048 đề hsg toán 9 thuận châu 21 22

4,0 điểm Cho tam giác ABCcân tại A,đường cao AD H, là trực tâm.. Vẽ đường tròn tâm Ođường kính AH.Đường tròn  O cắt ABtại M,cắt ACtại N... 2,0 điểm Cho tam giác ABCvuông tại A.Gọi Ilà

UBND HUYỆN THUẬN CHÂU

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2021-2022 MÔN : TOÁN HỌC

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

:

2

A

b a

    với avà blà các số dương khác nhau a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của Akhi a  7 4 3và b  7 4 3

Câu 2 (3,0 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x22y22xy3y 4 0

b) Chứng minh A 1991 1993  1993 1991chia hết cho 12

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Cho a b c , , 0.Chứng minh 1 1 1 8

b) Với x y, là các số dương thỏa mãn điều kiện x2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

M

xy





Câu 4 (3,0 điểm)

a) Giải phương trình :  x 1 1  3 2 x 1 2   x 1

b) Cho 3 đường thẳng

 

 

1

2

3

 

 

*) Chứng minh: khi mthay đổi thì  d1 luôn đi qua một điểm cố định

*) Chứng minh rằng : Nếu    d1 / / d3 thì    d1  d2

Câu 5 (4,0 điểm) Cho tam giác ABCcân tại A,đường cao AD H, là trực tâm Vẽ đường tròn tâm Ođường kính AH.Đường tròn  O cắt ABtại M,cắt ACtại N.

Chứng minh :

)

a AM AN

b) B H N, , thẳng hàng

)

c DN là tiếp tuyến của đường tròn  O

Câu 6 (2,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A.Gọi Ilà giao điểm các đường phân giác trong Biết AB5cm IC, 6cm.Tính BC

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

:

2

A

b a

    với avà blà các số dương khác nhau

c) Rút gọn biểu thức A

2

:

2

:

.

33

14 8 3 7 4 3 4 3

A

b a

A



Câu 2 (3,0 điểm)

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x22y22xy3y 4 0

2 2

2 2

2

 





d) Chứng minh A 19911993 19931991chia hết cho 12

 1993  1991

1993 1991

1993 1991

1992 12 A  1 1  0 mod12



Vậy A12(đpcm)

Câu 3 (4,0 điểm)

c) Cho a b c , , 0.Chứng minh 1 1 1 8

1 1 1

VT

Co si

        

Dấu bằng xảy ra khi a b c 

d) Với x y, là các số dương thỏa mãn điều kiện x2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

M

xy





Ta có : x y, là số dương thỏa mãn x2y

 2

2 2

x y

M



Câu 4 (3,0 điểm)

c) Giải phương trình :  x 1 1  3 2 x 1 2   x 1

ĐK: x 1 Đặt x1 1 y

d) Cho 3 đường thẳng

 

 

1

2

3

 

 

*) Chứng minh: khi mthay đổi thì  d1 luôn đi qua một điểm cố định

*) Chứng minh rằng : Nếu    d1 / / d3 thì    d1  d2

Giải

*)

   

2

5

y m x x m

Để (*) đúng với mọi m thay đổi thì



Vậy khi m thay đổi  d1 luôn đi qua điểm cố định 1; 4 

*) Vì    d2 , d3 có a a ' 1.( 1)     1    d2  d3 mà      d1 / / d3 gt     d1  d2

Câu 5 (4,0 điểm) Cho tam giác ABCcân tại A,đường cao AD H, là trực tâm Vẽ đường tròn tâm Ođường kính AH.Đường tròn  O cắt ABtại M,cắt ACtại N.

Chứng minh :

N M

O

H D

A

)

a AM AN

ABC

 cân tại A, ADlà đường cao ADlà phân giác BAC BADCAD

Hay HAM HAN

,

M N đường tròn đường kính AH  AM MH AN, HN

Xét AMH vuông tại M và ANHvuông tại N có :

;

   AMH ANH  AM AN

b) B H N, , thẳng hàng

Ta có : Hlà trực tâm ABC BH ACmà HN AC cmt( )

 qua H chỉ có một đường thẳng vuông góc với AC  B H N, , thẳng hàng

)

c DN là tiếp tuyến của đường tròn  O

Ta có : ON OA  ONAcân tại O OAN ONA(1)

BNC

 vuông tại N có NDlà đường trung tuyến nên ND BD

BDN

  cân tại D DBN DNB 2

Mà DBN OAN(cùng phụ ACB) 3 

Từ (1), (2), (3) ONADNB

90

90

      mà N( )O  DNlà tiếp tuyến của (O)

Câu 6 (2,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A.Gọi Ilà giao điểm các đường phân giác trong Biết AB5cm IC, 6cm.Tính BC

E

D I

A

Gọi D là hình chiếu vuông góc của Ctrên đường thẳng BI E, là giao điểm của AB

và CD BIC  có DIClà góc ngoài nên :

1

90 : 2 45 2

DIC

6 2

Mặt khác BDlà đường phân giác và đường cao nên tam giác BECcân tại B

 

12 2.

2

ACEta có : AC2 BC2 AB2 x2 52 x2 25

 2

12 : 22 2x2 10x x2 5x 36 0 x 9( )tm

Vậy BC 9cm