080 đề hsg toán 9 đồng nai 2013 2014

Gọi O là đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với hai cạnh AB, AC lần lượt tại D, E.. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng OB và DE, gọi N là giao điểm của hai đường thẳn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐỒNG NAI

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : Toán

Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi: 04/4/2014

Câu 1 (4 điểm)

Tìm các số thực x thỏa 4 3 2

x  2x  x  2x 1 0  

Câu 2 (4 điểm)

Giải hệ phương trình:

3

3

x 2y 1

y 2x 1

  





 



Câu 3 (4 điểm)

Cho m và n là hai số nguyên dương lẻ thỏa  

2

2













1) Hãy tìm một cặp gồm hai số nguyên dương lẻ m;n thỏa các điều kiện đã cho với m  1 và n  1

2) Chứng minh  2 2 

m  n  2 4mn 

Câu 4 (4 điểm)

1) Tính số các ước dương của số 1000

2) Tính số các ước dương chẵn của số 1000

Câu 5 (4 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc CAB, ABC, BCA   đều là góc nhọn Gọi (O) là đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với hai cạnh AB, AC lần lượt tại D, E Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng OB và DE, gọi N là giao điểm của hai đường thẳng OC và DE

Chứng minh bốn điểm B, C, M, N cùng thuộc một đường tròn

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9 ĐỒNG NAI 2013-2014 Câu 1.

Chia 2 vế cho 2

x ta được:

      

2

2

1

x

1

x

    (1) hoặc x 1 1 2

x

   (2) Giải (1) ta được

1 2 2 2 1

x

2

2

 Giải (2) vô nghiệm

Vậy chỉ có hai giá trị của x ở (3) thỏa bài toán

Câu 2

   

3

3







y x (1)

  hoặc 2 2

x  y  xy 2   0 (2)

Với y = - x Khi đó 3    2 

x  2x 1    0 x 1 x   x 1   0

  hoặc 2

x  x 1   0(3)

Khi x =  1 thì y  1

Giải (3) ta được x 1 5

2



 hoặc x 1 5

2





Với x 1 5 y 1 5

Với x 1 5 y 1 5

y 3y

     

Hệ đã cho có 3 nghiệm như trên

Câu 3

3.1 Với m = 11 và n = 41 thỏa các điều kiện của bài toán

Vì khi đó 2

m   2 123 41  và 2

n   2 1683 11 

3.2 Vì 2

m   2 n mà 2

n n  nên  2 2 

m  n  2 n (1)  Tương tự  2 2 

m  n  2 m (2) 

Gọi d là ước chung lớn nhất của m và n 2 2

m n d

Theo chứng minh trên  2 2   2 2 

m  n  2 m   m  n  2 d   2 d 

d 1(3)

  ; nếu d lớn hơn 1 thì d = 2 mâu thuẫn với m và n lẻ

Từ (1), (2) , (3) suy ra  2 2 

m  n  2 mn  Cuối cùng vì m lẻ nên m  2k 1  (với k   ) 2

Tương tự 2

n  4l(l 1) 1   (với l   )

Suy ra  2 2 

m  n  2 4  Từ đó có điều phải chứng minh

Câu 4.

4.1 Ta có 3 3

1000  2 5

Gọi k là một ước dương của 1000 Suy ra n m

k  2 5 với n, m   thỏa n  3 và m  3 Vậy số ước dương của 1000 là 4.4=16

4.2 Gọi k là một ước dương chẵn của 1000 Suy ra n m

k  2 5 với n, m  thỏa

1   n 3 và m  3

Vậy số ước dương chẵn của 1000 là 3.4=12

Câu 5.

O

N

M E

D

A

B

C

Theo giả thiết AD = AE  ADE cân tại A   0 1 

CEM AED 90 BAC

2

COM OBC OCB 90 BAC

2

Vậy CEM COM  COEM là tứ giác nội tiếp

Theo giả thiết OE  AC từ đó BM  CM

Tương tự CN  BN  BCMN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC