067 đề hsg toán 9 triệu sơn 21 22

Gọi EFlà dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho Ethuộc cung AF và 2 AB EF .. Gọi H là giao điểm của AF BE C, , là giao điểm của AE BF I, , là giao điểm của CH AB, 1 Chứng minh rằn

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN TRIỆU SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022

Môn : Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 31/12/2021

Câu I (4,0 điểm)

1) Cho biểu thức

.

a) Rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh rằng A 6với mọi xthỏa mãn điều kiện xác định

2) Cho ba số thực a b c, , khác 0 thỏa mãn

2

Tính giá trị biểu thức Pa2021 b2021 b2021 c2021 c2021 a2021

Câu II (4,0 điểm)

1 Giải phương trình x2  3x  5 2 x 3 x2  2x 2

2 Tìm cặp số x y; đồng thời thỏa mãn 2 đẳng thức    1 , 2 sau đây :

 

1 ;

Câu III (4,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên xvà y thỏa mãn 5x22xy y 2  4x 40 0

2) Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn a3b3  2021 c3 Chứng minh rằng

a b c  chia hết cho 3

Câu IV (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R Gọi EFlà

dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho Ethuộc cung AF và 2

AB

EF 

Gọi

H là giao điểm của AF BE C, , là giao điểm của AE BF I, , là giao điểm của CH AB,

1) Chứng minh rằng tam giác ACIvà tam giác ABEđồng dạng với nhau

2) Đường thẳng AFcắt tiếp tuyến tại Bcủa (O) ở N,các tiếp tuyến tại A F, của

(O) cắt nhau tại M Chứng minh ONMB

3) Xác định vị trí EFtrên nửa đường tròn để tứ giác AEFBcó diện tích lớn nhất

Câu V (2,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc 1.Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức  2  2  2      

P

ĐÁP ÁN Câu I (4,0 điểm)

3) Cho biểu thức

.

c) Rút gọn biểu thức A

0

.

1

.

.

x

x

x

d) Chứng minh rằng A 6với mọi xthỏa mãn điều kiện xác định

Với mọi x0,x1ta có :  x 12  0

x

4) Cho ba số thực a b c, , khác 0 thỏa mãn

2

Tính giá trị biểu thức Pa2021 b2021 b2021 c2021 c2021 a2021

a b c  a b c

2

2

0

a b c b c a c a b

a b c b c a c a b abc

a b a c b c b a c a c b abc

a b c a b c bc bc b c

b c a a b c bc

b c a ab ac bc b c a b a c

b c

 

0

0

b c



Câu II (4,0 điểm)

3 Giải phương trình x2  3x  5 2 x 3 x2  2x 2

2

2

2

Dat t dat u

 

    

4 Tìm cặp số x y; đồng thời thỏa mãn 2 đẳng thức    1 , 2 sau đây :

 

1 ;

Đặt

1

1

y

x



  



Ta có hệ phương trình :

 

9

2

2

4 2

a ab



 



 

2

3

2

Ta có hệ phương trình :

2

2

2 1

3

x

x y y

x y

x







  



Vậy x y ;   1; 2 ; 1; 4   

Câu III (4,0 điểm)

3) Tìm các số nguyên xvà y thỏa mãn 5x22xy y 2 4x 40 0

Vì x y,  ; 2x1là số nguyên lẻ và 41 16 25   nên :

   

2 2

1

x x







Giải 4 hệ phương trình :

Tìm được 4 nghiệm của phương trình đã cho là :

x y ;  3;1 , 3; 7 , 2;6 , 2; 2        

4) Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn a3 b3  2021 c3 Chứng minh rằng

a b c  chia hết cho 3

3 3

a b c   a b c 

 

     

3 3

3 3 3

3

3 3 3

3

3 3

3

a a b c a b c b c

a a b c a b c b bc b c c

a b c b c a ab ac bc

a b c b c a b a c

a b c a b c b c a b a c

3 3 3 2022 3 3

3

a b c

b c a b a c













Câu IV (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R Gọi EFlà dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho Ethuộc cung AFvà 2

AB

EF 

Gọi H là giao điểm của AF BE C, , là giao điểm của AE BF I, , là giao điểm của

,

CH AB

X

K M

N

I

C

H

F

B O

A

E

4) Chứng minh rằng tam giác ACIvà tam giác ABEđồng dạng với nhau.

Ta có AEBAFB90  BE CF, là đường cao ABCmà H là giao điểm EB AF, nên H là trực tâm ABC CH ABtại I

Xét ACI và ABEcó : AICAEB90 , CABchung

( )

ACI ABE g g

5) Đường thẳng AFcắt tiếp tuyến tại Bcủa (O) ở N,các tiếp tuyến tại A F, của (O) cắt nhau tại M Chứng minh ON MB

Xét MAOvà ABNcó OAM NBA 90 

OMA BAN

  (cùng phụ với NAM)

2 ( )

1 2

MAO ABN g g

( ) 90

MAB OBN c g c NOB MBA BMA MBA

ON MB

6) Xác định vị trí EFtrên nửa đường tròn để tứ giác AEFBcó diện tích lớn nhất

Dễ thấy OMNlà tam giác đều nên MN R.Gọi K là trung điểm EF  OK EF

OMN

2

.

R

S OK EF 

Dựng EX FY, lần lượt vuông góc với ABtai E, F thì EXFYlà hình thang vuông Dựng KPAB Plà trung điểm của XY  KPlà đường trung bình hình thang

EXFY

AOE BOF

S  OA EX  R EY S  OB FY

Mà S AEFB S OMN S AOES OBFmà S OMNkhông đổi

max

AEFB AOE OBF

AOE OBF

S S  R EX FY  R KP R KP

OKP

 vuông có

2

KP KO   S S 

Dấu bằng xảy ra khi

/ /

P O  DK EF  EF AB

Câu V (2,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  2  2  2      

P

Đặt 2 ; 2; 2

xy yz zx

, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

2

1

xy z zx y yz x

xy z  zx y  yz x     

Để ý đến bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có xy z 22 x2 z2 y2 z2

Suy ra      

2

x y y z

Hoàn toàn tương tựu ta được :



Cũng theo đánh giá như trên

xy z 2 zx y 2 yz x 2  x2 y2 y2 z2 z2 x2

Khi đó ta có            

xy z zx y yz x  x y y z z x

Do đó ta được bất đẳng thức

2

2

xy z zx y yz x

x y z y z x z x y x y z



Ta cần chứng minh

2

1

x y z y z x z x y x y z



Để ý ta phân tích được :

x y z y z x z x y  x y z  x y x z y z

Do đó

2

1

x y z y z x z x y x y z



Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a b c   1