046 đề hsg toán 8 bắc giang 22 23

PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức với 2) Cho các số thực thỏa mãn và[.]

PHÒNG GD&ĐT

THÀNH PHỐ BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN

LỚP 8 NĂM HỌC : 2022-2023 Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 (4,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức

1

2 8 8 4 2

A

0 2

x x





2) Cho các số thực a b, thỏa mãn 4a2  5ab b 2  0và 2a b  0.Tính giá trị của biểu thức 4 2 2

ab E





Bài 2 (3,0 điểm)

1) Tìm tất cả các số tự nhiên m n, thỏa mãn m2 n2 4n 157

2) Giải phương trình 3x 23  x33 2x13 0

Bài 3 (6,0 điểm)

1) Đa thức f x khi chia cho x 1dư 4, khi chia cho x 2 1dư 3x 5.Tìm đa thức

dư khi chia f x cho x 1 x2  1

2) Tìm tất cả các số tự nhiên nđể  2   2 

là số nguyên tố 3) Tìm tất cả các số xnguyên dương để 4x3 14x2 9x 6là số chính phương

Bài 4 (6,0 điểm)

1) Cho hình vuông ABCDcó độ dài cạnh bằng a,biết hai đường chéo cắt nhau tại O Lấy điểm I thuộc cạnh AB,điểm M thuộc cạnh BCsao cho IOM  90 

(I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông) Gọi Nlà giao điểm của ,

a) Chứng minh BIOCMOvà tính diện tích tứ giác BIOM theo a

b) Chứng minh MKN OIM  180 

2) Cho ABC, các đường trung tuyến BM CN, cắt nhau tại G Gọi Klà điểm trên cạnh BC K B C, .Đường thẳng qua K và song song CN cắt AB BM, lần lượt tại D H, Đường thẳng qua K và song song BM cắt AC, CN lần lượt tại E O, Gọi I là giao điểm của KG DE, Chứng minh rằng Ilà trung điểm của DE

Bài 5 (1,0 điểm) Cho x y, là hai số thực thỏa mãn x2y2 xy4.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A x 2y2

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

3) Rút gọn biểu thức

1

2 8 8 4 2

A

0 2

x x





2

2

1

2 8 8 4 2

.

2 4 2

A

x

   

 

4) Cho các số thực a b, thỏa mãn 4a2 5ab b 2  0và 2a b  0.Tính giá trị của biểu thức 4 2 2

ab E





Ta có : 4a2 5ab b 2  0

   

2

1

a b

a b a b

b a ktm do a b

E







Bài 2 (3,0 điểm)

3) Tìm tất cả các số tự nhiên m n, thỏa mãn m2 n2 4n 157

Ta có :

2

Vì m n  , nên m n   2 2 Khi đó m n  2 3;9;17;51;153 Do đó

2 153 77

tm



4) Giải phương trình      

3x 2  x 3  2x 1  0

     

2 1 3 3 2 3 2 1 2 1 0

2

2

x x

x

x







 











  



Vậy phương trình có tập nghiệm

;3;

S   

Bài 3 (6,0 điểm)

4) Đa thức f x khi chia cho x 1dư 4, khi chia cho x 2 1dư 3x 5.Tìm đa thức dư khi chia f x cho x 1 x2  1

Ta có f x chia cho đa thức    2 

có bậc là 3

 

f x

 chia cho đa thức    2 

x x 

có thương là Q x và đa thức dư là

2

ax bx c

       

       

2

2

3

5

b

c a

        





 



Từ (1) và (2) suy ra a2,b3,c3

5) Tìm tất cả các số tự nhiên nđể Pn2  2n 1 n2  2n 2 1là số nguyên tố

Ta có Pn2  2n 1 n2  2n 2 1

        

Để biểu thức Plà số nguyên tố thì

2

2

0 3( )

1 1( )

1 1( )

2 3( )

      

  





             



Vậy n 0; 2

6) Tìm tất cả các số xnguyên dương để 4x3 14x2 9x 6là số chính phương.

Để Blà số chính phương thì :

2 4 6 3

Đặt UCLN x  2; 4x2 6x 3 d d   *

2 4 2

1

d





Khi đó x2; 4x26x 3là hai số nguyên tố cùng nhau

Suy ra x 2và 4x2 6x 3đều là số chính phương

2

2

4 6 3

  



  



Mà 4x22,6 2,3x không chia hết cho 2 nên blẻ , do đó  

2

2 1

b x

4x 6x 3 2x 1 2x 4 x 2 tm x 2 a

2

4 14 9 6 4 12 9 4 12 9

2 12 15 0( 3)

Vậy x 2thì B 4x3 14x2 9x 6là số chính phương

Bài 4 (6,0 điểm)

3) Cho hình vuông ABCDcó độ dài cạnh bằng a,biết hai đường chéo cắt nhau tại O Lấy điểm I thuộc cạnh AB,điểm M thuộc cạnh BCsao cho

90

IOM

   (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông) Gọi N là giao điểm của AM CD, K là giao điểm của OM BN,

M O

C

B A

D

I

N

c) Chứng minh BIOCMOvà tính diện tích tứ giác BIOM theo a

Xét BIOvà CMOcó :

45 ,

     (tính chất hình vuông);IOBMOC(cùng phụ

Mặt khác S BIOM S BIOS BOM, mà S BIO S COM vì BIOCMO

2 2

( )

a

d) Chứng minh MKN OIM 180

Ta có : / /

AB CD

   (đồng vị) (1)

IMO

 có : O90 , OI OM BIOCMO IMOvuông cân tại O

 2

  

Từ (1), (2) MKBOIM Ta có MKB MKN  180 

180

4) Cho ABC, các đường trung tuyến BM CN, cắt nhau tại G Gọi Klà điểm trên cạnh BC K B C,  .Đường thẳng qua K và song song CN cắt AB BM, lần lượt tại D H, Đường thẳng qua K và song song BM cắt AC, CN lần

lượt tại E O, Gọi I là giao điểm của KG DE, Chứng minh rằng I là trung điểm của DE

P

I

O

E H

A

B

C K

Ta có :

2 / /

3

KD CN

(định lý Ta-let)

Ta lại có

2

3

Gọi P là giao điểm của HO GK, Ta có KH / /GO KO GH, / /

Do đó tứ giác HKOGlà hình bình hành

Suy ra Plà trung điểm của HO,ta có HP DI/ /

(hệ quả Talet ) (1)

Ta có / /

PO IE

(hệ quả Talet) (2)

Từ (1), (2)

mà HP PO  DI IE Ilà trung điểm của DE

Bài 5 (1,0 điểm) Cho x y, là hai số thực thỏa mãn x2y2 xy4.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A x 2y2

*Ta có :x2y2 xy4

 

2

2 2

2 2

2 8

2 4

Max A

x y

x y xy

           

      

 



*Ta có : x2y2 xy4

 

2 2

2

4

8

3

   

      

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2

2 2

4 3 4

x

x y xy







  



Vậy

2 3 2 3

;

;

Min A







 





