Dạng toán 36 tính xác suất bằng định nghĩa

Gọi A là biến cố: “số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn”.. Gọi B là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ A.. Chọn ngẫu nhiên một số từ A .Tính xác suất để số

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm xác suất của biến cố.

Gọi A là biến cố: “số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn”.

Có 2 phương án xảy ra:

Phương án 1: số được chọn có 3 chữ số chẵn khác nhau Ta có: 4.4.3 48 số

Phương án 2: số được chọn có 1 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.

DẠNG TOÁN 36: TÍNH XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Chọn tùy ý 1 số chẵn có 5 cách chọn, chọn 2 chữ số lẻ có: C  chách chọn Hoán vị 3 chữ số vừa52 10chọn được Ta có: 5.10.3! 300. Trong 300 cách chọn trên có những trường hợp số có chữ số hàng trăm

Ta có S có 6! phần tử.

Vậy số phần tử của không gian mẫu là n    6!

Gọi B là biến cố số được chọn có tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng 3 chữ số sau 3 đơn vị.

Do tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng 3 chữ số sau 3 đơn vị nên tổng của 3 chữ số đầu bằng9

Câu 36.2: Gọi X là tập các số tự nhiên có 5 chữ số Lấy ngẫu nhiên hai số từ tập X Xác suất để

nhận được ít nhất một số chia hết cho 4 gần nhất với số nào dưới đây?

Lời giải Chọn C

Ta có số phần tử của tập X là n X   9.104 90000, trong đó có

99996 10000

1 225004



 

số chia hết cho 4 và 90000 22500 67500  số không chia hết cho 4

Gọi A là biến cố nhận được ít nhất một số chia hết cho 4.

Số phần tử của không gian mẫu là   2

90000

n  C

Số phần tử của không gian thuận lợi cho biến cố A (cả hai đều không chia hết cho 4) là

+ Số các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ tập trên là: n  A75 cách

+ Mỗi một số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt chữ số 3 và chữ số 3 đứng ở chính giữa là mộtchỉnh hợp chập 4 của 6 số còn lại Vậy có: A số.64

Vậy xác suất để số được chọn có mặt chữ số 3 và chữ số 3 đứng ở chính giữa là:

4 6 5 7

17

A

A  .

Câu 36.4: Cho tập hợp A 1;2;3;4;5;6

Gọi B là tập hợp các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ A Chọn thứ tự 2 số thuộc tập B Xác suất để 2 số được chọn có đúng một

A

677040679057

P 

2017679057

P 

2016679057

P 

1679057

P 

Lời giải Chọn A

Có tất cả C20193 cách chọn 3 số tự nhiên từ tập hợp M 1; 2;3; ;2019

.Suy ra   3

2019

n  C Xét biến cố :A “Chọn 3 số tự nhiên sao cho không có 2 số tự nhiên liên tiếp”.

Ta có :A “Chọn 3 số tự nhiên sao luôn có 2 số tự nhiên liên tiếp”.

Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Trong ba số chọn được chỉ có 2 số liên tiếp:

+ Nếu 2 số liên tiếp là 1;2

hoặc 2018; 2019

thì số thứ ba có 2019 3 2016  cách chọn(do không tính số liên tiếp sau và trước mỗi cặp số đó)

+ Nếu 2 số liên tiếp là 2;3

, 3;4

, ,2017;2018

thì số thứ ba có 2019 4 2015  cáchchọn (do không tính 2 số liền trước và sau mỗi cặp số đó)

Câu 36.6: Xét tập hợp A gồm tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau Chọn ngẫu nhiên một

số từ A Tính xác suất để số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng a a a a Khi đó1 2 3 4

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 1 số trong 4536 số

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là  C45361 4536

Gọi A là biến cố “Số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước”.

Số được chọn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nên a , 1 a , 2 a , 3 a thuộc tập4

1;2;3; 4;5;6;7;8;9

X 

Mỗi bộ gồm 4 chữ số khác nhau lấy ra từ X có một cách sắp xếp

theo thứ tự tăng dần Do đó trường hợp này có C 94 126 số.

Suy ra số phần tử của biến cố A là n A   126

Số phần tử của không gian mẫu là   3 3

Câu 36.8: Một Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau tạo ra từ các chữ số 0, 1, 2, 3,

4, 5, 6 Lấy ngẫu nhiên một số từ tập A Xác suất để số lấy được là số tự nhiên có 4 chữ số

khác nhau không lớn hơn 2503 bằng

Số phần tử không gian mẫu:   4 3

7 6 720

n  A  A 

( gồm các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau

được lập từ tập A , trừ đi các số có chữ số 0 đứng đầu)

Gọi B : “ số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau không lớn hơn 2503”

Gọi số cần tìm là: abcd 2503

Trường hợp 1: a2a0có 1 cách chọn

Chọn bcd có A cách 63

Câu 36.9: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có ba chữ số Tính xác suất để số được chọn không vượt

quá 600 , đồng thời nó chia hết cho 5

Số phần tử của không gian mẫu là: n    9.102 900

Số tự nhiên có ba chữ số nhỏ nhất là 100 5.20

Số tự nhiên lớn nhất không vượt quá 600 là 600 5.120

Do đó số các số tự nhiên có ba chữ số không vượt quá 600 và đồng thời chia hết cho 5 là

Câu 36.10: Có 100 tấm thẻ được đánh số từ 801 đến 900 (mỗi tấm thẻ được đánh một số khác nhau)

Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp Tính xác suất để lấy được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trênthẻ là số chia hết cho 3

Số cách lấy ra 3 tấm thẻ trong 100 tấm thẻ là C 1003 161700 n  161700

.Trong 100 tấm thẻ từ 801 đến 900 , số các tấm thẻ chia hết cho 3, chia 3 dư 1, chia 3 dư 2 lầnlượt là 34 tấm, 33 tấm, 33 tấm

Gọi A là biến cố “Lấy được ba tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ chia hết cho 3”

Trường hợp 1: Cả ba tấm thẻ lấy ra đều chia hết cho 3.

Số phần tử của không gian mẫu là: n     62 36.

Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 6”

Tập hợp các quả của biến cố A là:

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu: n  A64 360

Gọi A là biến cố: “Số được chọn có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ”

Có tất cả A 64 360 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau từ tập A

.C 2! 160

.359

C

Câu 36.14: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1,

2, 3 , 4, 5 Chọn ngẫu nhiên từ S một số Tính xác suất để số được chọn là số chia hết cho 6

Ta có n S  A53 60

Gọi số chia hết cho 6 là abc Để chia hết cho 6 thì

 

2, 42

c c

Câu 36.15: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số Chọn ngẫu nhiên từ S một phần tử Xác

suất để số được chọn chia hết cho 7 và có số hàng đơn vị bằng 1

Số phần tử của tập hợp S là n    9.104

.Gọi a7 * 3A là số được chọn ra từ tập hợp S thỏa mãn đề bài (vì a có hàng đơn vị bằng 1).

Điền ngẫu nhiên các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào bảng trên (mỗi ô chỉ điền một số) Gọi A là biến cố Mỗi hàng, mỗi cột bất kì đều có ít nhất một số lẻ” Xác suất của biến cố A bằng

Ta có số phần tử của không gian mẫu là n     9! 362880

.Xét biến cố đối A “tồn tại một hàng hoặc một cột chứa toàn số chẵn” Để biến cố A xảy ra talần lượt thực hiện các bước sau

Bước 1: chọn một hàng hoặc một cột chứa toàn số chẵn Bước này có 6 cách

Bước 2: chọn ba số chẵn trong các số 2, 4, 6, 8 và xếp vào hàng hoặc cột này Bước này có A43cách

Bước 3: xếp 6 số còn lại vào 6 ô còn lại Bước này có 6! cách

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là   3

Câu 36.17: Cho tập hợp X gồm các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau có dạng abcdef Từ

X lấy ngẫu nhiên một số Xác suất để số lấy ra là số lẻ và thỏa mãn a b c d e     f là

Xét dãy gồm 6 ký tự 0bcde thỏa mãn 07   b c d e  7  **

Câu 36.18: Gọi S là tập các số tự nhiên có 5 chữ số Chọn ngẫu nhiên từ tập S một phần tử Xác

suất để số chọn được chia hết cho 7 và có số hàng đơn vị là 1 là

Số phần tử của không gian mẫu: n S   9.10.10.10.10 90 000

Cách 1:

Nhận thấy số cần tìm phải có dạng 7 3A (để chữ số tận cùng là 1).

Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là abcd 1

Ta có: abcd1 10. abcd 1 3.abcd7.abcd chia hết cho 7 khi và chỉ khi 3.1 abcd  chia1

là số tự nhiên  k   với 3 1l l  *

Khi đó ta được: 2 3 1  3 1 1 7 2

3

l abcd  l     l

chia hết cho 7 và có số hàng đơn vị là 1

Cách 3:

Số tự nhiên nhỏ nhất có 5 chữ số chia hết cho 7 và có số hàng đơn vị là 1 là: u 1 10031.

Ta thấy số tự nhiên tiếp theo gần nhất cũng thỏa mãn điều kiện trên là: u 1 70 10101

Số tự nhiên lớn nhất có 5 chữ số chia hết cho 7 và có số hàng đơn vị là 1 là: u  n 99981.

Suy ra có

99981 10031

1 128670

Số chia hết cho 15 vậy chia hết cho 3 và chia hết cho 5

Do đó số tận cùng là 5

Mà 1 2 3 4 5 6 7 28       chia 3 dư 1 vậy hai số lập lại có tổng chia cho 3 dư 1.

Vậy hai số lập lại là 1;3 ; 1;6 ; 2;5 ; 3; 4 ; 3;7 ; 4;6          

Câu 36.20: Có 30 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 30 Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ Tính xác

suất để lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn Trong đó có đúng 1 tấm thẻmang số chia hết cho 10

Lời giải Chọn A

Số phần tử của không gian mẫu   10

30

n  C

Chia 30 tấm thẻ thành 3 nhóm:

Nhóm 1: Các thẻ mang số lẻ có 15 thẻ

Nhóm 2: Các thẻ mang số chẵn và chia hết cho 10 có 3 thẻ

Nhóm 3: Các thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 10 có 12 thẻ

5 1 4

15 3 12

99 667

Tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhauSA103  A92 648

Không gian mẫu là   1

648 648

n  C 

Số các số có các số tự nhiên có 5 chữ số được lập từ tập hợp X 1, 2,3, 4,5,6 là 65 số.

Số phần tử của không gian mẫu là n    65

A là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 6”.

Gọi x abcde là số chia hết cho 6 Ta có e 2;4;6 và a b c d e    3

Câu 36.23: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số được lập từ các chữ số

1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9 Lấy ngẫu nhiên một số từ S Tính xác suất sao cho số lấy được chia hết cho

Số các số có các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9 là 9 số 4Lực lượng của không gian mẫu là n    94.

Gọi A là biến cố “Số được chọn chia hết cho 15”

Gọi số có 4 chữ số và chia hết cho 15 có dạng abcd

Vì abcd 15 nên d 5và a b c d   chia hết cho 3 Suy ra a b c  chia cho 3 dư 1

Câu 36.24: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số (không nhất thiết khác nhau) được

lập từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Chọn ngẫu nhiên một số abc từ S Tính xác suất để số

Số phần tử của không gian mẫu n    9.102 900

Gọi biến cố A :“Chọn được một số thỏa mãn a b c  ”

Vì a b c  mà a 0 nên trong các chữ số sẽ không có số 0

Trường hợp 1: Số được chọn có 3 chữ số giống nhau có 9 số

Trường hợp 2: Số được chọn tạo bởi hai chữ số khác nhau.

Câu 36.25: Có 60 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 50 Rút ngẫu nhiên 3 thẻ Tính xác suất để tổng

các số ghi trên thẻ chia hết cho 3

Số phần tử không gian mẫu:  C503 19600

Gọi A là tập các thẻ đánh số a sao cho 1 a 50 và a chia hết cho 3

Câu 36.26: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các

chữ số 1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9 Lấy ngẫu nhiên một số từ S Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là lẻ bằng

Ta có không gian mẫu   3

9 504

số

Gọi biến cốA: “ Số được chọn có tổng các chữ số là lẻ”

Trường hợp 1: Số được chọn bao gồm 3 chữ số lẻ có A  số.53 60

Trường hợp 2: Số được chọn bao gồm 1 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn có C C15 .3! 18042 

Vậy xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là lẻ bằng

Câu 36.27: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau

Xác suất để số được chọn chia hết cho 3 bằng

Ta có không gian mẫu n    9.9.8 648

Ta có không gian mẫu n  9A95 136080.

Gọi biến cố A: “Số được chọn có mặt chữ số 0 và 1”

Ta có không gian mẫu   4

9

Gọi biến cố A : “Số được chọn có mặt chữ số 2,3 và 4”

 Trường hợp 2: a 3 Tương tự trường hợp 1 ta có 504 số

 Trường hợp 3: a 4 Tương tự trường hợp 1 ta có 504 số

Câu 36.30: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau

Xác suất để số được chọn trong đó có mặt 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ

Ta có không gian mẫu   4

Suy ra số cách chọn trong trường hợp này là 4.4.4.60 3840 cách.

Câu 36.31: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có bảy chữ số Xác suất để số được

chọn số có các chữ số cách đều chữ số chính giữa thì giống nhau

Ta có số phần tử của không gian mẫu n    9.106 9000000

Gọi biến cố A : “Số được chọn có các chữ số cách đều chữ số chính giữa thì giống nhau”

Câu 36.32: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các

chữ số 1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9 Lấy ngẫu nhiên một số từ S Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là chẵn bằng

Ta có số phần tử không gian mẫu   4

9 3024

n  A  số

Gọi biến cốA: “ Số được chọn có tổng các chữ số là chẵn”

Trường hợp 1: Số được chọn bao gồm 4 chữ số chẵn có 4! 24 số.

Trường hợp 2: Số được chọn bao gồm 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn có C C52 .4! 288042  số

Trường hợp 3: Số được chọn bao gồm 4 chữ số lẻ có A 54 120số.

Ta có số phần tử của không gian mẫu   7

Câu 36.34: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau

Xác suất để số được chọn chia hết cho 5

Ta có số phần tử của không gian mẫu   7

Chọn 7 chữ số trong 9 chữ số còn lại xếp vào 7 vị trí trống có A 97 181440 cách

Suy ra số cách chọn trong trường hợp này là 181440 cách

 Trường hợp 2: a  8 5

1

a có 8 cách chọn.

Chọn 6 chữ số trong 8 chữ số còn lại xếp vào 6 vị trí trống có A 86 20160 cách

Suy ra số cách chọn trong trường hợp này là 8 20160 161280  cách

Ta có số phần tử của không gian mẫu n     9 107

Câu 36.36: Gọi A là tập các số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ các chữ số

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Từ A chọn ngẫu nhiên một số Tính xác suất để số được chọn có chữ số 2

Ta có số phần tử của không gian mẫu n    6.6! 4320

Gọi biến cố A : “Số được chọn có chữ số 2 và 6 không đứng cạnh nhau”.

Gọi biến cố B: “Số được chọn có chữ số 2 và 6 đứng cạnh nhau”.

Gọi số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau và có chữ số 2 và 6 đứng cạnh nhau là

Số phần tử của không gian mẫu   3

Câu 36.38: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt được lấy từ các số

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Chọn ngẫu nhiên một số từ S Tính xác suất để chọn được số chỉ

Số phần tử của không gian mẫu n  A96 60480.

Gọi biến cố A : “Số được chọn chỉ chứa 3 số chẵn”.

Câu 36.39: Cho 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100, chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ Xác suất

để chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số lẻ là

Số phần tử của không gian mẫu   3

100 161700

Gọi biến cố A : “Chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số lẻ”.

Trong 100 thẻ có 50 thẻ chứa số chẵn, 50 thẻ chứa số lẻ

Câu 36.40: Một túi đựng 10 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 10 Rút ngẫu nhiên ba

tấm thẻ từ túi đó Xác suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một sốchia hết cho 5 bằng

Số phần tử của không gian mẫu   3

10 120

n  C 

Gọi biến cố A : “Chọn được 3 tấm thẻ có tổng là số chia hết cho 5”.

Trong các số từ 1 đến 10 có hai số chia hết cho 5 , một số chia cho 5 dư 1,một số chia cho 5 dư 2, một số chia cho 5 dư 3 , một số chia cho 5 dư 4.

Để tổng các số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 5 thì ta cócác trường hợp sau:

TH1: Một số chia hết cho 5 , một số chia cho 5 dư 1 một số chia cho 5 dư 4.