích hình chóp SMHAR là

Cho tam giác đều ABC cạnh a Trên đường thẳng vuông

góc với mặt phẳng chứa tam giác tại A, lấy đoạn SA = 2a

1) Tính diện tích toàn phần hình chóp SABC

2) Trên SA lấy điểm M ; mặt phẳng đi qua M song song với

mặt phẳng (ABC) cát SB và SC tại N và P Xác định vị trí

của M để thiết diện MNP chia hình chóp SABC thành hai

phần tương đương | (2,5d)

Cho nhi dién vuéng (P, AB, Q) canh AB = a Trén (P) lay

điểm € sao cho ABC là tam giác đều Trên (Q) lấy điểm

D sao cho DA = DB = vid a Từ điểm M trên BC dựng

mặt phẳng song song với AB và DC

1) Mặt phẳng qua M nói trên cắt tứ diện ABCD theo thiết

"diện hình gì ?

2) Thiết diện đó có thể là hình vuông không ? Nếu có hãy

tính diện tích hỉnh vuông đó | (2d)

Cho mét tam gidc can ABC, AB = AC = ay¥5, BC =

Trên nửa đường thang vuông góc với mặt phẳng tam giác

tai A lay diém S sao cho AS = ay3

1) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chop SABC

2) Một mặt phẳng (P) vuông góc với đường cao AH của tam

_giác ABC cát hình chóp theo thiết diện hỉnh gì ? Gọi khoảng

cách từ A đến mặt phẳng (P) là x Tính diện tích thiết diện

75

BM 1 Trên đoạn BD lấy điểm M sao cho Bp = 3 Trén doan

EN 2

AE lay diém N sao cho EA 73° Những đường song song với AB kẻ từ M, N lần lượt cắt AD và AF tại I và K

1) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng FEC

2) Tứ giác IKMN là hỉnh gỉ ? Tính diện tích tứ giác đơ.(2đ)

Cho tam giác ABC cớ diện tích là $ Trên đường thẳng

(A) vuông góc với mặt phẳng tam giác tại A lấy điểm M

Hạ BD, BE lần lượt vuông góc với AC, MC Gọi giao điểm của DE với đường thẳng (A) là N

1) Chứng minh rằng MC vuông góc với BN

2) Chứng minh rằng D là trực tâm của tam giác MCN

3) Cho MN = a va BD = b, tinh diện tích tam giác MCN.(2đ) Trên đường tròn tâm O,-bán kính R lấy điểm A cố định

và một: đường kính thay đổi là MN Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại A lấy điểm

B sao cho AB = 2R

1) Chứng minh rằng tổng bình phương của tất cả các cạnh của tứ diện ABMN là một hằng số Tỉm hằng số đó

2*) Goi BK là đường cao của tam giác BMN Tỉm quỹ tích

điểm K khi MN thay đổi

3) Xác định vị trí K để thiết diện BEKA chia tứ diện ABMN thành hai phần tương đương ‘Tinh thể tích tứ diện trong

trường hợp đó (2,5đ)

Cho một hỉnh chóp SABCD Đáy là một hình chữ nhật ABCD có AB = m, BC = n Chân H của đường cao SH

là điểm giữa của cạnh CD Cho biết 5H = 2n Qua AB

dựng mặt phẳng tạo với đáy một góc œ cát SC, SD ở P,

Q Qua P, Q vẽ một mặt phẳng song song với đáy cất 5A,

SB 6 M, N

1) Tu giac MNPQ la hinh gi ? 2) Xác định ø để chu vi tứ giác MNPQ bằng m + n

)

|

3) Tính diện tích thiết diện MNPQ Với œ bằng bao nhiêu diện tích đó có giá trị bằng q mn

4) Tính diện tich hinh ABPQ theo m, n va ơ (2,5d)

(429) Cho tam giác đều ABC cạnh fa Trên đường vuông góc với

_ 2) Tính tỉ số thể tích giữa các phần của khối ABCD được

phân chia bởi thiết diện AMN

Cho nhị diện vuông cạnh (A) và hai mặt là (P) va (Q)

Trên (A) lấy đoạn OA = 2a Trong (P) lấy điểm M sao cho OMA là tam giác vuông cân tại M Trong (Q) kẻ nửa đường thẳng Ox lập với (A) một góc.œ Gọi I là điểm giữa của OA, N là hình chiếu của M xuống Ox

1) Chứng minh rằng MI vuông góc với mặt phang (Q)

2) Tính thể tích V của tứ diện OMNI Xác định œ để V lớn nhất

3) Gọi œ là góc giữa mặt phẳng OMN với mặt phẳng (P) Xác

1 dinh p khi tga = 1-75 - 4) Tim tam va ban kính mặt cầu đi qua 4 điểm A, M,

Cho đường tròn tâm O dutng kinh AB = 2R M 1a diém trên đường tròn sao cho góc MOB = ø Trên đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại O lấy đoạn

OS = RV3 Qua 5 kẻ đường thẳng D song song với AB

Hình chiếu của M xuống AB và D lần lượt là E va F

1) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng (MEF)

2) Khi œ = 309 tính thể tích tứ diện SMOE

3) Chứng mỉnh rằng 5 điểm M, O, 5, b, P nằm trên một mặt cầu Xác định tâm và tính bán kính hình cầu đó.(2,5đ) Trên các cạnh của tam diện ba góc vuông Oxyz lấy ba điểm A, B, C sao cho OA = BC = a và góc OCB = a

TT

1) Chứng minh rằng tứ diện OABC co cdc canh déi vuông

góc và hình chiếu của O xuống mặt phẳng (ABC) là trực tâm của tam giác ABC

2) Tính thể tích V của tứ diện OABC Xác định œ để thể tích

V bang 5 — 7 avs

wo) Tim Am và bán kính R của hỉnh cầu ngoại tiếp tứ điện

433 Cho một hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD

cạnh a Cạnh SA = a và vuông góc với đáy

_1) Tính thể tích và diện tích toàn phẩn của tứ điện SBCD

2) Gọi MNPQ là thiết diện của hình chóp và một mặt phẳng song song với mặt đáy Trong đó M ở trên cạnh SÀ và AM = x

Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x

3) Tinh thể tích khối ABCDMNP@Q theo a và x (2,5đ)

434 Cho một hỉnh chóp tứ giác đều có các mặt bên hợp với

đáy một góc 3œ và cố cạnh đáy bang a Dung mat phẳng (P) đi qua một cạnh đáy và hợp với đáy một góc a _„

1) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp.là hỉnh gì ? 2) Tính diện tích thiết diện

435 Cho tam diện vuông Oxyz Trên ba cạnh lấy lần act ba’

điểm A, B, C sao cho OA = a; OB = 2a; OC = 1) Chứng minh rang hinh chiéu cua O xuéng mat nhàng (ABO)

là trực tâm H của tam giác ABC

2) Tính thể tích tứ diện OABC, khoảng cách OH và diện tích tam giác ABC

3) Trên OC lấy điểm D sao cho CD = x, Qua D dựng mặt phẳng song song với OA va OB, sự AC Bị va BE tal Xác định x

để thể tích chóp CDEF bang = thể tích tứ điện OABC (2,5d) 436.) Cho hình vuông ABCD cạnh a va I diém giữa của cạnh

AB Qua I dung đường vuông góc với mặt phang hinh) vuông và lấy điểm § sao cho 2I§ = aV3

1) Chứng minh rằng tam giác SAD là tam giác vuông

2) Tính diện tích xung quanh hình chớp SABCD

Đáy của hình chop SABC là tam giác cân ABC có

AB = AC = a va B=C = ơ Các cạnh bên cùng nghiêng

với đáy một góc ổ

1) Tính thể tích hình chớp SABC

2) Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chớp với mặt phẳng

„đi qua đỉnh B và đường cao 5O của hỉnh chớp (2,54)

Cho tam giác cân ABC (AB = AC = 2b ; BC = 2a) Tên dương

thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tai A lay AS =

1) Tính thể tích hình chóp SABC

2) Tính diện tích tam giác SBC và suy ra khoảng cách từ A

đến mặt phẳng (SBC)

3) Tìm trên AS điểm M sao cho thiết diện MBC chia hình

chóp SABC thành hai phần tương đương | (3d)

Trong hái mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) lấy hai tam

giác cân ACD và BCD có đáy chung là CD = 2x nằm trên

giao tuyến Chiều dài các cạnh còn lại của hai tam giác đều

bằng a Gọi M và N lần lượt là điểm giữa của AB và CD

1) Ching minh Fang MN la đường vuông góc chung của AB và CD,

2) Tinh-AB va MN theo a va x

3) Tính x để nhị diện cạnh AB là nhị điện vuông (34)

Cho tam giác vuông cân ABC vuông ở A Gọi H điểm giữa

cạnh BC Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại

H lấy điểm D sao cho DH = ¥2 AH =

1) Tính thể tích hình chóp ABCD ~~

.2) Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tai A

lấy điểm M và gọi AM = x Qua M và B, C dung mat phẳng

Mặt phẳng này chia hình chóp ABCD thành hai phần Xác

định giá trị của x để mặt phẳng chia hình chóp thành hai

phần mà thể tích phần này gấp đôi thể tích phần kia (3đ)

Một tam giác đều ABC cạnh a cố cạnh AB nam trong mặt

phẳng (P) và C ở ngoài mặt phẳng này Gọi hình chiếu của

C trên mặt phẳng (P) là C? và có tam giác ABC' vuông ở C'

1) Tính góc giữa cạnh AC với mặt phẳng (P)

442 Trong mặt phẳng (P) cho một đường thẳng (đ) cố định Một

443 Cho hình chớp SABC, đáy ABC là tam giác cân, AB = AC

444 Cho tam gidc can ABC, AB = AC = a V5, BC = 4a Trên

2) Tính thể tích khối ABCC, từ đó tính khoảng cách từ C’ | đến mặt phẳng (ABC)

3) Tinh côsin góc phẳng giữa các mặt phẳng (ABC) và (P).(3đ)

điểm A trong (P) cách (d) một khoảng a Cho một góc vuông định A quay quanh À và nằm trong (P) Hai cạnh góc vuông cắt đường thẳng (d) tại M, N Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A lấy điểm B sao cho 2AB = ay2

_1) Chứng tỏ rằng khi M, N thay đổi luôn Có

— BM? + BN? - MN? = `

2) Gọi H chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (AMN) Nối MH kéo dài cắt BN tại K Tìm quỹ tích K

3) Xác định vị trí MN để thể tích khối ABMN nhỏ nhất Tính giá trị thể tích trong trường hợp đó (3đ)

va BC = 2a Mặt bên SBC là tam giác cân, 5B = 5C và đường cao SĨ = x Giả sử mặt bên SBC nghiêng với mặt đáy một góc 609,

1) Goi J điểm giữa SA và cho AI = x Chứng minh rang 1J

là đường vuông góc chung của BC và SA Tính 1 theo x | 2) Tính thể tích khối SABC

3) Với giá trị nào của x thi góc phẳng của nhị diện (B, SA 4 C) có số đo là 609 Trong trường hợp đó tìm tâm hình cầu

nửa đường thang vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác

tại A lấy một điểm D sao cho AD = a V3

1) Tính số đo của góc phẳng nhị diện (A; BC, D)

2) Tính điện tích toàn phần và thể tích khối hình chóp ABCD

Hãy suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DBC)

3) Người ta cát hình chóp bằng một mặt phẳng (P) vuông góc với đường cao AH của tam giác ABC Thiết diện là hinh gì ?

Gọi khoảng cách từ A tới mặt phẳng (P) là x, tính diện tích

thiết diện theo a và x Tính x để cho diện tích đó cực đại ai

lấy điểm M, mặt "phẳng (P) đi qua M và cạnh AC lập với

day ABC một góc ø

1) Tính diện tích thiết diện AMC

2) Tinh ¿ để diện tích thiết diện gấp đôi diện tích đáy

t6 Một hình cầu nội tiếp được trong một lăng trụ đứng ABC

_—_ APB’C’ Day | của lãng trụ là các tam giác vuông cân có

AB = AC = AB’ = AC’ = a Goi I là trung điểm của

BC Tx A ha AH 1 B’C

1) Chứng mỉnh rằng AI L B'C và tem giác AIH vuông tại L

2) Chứng minh ràng AHI là góc phẳng nhị diện lập bởi các

mặt phẳng (B'CB) và (B'CA)

3) Tính diện tích mặt cầu nội tiếp lăng trụ

4) Tính diện tích toàn phần và thể tích của lăng trụ.(2,5đ)

47 Một lăng trụ xiên đáy là một hình thang cân ABCD nội tiếp trong

đường tròn đường kính AD = 2R với AB = BC = CD = R Mặt

bên ADD'A' là một hình chữ nhật với AA' = R và hình chiếu

H của A' xuống mặt phẳng đáy nằm trên BC kéo dài Tính

'thể tích của hình lăng trụ và diện tích của thiết diện

‘thang theo R | (2d)

—

487 Cho tam giác ABC vuông tại C Gọi 5Š là một điểm trên

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tam giác tại A

1) Chứng minh các mặt của tứ diện SABC đều vuông

2) Vã các đường cao AD, AF cia tam gidc SAB va SAC

Chiing minh rang : AF 1 mat phang (SBC)

3) Chứng minh A, B, C, D, F cùng nằm trên một mặt cầu

4) Chứng minh FD vuông góc với SB và AF, | (2,5đ)

49 Cho điểm A cố định trong mặt phẳng (P) Một điểm O

ngoài mặt phẳng (P) cách A một khoảng a V2 và cách

mặt phẳng (P) một khoảng bằng a Trong (P) có một đường

thẳng () quay quanh điểm ”A Gọi H là hình chiều của:

O trên (P) và M là hình chiếu của O trên (D)

`

này lập với đáy một góc B

2) Tim vi tri cha (D) dé OM dai nhất

tam giác vuông tại C, tổng cạnh huyền và một cạnh góc

vuông bằng m (AB + AC = m), góc ABC = a@ Qua AC

và đỉnh B` của đáy trên dựng một mặt phẳng, mặt phẳng

1) Tính diện tích thiết diện AB'C

2) Tính thể tích các phần của lãng trụ được chia ra bởi thiế

Cho hinh lang tru “ABCDA'B’ C’D’, canh bén co dé dai bang

a và nghiêng với đáy một góc ý Đáy lăng trụ là hinh thei

có gốc A= C = a Mat chéo AAC’C vuông góc với mặi phang day

1) Chửnế minh rằng mặt chéo BBD'D là hỉnh chữ nhật

2) Cho biết diện tích mặt chéo BB’D’D là 5 Tính thể tích|

Cho hinh lang tru ding ABC A,B,C, co day 14 tam giác

đều và số đo của cạnh của nó bằng a D là điểm giữa củ:

AB, E là một điểm trên cạnh A¡C; Đường thẳng DE tas véi mat phang (ABC) và tạo với mặt phẩmg (AA¡€; C) cá góc tương ứng là a va B

1) Tinh thé tích lăng trụ đã cho

2) Tính bán kính hình cầu có tâm nằm trên DE và tiếp xúj

Cho một hình lăng trụ đứng có chiều cao bang h, hai day |

hai tam giác vuông AOB và AO”B', trong đó OB = OA = các cạnh bên là AA, BB’, OO’

1) Tinh dién tich toan phdn và thể tích hình lăng trụ theo a và h

2) Gọi I là trung điểm của AB, chứng mỉnh OI vuông góc với AB’,

3) Hạ Oj vuông góc với AB Chứng minh rằng mặt phẳng

(OdJ) vuông góc với AB va OJ la một tam giác vuông

4) Tính côsin của góc phẳng của nhị diện (A, AB, O) Tính

số đo nhị diện đó khi a = h Si (3đ)

455 Cho một hình lăng trụ tam giác ABCA,B,C¡, đáy lăng trụ

là một tam giác đều, cạnh đáy bằng a, đỉnh A; có hình

chiếu trùng với tâm day ABC va canh bén AA, lap voi day

m6t gdc 45° -

Tính thể tích: và diện tích › xung quanh của hình lăng trụ (2đ)

456 Cho lang trụ tam gidc déu ABCA’B’C’ co AB = a Goi O là

tâm của đáy dưới ABC và M, N là các điểm giữa của AB

và ÁC Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm O, M, N

1) Xác định thiết điện của (P) với lăng trụ Thiết diện là hình gì 2

2) Tính diện tích thiết diện nếu biết mặt phẳng (P) nghiêng

với đáy ABC một gúc ơ (0 <z< 5):

3) Thiét dién chia lang tru thanh hai phần Tính tỉ số thể

457 Cho hình chóp tứ gidc AMNPQ, đáy là một tứ giác đều

MNP có diện tích là S Cạnh AM vuông góc với đáy, mặt

_ bên ANP lập với đáy một góc a ©

_ 1) Tính thể tích hỉnh chớp

2) Tính diện tích xung quanh hình chơp

3) Xác định œ để diện tích xung quanh bằng {3 § (2,5đ)

| 458) Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD cạnh bàng a,

giao điểm hai đường chéo la O va OB = avs Từ O dựng

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và trên đó lấy

điểm S$ sao cho SB = 5D = a

1) Chứng minh rang gdc ASC =

2) Tính diện tích toàn phần của hình chóp SABCD

3) Tính góc giữa mặt phẳng (BSA) và mặt phẳng (DSA) (3đ)

459 Cho hỉnh chớp tứ giác đều SABCD, cạnh đáy bằng bán

kinh hỉnh cẩu ngoại tiếp hình chop và bằng a (a nhỏ hon