Tiếp tuyến với đường tròn tại điểm A và điểm M cắt nhau tại C.. CM cắt AB tại D.. a Chứng minh rằng BM song song với OC b Tính diện tích tam giác ACD.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
AN GIANG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS
Năm học 2013-2014
Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi: 15/3/2014
Bài 1 (3đ) Tính
Bài 2 (4đ) Cho đa thức 5 2 2
a) Hãy phân tích đa thức P(x) – g(x) thành tích các nhân tử
b) Chứng tỏ rằng nếu x là số nguyên thì P(x) luôn chia hết cho 5
Bài 3 (4,0 đ)
Cho x ;x 1 2 0;1
a) Chứng minh rằng 2 2
b) Chứng minh rằng : 2 2 2
1 x x 4 x x
Bài 4(4,0 đ)
Cho hệ phương trình
3 1 x 5y 5 3
a) Giải hệ phương trình
b) Tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x; y nhận 1 nghiệm là nghiệm của hệ phương trình đã cho và một nghiệm là (0;0)
Bài 5 (5,0 đ)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 4 cm Lấy một điểm M trên đường tròn sao cho 0
BAM 30 Tiếp tuyến với đường tròn tại điểm A và điểm M cắt nhau tại
C CM cắt AB tại D
a) Chứng minh rằng BM song song với OC
b) Tính diện tích tam giác ACD
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI AN GIANG NĂM 2013-2014 Bài 1.
n n 1
n n 1
1 100 11
Bài 2
2a.
2
P(x) x x;g(x) x 4 x 1 x
P(x) g(x) x x x 4 x 1 x
x x x 5x 4 x
x x x 5x 4x 5x 5x
5x x 1 5x(x 1)(x 1)
Vậy P(x) 5x(x 1)(x 1)
2b.
Theo trên P(x) g(x) 5x(x 1)(x 1) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên x
Mặt khác 2 2
nguyên liên tiếp g(x) chia hết cho 5
P(x) g(x) 5x(x 1) luôn chia hết cho 5
Câu 3
Do x 1 0;1 x 1 1 0; 3x 1 1 0
Vậy 2 2
Trang 3Hay 2
1 x 4x dấu bằng xảy ra khi x 1 1
3b
x , x 0;1 x x ;x x
Ta được 2 2
Xét
2
1 2 x x x x 4 x x
Vậy 2 2 2
1 x x 4 x x
Dấu “=” xảy ra khi
2
1 1 2
1 2
x x
1 x x 0
hoặc x 1 1;x 2 0
Câu 4
4a.
3 1 x 5y 5 3
5x 15y 5 15
3 3 x 15y 15 3 3
5x 15y 5 15
(5 3 3)x 5 3 3
5x 15y 5 15
5 3 3
x
2 3
x 1 3
5(1 3) 15y 5 15
x 1 3
Trang 44b Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax by c
Phương trình có nghiệm (0;0) suy ra c = 0
Phương trình có nghiệm 1 3; 1 5 a 1 3 b 1 5 0
Ta có nhiều phương trình như thế nên có thể chọn a 1 5;b 1 3 vậy một phương trình thỏa đề bài đó là: 1 5 x 1 3 y 0
Câu 5
D
C
M
B O
A
5a
Theo đề bài ta có 0
BAM 30 , tam giác AMB vuông tại M (do góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 0
MBO 60 (*)
Tam giác MOB cân có 0
B 60 nên tam giác MOB đều 0
AOM 120
CA, CM là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ điểm C nên CO là đường phân giác của góc ACM , hay CO là phân giác của góc 0
AOM COA 60 (**)
Từ (*) và (**) suy ra BM song song OC ( góc đồng vị)
5b
Nhận xét: Ba tam giác OAC, OMC và OMB là ba tam giác vuông bằng nhau do có một cạnh góc vuong bằng nhau và một góc nhọn bằng nhau vậy S ACD 3S ACO
Tam giác ACO vuông có cạnh góc vuông OA = 2 cm ;
AOC 60 AC OA tan 60 2 3
ACO
Vậy diện tích tam giác ACD là 2
ACD
S 6 3 (cm )