TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCBÙI TRỌNG QUYẾT ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG LỚP ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
Các đồng nhất thức tích phân
Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Trong nội dung này, ký hiệu I(a, b) được sử dụng để đại diện cho các khoảng hoặc đoạn như (a, b), [a, b], (a, b] hoặc [a, b) Định nghĩa 1.1 xác định nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I(a, b) như sau: hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) nếu F(x) liên tục trên I(a, b) và có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc I(a, b).
Chú ý 1.1 Trong trường hợp I(a, b) = [a;b], các đẳng thức F 0 (a) = f(a), F 0 (b) = f(b) được hiểu là
F(x)−F(b) x−b Định lý 1.1 (Về sự tồn tại nguyên hàm) Mọi hàm số liên tục trênI(a, b)đều có nguyên hàm trên I(a, b). Định lý 1.2.
1) Nếu hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) trên I(a, b) thì trên I(a, b) nó có vô số nguyên hàm.
2) Hai nguyên hàm bất kì của cùng một hàm cho trên I(a, b)là sai khác nhau một hằng số cộng.
Từ Định lí 1.2, ta thấy nếu F(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x) trênI(a, b) thì mọi nguyên hàm củaf(x)trênI(a, b)đều có dạngF(x)+C, vớiC ∈R VậyF(x)+C, C ∈
R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên I(a, b).
Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên I(a, b) được kí hiệu là R f(x)dx Vậy
Z f(x)dx=F(x) +C, C ∈R. Định lý 1.3 (Tính chất của nguyên hàm). i)
Z df(x) =f(x) +C. Định lý 1.4 (Quy tắc tìm nguyên hàm). i)
Z f(x)dxZ f[ϕ(t)]ϕ 0 (t)dt, trong đó x=ϕ(t) có đạo hàm liên tục. iv) Quy tắc lấy nguyên hàm từng phần
Z vdu,trong đó u=u(x), v =v(x) là những hàm số có đạo hàm liên tục.
Một số tính chất của tích phân xác định
Tích phân xác định của hàm số là cách tính diện tích dưới đường cong của hàm y = f(x) trên đoạn [a, b] Theo định nghĩa, ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng các điểm chia xi, tạo thành các khoảng nhỏ hơn để dễ dàng tính toán, cụ thể: a = x_0 < x_1 < x_2 < < x_{n-1} < x_n = b Phương pháp này giúp xác định tổng diện tích các hình chữ nhật nhỏ, từ đó tính được tích phân của hàm số trên đoạn đã cho.
Trong việc phân chia đoạn [a;b], mỗi phép chia đều được gọi là một phép phân hoạch đoạn, ký hiệu là Π Đặt ∆xi = xi − xi−1 và d(Π) là giá trị lớn nhất của ∆xi, tức là d(Π) = max ∆xi, 1 ≤ i ≤ n Trên mỗi đoạn con [xi−1 ; xi], ta chọn một điểm tùy ý ξi (i = 1, , n) để xây dựng tổng σΠₙ, nhằm tối ưu hóa quá trình chia đoạn và đảm bảo tính chính xác trong các phép tính phân tích.
Tổng (1.1) được gọi là tổng tích phân của hàm số f(x) ứng với phép phân hoạch Π.
Tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] tồn tại và không phụ thuộc vào phép phân hoạch đoạn cũng như cách chọn điểm ξi trong mỗi phân đoạn Giới hạn của tổng giá trị f(ξi)∆xi khi các phân đoạn trở nên nhỏ dần chính là tích phân xác định của hàm số trên đoạn đó, được ký hiệu là ∫_a^b f(x) dx Đây là khái niệm cơ bản trong phân tích toán học, giúp đo lường diện tích dưới đường cong của hàm số trong phạm vi xác định.
X i=1 f(ξ i )∆x i Khi đó hàm f(x) được gọi là khả tích trên đoạn [a;b].
Chú ý 1.2 Tích phân xác định không phụ thuộc vào việc lựa chọn biến lấy tích phân: b
Trong tính diện tích "hình thang cong", người ta xấp xỉ phần diện tích giới hạn bởi đường cong bằng các tổng xác định và xác định chính xác bằng cách thiết lập giới hạn của các tổng này Quá trình này liên quan đến việc sử dụng định lý về giới hạn để tính toán diện tích chính xác của hình thang cong Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b], thì diện tích này có thể được xác định bằng giới hạn của các tổng Riemann, đảm bảo độ chính xác cao trong phép tính diện tích hình thang cong.
Z a f(x)dx=F(x) b a =F(b)−F(a) (1.2) trong đó F(x) là một nguyên hàm nào đó của f(x).
Phương pháp này cho phép khảo sát các đại lượng hình học như thể tích, độ dài, diện tích mặt cũng như các đại lượng vật lý cơ bản như công sinh ra bởi lực biến đổi tác động từ một khoảng cách đã cho Quá trình thực hiện gồm chia khoảng biến thiên thành các phần nhỏ độc lập, sau đó tính gần đúng đại lượng cần đo bằng tổng các phần nhỏ đó Các tổng này dẫn đến giới hạn chính xác của đại lượng cần tính dưới dạng tích phân xác định, được thực hiện bằng các phép tính cơ bản.
Trong quá trình tính giới hạn của tổng, các chi tiết được thực hiện để xác định diện tích dưới đường cong, không nhất thiết phải lặp lại cho các đại lượng tương tự khác Hệ thống ký tự sử dụng trong quá trình này khá phức tạp và lặp đi lặp lại nhiều lần, gây trở ngại cho quá trình tính toán và làm giảm hiệu quả làm việc.
Tiếp theo, ta xét một số phương pháp cơ bản sử dụng để tính tích phân xác định.
Trong thực hành, ta đặc biệt chú ý đến một số lớp các hàm khả tích đơn giản và dễ nhận biết sau đây:
Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì khả tích trên đoạn đó.
Hàm số y =f(x) bị chặn trên đoạn [a;b] và chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn thì khả tích trên đoạn đó.
Hàm số y=f(x) bị chặn và đơn điệu trên đoạn [a;b] thì khả tích trên đoạn đó.
Có mối liên hệ mật thiết giữa tích phân xác định và nguyên hàm, giúp hiểu rõ hơn về tính khả tích của hàm số Định lý 1.5 cho biết rằng nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b], thì nó chắc chắn khả tích trên đoạn này, đảm bảo tính ổn định của các phép tính tích phân Ngoài ra, Định lý 1.6 cho phép so sánh các hàm số liên tục trên cùng đoạn, khi f(x) và g(x) thoả mãn điều kiện f(x) ≤ g(x) trên [a, b], giúp xác định giới hạn, tích phân của chúng một cách dễ dàng hơn.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f(x) =g(x). Định lý 1.7 (Phép cộng tích phân). b
[f(x) +g(x)]dx. Định lý 1.8 (Phép trừ tích phân). b
[f(x)−g(x)]dx. Định lý 1.9 (Phép nhân tích phân với 1 hằng số). k b
Z a kf(x)dx. Định lý 1.10 (Công thức đảo cận). a
Z a f(x)dx= 0. Định lý 1.11 (Công thức tách cận). b
Trong bài viết này, chúng ta được giới thiệu về định lý 1.12 liên quan đến công thức đổi biến số trong tích phân Định lý này cho biết rằng, nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b], và hàm số x = g(t) khả vi liên tục trên đoạn [m, M], với các điều kiện min t∈[m,M] g(t) = a, max t∈[m,M] g(t) = b, và g(m) = a, g(M) = b, thì ta có thể đổi biến số trong tích phân từ biến x sang biến t để thực hiện các phép tính tích phân dễ dàng hơn Điều này giúp tối ưu hóa quá trình tính toán và nâng cao khả năng thao tác với các hàm số phức tạp khi làm việc với tích phân.
Z m f(g(t)).g 0 (t)dt. Định lý 1.13 (Công thức tích phân từng phần) Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi liên tục trên [a, b], khi đó b
Z a v(x)u 0 (x)dx Định lý 1.14 (Công thức Newton-Leibnitz) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và F(x) là một nguyên hàm của nó trên đoạn đó, thì b
Dựa trên Định lý 1.14, việc tính tích phân xác định trở nên dễ dàng hơn khi có biểu thức nguyên hàm tương ứng ở dạng tổng quát Để tính tích phân của hàm số f(x) trên đoạn [a;b], chúng ta thường tìm nguyên hàm F(x) của hàm số và áp dụng công thức Newton-Leibnitz để đưa ra kết quả chính xác.
Trong nhiều bài toán, việc tìm nguyên hàm thường gặp khó khăn hoặc phức tạp, thậm chí không thể xác định nguyên hàm dưới dạng chính xác Vì vậy, tính tích phân xác định khi chưa rõ nguyên hàm là một vấn đề quan trọng cần được khảo sát kỹ lưỡng.
Trong những trường hợp đặc biệt, dựa vào tính chất của hàm dưới dấu tích phân và áp dụng các biến đổi thích hợp, người dùng có thể dễ dàng tính được một số dạng tích phân xác định, nâng cao kỹ năng giải tích toán học chính xác và hiệu quả.
Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ
Tính chất 1.1 Nếu hàm số y=f(x) lẻ, liên tục trên [−a;a], với a >0 thì
Chứng minh Do f(x) liên tục trên [−a;a] nên
0 f(x)dx Đặt x=−t thì dx=−dt Khi đó
(Do f(x) là hàm số lẻ nên f(−x) = −f(x)).
Bài toán 1.1 Tính tích phân
Lời giải Xét hàm số f(x) cos 4x+ sinx
Ta thấy f(x) liên tục trên
2;1 2 và là hàm số lẻ nên theo tính chất 1.1, ta có I = 0.
Tính chất 1.2 Nếu f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a;a], với a >0 thì
Chứng minh Chứng minh tương tự như tính chất 1.1, chú ý f(−x) =f(x).
Bài toán 1.2 (Đề thi tuyển sinh vào ĐH Lâm nghiệp - 1999) Tính tích phân
Dễ thấy sin x x 2 + 1 là hàm số lẻ, liên tục trên [−1; 1] theo tính chất 1.1, ta có I 2 = 0; còn x 4 x 2 + 1 là hàm số chẵn, liên tục trên [−1; 1] nên theo tính chất 1.2, ta có
3. Tính chất 1.3 Nếu f(x)là hàm số chẵn, liên tục trên D⊂R thì với ∀a∈D ta luôn có
0 f(x) b x + 1dx Đặt x=−t thì dx=−dt Khi đó
Nhận xét 1.1 Từ các tính chất riêng lẻ 1.1, 1.2 và 1.3, dẫn đến một tính chất chung sau đây
Tính chất 1.4 Nếu f(x) là hàm liên tục trên [−a;a], với a >0 thì
Chứng minh Do f(x) liên tục trên [−a;a] nên
0 f(x)dx Đặt x=−t thì dx=−dt Khi đó
Bài toán 1.3 (Olympic Sinh viên Toàn quốc - 2011) Tính tích phân
Ta nhận thấy f(x) liên tục trên đoạn [−1; 1] và f(x) +f(−x) = 1
Từ đó, sử dụng tính chất 1.4, ta có
Tích phân đối với hàm tuần hoàn
Trong phần này, chúng tôi chỉ tập trung vào các hàm tuần hoàn cộng tính, vì đây là dạng hàm phổ biến trong phân tích hàm số tuần hoàn Đối với các hàm số tuần hoàn nhân tính, cần chuyển đổi sang dạng cộng tính bằng cách sử dụng phép lôgarit hóa các biểu thức tương ứng của biến số Điều này giúp đơn giản hóa quá trình phân tích và ứng dụng trong các bài toán liên quan đến hàm tuần hoàn Việc chuyển đổi này không chỉ đảm bảo tính chính xác mà còn tối ưu hóa các phương pháp tính toán trong lý thuyết hàm số.
Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một khoảng thời gian T > 0 sao cho với mọi x thuộc miền xác định D_f của hàm số, thì luôn có y = f(x + T) Điều này có nghĩa là hàm số lặp lại giá trị sau một khoảng thời gian cố định T, thể hiện tính chất tuần hoàn của hàm.
1) x±T cũng thuộc miền xác định của hàm số,
Số T (T >0) được gọi là chu kì của hàm tuần hoàn Chu kì nhỏ nhất (nếu tồn tại) được gọi là chu kì cơ sở của hàm số đã cho.
Tính chất 1.5 Nếu hàm số f(x) tuần hoàn chu kì T, xác định và liên tục trên R thì a+T
T f(x)dx. Đổi biến x = t+T đối với tích phân a+T
T f(x)dx được I1 = I2 Chọn a = − T 2 ta được
Bài toán 1.4 Tính tích phân
Lời giải Dễ thấy f(x) = sin 2x cos 4 x+ sin 4 x = sin 2x
2sin 2 2x là hàm tuần hoàn với chu kì
T =π, do đó theo tính chất 1.5, ta có
0 tanxdx cos 2 x(1 + tan 4 x) Đặt t=tanx, ta có dt= dx cos 2 x. Đổi cận: Khi x= 0 thì t= 0; khi x= π
Bài toán 1.5 (Olympic Sinh viên Toàn quốc - 2007) Tính tích phân
Lời giải Nhận xét rằng f(x) = ln sinx+p
1 + sin 2 x là hàm liên tục, tuần hoàn với chu kì T = 2π Từ tính chất 1.5 ta được I π
Mặt khác, do f(x) là hàm số lẻ nên theo tính chất 1.1 ta được I = 0.
Tích phân một số dạng với đặc trưng hàm đặc biệt
Tính chất 1.6 Nếu hàm số f(x) liên tục trên [0; 1] thì π 2
2 −t và dx=−dt Khi đó π
Bài toán 1.6 Tính tích phân
Lời giải Theo tính chất 1.6, ta có
0 sin n x sin n x+ cos n xdx thì
4. Tính chất 1.7 Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và thỏa mãn điều kiện f(x) = f(a+b−x) với mọi x∈[a;b], thì ta luôn có
Z a+b 2 f(x)dx. Đối với tích phân thứ hai, đặt x=a+b−t, ta được b
Do vậy, tính chất 1.7 1) được chứng minh.
Bằng cách đổi biến tương tự, đặt t=a+b−x thì dt=−dx và b
Z a xf(x)dx và tính chất 1.7 2) được chứng minh Cho a= 0, b=π ta có J1.
Bài toán 1.7 Tính tích phân
Từ tính chất 1.7, ta suy ra
Sử dụng công thức cosx1−tan 2 x
3 Bài toán 1.8 Tính tích phân
1 + sin 2 x. Lời giải Theo tính chất 1.7, ta có
Một số bất đẳng thức tích phân và phương pháp bất đẳng thức trong tích phân
Một số bất đẳng thức tích phân cơ bản
Ta nhắc lại ý nghĩa hình học của tích phân:
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì b
R a f(x)dx là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b.
Về sau, ta sử dụng các tính chất cơ bản liên quan đến ước lượng tích phân:
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng X và a, b, c∈X Khi đó ta có một số tính chất bất đẳng thức của tích phân như sau:
Z a f(x)dx ≥0. và dấu ” = ” xảy ra khi f(x) đồng nhất bằng 0 tại mọi x thuộc đoạn [a, b].
4) Giá trị trung bình của hàm số trong đoạn cho trước
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a;b] thì tồn tại c∈(a;b) sao cho f(c) = 1 b−a b
5) Với mọi f(x) xác định trên [a;b], ta đều có b
6) Với mọi f(x) và g(x) xác định trên [a;b], ta đều có b
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân
Bài toán 1.9 Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm, đơn điệu tăng trên [0;c) với c > 1 Gọi f −1 (x) là hàm ngược của nó Chứng minh rằng với mọi a ∈ [0;c) và b∈[f(0);f(c)), ta luôn có a
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b=f(a).
Lời giải Gọi S 1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x=a, x=b, y= 0, y=f(x), thì
Gọi S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(0), y=b, x= 0, x=f −1 (y), thì
Gọi S là diện tích hình chữ nhật tạo bởi x= 0, x=a, y= 0, y=b, thì S Trong cả hai trường hợp f(a)≤b và f(a)> b, ta đều có S 1 +S 2 ≥S nên a
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f(a) = b Đặc biệt, nếu f(0) = 0 thì ta có a
Sử dụng đánh giá hàm dưới dấu tích phân
Bài toán 1.10 Chứng minh rằng 0,93> e nên x e >lnx >1 hay e x < 1 lnx 0, β > 0, α + β = 1, x⩾0, y ⩾0).
Theo Bổ đề 2.2 ta có
Suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 2.8 Giả sử hàm f liên tục trên [0,1] và thỏa mãn (2.1),(2.1 0 ) Khi đó
Lời giải tương tự như chứng minh Bài toán 2.7.
Bài toán mở 2.1 Giả sử f(x) là hàm liên tục trên [0,1] thỏa mãn
Với điều kiện nào cho α và β thì bất đẳng thức sau là đúng?
Ta khảo sát lời giải đối với Bài toán mở 2.1 nêu trên.
Bổ đề 2.3 (xem [4-5]) Giả sử hàm f liên tục trên [0,1] và thỏa mãn (2.1) Khi đó
Chứng minh Từ giả thiết ta có
2k + x k+2 2(k+ 2). Mặt khác, dùng tích phân từng phần ta được
Nhận xét 2.2 Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh Bổ đề 2.3 cũng đúng khi k ∈[1,∞) Tức là
Bổ đề 2.4 (xem [4-5]) Giả sử f là hàm không âm và liên tục trên [0,1] sao cho (2.1) thỏa mãn Khi đó với mỗi x∈[0,1] và k ∈N, ta có
[f(t)] k dt⩾ 1 − x k+1 k+ 1 Chứng minh Ta thấy
Z x t k+1 dt điều này kéo theo
Sử dụng Bổ đề 2.3, ta có
Tiếp tục chứng minh bằng quy nạp Rõ ràng Bổ đề đúng với k = 1. Giả sử
[f(t)] k dt⩾ 1 − x k+1 k+ 1 , ta sẽ chứng tỏ rằng
[f(t)] k+1 dt⩾ 1 − x k+2 k+ 2 Thật vậy, ta có
Mặt khác dùng tích phân từng phần ta được
Z x t[f(t)] k dt⩾ 1 − x k+2 k+ 2 , điều phải chứng minh.
Bài toán 2.9 Giả sử f là hàm không âm và liên tục trên [0,1] Nếu (2.1) thỏa mãn, thì với mỗi m, n∈N, ta có
Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy tổng quát ta được n m+n[f(x)] m+n + m m+nx m+n ⩾x m [f(x)] n điều này kéo theo n m+n
Do Bổ đề 2.4, ta có
[f(x)] m+n dx⩾ 1 m+n+ 1 Từ đây ta được
Bài toán 2.10 Giả sử f là hàm liên tục trên [0,1] sao cho f(x) ⩾ 1, ∀x ∈ [0, 1] Nếu
(2.1)thỏa mãn, thì với mỗi α, β >0, luôn có
Lời giải Bằng cách chứng minh tương tự như với Bài toán 2.9, ta thấy (∗∗) đúng khi
Từ đó ta chỉ cần chứng tỏ rằng
Do Bổ đề 2.3 ta được
Nhận xét 2.3 Điều kiện f(x)⩾1, ∀x ∈ [0, 1] trong Bài toán 2.10 là cần thiết để có
3. Điều kiện f(x)⩾1, ∀x ∈ [0, 1] có thể bỏ qua nếu giả thiết α+β ⩾1.
Bài toán 2.11 Giả sử f là hàm không âm và liên tục trên [0,1] sao cho (2.1) thỏa mãn Khi đó với mỗi α, β >0 mà α+β ⩾1, ta có
[f(t)] α+β dt⩾ 1 α+β+ 1 và từ đó ta được bất đẳng thức (∗∗) như ở Bài toán 2.10.
Ta thấy k∈N, 0⩽γ < 1 và k α+β + γ α+β = 1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy tổng quát ta có k α+β[f(t)] α+β + γ α+βt α+β ⩾[f (t)] k t γ , ∀t ∈ [0, 1] dẫn đến với mỗi x∈[0,1] thì k α+β
Mặt khác, dùng tích phân từng phần và chú ý Bổ đề 2.4 ta có
⩾ 1 α+β+ 1(1− γ α+β) = 1 α+β+ 1 ã k α+β. suy ra điều cần phải chứng minh.
Tiếp theo, xét một số bài toán mở khác liên quan đến ước lượng tích phân:
Bài toán mở 2.2 Giả sử f, g : [a, b] →[0,∞) là các hàm liên tục và g là hàm không giảm thỏa mãn b
Khi đó với mỗi hàm h là hàm lồi trên [0,∞) ta có b
R a h(g(t))dt. Đặc biệt, lấy h(t) := t α (α >0) là hàm lồi trên [0,∞) ta được b
Bài toán mở 2.3 Giả sử f, g : [a, b] →[0,∞) là các hàm liên tục và g là hàm không giảm, khả vi thỏa mãn điều kiện (2.3) Khi đó ta có b
Bài toán mở 2.4 Giả sử f, g : [a, b] →[0,∞) là các hàm liên tục và g là hàm không giảm, khả vi thỏa mãn điều kiện (2.3) Khi đó nếu b
Phương pháp tích phân trong chứng minh bất đẳng thức
Sau đây ta xét một số bài toán ứng dụng của tích phân vào chứng minh bất đẳng thức.
Bài toán 2.12 Chứng minh rằng với mọi x >0, ta có cosx >1− x 2
2 Lời giải Vì cost≤1 với mọi t nên với x >0, ta có x
Khi đó với mọi x >0, ta có x
Bài toán 2.13 Cho 0< a < b Chứng minh rằng a−b a 1 x > 1 b nên
Trong việc chứng minh bất đẳng thức liên quan đến logarit tự nhiên, ta cần nắm rõ các bất đẳng thức cơ bản như a−b < ln a b < a−b Ngoài ra, việc áp dụng tích phân xác định đòi hỏi không chỉ kiến thức đại số mà còn phải sử dụng quan sát trực giác qua hình học để hiểu rõ hơn về các mối liên hệ giữa các đại lượng Các kỹ năng này giúp tối ưu hoá các chứng minh toán học một cách chính xác và hiệu quả.
Bài toán 2.14 Chứng minh rằng
Lời giải Ta có y =√ x là một hàm số liên tục và đơn điệu tăng trên đoạn [0;n] Gọi
S là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường cong y= 0, x=n, y=√ x. Khi đó, ta có
Gọi A i là các điểm với tọa độ i;√ i
(i = 1,2, , n) và A là điểm có tọa độ (n; 0) Khi đó diện tích đa giác OA 1 A 2 A n−1 A n bằng S 1 và ta có:
Gọi B i là các điểm với tọa độ i;√ i+ 1 với i= 0,1, , n−1 Khi đó nếu kí hiệu S 2 là diện tích của đa giác OB0A1B1A2 A n−1 B n−1 AnBn thì
Từ (2.6) và (2.7), ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 2.15 Chứng minh rằng n!< n n+
Lời giải Xét hàm số y=lnx với 1≤x≤n GọiS là diện tích hình tam giác cong giới hạn bởi các đường y= 0, x=n, y =lnx Khi đó, ta có
Gọi Ai là các điểm với tọa độ (i;lni), i= 1,2, , n và A là điểm có tọa độ (n; 0).
Khi đó diện tích S 1 của đa giác A 1 A 2 A n−1 A n A được xác định theo công thức
2[ln 2 + ln 2 + ln 3 +ã ã ã+ ln(n−2) + ln(n−1) + ln(n−1) + lnn]
Do S 1 < S nên từ (2.8) và (2.9), ta thu được ln(n!)< n+1 2 lnn+ 1−n, hay n!< e 1−n e n+1 2
Bài toán 2.16 (Bất đẳng thức Young) Cho p, q thỏa mãn điều kiện p >1, q >1,1 p +1 q = 1.
Chứng minh rằng, với mọi a, b dương ta đều có ab≤ a p p +b q q
Hàm số y = x^{p−1} được phân tích trên tập xác định x > 0, với nhận xét rằng do điều kiện 1/p + 1/q = 1 nên ta có x = y^{q−1} Đồng thời, đường thẳng x = a cắt đường cong y = x^{p−1} tại điểm M, còn đường thẳng y = b cắt đường cong này tại điểm N, trong đó hai trường hợp xảy ra là a^{p−1} ≤ b và a^{p−1} > b, ảnh hưởng đến vị trí cắt của các đường thẳng trên đồ thị hàm số.
Kí hiệu S 1 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường y = 0, x=a, y =x p−1 và S 2 là diện tích tam giác cong tạo bởi các đường x= 0, y =b, x =y q−1
(ở đây ab là diện tích hình chữ nhật tạo bởi các đường y= 0, x= 0, x=a, y =b).
0 y q−1 dx= b q q. Thay S 1 , S 2 vào (2.10), ta thu được ab≤ a p p +b q q , điều phải chứng minh.
Bài toán 2.17 (Olympic SV 2004) Cho đa thứcP(x)thỏa mãn điều kiệnP(a) =P(b) 0 với a < b Đặt M = max a≤x≤b|P 00 (x)| Chứng minh rằng a) b
12M(b−a) 3 Lời giải a) Ta chứng minh b
Thật vậy, sử dụng công thức tích phân từng phần, ta thu được b
P(x)dx. b) Từ (a) ta thu được b
Đẳng thức và bất đẳng thức tích phân trong lớp phân thức 38
Nguyên hàm và tích phân các hàm phân thức hữu tỷ
Mọi hàm hữu tỉ R(x) đều biểu diễn được dưới dạng tỉ số của hai đa thức không có nghiệm chung
Tác giả chủ yếu quan tâm đến các phân thức hữu tỉ thực sự, nghĩa là các phân thức có tử số có bậc nhỏ hơn bậc của mẫu số Đồng thời, tác giả cũng tập trung vào việc phân loại các phân thức này, còn được gọi là các phân thức cơ bản, dạng như i) A/(x−a) và ii) A.
Mỗi phân thức hữu tỉ thực sự dạng P (x)
Q(x) đều có thể phân tích được thành tổng các phân thức cơ bản dạng
(x 2 +rx+s) δ−1 +ã ã ã+ K1x+L1 x 2 +rx+s, trong đó A i , B i , M i , N i , K i , L i là các số thực và x 2 +px+q, , x 2 +rx+s là những tam thức bậc hai không có nghiệm thực. a) Dạng mẫu là tam thức bậc hai
Bài toán 3.1 Tính tích phân
Bài toán 3.2 Tính tích phân
4(tan 2 t+ 1). Đổi cận: Khi x= 0 thì t= π
9 Bài toán 3.3 Tính tích phân
Nhận xét 3.1 Khi tính tích phân các phân thức hữu tỉ thực sự với mẫu là tam thức bậc hai:
- Nếu mẫu có nghiệm thực thì đưa về phân thức đơn giản (Bài toán 3.1).
Trong bài toán 3.2, khi mẫu không có nghiệm thực và tử là hằng số, ta có thể biến đổi mẫu thành dạng tổng các bình phương Điều này giúp đơn giản hóa việc tính tích phân cơ bản dạng R dx x 2 + a 2, phù hợp với các phương pháp xử lý tích phân trường hợp này.
Trong các bài toán xác định nghiệm, nếu mẫu không có nghiệm thực và tử là nhị thức bậc nhất, ta có thể biến đổi thành hai tích phân, trong đó một tích phân chứa đạo hàm của mẫu, còn tích phân kia có tử là hằng số (Bài toán 3.3) Khi mẫu là đa thức bậc lớn hơn hai, quá trình phân tích trở nên phức tạp hơn, đòi hỏi các phương pháp đặc biệt để xử lý tích phân phù hợp Việc lựa chọn dạng biến đổi phù hợp giúp đơn giản hóa quá trình tính toán và nâng cao hiệu quả xử lý các bài toán tích phân phức tạp.
Bài toán 3.4 Tính tích phân
−1 dx x+ 2 = 3 ln|x−1|| 0 −1 − ln|x−2|| 0 −1 − 2 ln|x+ 2|| 0 −1 = ln 3−6 ln 2.
Bài toán 3.5 Tính tích phân
8. Bài toán 3.6 Tính tích phân
Từ đó, ta tìm được A = 3, B = 2, C =−3, D= 4.
3. Bài toán 3.7 (Đề thi tuyển sinh Học viện Mật mã - 1999) Tính tích phân
3. Chú ý 3.3 Khi tính tích phân các hàm phân thức hữu tỉ, nói chung ta phải làm theo các bước sau
- Nếu phân thức hữu tỉ không thực sự thì chia tử cho mẫu để được một đa thức và một phân thức hữu tỉ thực sự.
- Phân tích phân thức hữu tỉ thực sự thành tổng các phân thức đơn giản.
- Lấy tích phân sau khi đã phân tích.
Song có nhiều bài không cần thực hiện như trên mà dùng các phương pháp khác sẽ nhanh hơn.
Bài toán 3.8 Tính tích phân
Lời giải Đặt t= x−2 x+ 3 thì dt= 5dx
dx (x+ 3) 2 Đổi cận: khi x= 0 thì t =−2
Nhận xét 3.2 Để tính tích phân dạng R dx
(x+a) n (x+b) m (n, m ∈ N ∗ ), ngoài phương pháp hệ số bất định, ta còn có thể sử dụng phép đổi biến t = x+a x+b. Bài toán 3.9 Tính tích phân
Nhận xét 3.3 Để tính tích phân dạng R (a + bx) n
(c+dx) m (n, m ∈ N ∗ ), ta có thể sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Hữu tỷ hóa tích phân một số hàm số vô tỉ
! dx, n∈N ∗ Cách giải Ta hữu tỉ hóa bằng cách đặt t = n rax + b cx + d. Bài toán 3.10 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A - 2004) Tính tích phân
Lời giải Đặt t=√ x−1 thì x=t 2 + 1 nên dx= 2tdt. Đổi cận: Khi x= 1 thì t= 0; khi x= 2 thì t= 1.
R x; ax+b cx+d m n , , ax+b cx+d r s dx trong đó m, n, , r, s là các số nguyên dương; a, b, c, d là các hằng số.
Cách giải Đặt ax + b cx+d =t k , với k là bội số chung nhỏ nhất (BSCNN) của các mẫu số n, , s.
Bài toán 3.11 Tính tích phân
Lời giải Để ý rằng BSCNN(2,3) = 6 Đặt t 6 =x+ 1 thì dx= 6t 5 dt. Đổi cận: Khi x=−1 thì t= 0; khi x= 0 thì t= 1.
Dạng tích phân R x;√ ax² + bx + c dx liên quan đến tích phân của hàm căn bậc hai của tam thức bậc hai, trong đó a, b, c là các hằng số và a không bằng 0 Cách giải chung là biến đổi tam thức bậc hai dưới dấu căn về dạng tổng hoặc hiệu các bình phương, giúp đơn giản hóa biểu thức Sau đó, sử dụng phương pháp lượng giác để hữu tỉ hóa tích phân, từ đó dễ dàng tìm ra phép tích phân chính xác.
2a thì dt=dx. Tùy theo dấu của biệt thức ∆và a mà ta có thể đưa tích phân trên về một trong ba dạng tích phân sau
Trong bài toán tính tích phân R 3 (t;p t 2 −α 2 )dt, R1, R2, R3 là các hàm phân thức hữu tỉ Để giải các tích phân này một cách chính xác, ta thường sử dụng phương pháp đặt biến phụ phù hợp như t=αtanu, t=αsinu hoặc t=αcosu Các biến phụ này giúp đơn giản hóa biểu thức tích phân, từ đó dễ dàng thực hiện các phép tính và tìm ra kết quả chính xác.
√3costdt. Đổi cận: khi x= 0 thì t =−π
3; khi x= 1 thì t= 0 Khi đó, ta có
Bài toán 3.13 Tính tích phân
(x−1) 2 + 4suy radt 1+ x−1 p(x−1) 2 + 4 dx= tdx p(x−1) 2 + 4 nên p dx
= dt t Đổi cận: khi x=−1 thì t = 2(√
1) Ngoài ra, ta cũng có thể đặt x−1 = 2 tant.
2) Nhìn chung, để tính tích phân dạng R dx
√ ax 2 +bx+c, ta tách bình phương đủ trong tam thức bậc hai rồi đưa về tính các tích phân cơ bản dạng R dx
√ x 2 +λ. Bài toán 3.14 Tính tích phân
Nhận xét 3.5 Để tính tích phân dạng I =R (mx+n)dx
√ax 2 +bx+c, ta biến đổi về dạng
√ax 2 +bx+c. Bài toán 3.15 Tính tích phân
3 √ 3−2 p(x+ 2) 2 −9 x+ 2 dx. Đặt x+ 2 = 3 cost thì dx= 3 sintdt cos 2 t và p(x+ 2) 2 −9 r9(1−cos 2 t) cos 2 t r
9 sin 2 t cos 2 t = 3 tant Đổi cận: khi x= 3√
2. Bài toán 3.16 Tính tích phân
(3−x)(1 +x)dx. Đặt x= 1 + 2 cos 2t thì dx=−4 sin 2tdt. Đổi cận: khi x= 0 suy ra t = 2π
Bài toán 3.17 Tính tích phân
(2x+ 3) 2 −4. Đặt 2x+ 3 = 1 t thì d(2x+ 3) =−dt t 2 Đổi cận: khi x=√
Nhận xét 3.6 Với tích phân dạng R dx
Để giải bài toán tích phân của hàm số dạng (mx + n)√(ax² + bx + c) khi a(m² + n²) ≠ 0, có thể áp dụng phương pháp thế lượng giác hoặc thế đại số Một số cách biến đổi biến số phổ biến bao gồm đặt t = √(ax² + bx + c), 1/t = √(ax² + bx + c), t = mx + n hoặc 1/t = mx + n Các phương pháp này giúp đơn giản hóa biểu thức tích phân và tìm giải pháp chính xác hơn.
(x+ 1) 2 + 1 = du u Đổi cận: khi x= 0 thì u= 2; khi x= 1 thì u= 2 +√
(x+ 1) 2 + 1 thì (x+ 1) 2 =t 2 −1 và d(x+ 1) 2 = 2tdt⇔ d(x+ 1) 2 p(x+ 1) 2 + 12tdt. Đổi cận: khi x= 0 thì t =√
Nhận xét 3.7 Để tính tích phân dạngR (Ax+B)dx
(αx+β)√ ax 2 +bx+c, ta tách thành tổng hai tích phân, một tích phân có tử là (αx+β), một tích phân có tử là hằng số.
Ta thấy rằng nếu đồng thờia 0 thì đặt √ax 2 +bx+c=t±√ ax. Với c >0 thì đặt √ax 2 +bx+c=xt±√ c. Nếu ax 2 +bx+ccó hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 thì đặt
√ax 2 +bx+c=t(x−x 1 ) hoặc √ax 2 +bx+c=t(x−x 2 ).
Hữu tỷ hóa tích phân một số hàm lượng giác
Giả sử ta cần tính tích phân dạng
Z R(sinx,cosx)dx, trong đó R là hàm hữu tỉ của hai đối số Ta có thể hữu tỉ hóa tích phân trên bằng cách đặt t= tanx
2, x∈(−π;π) Khi đó, ta có dx= 2dt
Nếu hàm số R(u, v) có các tính chất đặc biệt, như:
+ R(−u,−v) =R(u, v), thì ta dùng phương pháp đổi biến t = tanx hoặc t = cotx. + R(u,−v) =−R(u, v), thì ta dùng phương pháp đổi biến t = sinx
+ R(−u, v) =−R(u, v), thì ta dùng phương pháp đổi biến t = cosx. Bài toán 3.19 Tính tích phân
3tdt. Đổi cận: khi x= 0 thì t = 1; khi x= π
Chú ý 3.4 Nếu đặt t=f(tanx) thì ta hiểu t=f(u) với u= tanx và dt=f u 0 u 0 x dx trong đó u 0 x dx= dx cos 2 x. Bài toán 3.20 Tính tích phân
Lời giải Rõ ràng f(x) p3 sin 3 x−sinx sin 3 x cotx là hàm số chẵn theosinx và cosx.
√3 cot 2 x sin 2 x cotxdx. Đặt t= cotx thì dt =− dx sin 2 x. Đổi cận: khi x= π
Bài toán 3.21 Tính tích phân
Lời giải Dễ thấy f(x) = sin 2x
(2 + sinx) 2 là hàm số lẻ theo cosx. Đặt t= sinx thì dt = cosxdx. Đổi cận: khi x= 0 thì t = 0; khi x= π
2 thì t= 1 Từ đó, ta có
Bài toán 3.22 Tính tích phân
Lời giải Rõ ràng f(x) = sinx−sin 3 x cos 2x là hàm số lẻ theo sinx.
2 cos 2 x−1(−sinx)dx. Đặt t= cosx thì dt =−sinxdx. Đổi cận: khi x= 0 thì t = 1; khi x= π
. Bài toán 3.23 Tính tích phân
1 +t 2 Đổi cận: khi x= 0 thì t = 0; khi x= π
Nhận xét 3.8 Để tính tích phân R 1 asinx+bcosx+cdx, ta đặt t = tanx
1 +t 2 Ta được tích hàm phân thức hữu tỉ.
Bất đẳng thức tích phân giữa các phân thức
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a, b] thì b
R a f(x)dx là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b.
Các tính chất cơ bản liên quan đến ước lượng tích phân: Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng X và a, b, c∈X Khi đó
5) Với mọi f(x) xác định trên [a, b], ta đều có b
Bài toán 3.24 Cho hàm số y=f(x) liên tục, không âm và đơn điệu tăng trên [α, β),
0⩽α < β Chứng minh rằng ∀a ∈[α, β),∀b ∈[f(α), f(β)), ta có a
Lời giải Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x=α, x=a, y = 0, y =f(x) thì
Gọi S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(α), y=b, x= 0, y=f −1 (x) thì
Gọi S là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi x= 0, x=a, y= 0, y=b thì S Gọi
S 0 là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi x= 0, x =α, y = 0, y =f(α) thì S 0 =αf(α).
Trong cả hai trường hợp f(a)⩽b hoặc f(a)> b ta đều có S 1 +S 2 ≥S−S 0 Do đó a
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f(a) = b.
Bài toán 3.25 Cho 0< a < 1< b 0 và cho hàm số f liên tục trên [a; +∞) và thỏa mãn điều kiện t
Lời giải Với t > a, ta có t
Ta có F(t)≥0, ∀t > a và F 0 (t) =t[t−f(t)] Do đó, với b > a, thì b
Bài toán 3.27 Cho f(x) là hàm phân thức xác định trên [0,1] thỏa mãn điều kiện f(1)−f(0) = 1 Chứng minh rằng
Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski với cặp hàm số f(x) và g(x) (≡1), ta có
Theo công thức Newton - Leibnitz, thì
Bài toán 3.28 Cho a >0 và cho f là hàm phân thức không có cực điểm trên [a,+∞) và thỏa mãn điều kiện t
Lời giải Theo bất đẳng thức Bunhiakovski cho tích phân, ta có t
R a x 2 dx Từ đó, suy ra t
Theo công thức tích phân từng phần, thì b
Bài toán 3.29 Cho hàm số f(x) = P(x) x 2 + 1, trong đó P(x) là đa thức thỏa mãn điều kiện |P(x)| ≤1 với mọi x∈[0,1] Chứng minh rằng
Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski cho cặp hàm số
Tiếp theo, áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski cho cặp hàm
Bài toán 3.30 Cho f(x) = P(x) x 2 + 1 với P(x) là đa thức và P(a) = 0. Đặt M = max a ⩽ x ⩽ b |f(x)| Chứng minh rằng
Lời giải Vì f(x) là hàm liên tục trên [a, b] nên tồn tại x0 ∈[a, b], sao cho
|f(x 0 )|= max a ⩽ x ⩽ b |f(x)|. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovski với cặp hàm f 0 (x) và g(x) = 1, ta có x 0
Một số dạng toán liên quan 58
Phương pháp tích phân trong các bài toán cực trị
4.1.1 Cực trị của một số biểu thức chứa tích phân
Bài toán 4.1 Tính giá trị nhỏ nhất của
Z8 π 4 sin n+2 x cos n x + cos n+2 x sin n x dx, n∈N.
Lời giải Nhận xét rằng trong đoạn hπ
4,3π 8 i thì sinx,cosx6= 0 Ta có f(x) = sin n+2 x cos n x + cos n+2 x sin n x −(sin 2 x+ cos 2 x) sin n+2 x cos n x −sin 2 x
2x tan n x ≥0, tan n x−1>0, tan n+2 x−1≥0, nên f(x)≥0. Vậy, ta có sin n+2 x cos n x +cos n+2 x sin n x ≥1, x ∈hπ
4,3π 8 i Tích phân hai vế, ta thu được
Z8 π 4 sin n+2 x cos n x +cos n+2 x sin n x dx ≥
Vậy, giá trị nhỏ nhất của I n bằng π
Bài toán 4.2 Cho trước n∈N ∗ Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân
Z π 4 sin n+2 t cos n t +cos n+2 t sin n t dt−x, x∈hπ
Z π 4 sin n+2 t cos n t +cos n+2 t sin n t dt≥ x
Z π 4 sin n+2 t cos n t + cos n+2 t sin n t dt−x≥ −π
Vậy, giá trị nhỏ nhất của I(x) bằng −π
4ã Bài toán 4.3 Cho trước n∈N ∗ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) x
Lời giải Ta có tant ≥t nên t.tan n t≥t n+1 Suy ra x
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) bằng 0 khi x= 0.
Nhận xét 4.1 Nếu ta cố định cận x= π
Bài toán 4.4 Cho trước m∈N ∗ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) x
Lời giải Xét hàm số y=e 2x −2(x 2 +x), x≥0 Ta có y 0 = 2e 2x −2(2x+ 1) và y 0 = 0 khi x= 0.
Với x > 0 thì e 2x > 2x+ 1 nên y 0 ≥0 khi x≥ 0 Từ đó suy ra y đồng biến khi x≥ 0 và vì vậy f(x)≥f(0) với x≥0 Suy ra e 2x −2(x 2 +x)>1⇒e 2x >1 + 2(x 2 +x)>2(x 2 +x).
Nhân hai vế với x m , ta thu được e 2x x m ≥2(x 2 +x)x m
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng − 2(2m+ 5)
Nhận xét 4.2 Nếu ta cho cận trên bằng π, cận dưới bằng 0, ta có bất đẳng thức
4.1.2 Phương pháp tích phân trong bài toán cực trị
Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã quen thuộc với các phương pháp giải bài toán cực trị như phương pháp đánh giá và sử dụng đạo hàm Tuy nhiên, trong nội dung này, tác giả đề cập đến các bài toán cực trị được giải bằng phương pháp tích phân, đem lại những cách tiếp cận mới mẻ và hiệu quả trong việc xác định cực trị của hàm số Phương pháp tích phân không chỉ mở rộng khả năng phân tích mà còn giúp giải quyết các bài toán phức tạp hơn, phù hợp với các dạng bài tập yêu cầu tính tổng hoặc diện tích liên quan đến hàm số.
Bài toán 4.5 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = 2x 6 + 3x 4 + 6x 2 −11x, x∈[0; 1].
Lời giải Ta có g(t) = t 5 +t 3 +t là hàm liên tục và đồng biến trên [0; 1] Do đó, với mọi t∈[0; 1], ta có x
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f(x), x∈[0; 1] bằng 0, khi x= 0 hoặc x= 1.
Bài toán 4.6 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = sin 3 x+ 3 sinx−4√ sinx với 2kπ ≤x≤(2k+ 1)π, k∈Z.
Lời giải Đặt t=√ sinx thì 0≤t≤1 Ta có hàm số h(t) =t 6 + 3t 2 −4t.
Xét hàm số k(u) = u 5 +u, ta có k(u) là hàm liên tục và đồng biến trên[0; 1] Khi đó, với mọi t∈[0; 1], thì t
Từ đây, ta có sin 3 x+ 3 sinx−4√ sinx≤0 và giá trị lớn nhất của g(x) bằng 0 khi x=kπ hoặc x= π
2 +k2π, k ∈Z. Bài toán 4.7 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số h(x) = π
Lời giải Ta có f(t) = t+ sint là hàm liên tục và đồng biến trên [0;π
Vậy giá trị lớn nhất của h(x) bằng −π
2. Bài toán 4.8 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = 3x 2 + 4x√ x+ 4(2−x)√
2−t là hàm số liên tục và đồng biến trên [0; 2] nên với mọi t∈[0; 2], thì
Vậy giá trị lớn nhất của f(x) bằng 8√
2 khi x= 0, x= 2. Bài toán 4.9 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (3 + 2ln2)x−2 x+1 −ln2.x 2 , x∈[0; 2].
Lời giải Ta có g(t) = −2 t −t là hàm số liên tục và nghịch biến trong [0; 2], nên với mọi t∈[0; 2] thì
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng −2 khi x= 0, x= 2.
Bài toán 4.10 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y) =xcosy−ycosx+ (x−y)1
Lời giải Ta có g(t) = sint+t là hàm số liên tục và đồng biến trên [0;y] nên với mọi t∈[0;y] thì y x
Vậy giá trị lớn nhất của f(x;y) bằng 0 khi x= 0, x=y.
Bài toán 4.11 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y) = y(x+ 1)√ x+ 1−x(y+ 1)p y+ 1 +xy √ x−√ y
Lời giải Xét hàm số g(t) = 1
Suy ra g(t) đồng biến trên đoạn [0;y] Vậy nên y x
Vậy giá trị lớn nhất của f(x, y) bằng 0 khi x= 0, x=y.
Bài toán 4.12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải Từ một bất đẳng thức đúng cost ≤1,∀t∈R thì với mọi x >0, ta có x
Tiếp theo, từ (4.1), khi x >0, thì x
Tiếp theo, từ (4.2), với x >0, thì x
Tiếp theo, từ (4.3), với x >0, thì x
Mặt khác, từ (4.3), ta có sinx x
Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 3− 12 π 2 khi x=y=z = π
Bài toán 4.13 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải Đặt e b =a, thì ab=e và a >1 Hàm số f(x) =e x liên tục, không âm và đơn điệu tăng trên (0; +∞) có f(0) = 1 và có hàm ngược là y=lnx, nên ta có a
Dấu đẳng thức xảy ra khi b=f(a) hayb =e a , từ đó, ta có a= 1, b=e.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng e, khi a= 1, b=e. Bài toán 4.14 Giả sử a, b thỏa mãn các điều kiện a≥0, b≥1, a+b= 1 +√
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải Xét hàm số f(x) =p x 2 + 1, x∈[0; +∞). Hàm số này liên tục và có đạo hàm f 0 (x) = x
√x 2 + 1 ≥0, x∈[0; +∞), nên f(x) đơn điệu tăng trên [0; +∞) Ta có f(0) = 1 và hàm ngược của f(x) là y √x 2 −1 Ta có a
≥ab hay ap a 2 + 1 +bp b 2 −1 + lna+√ a 2 + 1 b+√ b 2 −1 ≥ab.
Dấu đẳng thức xảy ra khi b = √ a 2 + 1 Kết hợp với điều kiện a +b = 1 +√
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 2√
2. Bài toán 4.15 Xét các số a, b thỏa mãn các điều kiện a≥2, b≥3, a−b= 3−√
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M = 2ab+ 9 ln b+√ b 2 −9 a−2 +√ a 2 −4a+ 13. Lời giải Hàm số f(x) = √ x 2 −4x+ 13 là một hàm liên tục, không âm trên [2; +∞) và có f 0 (x) = x−2
√x 2 −4x+ 13 >0, ∀x >2, nên nó đồng biến trên [2; +∞) và f(2) = 3 Để tìm hàm số ngược, ta xét phương trình y=p x 2 −4x+ 13 =p
Vậy f(x) có hàm ngược là f −1 (x) = 2 +p x 2 −9
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b =p
(a−2) 2 + 9 Kết hợp với điều kiện a−b 3−√
10. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 6√
10. Bài toán 4.16 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x−b) tanx+ ln|cosx|, x≥0.
Lời giải Xét hai hàm số g(t) = tant và h(t) = t Ta thấy g(t) và h(t) là các hàm liên tục, không âm và đồng biến, ∀t≥0 Ta có btanx≤ x
0 =−ln cosb , ta thu được btanx≤xtanx+ ln|cosx| −ln|cosb|, hay xtanx−btanx+ ln|cosx| ≥ln|cosb|, Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng ln|cosb| khi x=b.
Bài toán 4.17 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =e x 2 (x 6 −3x 4 + 6x 2 −7), x≥0.
Lời giải Xét hai hàm số saug(t) =t 6 và h(t) =e t 2 Ta thấy g(t) và h(t)là những hàm liên tục, không âm và đồng biến, ∀t≥0 Ta có e x 2 ≤
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) bằng −3e khi x= 1.
Bài toán 4.18 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x 2 −1) ln(1 +x)−x 2
Lời giải Xét hai hàm số saug(t) =t 6 và h(t) =e t 2 Ta thấy g(t) và h(t)là những hàm liên tục, không âm và đồng biến, ∀t≥0 Ta có x 2 ln 2 ≤
2 +x−ln(1 +x) ta thu được x 2 ln 2≤ln 2− 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) bằng 1
Khảo sát phương trình và bất phương trình đa thức
Trong bài viết này, chúng tôi nhấn mạnh các tính chất quan trọng của nguyên hàm và tích phân để phục vụ cho việc khảo sát phương trình Định lý 4.1 cho biết rằng nếu hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b], và F(x) là nguyên hàm của nó, thì khi tồn tại các điểm x₁ và x₂ trong [a; b] sao cho x₁ < x₂ và F(x₁) = F(x₂), phương trình f(x) = 0 chắc chắn có nghiệm trong khoảng [x₁; x₂].
Chứng minh Giả sử phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc [x 1 ;x 2 ] Vì f(x) liên tục nên suy ra: hoặc f(x)>0,∀x∈[x 1 ;x 2 ], hoặc f(x) 0,∀x ∈ [x 1 ;x 2 ] thì hàm số F(x) đồng biến trên đoạn [x 1 ;x 2 ] Suy ra
Nếu f(x) < 0,∀x ∈ [x 1 ;x 2 ] thì hàm số F(x) nghịch biến trên đoạn [x 1 ;x 2 ] Suy ra
Như vậy, trong cả hai trường hợp, ta đều có F(x 1 )6=F(x 2 ), điều này trái với giả thiết
Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong [x1;x2].
1 Cũng có thể phát biểu Định lí 4.1 dưới dạng sau
Nếu hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên [a;b] và nếu tồn tại các số thực phân biệt x 1 , x 2 ∈[a;b] sao cho x 2
Z x 1 f(x)dx= 0, thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc [x 1 ;x 2 ].
2 Kết hợp với Định lí Rolle, khi có F(x1) = F(x2) thì phương trình F 0 (x) = 0 hay f(x) = 0 có nghiệm trong (x 1 , x 2 ).
4.2.1 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình
Bài toán 4.19 Chứng minh rằng, nếu các hệ số của phương trình a n x n +a n−1 x n−1 +ã ã ã+a 1 x+a 0 = 0. thỏa mãn điều kiện a n n+ 1 +a n−1 n +ã ã ã+a 1
2 +a 0 = 0, thì nó có nghiệm trong (0; 1).
Lời giải Xét hàm số f(x) =a n x n +a n−1 x n−1 +ã ã ã+a 1 x+a 0 = 0.
Hàm số f(x) là một hàm liên tục trên R, có một nguyên hàm
2 +a 0 = 0 Do vậy F(0) =F(1), nên theo Định lí 4.1 (Nhận xét 4.3), phương trình a n x n +a n−1 x n−1 +ã ã ã+a 1 x+a 0 = 0. có nghiệm trong (0; 1).
Bài toán 4.20 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2 +bx+c, (a6= 0) thỏa mãn điều kiện a m+ 2 + b m+ 1 + c m = 0, m >0.
Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong (0; 1).
Lời giải Xét hàm số g(x) =ax m+1 +bx m +cx m−1 (= x m−1 (ax 2 +bx+c))
Ta thấy, g(x) là một hàm liên tục trên R và có một nguyên hàm
Ta có G(0) = 0 và G(1) = a m+ 2 + b m+ 1 + c m = 0, nên theo Định lí 4.1, phương trình g(x) = ax m+1 +bx m +cx m−1 = 0 có nghiệm trong (0; 1)
Phương trình \( f(x) = 0 \) có nghiệm trong khoảng (0; 1), điều này cho thấy tồn tại giá trị x thỏa mãn điều kiện của bài toán Trong bài toán 4.21 của kỳ thi Olympic Sinh viên năm 1997, cần chứng minh rằng, với mọi \( t \ge 0 \), phương trình \( x^3 + t x - 8 = 0 \) luôn có nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là \( x(t) \) Đồng thời, bài toán yêu cầu tính tích phân liên quan đến nghiệm \( x(t) \), nhằm làm rõ bản chất của nghiệm và kết quả toán học của phương trình này.
Dựa trên phân tích, hàm số \(f(x) = x^3 + tx - 8\) luôn có đạo hàm không âm trên \([0, +\infty)\), đảm bảo tính đơn điệu tăng trên khoảng này Chúng ta biết giá trị của hàm tại 0 là \(f(0) = -8 < 0\), còn giới hạn khi \(x\) tiến tới vô cùng là \(+\infty\), nên phương trình \(f(x) = 0\) có duy nhất một nghiệm dương Từ phương trình \(x^3 + tx - 8 = 0\), ta rút ra công thức \(t = x^2 - \frac{8}{x}\), với khi \(t = 0\), ta được \(x = 2\) Khi đó, \(t = 7\) và phương trình trở thành \( (x - 1)(x^2 + x + t) = 0 \), từ đó suy ra nghiệm là \(x = 1\) và nghiệm thứ hai thuộc tập hợp các nghiệm của bình phương bậc hai.
Bài toán 4.22 (Olympic SV năm 1998) Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0,1], f(0) < 0 và
1998,∀x > 0 Chứng minh rằng phương trình x 1997 = f(x) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0,1).
Lời giải Xét hàm số
Khi đó F(x) liên tục trên [0,1] và theo giả thiết thì F(0) 0 Do F(x) liên tục nên tồn tại ξ ∈ (0,1) để
4.2.2 Giải phương trình sinh bởi một số dạng nguyên hàm
Tích phân có nhiều tính chất quan trọng giúp trong việc xác định nghiệm của phương trình Định lý 4.2 cho biết rằng, với hai số thực a và b trái dấu (a < 0 < b) và hàm số f(x) liên tục, không âm trên khoảng [a; b], thì phương trình có thể được xác định dựa trên các tính chất của tích phân này Những đặc điểm của tích phân như tính chất không âm và liên tục của hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và tìm nghiệm chính xác của phương trình trong khoảng đã cho.
0 f(t)dt= 0 có nghiệm duy nhất x= 0.
0 f(t)dt là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b]. Nếu x= 0 thì F(0) 0
0 f(t)dt = 0 Vậy x= 0 là nghiệm của phương trình F(x) = 0.
Nếu x6= 0 và x∈ [a;b], thì từ giả thiết f(x)≥ 0, ta suy ra F(x) đồng biến trên [a;b] và F(x)6=F(0) = 0, tức phương trình F(x) = 0 không thể có nghiệm x6= 0 trên [a;b].
Phương trình F(x) = 0 có nghiệm duy nhất tại x = 0 Bằng cách chứng minh tương tự, ta xác định rõ rằng, trong các điều kiện đã cho, hàm số f(x) liên tục và không âm, đảm bảo tính duy nhất của nghiệm Định lý 4.3 chỉ ra rằng, khi hai số thực a và b trái dấu, thì hàm số liên tục có thể có nghiệm duy nhất hoặc không có nghiệm, tùy thuộc vào đặc điểm của hàm số Điều này giúp chúng ta hiểu rõ về tính chất của các phương trình liên quan đến hàm số liên tục và điều kiện của các tham số trong đó.
(có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm [a;b]) trên [a;b] Khi đó, phương trình
0 f(t)dt= 0 có nghiệm duy nhất x= 0 trên [a;b].
Định lý 4.4 cho ba số thực a, b, c (a ≤ c ≤ b, a < b) và hàm số liên tục không dương (hoặc không âm, có thể bằng 0 tại một số điểm hữu hạn trên [a; b]) cho thấy rằng, trong phạm vi này, giá trị của hàm số không vượt quá giới hạn trên của nó Điều này đặc biệt quan trọng trong việc phân tích các hàm số liên tục không âm, giúp xác định các cực trị và giới hạn của chúng trên đoạn [a; b] Việc chứng minh dựa trên phương pháp chứng minh bằng phản chứng hoặc các phép biến đổi tương tự giúp làm rõ tính chất của hàm số liên tục không âm trong đoạn đã cho.
Z c f(t)dt= 0 có nghiệm duy nhất x=c thuộc [a;b].
Bài toán 4.23 Giải phương trình sinx+ cosx+√
Lời giải Đặt F(x) = sinx+ cosx+√
Nhận thấy rằng, hàm số f(t) = cost−sint+√
2liên tục không âm∀t ∈R, nên theo Định lí 4.2, phương trình sinx+ cosx+√
Bài toán 4.24 Giải phương trình
Lời giải Đặt F(x) = 4x 3 + 12x−8−cos 3x+ 9 cosx Ta có F(0) = 0 và
Ta thấy, hàm f(t) = 12 t 2 + 1 + sin 3 t liên tục và không âm với mọi t ≥ 0, nên theo Định lí 4.2, phương trình
4x 3 + 12x−8−cos 3x+ 9 cosx= 0 có nghiệm duy nhất x= 0.
Bài toán 4.25 Giải phương trình
Lời giải Đặt F(x) = 2(x+ 1) ln (x+ 1)−x 2 −2x Ta có F(0) = 0 và
Ta thấy, hàm sốf(t) = 2 [ln(t+ 1)−t]liên tục và không dương trên (0; +∞), nênF(x)0 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm trong R +
Bài toán 4.26 Giải phương trình
Lời giải Đặt F(x) = 2 x+1 + 3 x+1 −x 2 (ln 2 + ln 3)−5 Ta có F(0) = 0 Khi đó
2 t+1 ln 2 + 3 t+1 ln 3−2t(ln 2 + ln 3) dt x
Ta thấy, hàm số f(t) = 2 ln 2 2 t −t
+ 3 ln 3 3 t −t liên tục và không âm với mọi t, nên theo Định lí 4.2, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= 0.
Bài toán 4.27 Giải phương trình xp x 2 + 1 = ln x+p x 2 + 1
. Lời giải Ta có xp x 2 + 1 = ln x+p x 2 + 1
√t 2 + 1 liên tục và không âm với mọi t, nên theo Định lí 4.2, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= 0.
Bài toán 4.28 Chứng minh rằng phương trình x−cosx− π
4. Lời giải Đặt F(x) = x−cosx Ta có
Vậy, ta có thể viết
Ta thấy, f(t) = 1 + sint là hàm liên tục, không âm trên R, nên theo Định lí 4.2, phương trình có nghiệm duy nhất x= π
4. Bài toán 4.29 Chứng minh rằng phương trình e −x −sin e −x cos e −x
−π= 0 có nghiệm duy nhất x=−lnπ.
Lời giải Xét hàm số
Phương trình đã cho tương đương với
Hàm số f(t) = −2e −t sin 2 e −t là hàm liên tục, không dương ∀t ∈ R, nên theo Định lí 4.4 thì phương trình có nghiệm duy nhất x=−lnπ.
Bài toán 4.30 (Olympic SV năm 2001) Chứng minh rằng tồn tại số thực x ∈ (0; 1) sao cho
Do f(x) liên tục trên đoạn[0,1] nênF(x)có đạo hàm trên (0,1), liên tục trên đoạn [0,1] và F 0 (x) 1
Mặt khác, ta có F(1) = F(0) = 0 Theo định lí Rolle, tồn tại số x ∈ (0,1) sao cho
R x f(t)dt =xf(x) Đây chính là điều phải chứng minh.
Luận văn “Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan” giới thiệu các tính chất cơ bản của tích phân hàm một biến, giúp hiểu rõ hơn về các đặc điểm của tích phân trong toán học Bài viết phân loại các dạng toán ứng dụng liên quan đến đa thức và phân thức, cung cấp kiến thức cần thiết để giải quyết các bài toán thực tế trong lĩnh vực này Việc nắm vững các đẳng thức, bất đẳng thức tích phân giúp nâng cao kỹ năng và hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ.
Luận văn đã giải quyết được những vấn đề sau:
- Khảo sát một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức chứa tích phân trong lớp đa thức.
- Khảo sát một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức chứa tích phân trong lớp hàm phân thức hữu tỷ.
- Xét một số áp dụng trong các bài toán cực trị, khảo sát phương trình đa thức và phân thức liên quan.
Luận văn tổng hợp các đề thi học sinh giỏi trong nước, các kỳ Olympic khu vực và quốc tế, tập trung vào các dạng đề liên quan đến đẳng thức và bất đẳng thức trong tích phân, đa thức và phân thức Các đề thi này giúp nâng cao kỹ năng tư duy logic và khả năng giải quyết các bài toán khó liên quan đến đẳng thức, bất đẳng thức trong lĩnh vực toán học nâng cao Công trình góp phần định hướng học sinh ôn tập và chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng, đồng thời mở rộng kiến thức về các phương pháp chứng minh và áp dụng đẳng thức, bất đẳng thức trong các bài toán thực tế và lý thuyết.