Toan 8 viet tri (21 22)

Một hình thoi có độ dài các đường chéo bằng 14cm và 48cm.. Chu vi của hình thoi đó bằng Câu 4.. E là trung điểm cạnh NP ME cắt NQ tại , F.Tỉ số NF NQ bằng ĐỀ CHÍNH THỨC... Trong một giả

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆT TRÌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2021 - 2022

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có: 02 trang Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) trên tờ giấy thi

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN:(16 câu; 8,0 điểm)

Câu 1 Cho tứ giác ABCD Gọi M N P Q lần lượt là trung điểm của , , , , , , AB BC CD DA Tứ giác MNPQ là

A hình bình hành B hình thoi C hình vuông D hình thang cân Câu 2 Đa thức f x( ) 10 x2 7x a chia hết cho 2x  3. Giá trị của tham số a bằng

Câu 3 Một hình thoi có độ dài các đường chéo bằng 14cm và 48cm Chu vi của hình thoi đó bằng

Câu 4 Cho x5 ax2bx25 x3125 ,a b 

với mọi giá trị của x Giá trị của a và b

bằng

A a = 1, b = 25 B a  1, b  125. C a1,b5. D.a1,b5. Câu 5 Cho x  thỏa mãn 0

1 5

x x

 

Giá trị của biểu thức

3 3

1

x x

 bằng

Câu 6 Số các số tự nhiên n để

2

2

n

 nhận giá trị nguyên bằng

Câu 7 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x 32x22

bằng

A.

49

49

Câu 8 Phương trình 2mx x 1 x x3 12022 0 (với mlà tham số) là phương trình bậc nhất một ẩn khi

A

3 2

m¹

B.

3 2

m 

C

1 2

m 

D

1 2

m 

Câu 9 Tích các nghiệm của phương trình x2 x4 x32 12bằng

Câu 10 Phương trình x 3 x7 m (với m là tham số) có vô số nghiệm khi

A m 4 B.m 10 C m 7 D m 4

Câu 11 Cho ABC P, là điểm thuộc cạnh AB sao cho

1 2

AP

BP  Qua Pkẻ đường thẳng song song

BC cắt AC tại Q

Qua Q kẻ đường thẳng song song AB cắt BC ở K.Tỉ số

BK

BC bằng

A

4

1

2

5 3

Câu 12 Cho hình bình hành MNPQ. E là trung điểm cạnh NP ME cắt NQ tại , F.Tỉ số

NF

NQ bằng

ĐỀ CHÍNH THỨC

A

1

2

2

1 3

Câu 13 Cho hình thang ABCD AB C/ / Dhai đường chéo cắt nhau tại O. Biết

D

S  cm S  cm Diện tích hình thang ABCDbằng

A 64 cm2. B 66 cm2. C 49 cm2. D 48 cm2.

Câu 14 ChoABCđều có chiều cao bằng h Từ điểm O

nằm trong ABC vẽ

OH AB OI BC OK CA HAB IBC KCA Tổng OH OI OK  là

1

3

2h

Câu 15 Một cửa hàng bán lãi được 20%so với giá bán Cửa hàng đó lãi được bao nhiêu phần trăm

so với giá mua ?

Câu 16 Trong một giải cờ vua của một trường trung học cơ sở thi đấu loại trực tiếp, có tất cả 16 học

sinh tham gia và chỉ chọn một người vô địch Ban tổ chức phải tổ chức số trận đấu là

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Tìm số nguyên n để n3 2n27n 7 chia hết cho n  2 3.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y; 

thỏa mãn 3x24y2 6x13.

c) Cho ba số nguyên dương , ,a b c thỏa mãn a b c , ,  1

và aba b c  Chứng minh a b

là số chính phương

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử P2a37a2b7ab22 b3

b) Giải phương trình    2 

x x x   

c) Cho , , ,a b x y là các số thực thỏa mãn

x y a b



  

Chứng minh x2022y2022 a2022b2022.

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD BE CF cắt nhau tại , , H

a) Chứng minh AEFABC.

b) Chứng minh

1

HB HC HA HC HA HB

AB AC  AB BC  AC BC 

c) Cho M là điểm di động trên cạnh BC Vẽ MP AB MQ AC/ / , / / P Q, lần lượt thuộc cạnh AC AB Xác định vị trí điểm , M để diện tích tứ giác APMQ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 4 (1,0 điểm) Xét các số thực dương x y z, , thỏa mãn xyz  Chứng minh1.

5

-

HẾT -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆT TRÌ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021 - 2022

Môn : TOÁN

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (8,0 điểm)

- Mỗi câu đúng được 0,5 điểm

- Tổng điểm phần Trắc nghiệm khách quan 0,5x16=8,0 điểm

II PHẦN TỰ LUẬN: (12,0 điểm)

1 Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp án mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

2 Đáp án – thang điểm

Câu 1

(3,0

điểm)

a) Tìm số nguyên n để n3 2n27n 7 chia hết cho n 2 3. 1.0

Ta có: n3 2n27n 7n23 n 24n1

Để

n3 2n27n 7 n23

4n1n23 4n1 4  n1n23 16n21 n23 0.25

16 n 3 49 n 3 49 n 3

2

n

Thử lại được n  thỏa mãn2

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y; 

thỏa mãn 3x24y2 6x13. 1,0

 3x2 6x 3 16 4   y2 3x12 4 4  y2

0,25

+Nếu 2  2 1 2 3

+Nếu y2  4 y 2 x12  0 x1 0  x1 0,25

+Nếu y=0  12 16

3

x

.Vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm là

x y ;   3;1 ; 3; 1 ; 1;1 ; 1; 1 ; 1;2 ; 1; 2               0,25 c) Cho ba số nguyên dương , ,a b c thỏa mãn a b c , ,  1 và aba b c 

.Chứng

minh a b là số chính phương

1,0

Vì b2 c a b   ab b 2 c a b   b a b    a b c b    

Vì aba b c   a b  Từ (1) c b 

Gọi

a b d











c d

a d



 





c b

Câu 2

(4,0

điểm)

a)Phân tích đa thức sau thành nhân tử P2a37a2b7ab22 b3

1,0đ

  2 2 5 2 2

  2  2   2 

b) Giải phương trình x x 2 x22x 2  1

1,5đ

x2 2x2 2x2 2x 1 0

0,5đ  x22x12 0

0,25đ 1

x

c) Cho a b x y là các số thực thỏa mãn , , ,

x y a b



  

x y a b

1,5đ

2 2 2 2

x y a b



  

x y a b





  

xy ab

x y a b





 

  

Xét hiệu

2 2

( )( )

0

x a x b x x a b ab

x x x y ab

x a

x b





  

Nếu x a  y b x2022y2022 a2022b2022 0,25đ Nếu x b y a x2022y2022 a2022b2022 0,25đ

Câu 3

(4,0

điểm)

Cho tam giác ABC nhọn,đường cao AD BE CF cắt nhau tại , , H

a) Chứng minh AEF ABC. b) Chứng minh

1

HB HC HA HC HA HB

AB AC  AB BC  AC BC 

c) Cho M là điểm di động trên cạnh BC Vẽ MP AB MQ AC/ / , / / .

,

P Q lần lượt thuộc cạnh AC AB Xác định vị trí điểm , M để diện tích

tứ giác APMQ đạt giá trị lớn nhất.

H

D

F

E A

Xét AEB và AFC

AEB AFC   (Vì BE CF là hai đường cao của ABC,  ) 0,5

Xét CEH và CFA

0,25

BHC ABC

S

HB HC HB CE

AB AC AB CF

0,25

Tương tự:

;

AHC AHB

S S

1

HB HC HA HC HA HB

0,25 c) Cho M là điểm di động trên cạnh BC Vẽ MP AB MQ AC/ / , / / . P Q, lần lượt

thuộc cạnh AC AB Xác định vị trí điểm , M để diện tích tứ giác APMQ đạt giá

Q

P H

D

F

E A

Vì

2

CBA



0,25

Tương tự:

2

BMQ

ABC

 

    

Áp dụng bất đẳng thức

2

x y

x y  

ABC

S



Dấu đẳng thức xảy ra khi CM BM  M là trung điểm BC.

Vậy khi M là trung điểm của BC thì diện tích tứ giác APMQ lớn nhất 0,25

Câu 4

(1,0

điểm)

Xét các số thực dương x y z, , thỏa mãn xyz  Chứng minh1

5

Đặt :

A

Ta có:

2

xy x

  

Tương tự:

6 2

A

Áp dụng bất đẳng thức:

4

   

   với , ,a b c dương dấu đẳng thức xảy ra

Tương tự:

;

A

A

xyz z z x yz xyz x z z

Dấu đẳng thức xảy ra khi x  y z 1. 0,25