021 đề hsg toán 9 quế sơn 21 22

Gọi Olà giao điểm của hai đường chéo ACvà BD.Qua O vẽ đường thẳng song song với ABcắt ADtại Evà cắt a Chứng minh hai tam giác AODvà BOCcó diện tích bằng nhau b Chứng minh c Gọi K là điểm

UBND HUYỆN QUẾ SƠN

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2021-2022 Môn : TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4,0 điểm)

a) Cho ax3 by3 cz3và

1 1 1

1

Chứng minh rằng 3ax2by2cz2 3 a3b3c

b) Giải phương trình

2

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình





 b) Cho a b, là các số thực

1 )

b Chứng minh  2  2 2

2

2 )

b Biết a2b2 2,hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3a b ab

Bài 3 (4,0 điểm) Cho hình thang ABCD AB CD / /  Gọi Olà giao điểm của hai

đường chéo ACvà BD.Qua O vẽ đường thẳng song song với ABcắt ADtại Evà cắt

a) Chứng minh hai tam giác AODvà BOCcó diện tích bằng nhau

b) Chứng minh

c) Gọi K là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng OE M, là trung điểm của FD.Vẽ EN

song song với KM N FD  .Chứng minh đường thẳng KN chia tam giác

DEF thành hai phần có diện tích bằng nhau

Bài 4 (4,0 điểm) Từ điểm Anằm ngoài đường tròn tâm O, ta vẽ hai tiếp tuyến AB,

AC(B và C là hai tiếp điểm) Vẽ cát tuyến AEFkhông đi qua tâm O (E nằm giữa A

và F, O và B nằm về hai phía của cát tuyến) Gọi Klà trung điểm của EF

a) Chứng minh 5 điểm A B K O C, , , , cùng thuộc một đường tròn và KAlà phân

giác của góc BKC

b) Vẽ dây EDvuông góc với OBsao cho EDcắt BCtại M Gọi Hlà giao điểm của AKvà BC Chứng minh AH AK AE AF.

c) Chứng minh FM đi qua trung điểm Icủa AB

Bài 5 (4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên tố pđể 4p 2 1và 6p 2 1cũng là số nguyên tố

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 4x2y24x 6y 24 0

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

c) Cho ax3 by3 cz3và

1 1 1

1

Chứng minh rằng 3 ax2by2cz2 3 a3 b3c

Đặt

  (vì ax3by3 cz3)

Tương tự :

A A A

d) Giải phương trình

2

15

2

x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

2 3

x 

Bài 2 (4,0 điểm)

c) Giải hệ phương trình





 Đặt u x 23 ;x vy22y, hệ đã cho trở thành :

2 2 2 2

3 3 0

2 2 0( )

1; 3

2 3 0

    

 



      



 Vậy hệ có 4 nghiệm là x y  ;   1;1 , 1;3 , 2;1 , 2; 3       

d) Cho a b, là các số thực

1 )

b Chứng minh a b 2  2a2 b2

a b 2  2a2 b2  a2  2ab b 2  2a2  2b2  a2  2ab b 2   0 a b 2 0

(luôn đúng)

2 )

b Biết a2b2 2,hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M 3a b ab

2

2 2

1

2 1

2

2

22

4



Vậy không có giá trị của a,b để P min

Bài 3 (4,0 điểm) Cho hình thang ABCD AB CD / /  Gọi Olà giao điểm của hai đường chéo ACvà BD.Qua O vẽ đường thẳng song song với ABcắt ADtại Evà cắt BCtại F

I M

E

N

F O

K

d) Chứng minh hai tam giác AODvà BOCcó diện tích bằng nhau

    hay S AOD S BOC

e) Chứng minh

Vì / /

EO DC

, Mặt khác AB DC/ /





f) Gọi K là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng OE M, là trung điểm của FD.Vẽ

EN song song với KM N FD  .Chứng minh đường thẳng KNchia tam giác DEFthành hai phần có diện tích bằng nhau.

Dựng trung tuyến EM,dựng EN/ /MK N DF   Kẻ đường thẳng KNlà đường phải dựng

Chứng minh S EDM S EFM  1

Gọi giao điểm của EM và KN là I thì S IKE S IMN 2

Từ (1) và (2) suy ra S DKEN S KFN

Bài 4 (4,0 điểm) Từ điểm Anằm ngoài đường tròn tâm O, ta vẽ hai tiếp tuyến

,

AB AC(B và C là hai tiếp điểm) Vẽ cát tuyến AEFkhông đi qua tâm O (E nằm giữa Avà F, O và B nằm về hai phía của cát tuyến) Gọi Klà trung điểm của EF

J

I

H

M

C

B

F

d) Chứng minh 5 điểm A B K O C, , , , cùng thuộc một đường tròn và KAlà phân giác của góc BKC

Ta có : OBA OCA 90   90   180  nên ABOCnội tiếp

Vì K là trung điểm của EF nên OK EF

Ta có OKAOBAOCA 90 

, , , ,

B K O C A

 cùng thuộc đường tròn đường kính OA

Ta có BKABOA(cùng chắn cung OA), AKCAOC(cùng chắn cung AC)

e) Vẽ dây EDvuông góc với OBsao cho EDcắt BCtại M Gọi Hlà giao điểm của AKvà BC Chứng minh AH AK AE AF.

f) Chứng minh FM đi qua trung điểm Icủa AB

Gọi J là giao điểm của AK và BC, I là giao điểm của FM và AB.ta có :

,

   (cùng bằng ACB)

2

Tương tự ta có

2



 Vậy

Ta có :













Vậy

1

AI

EM  EM   Vậy I là trung điểm của AB dfcm( )

Bài 5 (4,0 điểm)

c) Tìm tất cả các số nguyên tố pđể 4p 2 1và 6p 2 1cũng là số nguyên tố

Nhận xét : plà số nguyên tố 4p2 1 5và 6p  2 1 5

Đặt :

Khi đó

- Nếu pchia cho 5 dư 4 hoặc dư 1 thì p1  p1chia hết cho 5

5

x

  mà x  5 xkhông là số nguyên tố

- Nếu pchia cho 5dư 3 hoặc dư 2 thì  p 2 p2chia hết cho 5

4 y

 chia hết cho 5 mà 4,5 1nên y chia hết cho 5 mà y 5 ykhông là số nguyên tố

Vậy pchia hết cho 5 mà p là số nguyên tố nên p 5

Thử với p 5thì x101,y151là các số nguyên tố

d) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 4x2y2 4x 6y 24 0

2 2 2 2

*) 1:

3 25

*) 2 :

TH

y

Th

y









Vậy nghiệm của phương trình là :

1;8 , 1; 2 , 2;8 , 2; 2 , 2;6 , 2;0 , 3;6 , 3;0               