Bài tập hình học cao cấp part 2 pot

Ta nhan thay {a, b} là một hệ vectơ độc lập tuyến tính nên chúng có thể dùng làm cơ sở cho phương của cái phẳng có số chiều bé nhất thỏa mãn các điều kiện của bài toán... Mặt khác đường

đối với mục tiêu afin {Eu; Eạ, E;, E¿} chính là tọa độ của vectơ

E,X ddi với cơ sở tương ứng của mục tiêu đó là{EoE,,E,E, ,EyE,}

ABB’A’, ABCD, ADD’A’,

Tâm Q của mặt bên BCCTB” có tọa độ là (~,1,—}

Tâm R của mặt bên A'B'ƠD' có tọa độ là (1, 1 2 }

Tam S cia mặt bên ĐCŒCT' có tọa độ là (

(x] = A*Ix] + [al

trong dé [x], [x’] lan luot 1a ma tran cét tọa độ của điểm X đối

với mục tiêu {F,;E,} và mục tiêu {E;E,}, còn [a] la ma tran toa

độ của điểm E', đối với mục tiêu {E,;E,} Dé lap công thức đổi mục tiêu ta cẩn tìm ma trận chuyển A từ mục tiêu {E,;E,} sang mục tiêu {E;E,} và sau đó ta tìm A* Ta có :

EVE, =a — 8y, —ã¿, , =ân )

Bọ Bạ = (-ay,1- ag, ,-a,}

Ta dé dang tim duge A* va lap duge công thức đổi mục tiêu là:

X2}_| —ag l-ag ag || x | 22

1.4 Trước hết ta cân tim ma trận chuyển A từ mục tiêu cũ là

{A; B, D} sang mục tiêu mới là {0; B, C}

D} ta dé dang tim dược „

độ của các vectơ ÔB, GỠ đối với cơ sở {AB, AD} Ta có :

Đo đó ta có ma trận chuyển A :

+1 A.|l? 2

21

2 2

sau đó ta tiếp tục như đã làm ở phần trên

1.5 Trong mặt phẳng añn chứa tam giác ABC, đối với mục tiêu

{A; B, C} ta tìm được tọa độ añn của các điểm sau đây :

11

= = = (0,1 =(S,5

A=(0,0), B=(1,0), C=(0,U, G tha)

Muốn tìm công thức đổi mục tiêu khi chọn mục tiêu cũ là (A;

B, C) và mục tiêu mới là {G; B, C} ta cẩn tìm ma trận chuyển A

từ mực tiêu {A; B, C} sang mục tiêu {G; B, C} Ta có :

Đối với mục tiêu {A; B, C}

trung điểm của các cạnh BC, CA,

AB lần lượt có tọa độ là tả)

0,— =, 0}

(0, 2 » G0

tiêu ở trên ta tính được tọa độ B

(x), x2) của các trung điểm nói

41

trên đối với mục tiêu mới(G; B, C} lần lượt là G, >) cễ , 0),

và tiếp tục như đã làm ở phần trên

1.6 Giả sử trong 4 điểm đã cho có ít ra là ba điểm A¡, À¿, Às

không thẳng hàng nghĩa là hai vecto A,A, va A|A, khéng cing phuong Khi đó néu 4 diém Aj, Ao, As, Ay thude một mặt phẳng

thì ta có :

IẪu =AÁLÂ; THAI Âi

hay PA, -PA, = (PA, - PA, ) +n (PA; - PA, )

c©(+u—1 PA, -’ PAZ -p PA, +PA, =6

Đặt ơi = À + T1, 0ạ=~À, 0ạ=-H, 0= 1 ta có:

đi + 0g + 0 + 0ạ =À + TỦ ~ À —h #1 = 0 trong đó có œ¿ # 0 Ngược lại giả sử ta có :

a, PA, +a,PA, +a,PA, +a,PA, =0

với Gy + Oy + 03 + Oy = 0 VA ay #0

42

Khi đó: “LPÁ; ¿ #2 BA„ +2 PA; +PÂ, =Ú

hay PÃ, -PÃI =~ LPA, - 2PA, - 2 PA, BÀ, oy dạ dạ

A,A, = -S2 PA; - 23 pay 91+ BẬT ay Oy Oy

2 (ya— —\ Ủy (@ +— ˆ

= -—2(PA, - PA, )}-—2(PA, - PA;)-— “2 (Ps ~ PA) (PAS -PA)

— đi † dạ +ơa +0, PA;

Gọi C là ma trận chuyển từ mục tiêu {O; ®,, e; } sang mục tiêu

{O; ef, ep }, tacé:

Giải hệ phương trình này ta tìm được tọa độ Œ\, x;) của điểm

M đối với mục tiêu (O; A, B) là M =Œ\, x;) = (11, 14)

43

1.8 a) Theo giá thiết ta có AM = „AB +BAD

Ta cần tìm toa độ điểm M đối với mục tiêu {C; CB, D}

b) Tương tự ta tính được M = (B,1-a) déi véi muc tiéu {B; C, A}

©) Tương tự ta tính được M = (œ,1~) đối với mục tiêu {D; C, A}

§3 1.9 Trong m-phẳng P cho trước ta có thể chọn được m+1 điểm độc lập Au Ai, , Âm Gọi B là một điểm cho trước không thuộc m- phẳng P Ta chứng minh hệ điểm :

{ Ay, Ai, Av Am» BY

là một hệ gồm m+2 điểm độc lập

Thực vậy nếu giả sử hệ điểm đó là một hệ điểm không độc lập

thì điểm B lại thuộc phẳng P là điều trái với giả thiết vì m-phẳng

P được xác định bởi m+1 điểm độc lập A„, Ai, , Am Vậy có

(n+1)phẳng Q duy nhất xác định bởi m+2 điểm độc lập

44

Áo, Ai, Áz, Âm, B, Ta cần chứng tỏ rằng phẳng Q này chứa tất

cả các điểm của phẳng P và phẳng Q này là duy nhất Ta có :

+t

Xe Qo AX=t AVA, + +t, BA + ty

Với các tham số tị, tz, ., tma trong d6 giá trị tham sé ty.) = 0

ta có phương trình tham số của phẳng P Vậy phẳng Q chứa tất cả các điểm của phẳng P Nếu có một cái phẳng Q' khác cũng là m+1

phẳng di qua điểm B và chứa phẳng P thì @ cũng chứa các điểm

Áo, Ái, Âm, B là một hệ m+3 điểm độc lập.Vậy Q† cũng được xác định bởi m+2 điểm độc lập chứa trong Q nén Q’ tring vdi Q

Cách khác Gọi T là phẳng tổng của 0-phẳng B (là 1 điểm ) và m-phẳng P cho trước Ta cóT =B+P Phẳng tổng này được xác định duy nhất và ta chỉ cần chứng minh rằng phẳng tổng T này có

Vậy có một (m+1)-phẳng T' duy nhất di qua điểm B cho trước

và qua m-phẳng P cho trước không chứa điểm đó

1.10 Ta lập phương trình tham số của m-phẳng P xác định bởi

m+1 điểm độc lap Ey, Ej, Es, ., Em (m <n) eda mục tiêu {Eo; E,}

Muốn lập phương trình tổng quát của P là cái phẳng m chiều ,

ta khử các tham số tị, te, tạ từ phương trình tham số ở trên ta

được phương trình tổng quát gồm n -m phương trình sau đây:

Xone =O

x, =O

Phương trình tham số của phẳng Q xác định bởi các đính còn

Jai Emi; Emo, - » Ey cla muc tiêu {Rụ; E;JHà :

Ke Qo Enak = trisEnaBa + + tn Enak,

Muốn lập phương trình tổng quát của phẳng Q là cái phẳng

n— m -1 chiều; ta khử các tham số tm„¿, tmạa, ., tạ từ phương trình trên đây của Q và được phương trình tổng quát gồm m phương trình sau đây :

x, =90

Xạ =0

Xm = 0

Xmat tXmyg tet X, Sl

Chú ý rằng phẳng Q là cái phẳng được xác định bởi

n+1-(n+1) điểm độc lập nên Q là cái phẳng n—m-1 chiều và được biểu thị bằng hệ phương trình gồm m+1 phương trình nêu trên

46

Khi m=n, ta c6 phẳng P chứa n+1 đỉnh Eo, Ey, ., Ex cua muc

tiêu {Eo; E¡} nên P là toàn bộ không gian añn A" Ta suy ra khi đó

sẽ không có phẳng Q nữa

1.11 Gọi P là m-phẳng xác định bởi các điểm E,, By,

mục tiêu {Eụ; E,) Đây là một hệ gồm m+1 điểm độc lập Các đỉnh

còn lại của mục tiêu là Ey» Ey -› Đụ Tương tự như đối với

E,, cha

mee?

bài 1.10 ta có phương trình tham số của m-phẳng P là :

Xe PoE, X=t, EE, +B, Ey, + + By Đụ

1.12 Ta nhan thay {a, b} là một hệ vectơ độc lập tuyến tính nên

chúng có thể dùng làm cơ sở cho phương của cái phẳng có số chiều

bé nhất thỏa mãn các điều kiện của bài toán

47

Dễ dàng thấy rằng ba vectơ MjM,,a,blà độc lập tuyến tính

vì ma trận tọa độ của chúng có một định thức cấp ba khác không

toa dé Ey (vi toa dé cilia Ey không thỏa mãn phương trình siêu

phẳng) Mặt khác đường thẳng E,E; song song với siêu phẳng này

(vi trong phương trình của siêu phẳng không chứa thành phần x;

nghĩa là phương trình siêu phẳng thỏa mãn với mọi xạ)

1.14 Gọi A, B, C là ba điểm đã cho có tọa độ sau đây ;

Hai vectơ AB, AỞ là một hệ độc lập tuyến tính vì ma trận

tọa độ của chúng có định thức cấp hai khác không - Mặt phẳng P

đi qua ba điểm A, B, C độc lập nhận AB, Alàm cặp vectơ chỉ phương

Rut gon ta có.phương trình tổng quát của mặt phẳng P là :

1.15 Dựa vào hang của phương trình tổng quát của cái phẳng đà

cho, ta biết đó là cái phẳng ba chiều (vì 5 —- 2 = 3) và do đó

phương trình tham số của nó có ba tham số

NHẬN XÉT : Do có các cách chọn tham số khác nhau nên phương trình tham số của cái phẳng đã cho có thể có các cách biểu thi

Xị =1-tị +tạ +2tg @) Xạ=_ tị+2tạ+ötg (2)

Như vậy ta được phương trình tổng quát của cái phẳng chứa dị

và d; là một siêu phẳng Đây chính là phẳng tổng của dị và dạ

CHÚ Ý: Trên đây ta đã lập phương trình tham số và phương trình

tổng quát của cái phẳng có số chiêu bé nhất chứa hai đường thẳng

dị và d; Nếu để toán chỉ yêu cầu viết phương trình của cái phẳng nào đó thì ta chỉ cần lập hoặc là phương trình tham số hoặc là

phương trình tổng quát của cái phẳng đó là di

58

1.17 a) Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d; ta dễ dang thấy rằng đường thẳng này đi qua điểm A(1, 2, 3, 4) và có vectơ chỉ phương a=(1, 1, 1, 1) Còn đối với đường thẳng d; ta có thể biến đổi phương trình tổng quát của nó thành phương trình tham số bằng cách đặt x; = 1 và ta có:

Còn trên đường thẳng d; ta có điểm B(0, —1, 0, 3) và lấy thêm

điểm B' sao cho BB'=b Ta đưa bài toán đã cho về dạng lập phương trình cái phẳng có số chiều bé nhất chứa bốn điểm A, A',

dạ đi qua điểm A và có phương xác định bởi hai vectơ a, b độc lập

'Ta khử các tham số bằng cách lấy (1) — (4) và lấy (2) — (3) ta

có phương trình tổng quát của cái phẳng cân tìm là:

54

X.-xX,+3=0 X¿ạT—Xs+1=0

b) Ta có AB = (-2,-5,2,1)

Đường thẳng AB có phương trình tham số là:

Xe đường thẳng AB © AX =tAB

x, = 1-2 X¿ =3— BE

=

Xạ =~l+ 2t X,=2+t Với siêu phdng x = 0 ta 6: x, = 1- 2t=0 >t =>

Thay giá trị của t vào phương trình tham số của đường thẳng

ta tính được tọa độ giao điểm với siêu phẳng xị = 0:

Giải hệ 4 phương trình 4 ẩn này ta được nghiệm là:

(X1, Xo, Xa, Xa) = (1, 2, 0, 0)

CHỦ Ý: -Trong không gian A* bai mặt phẳng có thể chỉ có một điểm chung duy nhất Điều này không xảy ra đối với không gian A3 vì trong A? nếu hai mặt phẳng đã có một điểm chung thì chúng

sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy

1.19 Các hệ phương trình tìm điểm chung và tìm phương chung

của hai cái phẳng P và Q đều vô nghiệm Do đó hai cái phẳng P

và Q chéo nhau vì chúng không có điểm chung và không có

Phang A cé phuong 1a V* va phdng A’ cé phuong V"*-' Ta

hãy xét điểm chung và phương chung cia hai cai phdng A va A’

Trước hết ta nhận thấy rằng A và A' không có điểm chung tức là

Á m:A' =Ø ,.Thực vậy giả sử A A' # Ø, khi đó ta có:

dim (A+A’) = dim A + dimA’ - dim(A 1 A’)

=m-1-dim(An A’)

Ta suy ra dim(A Á) = -1 là vô lí Do đó A ¬ A’ = © Néu

An A' = Ø thì công thức về số chiều của phẳng tổng sẽ được

nghiệm đúng

56

CHÚ Ý: Nếu N có số điểm độc lập ít hơn k+1 và N' có số điểm độc

lập ít hơn m — k thì ta vẫn có thể lấy phẳng A và A' như trên Bây giờ ta cần chứng minh VỀ nv™*! <6

Gia sé VS AV" 40 Khi dé có vectơ x #Ô và xe VỀ rýV

Ta suy ra x= 0 Vay VinV™*-! 26

và do đó A và A' là hai cái phẳng chéo nhau

57

NHẬN XÉT Từ bài toán này ta rút ra một hệ qủa trực tiếp là có thể xác định được hai cái phẳng chéo nhau từ một hệ điểm độc lập của khéng gian afin A”

Lién hé trong A*: bốn điểm độc lập trong A” tạo thành một tứ điện Khi đó các cặp đường thẳng qua hai hệ điểm phân biệt là chéo nhau

1.21 A? song song với A' nghĩa là AP ¬ AT" = Ø và V"?c VI

A® song song véi A’ nghia la A? A" = Ø và V1 c Vr,

Ta biết rằng phẳng giao A"¬ A" có phương VP¬ V*

Vì W*c VF và V1 c V' nên V* V1 c V7

APOAT=6

wi ® = (AP AANA =

AINA’ =@

Vậy phẳng giao AP¬ A1 nếu có là cái phẳng song song với A'

vì (AP ¬A*%) AT = va VOW CV

1.22 Gọi phương của các siêu phẳng A, A’, o lan luot là V, V' và

V* Ta biết rằng giao của hai siêu phẳng nếu có là một (n-2)-

phẳng Ta có:

AA'= A"Ê có phương là V"?

Ana=A™? có phương là V”?

Ai5a= A*?"? có phương là V?-?

“Theo giả thiết Á ¬ A' song song với ø nên

V¬aVWVcV:

Dodd VAV AVC VaAWw

=VnVcVaV

=> Wee yr?

Hai không gian có cùng sé chiéulan—-2nén V"? sv"?

58

Mặt khác ta chứng minh được A°"?¬ A””'°= Ø

Thực vậy giả sử có một điểm M e A”?^ A""'? thì ta suy ra MeAvàMeAnềnMeAA, đồng thời M e œ Vậy

Me ANA a 1A diéu trai voi giả thiết Vậy A" ?¬ A""*= Ø

và hai cái phẳng đó song song với nhau

1.28 Ta gọi V°, V* lần lượt là phương của hai cái phẳng A? và A*

Dựa vào phương trình tổng quát cho trước của A? va A‘ trong không gian añn A" ta suy ra phương V? và V' lần lượt được xác

định bởi các hệ phương trình sau đây:

"

wv, Yayx; =0, i=1,3, „ n—p.()

jal

Theo giả thiết, (2) là hệ quả của (1) nghĩa là nếu xeVP thì

xeV', Điều đó có nghĩa là V? c V1 tức là A" cùng phương với A*

Ngược lại nếu ÁP cùng phương với A" tức là V? c V1, khi đó ta

có hệ phương trình (2) là hệ quả của hệ phương trình (1)

1.24 Ta viết phương trình tham số của đường thẳng AB rồi tìm giao điểm của đường thẳng AB đó với các siêu phẳng tọa độ

a) Ta có A(4, 3,~1, 2), B(—1, 2, 1, ð)

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương AB = (—5,—1,2,3)

Do đó ta có phương trình tham số của đường thẳng AB là:

* Với siêu phẳng x; = 0 ta có tọa độ giao điểm là:

(Xi, X;, Xạ, X¿) = (—11,0,5,11)

« Với siêu phẳng xạ = 0 ta có tọa độ giao điểm là:

35 7

(1, Ma, Xa, X4) = rare,

« Với siêu phang x, = 0 ta có tọa độ giao điểm là:

22 11 7

(XI, Xu, Xg, Xã) = (=, 1y Xø, Xã, Xã) = ( 3873 5,0)

b) Tương tự như câu a) ta có: AB = (2,3,-5,3)

Đường thẳng AB có phương trình tham số là:

Bây giờ ta lập phương trình tham số của hai đường thẳng AB

và CD Đường thắng AB có phương trình tham số là:

x, =4- 4t

60

Đường thẳng CD có phương trình tham số là:

Từ (2) ta tính được t =-5- Thay gid tri nay cia t vao (3) ta

tinh duge u =8: Thay các giá trị này của t và u vào (1) và (4) ta

thấy hai vế không bằng nhau Vậy hai đường thẳng AB và GD

không có điểm chung Mặt khác chúng không cùng phương nên AB

và CD là hai đường thẳng chéo nhau

b) Ta c6 AB = (9, ~3,9,~8)

CD = (6,-3,~6,15)

Ta nhận thấy hai đường thắng AB và CD không cùng phương Lập phương trình tham số của đường thẳng AB và đường thẳng CD, rổi tìm tọa độ giao điểm của AB và CD ta có hệ