037 đề hsg toán 9 hà giang 2017 2018

Cho ABC vuông cân tại A.. Gọi D là trung điểm BC.. Gọi N P, theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB AC, và H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD.. Đường thẳng q

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ GIANG

NĂM HỌC 2017 – 2018

Câu 1.

a Cho x  4  7  4  7 Tính  4 3 2 2017

b Cho a b, ,c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau

Chứng minh rằng:  2  2  2

A

   là bình phương của một

số hữu tỉ

Câu 2.

a Giải phương trình: 2 2

6

x  x  x  x 

b Cho P x( ) x2 ax b với a b N,  Biết P 1  2017 Tính P 3 P 1

Câu 3. Tìm các số nguyên dương n sao cho n4 n3  1 là số chính phương

Câu 4. Cho a b , ,c 0 Chúng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

2

a b c

Câu 5. Cho ABC vuông cân tại A Gọi D là trung điểm BC Lấy M bất kỳ

trên cạnhAD,M A D,  Gọi N P, theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB AC, và H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD

a Chứng mính AH BH

b Đường thẳng qua B, song song với AD cắt đường trung trực của AB

tại I

Chứng minh ba điểm H N I, , thẳng hàng

…………HẾT………….

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.

a Ta có: x 2  8 2 7   8 2 7   7 1    7 1    2  x 2

Vậy A 1

b Ta có:

2

a b b c c a

2

a b b c

.

Câu 2.

a ĐKXĐ: x 1; 3

2

x 

Xét x 0 không là nghiệm

Xét x 0, phương trình đã cho tương đương với

6

2x 5 2x 1

Đặt 2x 5 3 t

x

   ta được 2 13 6

6

t t 

2

2t 7t 4 0

     2 1t  t 4  0 1

2 4

t t















Với 1

2

t  2 5 3 1

2

x x

3 4 2

x x















Với t 4 2x 5 3 4

x

     2x2  x  3 0 vô nghiệm

Vậy phương trình có tập nghiệm là 3;2

4

S 

 

b Vì P 1  2017  2017 1 a b    a b  2016.

Do đó P 3 P 1  9 3  a b   1  a b  10 2 a b     4042.

Câu 3.

Đặt A n 4 n3  1.

Với n 1 thì A 3 không thỏa mãn

Với n 2 ta có 4A 4n4  4n3  4.

Xét 4A 2n2  n 12  3n2  2n  3 0  4A2n2  n 1 2

Xét  2 2 2

Vậy 4A2n2 n2  n 2.

Với n 2 thì A 25 thỏa mãn bài toán

Câu 4.

Áp dụng bất đăngt thức Cauchy ta có

2 2 2 2 2 2

2

bc ca ca ab ab bc

a b c

        

Dấu bằng xảy ra khi a b c 

Câu 5.

E H

N

P

D

C

M

a Đường thẳng qua B song song với AC cắt tia PD tại E.

Ta có BE PC BN  suy ra BEN vuông cân tại B.

Do NBE NHE   90 0 nên B H, cùng thuộc đường tròn đường khính NE.

Suy ra   0

45

Tương tự hai điểm A H, cùng thuộc đường tròn đường kính PN suy ra

Từ (1) và (2) suy ra AHB 90 0 hay AH BH.

b Từ giả thiết suy ra  0

90

của đường tròn đường kính AB.

Mặt khác, theo kết quả câu a thì tia HN là tia phân giác của AHB và

AHB là góc nội tiếp chắn cung AIB của đường tròn đường kính AB nên

HN phải đi qua I. Do đó ba điểm H N I, , thẳng hàng