Bài 1 phân thức đại số tính chất cơ bản của phân thức

TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết được phân thức đại số, hai phân thức bằng nhau.. + Xác định được các tính chất cơ bản của phân thức đại số.. LÍ THUYẾT TRỌ

Trang 1

CHƯƠNG 2: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ BÀI 1: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nhận biết được phân thức đại số, hai phân thức bằng nhau

+ Xác định được các tính chất cơ bản của phân thức đại số

 Kĩ năng

+ Biết cách tìm điều kiện của biến để giá trị một phân thức được xác định

+ Biết cách nhận biết được những trường hợp cần đổi dấu và thành thạo việc đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung của tử và mẫu

+ Biết cách viết công thức đối của một phân thức, thành thạo quy tắc đổi dấu và quy tắc trừ phân thức đại số

+ Tính được giá trị biểu thức hay phân thức

+ Biết cách tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ

nhất) của biểu thức, tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước, tìm điều kiện để phép chia hết

Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa

- Một phân thức đại số (phân thức) là một biểu thức dạng A

B (A gọi là tử thức, B gọi là mẫu thức).

Trong đó: A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.

- Mỗi đa thức cũng được coi là như một phân thức với mẫu

thức bằng 1

- Số 0, số 1 cũng là những phân thức đại số

Tính chất cơ bản của phân thức

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa

thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã

cho

0

A A M

M

B B M 

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử

chung của chúng thì được một phân thức mới bằng phân thức

đã cho

:

A A N

N

B B N  và N là nhân tử chung của A, B).

Ví dụ:

55.2 10

1 3

;

2 2 3 3 6

x



1 2 2

x

  



Hai phân thức bằng nhau

- Hai phân thức A

B và

C

D gọi là bằng nhau nếu A D B C.  .

A D B C

Ví dụ:

1

x

x x  với x 1 vì 1 .x x  1x x.  1 

Quy tắc đổi dấu

- Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một

phân thức bằng phân thức đã cho

 

Ví dụ:







SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Trang 3

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải

Lựa chọn 1 trong 3 cách biến đổi thường dùng sau

Cách 1 Biến đổi vế trái thành vế phải.

Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử rồi

chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

Cách 2 Biến đổi vế phải thành vế trái.

Nhân cả tử thức và mẫu thức với một đa thức khác

đa thức 0

Ví dụ: Chứng tỏ rằng

a)

2

x





 với x 1

b)    

2



  với x 1

c)

3 2

8

2

x



 

Hướng dẫn giải

a) Với x  ta có1,

 

x x



Suy ra điều phải chứng minh

b) x  ta có1,

   

    2

2

x



Định nghĩa

Phân thức đại số là một biểu thức có dạng

Trong đó: A, B là các đa thức và B khác đa thức 0.

Phân thức đại số

Quy tắc đổi dấu

Tính chất cơ bản

- Nhân cả tử và mẫu với một đa thức khác đa thức 0

- Chia cả tử và mẫu cho một đa thức khác đa thức

0 (đa thức chia là nhân tử chung của tử và mẫu)

Hai phân thức bằng nhau

Trang 4

Cách 3 Biến đổi đồng thời hai vế.

Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung và sử

dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau nếu cần,

từ đó suy ra điều phải chứng minh

c) Ta có

3 2

8

2

x



 

2 2

x

x2  x20 (luôn đúng x)

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Chứng minh các đẳng thức sau

x





   với x 2 và 1

3

x 

b)

2



   với x 2 và x 3

a) Với x 2 và 1,

3

x  ta có

b) Với x 2 và x  ta có3,

2



2



x





x x (đúng với x 2 và x 3)

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cô giáo yêu cầu mỗi bạn cho một ví dụ về hai phân thức bằng nhau Dưới đây là những ví dụ mà

các bạn Nam, Lan, Quân và Hùng đã cho:

2 2



2



Trang 5

3 3

x x



 

x



Trong bốn bạn, người viết sai là

Câu 2: Phân thức bằng phân thức 3 1

1

x x



 là

1

x

1

x

1

x  x

Bài tập nâng cao

Câu 3: Chứng minh rằng

a)

2

x



a





Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước

Phương pháp giải

Thực hiện theo hai bước

Bước 1 Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân

tử ở hai vế

Bước 2 Lựa chọn một trong hai cách biến đổi

thường dùng sau:

Cách 1 Nhân cả tử và mẫu với một đa thức khác 0

Cách 2 Chia cả tử và mẫu với nhân tử chung

Ví dụ: Tìm đa thức A trong đẳng thức sau

3





   với x 3

Với x  ta có3,

3





   

 3 2

Ví dụ mẫu

Ví dụ Tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau

A

x  x  x với 3

2

x  và x 2

b)

2



  với x 2 và 1

2

x

a) Với 3

2

x  và x  ta có2,

2

A

x  x  x  x  x x  x

b) Với x 2 và 1,

2

x ta có

Trang 6

 

2

2 1  2

2

Câu 1: Đa thức M trong đẳng thức 2

x  x là

A x x  2  B x x  2  C x x  4  D x x  4 

Câu 2: Đa thức A trong đẳng thức

4

y x x y



Câu 3: Tìm đa thức A, biết

a) 3  32

3

a a







Dạng 3: Chứng minh đẳng thức có điều kiện

Bước 1 Xuất phát từ điều phải chứng minh, áp

dụng tính chất của hai phân thức bằng nhau

Bước 2 Thu gọn biểu thức và dựa vào điều kiện

đề bài cho để lập luận

Ví dụ Cho hai phân thức A

B và

C

D thỏa mãn

B D Chứng minh .







Ta có A C A B

B D C D

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có



 Vậy A B B







Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hai phân thức A

B và

C

D thỏa mãn đẳng thức .

B D

Chứng minh rằng A B C D



Trang 7

Ta có A C A B.

B D  C D

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

Câu 1: Cho hai phân thức A

B và

C

D thỏa mãn đẳng thức .

B D Khẳng định sai trong các khẳng định

sau là

A A D B C  B A A C









 D A B C D 

Câu 2: Cho các phân thức ,A C

B D và

E

A C E  B D F 

Dạng 4: Biến đổi phân thức theo yêu cầu

Phương pháp giải

Bước 1 Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân

tử hoặc lựa chọn tử thức (hay mẫu thức) thích hợp

tùy theo yêu cầu đề bài

Bước 2 Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức

để đưa về phân thức mới thỏa mãn yêu cầu

Ví dụ: Biến đổi phân thức

  với

2

x  và x 5thành một phân thức mới có tử thức là đa thức x 1 và giá trị của hai phân thức này bằng nhau

Với x 2 và x  ta có5,

   

x  x  x x

Do đó

   

Ví dụ mẫu

Ví dụ Biến đổi phân thức 1

2x 3 với

3 2

x và x 1 thành phân thức mới có mẫu thức là đa thức

2

2x  x 3 và giá trị của hai phân thức bằng nhau

2

x và x  ta có1,

Trang 8

Câu 1 Phân thức bằng phân thức

2 2

2 4

x



 là

2

x

x x



2

x x



Câu 2 Đưa các phân thức sau về cùng mẫu thức 1 ; 1 ; 1 2

2x 5 5 2 x 25 4 x

Dạng 5 Tính giá trị của phân thức

Thực hiện theo ba bước

Bước 1 Phân tích tử thức và mẫu thức mỗi

phân thức thành nhân tử

Bước 2 Rút gọn từng phân thức.

Bước 3 Thay giá trị của biến vào phân thức

và tính

Ví dụ: Tính giá trị của phân thức

  2

x x A





  với x 1 và x 2 tại 2x  1 0

Với x 1 và x  ta có2,

 

A

   



2

x   x (thỏa mãn)

Thay 1

2

x  vào biểu thức, ta được

1

2

Vậy 2,

3

A khi 2x  1 0

Ví dụ mẫu

Ví dụ Tính giá trị của biểu thức

2

3

x

P





  với x 3 và x 2 tại x  2 9 0

Với x 3 và x 2, ta có

P

Trang 9

Vậy 1 ,

2

P

x



 khi x 3 và x 2

Ta lại có 2 9 0 3

3

x x

x





    

 Giá trị x 3 không thỏa mãn điều kiện

Thay x  vào biểu thức ,3, P ta được 1 1

  Vậy 1,

5

P  khi x  2 9 0

Câu 1 Giá trị của phân thức

2 2

2 4

A

x





 với x 2 tại x 1là

Câu 2 Tính giá trị các biểu thức sau

a)

3 8

x

E

x





 với x 2 tại x 1

b)

2 16

4

x

F

x





 với x 4 tại x 2019

Dạng 6 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của phân thức

Bước 1 Phân tích mẫu thức làm xuất hiện hằng

đẳng thức bình thương của một tổng hoặc một

hiệu

Bước 2 Đánh giá.

Bước 3 Tìm điều kiện để dấu “ = ” xảy ra và

kết luận

Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

2

3

A



Ta có x22x 3 x122

Vì x12 0, x nên

 

2

x

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x  1 0 hay x 1

Vậy giá trị lớn nhất của 3

2

A  đạt được khi x 1

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

A





Trang 10

Ta có

x  x x  x       x  

Ta lại có

,

3 3

4

x x

, 3

x x

3

A 

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 3 0

2

x   hay 3

2

x

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 8

3

 đạt được khi 3

2

x

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất của phân thức  

3

8

x P x





 với x 2

Với x  ta có 2,  

x P



Ta lại có x22x 4 x22 .1 1x  2 4 1x123

Mà x12   0, x x12  3 3, x

3

 P1

Dấu “ = ” xảy ra khi x  1 0 hay x 1 (thỏa mãn x 2)

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 đạt được khi x 1

Câu 1 Giá trị nhỏ nhất của phân thức

2

P   là

A 21

29 8



C 21

21 4



Trang 11

Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức    

6

P



Trang 12

ĐÁP ÁN BÀI 1 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

Câu 1 Chọn B

2

4

x x



2

x x

 bạn Quân viết đúng

 

Câu 2 Chọn D.

Ta có

Câu 3.

2

Câu 1 Chọn B.

Ta có

   

2

x x



Câu 2 Chọn A.

A x

Câu 3.

Trang 13

a) Ta có    

   

2

3

a



2

3 3

x xy y

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có A C A C



Ta có A C A D B C

Vậy đáp án sai là đáp án D.

Câu 2.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được

   

2

2 2

x x



Câu 2.

Ta có

+)

x

+)

x





+)

2

25 4 x  5 2 x 5 2 x

Câu 1 Chọn A.

Trang 14

Ta có  

   

2

2 2

x x

A



Thay x  vào biểu thức 1 ,

2

x A

x



 ta được 1 1

2 1



Câu 2.

2

E

Thay x  vào biểu thức 1

, 3

E    ta được

2

1 2.1 4 7

Vậy 7

3

E  khi x 1

b) Ta có 2 16  4  4

4

x



Thay x 2019vào biểu thức F  x 4, ta được F 2019 4 2023. 

Vậy F 2023 khi x 2019

Câu 1 Chọn B.

Ta có

2

x  x x   

Dấu " " xảy ra khi 3 0 3

x   x

Câu 2.

Ta có x4 x2 7 x26x15x26x9 6 x326

Mà x 32 0 nên x 32 6 6

 2

1

6

P x

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x   hay 3 0 x 3

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1, đạt được khi x 3

Tiêu đề	Phân thức đại số, tính chất cơ bản của phân thức
Trường học	Trường Đại Học Quốc Gia Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài giảng
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	844,5 KB