Bài tập hình học cao cấp part 5 pot

Vậy hệ phương trình có nghiệm đuy nhất và đó là các tọa độ của vectơ b,... Căn cứ vào việc xét phương chung và điểm chung của hai phẳng P, Q ta kết luận hai cái phẳng đó chéo nhau và vuô

{by,b,, ,b, } sao cho a,-b, = 8, v6ii,j=1,2, , 0

Néu vecto x có tọa độ (X1, X2, , Xa) đối với cơ sở {a, )và vectơ y có tọa độ (yị, ya, vụ) đối với eơ sở {bị phi :

X=X;ai ty, + +tx cau = 1A, + Xp Ay xa 1

hay X.Y = mys + Xoy2 + + Xn Vi a,

j= A, ayby +a, -agby + 4+4, Bin = 8g;

Hệ phương trình trên gồm có n phương trình và n ấn Di bj,

+» bạ Ta có định thức các hệ số là định thức Gram |G) Vi he {a, } độc lập tuyến tính nên theo kết quá bài 2.1 ta có |G| > 0 nghĩa là

|G| z 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm đuy nhất và đó là các tọa

độ của vectơ b, Lí luận tương tự đối với các vectơ b, con lai ta

xác định được hệ vectơ { b,,bạ, ,b, } sao cho

151

Nếu gọi ma trận toa độ của hệ vectơ a, đối với một cơ sở trực

chuẩn là À và gọi ma trận tọa độ của hệ vectơ bị cũng đối với cơ

sở trực chuẩn đó là B thì ta có :

B=I=SB=A"

|AI # 0 nên |A | # 0 và ỊB1 # 0 Do đó hệ vectơ

„ } độc lập tuyến tính và phần tiếp theo làm theo cách

2.18.Đối với cơ sở trực chuẩn {e, } trong V2, mdi vecta đơn vị e

được biểu thị như sau :

se + Xô toe +X,»

Dién tich hinh binh hanh ABME bing :

AB AB| = |AB ~ GD] = |GF a CDI

Gọi V là thể tích hình hộp ABMECFND va AH là chiều cao

của hình hộp đó Ta có :

152

V = |AB~CD|.AH

Mặt khác ta có :V = (AB » AE).AG = (AB , GD).AG

Gọi gø= ẤB^ ÄÊ ta có |g| = diện tích hình bình hành ABME

Do đó: V = |(ABA AE).AỞ| = |g.AC| = |g |JAG lcoso với ọ là góc giữa AÖ và ø Khi đoạn CD di động trên đường thẳng d; ta luôn

luôn có AH = ACeoso trong đó AC và ọ thay đổi còn AH chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d, va dy Khoảng

cách này là một số không đổi Do đó khi AB và CD đi động trên d;

và d; thì hình hộp ABMECFND có thể tích không đổi Ta biết

2.1ð.Với bốn điểm A, B, C, D tùy ý trong EỂ ta luôn luôn có

AB.CD + AG.DH + AD.BG =

= AB.(AD - AC) + AC.(AB - AD) + AD.(AG - AB)

\D - AB.AC + AC.AB - AG.AD + AD.AE - ÄD.ÄB - 0 Vậy AB.CD+ ACDB+ AD.B =0

Từ kết quả trên ta suy ra nếu 4 điểm A, B, C, D phan biét

153

đó ta suy ra :

a) Cho tam giác ABC, Nếu hai đường ¿ao xuất phát từ B và C

cắt nhau tại D thì đường cao xuất phát từ A cũng đi qua D.,

b) Nếu một tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện là

AB 1 CD và AC L ĐB thì ta có cặp cạnh đối diện còn lại AD 1 8C 2.16.Ta có d(AD) < d(AB) + d(BD)

đ(AD) < d(AO) + đ(CD})

d(BC) < d(BA) + d(AC)

a&(BC) < d(BD) + d(DC)

2[d(AD) + d(BC)] < 2{d(AB) + d(CD) + d(AC) + d(BD)]

Do đó d(AD) + d(BC) < d(AB) + d(CD) + d(AC) + d(BD)

§4, §5 9.17.a)Siêu phẳng P trong không gian ỞcHit E" có phương trình:

xu) và khác với M, ta có MÃ = (x — mị, X; — mạ, ., Xe — Hạ)

Như vậy vectơ MX thuộc phương của siêu phẳng P

Đẳng thức (3) ở trên chứng tô rằng a.MX = 0

Vậy vectơ a = (a, ag, ., an) luôn luôn vuông góc với mọi vectd

MX của phương siêu phẳng Như vậy nếu biết phương trình của siêu phẳng là ‘a,x, +b = 0 thi ta dé dang suy ra vecto phap tuyén

i1

184

a của siêu phẳng đó có tọa độ là (ai, aa, , aạ)

b) Đường thẳng d đi qua điểm M( Xị, X), X9 ) và vưông góc với

siêu phẳng P sẽ nhận vectơ pháp tuyến a cia siêu phẳng làm

vectơ chỉ phương Do đó :

XePe© MX-=ta

Ta có phương trình tham số của đường thẳng d la:

Xị = tại + X? với l = 1,2, ,n

Ta suy ra phương trình tổng quát bằng cách khử tham số t

trong phương trình trên ta có :

2.18.Giả sử m-phẳng P có phương trình tổng quát đối với một muc tiêu trực chuẩn cho trước là :

Ð)ayx, thị =0,1= 1,9, ., nam iat q)

a) Giả sử M, = (x?,x;, ,x? ) là một điểm cố định nào đó của

m-phẳng P Vì Mạ e P nên ta có :

Ð;a/xJ +b, =0,i= 1, 2, nem (3)

ia

155

Nếu gọi M là một điểm bất kì của m-phẳng P với M # M, va

giá sử M có tọa độ là (xị, xạ, ., xa) thì tọa độ của M sẽ thỏa mãn

phương trình của m-phẳng P nghĩa là thỏa mãn phương trình (1)

Từ (1) và (2) ta suy ra :

3ay(X, - xj) =0, ï =1/2, , nam :.8)

ia

Hệ phương trình (3) chứng tỏ rằng n-m vectơ:

a, = (a, a2, ., Ain), i= 1, 2, , nam

1a hé n-m vecta déc lap tuyén tinh va méi vecto a, déu vudng géc véi vecto MM = (x, —x°,X) —X9, 4X, — x,) thuộc phương V" của

m-phẳng P Vay n-m vectơ độc lập {a,,a;, a, „ )là cơ sở của phương bù vuông góc với phương V" của phẳng P

b) Gọi Q là cái phẳng đi qua điểm C(c›, cạ, ,c„) và bù vuông góc với m-phẳng P đã cho Phẳng Q này nhận n-m vecto a, lam

cơ sở nên có phương trình tham số là :

X(Œx) e Q© ỞÄ = ta, +tya, + +tu „va

là hai veetơ độc lập tuyến tinh (vì ma trận tọa độ có hạng bằng 2)

tạo nên phương của phẳng P có số chiều bé nhất chứa A, B và

chứa phương p Ta có phương trình tham số của P là :

2.20.Gọi Vf và V1 lần lượt là phương của P và Q Dựa vào phương

trình tham số của chúng ta tìm các vectơ cơ sở của V? và V% Ta có

thể viết phương trình tham số của P như sau :

Hệ phương trình này gồm có 4 phương trình độc lập và chỉ có

3 ẩn nên vô nghiệm Vậy hai phẳng P và Q không có điểm chung

nghĩa là P Q = Ø Căn cứ vào việc xét phương chung và điểm

chung của hai phẳng P, Q ta kết luận hai cái phẳng đó chéo nhau

và vuông góc với nhau

2.21Gọi V7 và V° lần lượt là phương của R và S Ta có a= (1, -1,3,1) 1A vecto pháp tuyến của siêu phẳng R Do dé mọi

vecto x ma x.a=0 déu thudc V

Từ phương trình tổng quát của S ta có hệ vectơ:

Vậy các vectơ b,é,d đều vuông góc với vectơ pháp tuyến a của siêu phẳng R nên b,c,d e V' với dimV' = 3 Do đó V' bù vuông góc với V° Như vậy R và § là hai cái phẳng bù vuông góc với nhau nên chúng có một điểm chung duy nhất M Ta hãy tìm tọa độ điểm chung M đó bằng cách giải hệ phương trình sau:

9.23 Trong không gian E" cho hai siêu phẳng P và P song song

với nhau và lần lượt có phương trình là :

(ŒP): Yapx; +b=0

isl

160

(P’): Ma x, +b'=0 véibzb

¡1 Lấy một điểm M e P và giả sử M có tọa độ là :

2.24.a) Gọi P là mặt phẳng cho trước có phương trình

2xị— 2x; + ðx; - 68 = 0

dŒ,P)=

Ta lập phương trình đường M(1.23) thẳng d đi qua điểm M(1,2,3)

Gọi (x;,x;,x) là tọa độ của điểm MỸ đối xứng với M qua P và

vì H là trung điểm của đoạn MM nên ta có :

Đường thắng này có vectơ chỉ phương a = (1,3, -1)

Mặt phẳng R đi qua M(1,3,3) và vuông góc với đường thẳng A

nên có phương trình dạng :

Xị + 3X; — xạ +b= 0,

Vi M(1,2,3) « R nén tacé:1+6-3+b=0>b 4

Vay mặt phẳng R có phương trình là : xị + 3x; — xạ — 4 = 0 Đường thẳng A có phương trình tham số là :

thẳng A Muốn tìm giao điểm

RE ta giải phương trình sau:

điểm MỈ đối xứng của M đối với đường thẳng A Vì K là trung điểm

của đoạn MMÏ nên ta có :

2.25.Chiéu cao của tứ điện hạ từ đỉnh D tới mặt phẳng ABC chính

là khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng ABC

Với tọa độ trực chuẩn của các điểm A,B,C đã cho ta lập được phương trình mặt phẳng (ABC) là :

ng meng fe +X, +2x,-3=0

nhận vectơ chỉ phương v có tọa độ là :

- 1 11 2|2 1Ì

= : › = (1, =1, =1

Gọi P là mặt phẳng đi qua

điểm M(1,3,5) cho trước và nhận

Gọi H là giao điểm của P và

đường thẳng d Tọa độ giao

điểm H = Pa d thỏa mãn hệ phương trình sau đây :

164

d thuộc đường thẳng d, tọa độ của điểm

1 thỏa mãn phương trình của d, thí

2.27 a) Đường thẳng d; đi qua điểm A(3,1,2) và nhận vectơ

a = (1,-1,-2) lam vects chi phuong Đường thẳng d; đi qua điểm

b = (-1,3,3) lam vectơ chỉ

phương

Gọi B là mặt phẳng chứa

d; và song song với dị Mặt

phẳng B đi qua điểm B(0,2,0)

Từ đó ta lập được phương trình của mặt phẳng § là :

Ta lấy p' =-p làm vectơ chỉ phương của đường thắng mạ và ta

có p' = (1,3,7) Đường thẳng mạ đi qua điểm R(3,6,0) và nhận vectơ r làm vectơ chỉ phương Ta có :

[lo-0-2~24) 16 V100+1+1 v102

NHẬN XÉT Ta có thể tính khoảng cách giữa mị và my bằng công

l+t = 1 t,=0 l+t,+t, = 1 t, +t, =0

=

1-t,-t, = L¥u —t, -t, =u

1-t = 2-u |rt=1-u

Hệ phương trình vô nghiệm vì nếu cộng từng vế ta có 0 = 1 là

vô lí Vậy đường thẳng d và mặt phẳng P không có điểm chung và

không có phương chung, nên chúng chéo nhau

NHẬN XÉT Sau khi khử các tham số ở phương trình tham số của P

ta được phương trình tổng quát của P là :

Sau đó ta lập hệ phương trình gồm (1) và (2) để tìm điểm

chung và thấy rằng hệ phương trìng này vô nghiệm nghĩa là Pnad=ø

b) Muốn lập phương trình đường vuông góc chung lJ trong đó

1 < đ và j e P ta hãy tìm phương của đường thẳng IJ Gọi Q là siêu phẳng chứa đường thẳng d và có phương chứa phương của mặt

(Q): xr + Xp + Xa + yy - 5 = 0,

Siêu phẳng Q có vectơ pháp tuyến là n = (1,1,1,1) Vectơ n này chính là vectơ chỉ phương của đường vuông gée chung IJ va ta

có lJ 1P và JJ L d

Bây giờ ta lập phương trình siêu phẳng R chứa P và bù vuông

góc với d Như vậy R có phương chứa phương của lJ Ta biết rằng

đ và R bù vuông góc sẽ có một điểm chung duy nhất là I

Goi J =PolIJ ta cé:

rete 3atee

2 rete atae

2 Vay diém J cé toa độ là: 335

Á = (ai, 8a, ., ân)

B = (bi, by, ., ba)

Quỹ tích hay tập hợp những điểm X(xị, x¿, , xạ) có tính chất

cách đều hai điểm A, B phân biệt thỏa mãn điều kiện :

Đây là phương trình của một siêu phẳng có dạng Ð)œx,tP=0 trong đó các œ; không đồng thời bằng 0 vi A # B

của đoạn AB là với ¡ = 1,2, ., n thỏa mãn phương trình

của siêu phẳng đó Ta gọi tập hợp này là siêu phẳng trung trực

của đoạn AB

b) Trong E" giá sử ba điểm A, B, C độc lập có tọa độ trực

chuẩn là:

A= (a1, aa, - , an)

B = (bi, by, ., by)

C = (ey, 2, « , Cn)

Ấp dụng kết quả câu a của bài 3.29 ta có phương trình siêu

phẳng trưng trực của đoạn AB là :

Vậy quỹ tích những điểm cách đều ba điểm A, B, € độc lập

cho trước là một (n-2)- phẳng có phương trình sau đây :

171

là:

d=ax*n

2.30 Ấp dụng định lí Pitago ta tính được độ dài d của đường chéo

2.81 Ta lập được phương trình của siêu phẳng P đi qua các điểm

Ái, Aa, An đã cho là :

2.32 Trước hết ta lập phương trình siêu phẳng P chứa đơn hình

(Ej, Ey, ., E,) :

E,X =t,E\E, +t,E,E, + +t, E,E,

Từ đó ta có phương trình tổng quát của siêu phẳng P là :

a

G Vì đường thẳng có phương là phương của vectơ pháp tuyến của siêu phẳng Bây giờ ta cần chứng mình đường thẳng E„Œ đi qua điểm E; Đường thẳng E,G có phương trình tổng quát là:

Xp = XQ = Xe

Giả sử điểm E; có tọa độ đối với mục tiêu {E,; E;} 1a:

độ = (a1, ag, ., an)

Ta cần chứng minh ai = a; = = a, tuic là điểm tụ thuộc đường thẳng E,G Ta có :

Vậy điểm E/ thuộc đường thẳng E,G hay đường thẳng E,E¿ đi

qua trọng tâm G eda don hinh (Ej, Eo, ., E,)

Theo kết quả ở phần trên ta có :

NHẬN XÉT Ta có thể tìm tọa độ điểm E; như trên rổi viết phương

trình đường thẳng E,E; như sau :

GE, +GE, + +GE, =6

Ta nhận thấy tọa độ của G théa man phương trình trên

Vậy G là trọng tâm của đơn hình (E¡, Bạ, E„)

— với mọi ¡ ta có thể sử dụng Mặt khác để chứng tổ rằng a,

©l~a¡+ aj= 1< ai = a; với mọi j = thay vào (1) ta có 4

2.33 a)Giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn {E„; Ej} các điểm A; với i=1/2, , n có tọa độ trực chuẩn là :

3 -2 0|

1 0 1z0 -2 -1 0

Giả sử a = (au,As,aa,a;)

là vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung cân tìm Ta có :

AB.a=0 © -3a,; - 2a, +2a, =0

PQ.a= 0 © ai taa —a¿ =0

PR.a= 0 ©-2a¡ -a;+ay =0

Giải hệ phương trình trên ta tính được a= (0,1,1,D

Goi a là siêu phẩng chứa mặt phẳng (PQR) va chứa đường vuông góc chung A Ta có œ là cái phẳng 3 chiều và có phương trình tham số là :

K, =2+t,-2t, (1)

Xp =1-t,+tg (2) L+t, +tg (3)

Xy~1 -2 Xg =1~2t

=t o

Gọi H là giao điểm của đường thẳng AB với siêu phẳng œ Tọa

độ của H thỏa mãn phương trình sau :

(A): {2

Xạ =l+t

X¿ =l+t

Ta nhận thấy điểm H chính là điểm A cho trước

2.35 Đường thẳng d vuông góc với siêu phẳng œ trong E" nên d và

d œ là hai cái phẳng bù trực giao

Vì AMed va MBea nên AMMB = 0 vì đvà œ là hai

không gian vectơ bù trực giao với nhau Vậy :

d(A,B} = d(M,A)? + đM,B} (định lí Pitago)

178

2-36 Nếu m-phẳng œ và k-phẳng B bi vuông góc với nhau thì theo định nghĩa ta có œ ®ỗ = E Ap dựng định lí về số chiêu với tổng

các không gian vectơ con œ, ta có m + k= n

Ngược lại nếu n = m + k thi cũng do định lí về số chiều đó, ta

suy ra dim(œ +) =m + k= n vì œOB=0 Do đó œ và] bù trực giao tức là hai cái phẳng œ và B bù vuông góc với nhau

Chủ thích : œ@B = E* là kí hiệu chứng tổ rằng không gian vectơ Oclit E* có tổng trực tiếp là hai không gian vectơ Ơclit con

œ vài

2.37 a) Vi a song song với § và đimo < dimB nên ta cé & cỗ và a8 = Trong không gian vectơ œ+ lấy không gian con đ bù trực giao với B

Đường thẳng d đi qua điểm A #% Ạ CÀ —

bất kì thuộc œ và có phương d bù

vuông góc với phẳng ÿ trong d

không gian œ + B nên có giao với

B tại một điểm H duy nhất Ta có

d(A,H) = đ(œ,8)

Thực vậy nếu M là một điểm

tùy ý của B thì

4(A,MỸ = (AH + HM)? = d(A,H)? + đ(H,MÙ

Do đó d(A,H) = min d(A,M)

Mặt khác vì œ song song với § nên đường thẳng đ cũng trực

giao với œ và ta cũng có d(H, œ) = mín d(H,A) véi moi A’ # A

Lí luận trên đây cũng đúng với mọi điểm A e œ và ta có :

d(a,B) = d(A,H) = d(A, B) với mọi A e ơ,

- b)Nếu œ và § chéo nhau hoàn toàn nghĩa là œ B = Ø và

@OB=0 thì khi đó có một đường vuông góc chung AB duy nhất

với Á e œ và B e B và ta có đ(A,B}= d(œ,B)

179