(Luận văn) đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan

Các đồng nhất thức tích phân

Tính chất cơ bản của nguyên hàm

Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng kí hiệu I(a, b) để chỉ các khoảng (a, b), đoạn [a, b] hoặc nửa khoảng (a, b] và [a, b) trong các định nghĩa và định lý Định nghĩa 1.1 (xem [1-3]) nêu rõ rằng cho hàm số f(x) xác định trên I(a, b), hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên I(a, b) nếu F(x) liên tục trên I(a, b) và có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc I(a, b).

Chú ý 1.1 Trong trường hợp I(a, b) = [a;b], các đẳng thức F 0 (a) = f(a), F 0 (b) = f(b) được hiểu là

F(x)−F(b) x−b Định lý 1.1 (Về sự tồn tại nguyên hàm) Mọi hàm số liên tục trênI(a, b)đều có nguyên hàm trên I(a, b). Định lý 1.2.

1) Nếu hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) trên I(a, b) thì trên I(a, b) nó có vô số nguyên hàm.

2) Hai nguyên hàm bất kì của cùng một hàm cho trên I(a, b)là sai khác nhau một hằng số cộng.

Từ Định lí 1.2, ta thấy nếu F(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x) trênI(a, b) thì mọi nguyên hàm củaf(x)trênI(a, b)đều có dạngF(x)+C, vớiC ∈R VậyF(x)+C, C ∈

R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên I(a, b). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên I(a, b) được kí hiệu là R f(x)dx Vậy

Z f(x)dx=F(x) +C, C ∈R. Định lý 1.3 (Tính chất của nguyên hàm). i)

Z df(x) =f(x) +C. Định lý 1.4 (Quy tắc tìm nguyên hàm). i)

Z f(x)dxZ f[ϕ(t)]ϕ 0 (t)dt, trong đó x=ϕ(t) có đạo hàm liên tục. iv) Quy tắc lấy nguyên hàm từng phần

Z vdu,trong đó u=u(x), v =v(x) là những hàm số có đạo hàm liên tục.

Một số tính chất của tích phân xác định

Tích phân xác định của một hàm số được định nghĩa như sau: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên đoạn $[a; b]$, ta chia đoạn này thành $n$ đoạn nhỏ bằng các điểm chia $x_i$ với $i = 0, 1, 2, \ldots, n$, trong đó $a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b$.

(Mỗi phép chia như thế được gọi là một phép phân hoạch đoạn [a;b], kí hiệu là Π.) Đặt ∆xi=xi−x i−1 và d (Π) = max ∆xi, 1≤i≤n.

Trên mỗi đoạn [x i−1 ;x i ], ta lấy một điểm tùy ý ξ i (i= 1, , n) và lập tổng σ Π n

Tổng (1.1) được gọi là tổng tích phân của hàm số f(x) ứng với phép phân hoạch Π. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Tích phân xác định của hàm số $ f(x) $ trên đoạn $[a;b]$ được ký hiệu là $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx $ và tồn tại không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn và lựa chọn điểm $ \xi_i $.

X i=1 f(ξ i )∆x i Khi đó hàm f(x) được gọi là khả tích trên đoạn [a;b].

Chú ý 1.2 Tích phân xác định không phụ thuộc vào việc lựa chọn biến lấy tích phân: b

Để tính diện tích "hình thang cong", người ta xấp xỉ phần được giới hạn bởi một đường cong bằng các tổng xác định và tìm diện tích chính xác thông qua giới hạn của các tổng đó Giá trị của giới hạn này được xác định dựa trên định lý cơ bản về các phép tính giới hạn Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], ta có đẳng thức max ∆lim xk →0 n.

Z a f(x)dx=F(x) b a =F(b)−F(a) (1.2) trong đó F(x) là một nguyên hàm nào đó của f(x).

Nhiều đại lượng trong hình học và vật lý, như thể tích, độ dài, và diện tích mặt, có thể được khảo sát bằng phương pháp chia nhỏ khoảng biến thiên Quá trình này cho phép tính gần đúng các đại lượng bằng tổng các khoảng nhỏ, và giới hạn của các tổng này sẽ cung cấp giá trị chính xác thông qua tích phân xác định, được tính toán nhờ các phép tính cơ bản.

Quá trình tính giới hạn của tổng để tìm diện tích dưới đường cong không cần phải lặp lại cho các đại lượng tương tự khác Hệ thống ký tự phức tạp và lặp lại nhiều lần gây khó khăn cho việc tính toán.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một số phương pháp cơ bản để tính tích phân xác định Đặc biệt, chúng ta sẽ chú ý đến các lớp hàm khả tích đơn giản và dễ nhận biết, giúp việc tính toán trở nên hiệu quả hơn.

Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì khả tích trên đoạn đó.

Hàm số y =f(x) bị chặn trên đoạn [a;b] và chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn thì khả tích trên đoạn đó.

Hàm số y=f(x) bị chặn và đơn điệu trên đoạn [a;b] thì khả tích trên đoạn đó.

Có một mối liên hệ mật thiết giữa tích phân xác định và nguyên hàm Định lý 1.5 khẳng định rằng nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b], thì nó khả tích trên đoạn này Định lý 1.6 chỉ ra rằng nếu f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(x) ≤ g(x) với mọi x thuộc đoạn này, thì điều đó cũng có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định tính khả tích của các hàm số.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f(x) =g(x). Định lý 1.7 (Phép cộng tích phân). b

[f(x) +g(x)]dx. Định lý 1.8 (Phép trừ tích phân). b

[f(x)−g(x)]dx. Định lý 1.9 (Phép nhân tích phân với 1 hằng số). k b

Z a kf(x)dx. Định lý 1.10 (Công thức đảo cận). a

Z a f(x)dx= 0. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si Định lý 1.11 (Công thức tách cận). b

Định lý 1.12 trình bày công thức đổi biến số cho hàm số liên tục y = f(x) trên đoạn [a, b] và hàm số khả vi liên tục x = g(t) trên đoạn [m, M] Điều kiện cần thiết là giá trị nhỏ nhất của g(t) trong khoảng [m, M] phải bằng a, và giá trị lớn nhất phải bằng b, với g(m) = a và g(M) = b.

Z m f(g(t)).g 0 (t)dt. Định lý 1.13 (Công thức tích phân từng phần) Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi liên tục trên [a, b], khi đó b

Z a v(x)u 0 (x)dx Định lý 1.14 (Công thức Newton-Leibnitz) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và F(x) là một nguyên hàm của nó trên đoạn đó, thì b

Theo Định lý 1.14, việc tính tích phân xác định trở nên đơn giản khi xác định được biểu thức nguyên hàm tương ứng Để tính tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a;b], ta thường tìm nguyên hàm F(x) và áp dụng công thức Newton-Leibnitz.

Việc tìm nguyên hàm trong nhiều bài toán có thể rất phức tạp và khó khăn, thậm chí không thể xác định nguyên hàm dưới dạng hiện Do đó, nhu cầu tính các tích phân xác định mà không cần biết nguyên hàm tương ứng là một vấn đề cần được nghiên cứu kỹ lưỡng Trong những trường hợp này, nếu áp dụng các tính chất đặc biệt của hàm trong dấu tích phân cùng với những biến đổi phù hợp, ta có thể tính được một số dạng tích phân xác định.

Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ

Tính chất 1.1 Nếu hàm số y=f(x) lẻ, liên tục trên [−a;a], với a >0 thì

−a f(x)dx= 0. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Chứng minh Do f(x) liên tục trên [−a;a] nên

0 f(x)dx Đặt x=−t thì dx=−dt Khi đó

(Do f(x) là hàm số lẻ nên f(−x) = −f(x)).

Bài toán 1.1 Tính tích phân

Lời giải Xét hàm số f(x) cos 4x+ sinx

Ta thấy f(x) liên tục trên

2;1 2 và là hàm số lẻ nên theo tính chất 1.1, ta có I = 0. Tính chất 1.2 Nếu f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a;a], với a >0 thì

Chứng minh Chứng minh tương tự như tính chất 1.1, chú ý f(−x) =f(x). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Bài toán 1.2 (Đề thi tuyển sinh vào ĐH Lâm nghiệp - 1999) Tính tích phân

Dễ thấy sin x x 2 + 1 là hàm số lẻ, liên tục trên [−1; 1] theo tính chất 1.1, ta có I 2 = 0; còn x 4 x 2 + 1 là hàm số chẵn, liên tục trên [−1; 1] nên theo tính chất 1.2, ta có

3. Tính chất 1.3 Nếu f(x)là hàm số chẵn, liên tục trên D⊂R thì với ∀a∈D ta luôn có

0 f(x) b x + 1dx Đặt x=−t thì dx=−dt Khi đó

Nhận xét 1.1 Từ các tính chất riêng lẻ 1.1, 1.2 và 1.3, dẫn đến một tính chất chung sau đây

Tính chất 1.4 Nếu f(x) là hàm liên tục trên [−a;a], với a >0 thì

(f(x) +f(−x))dx luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Chứng minh Do f(x) liên tục trên [−a;a] nên

0 f(x)dx Đặt x=−t thì dx=−dt Khi đó

Bài toán 1.3 (Olympic Sinh viên Toàn quốc - 2011) Tính tích phân

Ta nhận thấy f(x) liên tục trên đoạn [−1; 1] và f(x) +f(−x) = 1

Từ đó, sử dụng tính chất 1.4, ta có

Tích phân đối với hàm tuần hoàn

Trong phần này, chúng ta chỉ xem xét các hàm tuần hoàn cộng tính Đối với các hàm tuần hoàn nhân tính, cần chuyển đổi chúng sang dạng hàm tuần hoàn cộng tính bằng cách sử dụng phép lôgarit cho các biểu thức tương ứng của biến số.

Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số T > 0, sao cho với mọi x thuộc miền xác định D f của hàm số, điều kiện tuần hoàn luôn được thỏa mãn.

1) x±T cũng thuộc miền xác định của hàm số,

Số T (T > 0) được định nghĩa là chu kỳ của hàm tuần hoàn, trong đó chu kỳ nhỏ nhất (nếu có) được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số.

Tính chất 1.5 Nếu hàm số f(x) tuần hoàn chu kì T, xác định và liên tục trên R thì a+T

T f(x)dx. Đổi biến x = t+T đối với tích phân a+T

T f(x)dx được I1 = I2 Chọn a = − T 2 ta được

Lời giải Dễ thấy f(x) = sin 2x cos 4 x+ sin 4 x = sin 2x

2sin 2 2x là hàm tuần hoàn với chu kì

T =π, do đó theo tính chất 1.5, ta có

0 tanxdx cos 2 x(1 + tan 4 x) Đặt t=tanx, ta có dt= dx cos 2 x. Đổi cận: Khi x= 0 thì t= 0; khi x= π

4. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Bài toán 1.5 (Olympic Sinh viên Toàn quốc - 2007) Tính tích phân

Lời giải Nhận xét rằng f(x) = ln sinx+p

1 + sin 2 x là hàm liên tục, tuần hoàn với chu kì T = 2π Từ tính chất 1.5 ta được I π

Mặt khác, do f(x) là hàm số lẻ nên theo tính chất 1.1 ta được I = 0.

Tích phân một số dạng với đặc trưng hàm đặc biệt

Tính chất 1.6 Nếu hàm số f(x) liên tục trên [0; 1] thì π 2

2 −t và dx=−dt Khi đó π

Lời giải Theo tính chất 1.6, ta có

0 sin n x sin n x+ cos n xdx thì

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và thỏa mãn điều kiện f(x) = f(a+b−x) với mọi x∈[a;b], thì hàm số này có tính chất đối xứng Điều này có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm cả nghiên cứu và luận văn thạc sĩ.

Z a+b 2 f(x)dx. Đối với tích phân thứ hai, đặt x=a+b−t, ta được b

Do vậy, tính chất 1.7 1) được chứng minh.

Bằng cách đổi biến tương tự, đặt t=a+b−x thì dt=−dx và b

Z a xf(x)dx và tính chất 1.7 2) được chứng minh Cho a= 0, b=π ta có J1.

Từ tính chất 1.7, ta suy ra

Sử dụng công thức cosx1−tan 2 x

2 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

3 Bài toán 1.8 Tính tích phân

1 + sin 2 x. Lời giải Theo tính chất 1.7, ta có

Một số bất đẳng thức tích phân và phương pháp bất đẳng thức trong tích phân

Một số bất đẳng thức tích phân cơ bản

Ta nhắc lại ý nghĩa hình học của tích phân:

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì b

Diện tích dưới đồ thị của hàm số $ y = f(x) $ giữa hai đường thẳng $ x = a $ và $ x = b $ được tính bằng tích phân $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx $.

Về sau, ta sử dụng các tính chất cơ bản liên quan đến ước lượng tích phân:

Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng X và a, b, c∈X Khi đó ta có một số tính chất bất đẳng thức của tích phân như sau:

Z a f(x)dx ≥0. và dấu ” = ” xảy ra khi f(x) đồng nhất bằng 0 tại mọi x thuộc đoạn [a, b].

4) Giá trị trung bình của hàm số trong đoạn cho trước

Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a;b] thì tồn tại c∈(a;b) sao cho f(c) = 1 b−a b

5) Với mọi f(x) xác định trên [a;b], ta đều có b

6) Với mọi f(x) và g(x) xác định trên [a;b], ta đều có b

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân

Bài toán 1.9 Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm, đơn điệu tăng trên [0;c) với c > 1 Gọi f −1 (x) là hàm ngược của nó Chứng minh rằng với mọi a ∈ [0;c) và b∈[f(0);f(c)), ta luôn có a

Z f(0) f −1 (x)dx≥ab. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b=f(a).

Lời giải Gọi S 1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x=a, x=b, y= 0, y=f(x), thì

Gọi S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(0), y=b, x= 0, x=f −1 (y), thì

Gọi S là diện tích hình chữ nhật tạo bởi x= 0, x=a, y= 0, y=b, thì S Trong cả hai trường hợp f(a)≤b và f(a)> b, ta đều có S 1 +S 2 ≥S nên a

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f(a) = b Đặc biệt, nếu f(0) = 0 thì ta có a

Sử dụng đánh giá hàm dưới dấu tích phân

Bài toán 1.10 Chứng minh rằng 0,93> e nên x e >lnx >1 hay e x < 1 lnx 0, β > 0, α + β = 1, x⩾0, y ⩾0).

Theo Bổ đề 2.2 ta có

Suy ra điều phải chứng minh.

Bài toán 2.8 Giả sử hàm f liên tục trên [0,1] và thỏa mãn (2.1),(2.1 0 ) Khi đó

Lời giải tương tự như chứng minh Bài toán 2.7.

Bài toán mở 2.1 Giả sử f(x) là hàm liên tục trên [0,1] thỏa mãn

Z x tdt, ∀x∈[0,1]. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Với điều kiện nào cho α và β thì bất đẳng thức sau là đúng?

Ta khảo sát lời giải đối với Bài toán mở 2.1 nêu trên.

Bổ đề 2.3 (xem [4-5]) Giả sử hàm f liên tục trên [0,1] và thỏa mãn (2.1) Khi đó

Chứng minh Từ giả thiết ta có

2k + x k+2 2(k+ 2). Mặt khác, dùng tích phân từng phần ta được

Nhận xét 2.2 Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh Bổ đề 2.3 cũng đúng khi k ∈[1,∞) Tức là

Z x t α f(t)dt⩾ 1 − x α+2 α+ 2 ,∀x∈[0,1],(∀α ⩾1). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Bổ đề 2.4 (xem [4-5]) Giả sử f là hàm không âm và liên tục trên [0,1] sao cho (2.1) thỏa mãn Khi đó với mỗi x∈[0,1] và k ∈N, ta có

[f(t)] k dt⩾ 1 − x k+1 k+ 1 Chứng minh Ta thấy

Z x t k+1 dt điều này kéo theo

Sử dụng Bổ đề 2.3, ta có

Tiếp tục chứng minh bằng quy nạp Rõ ràng Bổ đề đúng với k = 1.

[f(t)] k dt⩾ 1 − x k+1 k+ 1 , ta sẽ chứng tỏ rằng

[f(t)] k+1 dt⩾ 1 − x k+2 k+ 2 Thật vậy, ta có

Mặt khác dùng tích phân từng phần ta được

(k+ 1)(k+ 2) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si do đó

Z x t[f(t)] k dt⩾ 1 − x k+2 k+ 2 , điều phải chứng minh.

Bài toán 2.9 Giả sử f là hàm không âm và liên tục trên [0,1] Nếu (2.1) thỏa mãn, thì với mỗi m, n∈N, ta có

Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy tổng quát ta được n m+n[f(x)] m+n + m m+nx m+n ⩾x m [f(x)] n điều này kéo theo n m+n

Do Bổ đề 2.4, ta có

[f(x)] m+n dx⩾ 1 m+n+ 1 Từ đây ta được

0 x m [f(x)] n dx. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Bài toán 2.10 Giả sử f là hàm liên tục trên [0,1] sao cho f(x) ⩾ 1, ∀x ∈ [0, 1] Nếu (2.1)thỏa mãn, thì với mỗi α, β >0, luôn có

Lời giải Bằng cách chứng minh tương tự như với Bài toán 2.9, ta thấy (∗∗) đúng khi

Từ đó ta chỉ cần chứng tỏ rằng

Do Bổ đề 2.3 ta được

Nhận xét 2.3 Điều kiện f(x)⩾1, ∀x ∈ [0, 1] trong Bài toán 2.10 là cần thiết để có

3. Điều kiện f(x)⩾1, ∀x ∈ [0, 1] có thể bỏ qua nếu giả thiết α+β ⩾1.

Bài toán 2.11 Giả sử f là hàm không âm và liên tục trên [0,1] sao cho (2.1) thỏa mãn Khi đó với mỗi α, β >0 mà α+β ⩾1, ta có

[f(t)] α+β dt⩾ 1 α+β+ 1 và từ đó ta được bất đẳng thức (∗∗) như ở Bài toán 2.10.

Lời giải Đặt k= [α+β] và γ ={α+β}=α+β−[α+β] =α+β−k. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Ta thấy k∈N, 0⩽γ < 1 và k α+β + γ α+β = 1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy tổng quát ta có k α+β[f(t)] α+β + γ α+βt α+β ⩾[f (t)] k t γ , ∀t ∈ [0, 1] dẫn đến với mỗi x∈[0,1] thì k α+β

Mặt khác, dùng tích phân từng phần và chú ý Bổ đề 2.4 ta có

⩾ 1 α+β+ 1(1− γ α+β) = 1 α+β+ 1 ã k α+β. suy ra điều cần phải chứng minh.

Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét một số bài toán mở khác liên quan đến ước lượng tích phân Những bài toán này có thể cung cấp cái nhìn sâu sắc và ứng dụng thực tiễn trong nghiên cứu.

Bài toán mở 2.2 Giả sử f, g : [a, b] →[0,∞) là các hàm liên tục và g là hàm không giảm thỏa mãn b

Khi đó với mỗi hàm h là hàm lồi trên [0,∞) ta có b

R a h(g(t))dt. Đặc biệt, lấy h(t) := t α (α >0) là hàm lồi trên [0,∞) ta được b

Bài toán mở 2.3 Giả sử f, g : [a, b] →[0,∞) là các hàm liên tục và g là hàm không giảm, khả vi thỏa mãn điều kiện (2.3) Khi đó ta có b

Bài toán mở 2.4 Giả sử f, g : [a, b] →[0,∞) là các hàm liên tục và g là hàm không giảm, khả vi thỏa mãn điều kiện (2.3) Khi đó nếu b

Phương pháp tích phân trong chứng minh bất đẳng thức

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một số bài toán ứng dụng của tích phân để chứng minh các bất đẳng thức Những ứng dụng này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về lý thuyết mà còn cung cấp các phương pháp giải quyết vấn đề hiệu quả.

Bài toán 2.12 Chứng minh rằng với mọi x >0, ta có cosx >1− x 2

2 Lời giải Vì cost≤1 với mọi t nên với x >0, ta có x

Khi đó với mọi x >0, ta có x

Bài toán 2.13 Cho 0< a < b Chứng minh rằng a−b a 1 x > 1 b nên

Do đó, bất đẳng thức có thể được biểu diễn dưới dạng \$a - b < \ln a < \frac{a - b}{b}\$ Ngoài việc áp dụng các kiến thức cơ bản, việc sử dụng tích phân xác định trong chứng minh bất đẳng thức còn cần đến các quan sát trực giác từ hình học.

Bài toán 2.14 Chứng minh rằng

Lời giải Ta có y =√ x là một hàm số liên tục và đơn điệu tăng trên đoạn [0;n] Gọi

S là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường cong y= 0, x=n, y=√ x. Khi đó, ta có

3n√ n (2.5) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Gọi A i là các điểm với tọa độ i;√ i

(i = 1,2, , n) và A là điểm có tọa độ (n; 0) Khi đó diện tích đa giác OA 1 A 2 A n−1 A n bằng S 1 và ta có:

Gọi B i là các điểm với tọa độ i;√ i+ 1 với i= 0,1, , n−1 Khi đó nếu kí hiệu S 2 là diện tích của đa giác OB0A1B1A2 A n−1 B n−1 AnBn thì

Từ (2.6) và (2.7), ta suy ra điều phải chứng minh.

Bài toán 2.15 Chứng minh rằng n!< n n+

Lời giải Xét hàm số y=lnx với 1≤x≤n GọiS là diện tích hình tam giác cong giới hạn bởi các đường y= 0, x=n, y =lnx Khi đó, ta có

Gọi Ai là các điểm với tọa độ (i;lni), i= 1,2, , n và A là điểm có tọa độ (n; 0).

Khi đó diện tích S 1 của đa giác A 1 A 2 A n−1 A n A được xác định theo công thức

2[ln 2 + ln 2 + ln 3 +ã ã ã+ ln(n−2) + ln(n−1) + ln(n−1) + lnn]

Do S 1 < S nên từ (2.8) và (2.9), ta thu được ln(n!)< n+1 2 lnn+ 1−n, hay n!< e 1−n e n+1 2

Bài toán 2.16 (Bất đẳng thức Young) Cho p, q thỏa mãn điều kiện p >1, q >1,1 p +1 q = 1.

Chứng minh rằng, với mọi a, b dương ta đều có ab≤ a p p +b q q

Xét hàm số $ y = x^{p-1} $ với $ x > 0 $ Do điều kiện $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $, ta có $ x = y^{q-1} $ Đường thẳng $ x = a $ cắt đường $ y = x^{p-1} $ tại điểm $ M $, trong khi đường thẳng $ y = b $ cắt đường $ y = x^{p-1} $ tại điểm $ N $ Cần lưu ý rằng trong cả hai trường hợp, có hai điều kiện: $ a^{p-1} \leq b $ và $ a^{p-1} > b $.

Kí hiệu S 1 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường y = 0, x=a, y =x p−1 và S 2 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường x= 0, y =b, x =y q−1

(ở đây ab là diện tích hình chữ nhật tạo bởi các đường y= 0, x= 0, x=a, y =b).

0 y q−1 dx= b q q. Thay S 1 , S 2 vào (2.10), ta thu được ab≤ a p p +b q q , điều phải chứng minh.

Bài toán 2.17 (Olympic SV 2004) Cho đa thứcP(x)thỏa mãn điều kiệnP(a) =P(b) 0 với a < b Đặt M = max a≤x≤b|P 00 (x)| Chứng minh rằng a) b

12M(b−a) 3 Lời giải a) Ta chứng minh b

P(x)dx. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Thật vậy, sử dụng công thức tích phân từng phần, ta thu được b

P(x)dx. b) Từ (a) ta thu được b

12(b−a) 3 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân trong lớp phân thức 38

Nguyên hàm và tích phân các hàm phân thức hữu tỷ

Mọi hàm hữu tỉ R(x) đều biểu diễn được dưới dạng tỉ số của hai đa thức không có nghiệm chung

Bài viết này tập trung vào các phân thức hữu tỉ thực sự, trong đó bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số Các phân thức này thường được phân loại thành các dạng cơ bản, bao gồm: i) A/(x-a); ii) A.

Mỗi phân thức hữu tỉ thực sự dạng P (x)

Q(x) đều có thể phân tích được thành tổng các phân thức cơ bản dạng

Trong bài viết này, chúng ta xem xét biểu thức toán học có dạng $(x^2 + rx + s) \delta^{-1} + \tilde{a} \tilde{a} \tilde{a} + K_1 x + L_1 (x^2 + rx + s)$, trong đó các hệ số $A_i, B_i, M_i, N_i, K_i, L_i$ là các số thực Các đa thức bậc hai như $x^2 + px + q$ và $x^2 + rx + s$ không có nghiệm thực Dạng mẫu của bài viết này là tam thức bậc hai, phù hợp với nội dung luận văn tốt nghiệp và luận văn thạc sĩ mới nhất.

4(tan 2 t+ 1). Đổi cận: Khi x= 0 thì t= π

9 Bài toán 3.3 Tính tích phân

4x+ 1 x 2 +x+ 1dx. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Nhận xét 3.1 Khi tính tích phân các phân thức hữu tỉ thực sự với mẫu là tam thức bậc hai:

- Nếu mẫu có nghiệm thực thì đưa về phân thức đơn giản (Bài toán 3.1).

Nếu mẫu không có nghiệm thực và tử là hằng số, ta có thể biến đổi mẫu về dạng tổng các bình phương Khi đó, tích phân cơ bản sẽ có dạng \$R \, dx \, (x^2 + a^2)\$ (Bài toán 3.2).

Nếu mẫu không có nghiệm thực và tử là nhị thức bậc nhất, ta có thể biến đổi thành hai tích phân: một tích phân có tử là đạo hàm của mẫu và một tích phân có tử là hằng số Đối với trường hợp mẫu là đa thức bậc lớn hơn hai, phương pháp giải quyết sẽ khác.

−1 dx x+ 2 = 3 ln|x−1|| 0 −1 − ln|x−2|| 0 −1 − 2 ln|x+ 2|| 0 −1 = ln 3−6 ln 2.

(x+ 1) 2 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si suy ra x=A(x+ 1) 2 +B(x−1)(x+ 1) +C(x−1).

8. Bài toán 3.6 Tính tích phân

Từ đó, ta tìm được A = 3, B = 2, C =−3, D= 4.

3. Bài toán 3.7 (Đề thi tuyển sinh Học viện Mật mã - 1999) Tính tích phân

Khi tính tích phân của các hàm phân thức hữu tỉ, cần tuân theo các bước cụ thể để đảm bảo tính chính xác.

- Nếu phân thức hữu tỉ không thực sự thì chia tử cho mẫu để được một đa thức và một phân thức hữu tỉ thực sự.

- Phân tích phân thức hữu tỉ thực sự thành tổng các phân thức đơn giản.

- Lấy tích phân sau khi đã phân tích.

Song có nhiều bài không cần thực hiện như trên mà dùng các phương pháp khác sẽ nhanh hơn.

Lời giải Đặt t= x−2 x+ 3 thì dt= 5dx

dx (x+ 3) 2 Đổi cận: khi x= 0 thì t =−2

Nhận xét 3.2 Để tính tích phân dạng R dx

(x+a) n (x+b) m (n, m ∈ N ∗ ), ngoài phương pháp hệ số bất định, ta còn có thể sử dụng phép đổi biến t = x+a x+b. Bài toán 3.9 Tính tích phân

2(2x−1) 2 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Nhận xét 3.3 Để tính tích phân dạng R (a + bx) n

(c+dx) m (n, m ∈ N ∗ ), ta có thể sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Hữu tỷ hóa tích phân một số hàm số vô tỉ

! dx, n∈N ∗ Cách giải Ta hữu tỉ hóa bằng cách đặt t = n rax + b cx + d. Bài toán 3.10 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A - 2004) Tính tích phân

Lời giải Đặt t=√ x−1 thì x=t 2 + 1 nên dx= 2tdt. Đổi cận: Khi x= 1 thì t= 0; khi x= 2 thì t= 1.

R x; ax+b cx+d m n , , ax+b cx+d r s dx trong đó m, n, , r, s là các số nguyên dương; a, b, c, d là các hằng số.

Cách giải Đặt ax + b cx+d =t k , với k là bội số chung nhỏ nhất (BSCNN) của các mẫu số n, , s.

Lời giải Để ý rằng BSCNN(2,3) = 6 Đặt t 6 =x+ 1 thì dx= 6t 5 dt. Đổi cận: Khi x=−1 thì t= 0; khi x= 0 thì t= 1. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Để giải tích phân $\int R x; \sqrt{ax^2 + bx + c} \, dx$, trong đó $a$, $b$, $c$ là các hằng số và $a \neq 0$, ta cần biến đổi tam thức bậc hai dưới dấu căn thành dạng tổng hoặc hiệu của các bình phương Sau đó, áp dụng phương pháp lượng giác để hữu tỉ hóa biểu thức.

2a thì dt=dx. Tùy theo dấu của biệt thức ∆và a mà ta có thể đưa tích phân trên về một trong ba dạng tích phân sau

Để tính các tích phân có dạng \$R_3(t; p t^2 - \alpha^2) dt\$, trong đó \$R_1, R_2, R_3\$ là các hàm phân thức hữu tỉ, ta thường sử dụng các biến phụ như \$t = \alpha \tan u\$, \$t = \alpha \sin u\$, và \$t = \alpha \cos u\$ Bài toán 3.12 yêu cầu tính tích phân này.

√3costdt. Đổi cận: khi x= 0 thì t =−π

3; khi x= 1 thì t= 0 Khi đó, ta có

(x−1) 2 + 4suy radt 1+ x−1 p(x−1) 2 + 4 dx= tdx p(x−1) 2 + 4 nên p dx

= dt t Đổi cận: khi x=−1 thì t = 2(√

1) Ngoài ra, ta cũng có thể đặt x−1 = 2 tant.

2) Nhìn chung, để tính tích phân dạng R dx

√ ax 2 +bx+c, ta tách bình phương đủ trong tam thức bậc hai rồi đưa về tính các tích phân cơ bản dạng R dx

Nhận xét 3.5 Để tính tích phân dạng I =R (mx+n)dx

√ax 2 +bx+c, ta biến đổi về dạng

√ax 2 +bx+c. Bài toán 3.15 Tính tích phân

√x 2 + 4x−5 x+ 2 dx. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

3 √ 3−2 p(x+ 2) 2 −9 x+ 2 dx. Đặt x+ 2 = 3 cost thì dx= 3 sintdt cos 2 t và p(x+ 2) 2 −9 r9(1−cos 2 t) cos 2 t r

9 sin 2 t cos 2 t = 3 tant Đổi cận: khi x= 3√

2. Bài toán 3.16 Tính tích phân

(3−x)(1 +x)dx. Đặt x= 1 + 2 cos 2t thì dx=−4 sin 2tdt. Đổi cận: khi x= 0 suy ra t = 2π

(4 + cos 2t) sin 2 2tdt luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

(2x+ 3) 2 −4. Đặt 2x+ 3 = 1 t thì d(2x+ 3) =−dt t 2 Đổi cận: khi x=√

Nhận xét 3.6 Với tích phân dạng R dx

Để giải phương trình $(mx+n)\sqrt{ax^2 + bx + c} $ với điều kiện $a(m^2 + n^2) \neq 0$, ngoài phương pháp giải chung bằng lượng giác, ta có thể áp dụng phép thế đại số Có thể đặt $t=\sqrt{ax^2 + bx + c}$ hoặc $\frac{1}{t}=\sqrt{ax^2 + bx + c}$, hoặc $t=mx+n$ hoặc $\frac{1}{t}=mx+n$ Bài toán 3.18 yêu cầu tính tích phân.

(2x−1)dx (x+ 1)√ x 2 + 2x+ 2. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

(x+ 1) 2 + 1 = du u Đổi cận: khi x= 0 thì u= 2; khi x= 1 thì u= 2 +√

(x+ 1) 2 + 1 thì (x+ 1) 2 =t 2 −1 và d(x+ 1) 2 = 2tdt⇔ d(x+ 1) 2 p(x+ 1) 2 + 12tdt. Đổi cận: khi x= 0 thì t =√

Nhận xét 3.7 Để tính tích phân dạngR (Ax+B)dx

(αx+β)√ ax 2 +bx+c, ta tách thành tổng hai tích phân, một tích phân có tử là (αx+β), một tích phân có tử là hằng số.

Ta thấy rằng nếu đồng thờia 0 thì đặt √ax 2 +bx+c=t±√ ax. Với c >0 thì đặt √ax 2 +bx+c=xt±√ c. Nếu ax 2 +bx+ccó hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 thì đặt

√ax 2 +bx+c=t(x−x 1 ) hoặc √ax 2 +bx+c=t(x−x 2 ). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Hữu tỷ hóa tích phân một số hàm lượng giác

Giả sử ta cần tính tích phân dạng

Z R(sinx,cosx)dx, trong đó R là hàm hữu tỉ của hai đối số Ta có thể hữu tỉ hóa tích phân trên bằng cách đặt t= tanx

2, x∈(−π;π) Khi đó, ta có dx= 2dt

Nếu hàm số R(u, v) có các tính chất đặc biệt, như:

+ R(−u,−v) =R(u, v), thì ta dùng phương pháp đổi biến t = tanx hoặc t = cotx. + R(u,−v) =−R(u, v), thì ta dùng phương pháp đổi biến t = sinx

+ R(−u, v) =−R(u, v), thì ta dùng phương pháp đổi biến t = cosx.

3tdt. Đổi cận: khi x= 0 thì t = 1; khi x= π

Chú ý 3.4 Nếu đặt t=f(tanx) thì ta hiểu t=f(u) với u= tanx và dt=f u 0 u 0 x dx trong đó u 0 x dx= dx cos 2 x. Bài toán 3.20 Tính tích phân

Z π 6 p3 sin 3 x−sinx sin 3 x cotxdx. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Lời giải Rõ ràng f(x) p3 sin 3 x−sinx sin 3 x cotx là hàm số chẵn theosinx và cosx.

√3 cot 2 x sin 2 x cotxdx. Đặt t= cotx thì dt =− dx sin 2 x. Đổi cận: khi x= π

Lời giải Dễ thấy f(x) = sin 2x

(2 + sinx) 2 là hàm số lẻ theo cosx. Đặt t= sinx thì dt = cosxdx. Đổi cận: khi x= 0 thì t = 0; khi x= π

2 thì t= 1 Từ đó, ta có

Lời giải Rõ ràng f(x) = sinx−sin 3 x cos 2x là hàm số lẻ theo sinx.

2 cos 2 x−1(−sinx)dx. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si Đặt t= cosx thì dt =−sinxdx. Đổi cận: khi x= 0 thì t = 1; khi x= π

. Bài toán 3.23 Tính tích phân

1 +t 2 Đổi cận: khi x= 0 thì t = 0; khi x= π

Nhận xét 3.8 Để tính tích phân R 1 asinx+bcosx+cdx, ta đặt t = tanx

1 +t 2 Ta được tích hàm phân thức hữu tỉ.

Bất đẳng thức tích phân giữa các phân thức

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a, b] thì b

Diện tích dưới đồ thị của hàm số $ y = f(x) $ giữa hai đường thẳng $ x = a $ và $ x = b $ được tính bằng tích phân $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx $.

Các tính chất cơ bản liên quan đến ước lượng tích phân: Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng X và a, b, c∈X Khi đó

5) Với mọi f(x) xác định trên [a, b], ta đều có b

Bài toán 3.24 Cho hàm số y=f(x) liên tục, không âm và đơn điệu tăng trên [α, β),

0⩽α < β Chứng minh rằng ∀a ∈[α, β),∀b ∈[f(α), f(β)), ta có a

Lời giải Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x=α, x=a, y = 0, y =f(x) thì

Gọi S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(α), y=b, x= 0, y=f −1 (x) thì

Gọi S là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi x= 0, x=a, y= 0, y=b thì S Gọi

S 0 là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi x= 0, x =α, y = 0, y =f(α) thì S 0 =αf(α). Trong cả hai trường hợp f(a)⩽b hoặc f(a)> b ta đều có S 1 +S 2 ≥S−S 0 Do đó a

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f(a) = b.

Bài toán 3.25 Cho 0< a < 1< b 0 và cho hàm số f liên tục trên [a; +∞) và thỏa mãn điều kiện t

Lời giải Với t > a, ta có t

Z a x[x−f(x)]dx≥0, ∀t > a. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Ta có F(t)≥0, ∀t > a và F 0 (t) =t[t−f(t)] Do đó, với b > a, thì b

Bài toán 3.27 Cho f(x) là hàm phân thức xác định trên [0,1] thỏa mãn điều kiện f(1)−f(0) = 1 Chứng minh rằng

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski với cặp hàm số f(x) và g(x) (≡1), ta có

Theo công thức Newton - Leibnitz, thì

0 f 0 (x) 2 dx ≥1. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Bài toán 3.28 Cho a >0 và cho f là hàm phân thức không có cực điểm trên [a,+∞) và thỏa mãn điều kiện t

Lời giải Theo bất đẳng thức Bunhiakovski cho tích phân, ta có t

R a x 2 dx Từ đó, suy ra t

Theo công thức tích phân từng phần, thì b

F(t) t 2 dt. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Bài toán 3.29 Cho hàm số f(x) = P(x) x 2 + 1, trong đó P(x) là đa thức thỏa mãn điều kiện |P(x)| ≤1 với mọi x∈[0,1] Chứng minh rằng

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski cho cặp hàm số

Tiếp theo, áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski cho cặp hàm

. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Bài toán 3.30 Cho f(x) = P(x) x 2 + 1 với P(x) là đa thức và P(a) = 0. Đặt M = max a ⩽ x ⩽ b |f(x)| Chứng minh rằng

Lời giải Vì f(x) là hàm liên tục trên [a, b] nên tồn tại x0 ∈[a, b], sao cho

|f(x 0 )|= max a ⩽ x ⩽ b |f(x)|. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski với cặp hàm f 0 (x) và g(x) = 1, ta có x 0

Z a f 0 (x) 2 dx. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Một số dạng toán liên quan 58

Phương pháp tích phân trong các bài toán cực trị

4.1.1 Cực trị của một số biểu thức chứa tích phân

Bài toán 4.1 Tính giá trị nhỏ nhất của

Z8 π 4 sin n+2 x cos n x + cos n+2 x sin n x dx, n∈N.

Lời giải Nhận xét rằng trong đoạn hπ

4,3π 8 i thì sinx,cosx6= 0 Ta có f(x) = sin n+2 x cos n x + cos n+2 x sin n x −(sin 2 x+ cos 2 x) sin n+2 x cos n x −sin 2 x

Vậy, ta có sin n+2 x cos n x +cos n+2 x sin n x ≥1, x ∈hπ

4,3π 8 i Tích phân hai vế, ta thu được

Z8 π 4 sin n+2 x cos n x +cos n+2 x sin n x dx ≥

Vậy, giá trị nhỏ nhất của I n bằng π

Bài toán 4.2 Cho trước n∈N ∗ Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân

Z π 4 sin n+2 t cos n t +cos n+2 t sin n t dt−x, x∈hπ

Z π 4 sin n+2 t cos n t +cos n+2 t sin n t dt≥ x

Z π 4 sin n+2 t cos n t + cos n+2 t sin n t dt−x≥ −π

Vậy, giá trị nhỏ nhất của I(x) bằng −π

4ã Bài toán 4.3 Cho trước n∈N ∗ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) x

Lời giải Ta có tant ≥t nên t.tan n t≥t n+1 Suy ra x

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) bằng 0 khi x= 0.

Nhận xét 4.1 Nếu ta cố định cận x= π

Bài toán 4.4 Cho trước m∈N ∗ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) x

Lời giải Xét hàm số y=e 2x −2(x 2 +x), x≥0 Ta có y 0 = 2e 2x −2(2x+ 1) và y 0 = 0 khi x= 0.

Với x > 0 thì e 2x > 2x+ 1 nên y 0 ≥0 khi x≥ 0 Từ đó suy ra y đồng biến khi x≥ 0 và vì vậy f(x)≥f(0) với x≥0 Suy ra e 2x −2(x 2 +x)>1⇒e 2x >1 + 2(x 2 +x)>2(x 2 +x).

Nhân hai vế với x m , ta thu được e 2x x m ≥2(x 2 +x)x m

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng − 2(2m+ 5)

Nhận xét 4.2 Nếu ta cho cận trên bằng π, cận dưới bằng 0, ta có bất đẳng thức

4.1.2 Phương pháp tích phân trong bài toán cực trị

Trong bài viết này, tác giả sẽ giới thiệu một số bài toán cực trị thông qua phương pháp tích phân, bên cạnh các phương pháp đã quen thuộc như đánh giá và sử dụng đạo hàm.

Bài toán 4.5 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = 2x 6 + 3x 4 + 6x 2 −11x, x∈[0; 1].

Lời giải Ta có g(t) = t 5 +t 3 +t là hàm liên tục và đồng biến trên [0; 1] Do đó, với mọi t∈[0; 1], ta có x

0 t 5 +t 3 +t dt, luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si hay x

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f(x), x∈[0; 1] bằng 0, khi x= 0 hoặc x= 1.

Bài toán 4.6 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = sin 3 x+ 3 sinx−4√ sinx với 2kπ ≤x≤(2k+ 1)π, k∈Z.

Lời giải Đặt t=√ sinx thì 0≤t≤1 Ta có hàm số h(t) =t 6 + 3t 2 −4t.

Xét hàm số k(u) = u 5 +u, ta có k(u) là hàm liên tục và đồng biến trên[0; 1] Khi đó, với mọi t∈[0; 1], thì t

Từ đây, ta có sin 3 x+ 3 sinx−4√ sinx≤0 và giá trị lớn nhất của g(x) bằng 0 khi x=kπ hoặc x= π

2 +k2π, k ∈Z. Bài toán 4.7 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số h(x) = π

Lời giải Ta có f(t) = t+ sint là hàm liên tục và đồng biến trên [0;π

, luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si hay πx 2

Vậy giá trị lớn nhất của h(x) bằng −π

2. Bài toán 4.8 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = 3x 2 + 4x√ x+ 4(2−x)√

2−t là hàm số liên tục và đồng biến trên [0; 2] nên với mọi t∈[0; 2], thì

Vậy giá trị lớn nhất của f(x) bằng 8√

2 khi x= 0, x= 2. Bài toán 4.9 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (3 + 2ln2)x−2 x+1 −ln2.x 2 , x∈[0; 2].

Lời giải Ta có g(t) = −2 t −t là hàm số liên tục và nghịch biến trong [0; 2], nên với mọi t∈[0; 2] thì

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng −2 khi x= 0, x= 2. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Bài toán 4.10 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y) =xcosy−ycosx+ (x−y)1

Lời giải Ta có g(t) = sint+t là hàm số liên tục và đồng biến trên [0;y] nên với mọi t∈[0;y] thì y x

Vậy giá trị lớn nhất của f(x;y) bằng 0 khi x= 0, x=y.

Bài toán 4.11 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y) = y(x+ 1)√ x+ 1−x(y+ 1)p y+ 1 +xy √ x−√ y

Lời giải Xét hàm số g(t) = 1

Suy ra g(t) đồng biến trên đoạn [0;y] Vậy nên y x

Vậy giá trị lớn nhất của f(x, y) bằng 0 khi x= 0, x=y. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Bài toán 4.12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải Từ một bất đẳng thức đúng cost ≤1,∀t∈R thì với mọi x >0, ta có x

Tiếp theo, từ (4.1), khi x >0, thì x

Tiếp theo, từ (4.2), với x >0, thì x

Tiếp theo, từ (4.3), với x >0, thì x

Mặt khác, từ (4.3), ta có sinx x

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 3− 12 π 2 khi x=y=z = π

Bài toán 4.13 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải Đặt e b =a, thì ab=e và a >1 Hàm số f(x) =e x liên tục, không âm và đơn điệu tăng trên (0; +∞) có f(0) = 1 và có hàm ngược là y=lnx, nên ta có a

Dấu đẳng thức xảy ra khi b=f(a) hayb =e a , từ đó, ta có a= 1, b=e.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng e, khi a= 1, b=e.

Bài toán 4.14 Giả sử a, b thỏa mãn các điều kiện a≥0, b≥1, a+b= 1 +√

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải Xét hàm số f(x) =p x 2 + 1, x∈[0; +∞). Hàm số này liên tục và có đạo hàm f 0 (x) = x

√x 2 + 1 ≥0, x∈[0; +∞), nên f(x) đơn điệu tăng trên [0; +∞) Ta có f(0) = 1 và hàm ngược của f(x) là y √x 2 −1 Ta có a

≥ab hay ap a 2 + 1 +bp b 2 −1 + lna+√ a 2 + 1 b+√ b 2 −1 ≥ab.

Dấu đẳng thức xảy ra khi b = √ a 2 + 1 Kết hợp với điều kiện a +b = 1 +√

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 2√

2. Bài toán 4.15 Xét các số a, b thỏa mãn các điều kiện a≥2, b≥3, a−b= 3−√

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

M = 2ab+ 9 ln b+√ b 2 −9 a−2 +√ a 2 −4a+ 13. Lời giải Hàm số f(x) = √ x 2 −4x+ 13 là một hàm liên tục, không âm trên [2; +∞) và có f 0 (x) = x−2

√x 2 −4x+ 13 >0, ∀x >2, nên nó đồng biến trên [2; +∞) và f(2) = 3 Để tìm hàm số ngược, ta xét phương trình y=p x 2 −4x+ 13 =p

Vậy f(x) có hàm ngược là f −1 (x) = 2 +p x 2 −9

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b =p

(a−2) 2 + 9 Kết hợp với điều kiện a−b 3−√

10. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 6√

10. Bài toán 4.16 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x−b) tanx+ ln|cosx|, x≥0.

Lời giải Xét hai hàm số g(t) = tant và h(t) = t Ta thấy g(t) và h(t) là các hàm liên tục, không âm và đồng biến, ∀t≥0 Ta có btanx≤ x

Bài toán 4.17 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =e x 2 (x 6 −3x 4 + 6x 2 −7), x≥0.

Lời giải Xét hai hàm số saug(t) =t 6 và h(t) =e t 2 Ta thấy g(t) và h(t)là những hàm liên tục, không âm và đồng biến, ∀t≥0 Ta có e x 2 ≤

0 t 7 e t 2 dt. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) bằng −3e khi x= 1.

Bài toán 4.18 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x 2 −1) ln(1 +x)−x 2

Lời giải Xét hai hàm số saug(t) =t 6 và h(t) =e t 2 Ta thấy g(t) và h(t)là những hàm liên tục, không âm và đồng biến, ∀t≥0 Ta có x 2 ln 2 ≤

2 +x−ln(1 +x) ta thu được x 2 ln 2≤ln 2− 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng 1

2 −ln 2 khi x= 1. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Khảo sát phương trình và bất phương trình đa thức

Trong bài viết này, chúng ta sẽ nhắc lại một số tính chất quan trọng của nguyên hàm và tích phân, cần thiết cho việc khảo sát phương trình Theo Định lý 4.1, nếu hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trong khoảng $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của nó, thì tồn tại các số thực $x_1, x_2 \in [a;b]$ với $x_1 < x_2$ sao cho $F(x_1) = F(x_2)$, điều này cho thấy phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trong khoảng $[x_1; x_2]$.

Chứng minh Giả sử phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc [x 1 ;x 2 ] Vì f(x) liên tục nên suy ra: hoặc f(x)>0,∀x∈[x 1 ;x 2 ], hoặc f(x) 0,∀x ∈ [x 1 ;x 2 ] thì hàm số F(x) đồng biến trên đoạn [x 1 ;x 2 ] Suy ra

Nếu f(x) < 0,∀x ∈ [x 1 ;x 2 ] thì hàm số F(x) nghịch biến trên đoạn [x 1 ;x 2 ] Suy ra

Như vậy, trong cả hai trường hợp, ta đều có F(x 1 )6=F(x 2 ), điều này trái với giả thiết

Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong [x1;x2].

1 Cũng có thể phát biểu Định lí 4.1 dưới dạng sau

Nếu hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên [a;b] và nếu tồn tại các số thực phân biệt x 1 , x 2 ∈[a;b] sao cho x 2

Z x 1 f(x)dx= 0, thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc [x 1 ;x 2 ].

2 Kết hợp với Định lí Rolle, khi có F(x1) = F(x2) thì phương trình F 0 (x) = 0 hay f(x) = 0 có nghiệm trong (x 1 , x 2 ).

4.2.1 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình

Bài toán 4.19 Chứng minh rằng, nếu các hệ số của phương trình a n x n +a n−1 x n−1 +ã ã ã+a 1 x+a 0 = 0. thỏa mãn điều kiện a n n+ 1 +a n−1 n +ã ã ã+a 1

2 +a 0 = 0, thì nó có nghiệm trong (0; 1).

Lời giải Xét hàm số f(x) =a n x n +a n−1 x n−1 +ã ã ã+a 1 x+a 0 = 0. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Hàm số f(x) là một hàm liên tục trên R, có một nguyên hàm

2 +a 0 = 0 Do vậy F(0) =F(1), nên theo Định lí 4.1 (Nhận xét 4.3), phương trình a n x n +a n−1 x n−1 +ã ã ã+a 1 x+a 0 = 0. có nghiệm trong (0; 1).

Bài toán 4.20 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2 +bx+c, (a6= 0) thỏa mãn điều kiện a m+ 2 + b m+ 1 + c m = 0, m >0.

Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong (0; 1).

Lời giải Xét hàm số g(x) =ax m+1 +bx m +cx m−1 (= x m−1 (ax 2 +bx+c))

Ta thấy, g(x) là một hàm liên tục trên R và có một nguyên hàm

Ta có G(0) = 0 và G(1) = a m+ 2 + b m+ 1 + c m = 0, nên theo Định lí 4.1, phương trình g(x) = ax m+1 +bx m +cx m−1 = 0 có nghiệm trong (0; 1)

Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong (0; 1).

Bài toán 4.21 (Olympic SV năm 1997) Chứng minh rằng, với mọit ≥0 phương trình x 3 +tx−8 = 0luôn có nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x(t) Tính tích phân

Xét hàm số $ f(x) = x^3 + tx - 8 $, ta thấy $ f'(x) \geq 0 $ với mọi $ x \geq 0 $ Đồng thời, $ f(0) = -8 < 0 $ và $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $ Do đó, phương trình $ f(x) = 0 $ có nghiệm dương duy nhất Từ phương trình $ x^3 + tx - 8 = 0 $, ta có $ t = x^2 - 8x $ Khi $ t = 0 $, thì $ x = 2 $ Kết quả thu được là $ t = 7 $ và $ x^3 + tx - 8 = (x - 1)(x^2 + x + t) = 0 $, suy ra $ x = 1 $.

Bài toán 4.22 (Olympic SV năm 1998) Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0,1], f(0) < 0 và

1998,∀x > 0 Chứng minh rằng phương trình x 1997 = f(x) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0,1).

Lời giải Xét hàm số

Khi đó F(x) liên tục trên [0,1] và theo giả thiết thì F(0) 0 Do F(x) liên tục nên tồn tại ξ ∈ (0,1) để

4.2.2 Giải phương trình sinh bởi một số dạng nguyên hàm

Tích phân có những tính chất quan trọng giúp xác định nghiệm của phương trình Định lý 4.2 chỉ ra rằng, với hai số thực a và b trái dấu (a < 0 < b) và hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b], phương trình trong đoạn này sẽ có nghiệm.

0 f(t)dt= 0 có nghiệm duy nhất x= 0.

0 f(t)dt là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b]. Nếu x= 0 thì F(0) 0

0 f(t)dt = 0 Vậy x= 0 là nghiệm của phương trình F(x) = 0.

Nếu x6= 0 và x∈ [a;b], thì từ giả thiết f(x)≥ 0, ta suy ra F(x) đồng biến trên [a;b] và F(x)6=F(0) = 0, tức phương trình F(x) = 0 không thể có nghiệm x6= 0 trên [a;b]. Vậy phương trình F(x) = 0 có nghiệm duy nhất x= 0.

Định lý 4.3 khẳng định rằng, với hai số thực a và b có dấu trái ngược, nếu f(x) là một hàm số liên tục và không dương trên đoạn [a;b] (có thể bằng 0 tại một số điểm hữu hạn trong đoạn này), thì phương trình sẽ có những tính chất đặc biệt.

0 f(t)dt= 0 có nghiệm duy nhất x= 0 trên [a;b].

Bằng cách chứng minh tương tự, ta có Định lý 4.4 Cho ba số thực a, b, c (với điều kiện a ≤ c ≤ b và a < b) và f(x) là một hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a;b] Khi đó, phương trình

Z c f(t)dt= 0 có nghiệm duy nhất x=c thuộc [a;b].

Bài toán 4.23 Giải phương trình sinx+ cosx+√

Lời giải Đặt F(x) = sinx+ cosx+√

Nhận thấy rằng, hàm số f(t) = cost−sint+√

2liên tục không âm∀t ∈R, nên theo Định lí 4.2, phương trình sinx+ cosx+√

Bài toán 4.24 Giải phương trình

Lời giải Đặt F(x) = 4x 3 + 12x−8−cos 3x+ 9 cosx Ta có F(0) = 0 và

Ta thấy, hàm f(t) = 12 t 2 + 1 + sin 3 t liên tục và không âm với mọi t ≥ 0, nên theo Định lí 4.2, phương trình

4x 3 + 12x−8−cos 3x+ 9 cosx= 0 có nghiệm duy nhất x= 0. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Lời giải Đặt F(x) = 2(x+ 1) ln (x+ 1)−x 2 −2x Ta có F(0) = 0 và

Ta thấy, hàm sốf(t) = 2 [ln(t+ 1)−t]liên tục và không dương trên (0; +∞), nênF(x)0 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm trong R +

Lời giải Đặt F(x) = 2 x+1 + 3 x+1 −x 2 (ln 2 + ln 3)−5 Ta có F(0) = 0 Khi đó

2 t+1 ln 2 + 3 t+1 ln 3−2t(ln 2 + ln 3) dt x

Ta thấy, hàm số f(t) = 2 ln 2 2 t −t

+ 3 ln 3 3 t −t liên tục và không âm với mọi t, nên theo Định lí 4.2, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= 0.

Bài toán 4.27 Giải phương trình xp x 2 + 1 = ln x+p x 2 + 1

. Lời giải Ta có xp x 2 + 1 = ln x+p x 2 + 1

F(x) =xp x 2 + 1−ln x+p x 2 + 1 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

√t 2 + 1 liên tục và không âm với mọi t, nên theo Định lí 4.2, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= 0.

Bài toán 4.28 Chứng minh rằng phương trình x−cosx− π

4. Lời giải Đặt F(x) = x−cosx Ta có

Vậy, ta có thể viết

Ta thấy, f(t) = 1 + sint là hàm liên tục, không âm trên R, nên theo Định lí 4.2, phương trình có nghiệm duy nhất x= π

4. Bài toán 4.29 Chứng minh rằng phương trình e −x −sin e −x cos e −x

−π= 0 có nghiệm duy nhất x=−lnπ.

Lời giải Xét hàm số

F(−lnπ) = π. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Phương trình đã cho tương đương với

Hàm số f(t) = −2e −t sin 2 e −t là hàm liên tục, không dương ∀t ∈ R, nên theo Định lí 4.4 thì phương trình có nghiệm duy nhất x=−lnπ.

Bài toán 4.30 (Olympic SV năm 2001) Chứng minh rằng tồn tại số thực x ∈ (0; 1) sao cho

Do f(x) liên tục trên đoạn[0,1] nênF(x)có đạo hàm trên (0,1), liên tục trên đoạn [0,1] và F 0 (x) 1

Mặt khác, ta có F(1) = F(0) = 0 Theo định lí Rolle, tồn tại số x ∈ (0,1) sao cho

R x f(t)dt =xf(x) Đây chính là điều phải chứng minh. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Luận văn "Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ" cung cấp các tính chất cơ bản của tích phân hàm một biến, đồng thời phân loại các dạng toán ứng dụng liên quan đến đa thức và phân thức hữu tỷ.

Luận văn đã giải quyết được những vấn đề sau:

- Khảo sát một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức chứa tích phân trong lớp đa thức.

- Khảo sát một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức chứa tích phân trong lớp hàm phân thức hữu tỷ.

- Xét một số áp dụng trong các bài toán cực trị, khảo sát phương trình đa thức và phân thức liên quan.

Luận văn này trình bày các đề toán thi học sinh giỏi trong nước cũng như các kỳ thi Olympic khu vực và quốc tế, tập trung vào các vấn đề liên quan đến đẳng thức và bất đẳng thức tích phân trong đa thức và phân thức.

Tiêu đề	Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan
Tác giả	Bùi Trọng Quyết
Người hướng dẫn	GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Trường học	Đại học Thái Nguyên
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Luận văn Thạc sĩ Toán Học
Năm xuất bản	2017
Thành phố	Thái Nguyên

Định dạng
Số trang	81
Dung lượng	496,11 KB