Toan 9 viet tri (21 22)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Không kể thời gian giao đề Đề thi có: 03 trang

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2021 - 2022

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có: 03 trang)

Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) trên tờ giấy thi.

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Câu 1 Rút gọn biểu thức 1 1

3 2 3  2 ta được phân số tối giản a a b, *

b   Khi đó a b bằng

Câu 2 Đường thẳng d y: m1x2m 1 đi qua điểm I  1;3 Hệ số góc của d bằng

5

5

Câu 3 Giá trị của biểu thức 2

1

x x





x 

Câu 4 Tìm m để phương trình m2 1 x2 1m có nghiệm duy nhất x 3

5

m  

5

1; 5

m  

Câu 5 Diện tích toàn phần của một hình lập phương bằng 294cm Thể tích khối lập phương đó bằng2

A 343cm3 B 21cm3 C 434cm3 D 49cm3

Câu 6 Cho hình vẽ bên Biết BC song song với MN,

BC  cm AC  cm và MN 4,5cm Độ dài

đoạn thẳng AM bằng

A 3cm B 9cm

C 4 .

2 cm

4,5 cm

A

3 cm

Câu 7 Cho tam giác ABC vuông tại ,A đường cao AH

(tham khảo hình vẽ bên) Biết BH 1 ,cmCH 3cm

Độ dài cạnh AC bằng

A 12cm B 6cm

C 3 2cm D 2 3cm

3 cm H

A

B

1 cm

C

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 8 Cho đường tròn tâm O có hai dây AB CD bằng nhau,

và vuông góc với nhau tại I (tham khảo hình vẽ bên)

Biết IA 3cm IB, 7cm Tổng khoảng cách từ O

đến hai dây AB và CD bằng

A 4cm B 5cm

K H

O

C

Câu 9 Hai đường thẳng d y1: 3m2x5,m 1 và d y2: x 4 cắt nhau tại điểm

 ;

M a b Giá trị nhỏ nhất của biểu thức b22a21 bằng

Câu 10 Cho ,a b R thỏa mãn 0a b,  3,a b và a b  9 a2  9 b2 Giá trị của biểu thức

Câu 11 Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để phương trình 2x2 mx7 có nghiệm

nguyên?

Câu 12 Cho tam giác ABC có B 2 ,C AB 9cm và BC 16cm Độ dài cạnh AC bằng

A 12cm B 15cm C 18cm D 25cm

Câu 13 Cho tam giác ABC vuông tại ,A đường cao

,

AH trung tuyến AM và AH AM : 40: 41

(tham khảo hình vẽ bên) Tính diện tích tam giác

ABC biết BC  41cm

A 10cm2 B 20cm2

A

M

Câu 14 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Ba điểm , ,M N P lần lượt di

động trên các cạnh AB BC CA sao cho , , MN AB NP, BC MP, AC Diện tích tam giác MNP là

A 3 2.

2

4

4

2

R

Câu 15 Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn bán kính R Giả sử AB R, điểm I

thay đổi nằm trong ABC Tổng bình phương khoảng cách từ I đến ba cạnh của ABC có giá trị nhỏ nhất là

A 3 2

4

8

8

R

Câu 16 Đội tuyển Toán của một trường THCS có 8 học sinh gồm 5 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên

5 học sinh để tham gia trải nghiệm cùng các đội tuyển khác Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh đó có cả nam và nữ, đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ?

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

1) Giải phương trình trên tập số nguyên: 2xy5x 6y 22 0.

2) Cho ba số nguyên dương , , m n p thỏa mãn 1 1 1 2021 0.

m n  p mnp  Chứng minh rằng

2021m2 2021n2 2021p2 là một số chính phương.

Câu 2 (3,0 điểm)

1) Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn b a c2 2  1 abc b 1  2a 1 0. Tính giá trị

P

2) Giải phương trình: x36x215x 2x8 2 x5 14 0. 

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC các đường cao , AD BE CF đồng quy tại , , H

1) Chứng minh rằng BH BE CH CF  BC2

2) Tính AH BH CH

AD  BE CF

3) Từ điểm M bất kì thuộc cạnh AC kẻ các đường thẳng , d song song với 1 BA và d song2

song với BC Gọi giao điểm của d với 1 BC là ,K của d với 2 BA là P Xác định vị trí của M trên AC sao cho hình bình hành BPMK có diện tích lớn nhất

4) Các đường cao AD BE CF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác , , ABC lần lượt tại các điểm , ,

A B C   Chứng minh rằng:

AA BAC  BB CBA CC ACB 

Câu 4 (2,0 điểm) Xét , , a b c là các số thực dương thỏa mãn a b c  2021 Tìm giá trị nhỏ nhất của

ab bc ca

…………HẾT……….

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT TRÌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2021 - 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN

(HDC gồm 07 trang) PHẦN I ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

PHẦN II ĐÁP ÁN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

1) Giải phương trình trên tập số nguyên: 2xy5x 6y 22 0.

2) Cho ba số nguyên dương m n p, , thỏa mãn 1 1 1 2021 0.

m n  p mnp  Chứng minh rằng

2021m2 2021n2 2021p2 là một số chính phương.

3,0

1) Giải phương trình trên tập số nguyên: 2xy5x 6y 22 0. 2,0

Ta có: x y2 5  3 2 y5  7 0  x 3 2  y5 7 0,5

Vì ,x y  2y5 ;x 3  và 7 1.7 7.1          1 7  7 1 0,25



0,25



0,25



0,25



0,25

Vậy nghiệm nguyên của phương trình:   4;1 ; 10; 2 ; 2; 6 ; 4; 3         0,25

2) Cho ba số nguyên dương m n p, , thỏa mãn 1 1 1 2021 0.

m n  p mnp 

Chứng minh rằng 2021m2 2021n2 2021p2 là một số chính phương.

1,0

Ta có: 1 1 1 2021 0 np mp mn 2021

+) 2021m2 np mp mn m   2 p m n   m m n    m n m p      , 1 0,25

Trang 5

+) 2021n2 np mp mn n   2 p m n   n m n    m n p n      , 2

+) 2021p2 np mp mn p   2 p n p   m n p    n p m p      , 3 0,25

Từ      1 ; 2 ; 3  2021m2 2021n2 2021p2 m n m p n p       2

Vì m n p, , 

  nên m n m p n p       2

2021 m2 2021 n2 2021 p2

0,25

Câu 2 (3,0 điểm)

1) Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn b a c2 2  1 abc b 1  2a 1 0. Tính giá trị của

P

2) Giải phương trình: x36x215x 2x8 2 x5 14 0. 

3,0

1) Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn b a c2 2  1 abc b 1  2a 1 0. Tính giá trị của

P

1,0

Ta có: b a c2 2  1 abc b 1  2a 1 0  2a b 1 abc 1 0

+)

ac  c  ab ac  c   a bc abc  ab  a ab  1 0,25

+)

1

, 2

bc b  a bc b  abc  ab a   ab a

ab a bc   ab a bc   ab a 

0,25

Vậy P 1

0,25

2) Giải phương trình: x36x215x 2x8 2 x5 14 0.  2,0

2

Pt x36x215x14 2x5 2 x5 3 2 x5 0.

x3 6x2 12x 8 3x 2  2x 53 3 2x 5 0

x 23  2x 53 3x 2 3 2x 5 0

0,5

Trang 6

x 2 2x 5x 22 x 2 2 x 5 2x 5 3 0.

Vì x22x2 2 x5 2 x5 3  0

2

2

x

 





(thỏa mãn)

0,5

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC các đường cao , AD BE CF đồng quy tại , , H

1) Chứng minh rằng BH BE CH CF  BC2

2) Tính AH BH CH

AD  BE CF

3) Từ điểm M bất kì thuộc cạnh AC kẻ các đường thẳng , d song song với 1 BA và d song2

song với BC Gọi giao điểm của d với 1 BC là ,K của d với 2 BA là P Xác định vị trí của M

trên AC sao cho hình bình hành BPMK có diện tích lớn nhất

4) Các đường cao AD BE CF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác , , ABC lần lượt tại các điểm

, ,

A B C   Chứng minh rằng:

AA BAC BB CBA CC ACB 

4,0

H

D

A

Ta có: BHD∽ BCE vì có B chung,  HDB BEC 90

 

Ta có: CHD ∽ CBF vì có C chung,  CDH CFB 90

 

0,25

Từ    1  2  BH BE CH CF  BC BD CB CD  BC BD CD   BC2 0,5

Trang 7

2) Tính AH BH CH

 

0,25

 

BHC

ABC

S HD





 

CHA

ABC

S HE





 

AHB

ABC

S HF





0,25

ABC

S

S





AD  BE CF 

0,25

3) Từ điểm M bất kì thuộc cạnh AC kẻ đường thẳng , d song song với 1 BA và d song song2

với BC Gọi giao điểm của d với 1 BC là ,K của d với 2 BA là P Xác định vị trí của M trên

AC sao cho hình bình hành BPMK có diện tích lớn nhất

1,0

H I

K

M

D

A

a

b P

Ta có: AD cắt MP tại I Vì AD BC  AI MP

Gọi S là diện tích hình bình hành 1 BPMK,S là diện tích tam giác 2 ABC.

2

S ID MP S  BC AD

 

1

2

2

0,25

Trang 8

Đặt AM a MC; b a,( 0;b0).

Thay vào  1 ta được

1

2 2

2

S  a b a b   a b

0,25

Vì a 0;b0 a b 2 ab a b 24 , 3 ab  

Từ    2 , 3 

1

2 2

S  a b  ab  

0,25

Dấu '' '' xảy ra khi a b tức là M là trung điểm của AC

Vậy diện tích hình bình hành BPMK lớn nhất bằng 1

2SABC khi M là trung điểm của AC 0,25

4) Các đường cao AD BE CF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác , , ABC lần lượt tại các điểm

, ,

A B C   Chứng minh rằng:

AA BAC  BB CBA CC ACB 

1,0

H F

E

D O A

A'

B'

C'

J

Gọi O R là đường tròn ngoại tiếp tam giác ;  ABC

2

BC

R

0,25

Áp dụng  * :





0,25

Trang 9

Vì     



Đẳng thức xảy ra khi C B

Tương tự:



BB CBA  CBA đẳng thức xảy ra khi C A



CC ACB  ACB đẳng thức xảy ra khi B A

0,25 Cộng các vế của bất đẳng thức      1 , 2 , 3 và sử dụng bất đẳng thức Cauchy:













3

2

sin sin sin sin sin sin

sin

A

ABC đều

0,25

Câu 4 (2,0 điểm) Xét , , a b c là các số thực dương thỏa mãn a b c  2021 Tìm giá trị nhỏ

K

ab bc ca

2,0

a b c  a b c 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

a b c

 

Dấu '' '' xảy ra khi a b c 

0,25

Áp dụng  1 

K

Ta có:

0,5

Ta lại có: a2b2c2ab ac bc   a b c  23ab ac bc   0,25

Trang 10

   2

1

3 3

Từ    2 ; 3

3

K

a b c

a b c

a b c

  







0,5

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức K bằng

30

2021 khi

2021. 3

Lưu ý:

- Chỉ cho điểm tối đa với những bài làm chính xác, bố cục hợp lý, trình bày rõ

ràng, đủ nội dụng;

- Điểm toàn bài là điểm trắc nghiệm và tự luận, không làm tròn (điểm lẻ tự luận 0,25;điểm trắc nghiệm theo cấu trúc).

- Khuyến khích những bài làm sáng tạo, thể hiện quan điểm của học sinh (mở), cách diễn đạt khác mà vẫn đảm bảo nội dung theo yêu cầu./.

Trang 11