040 đề hsg toán 8 thanh trì 22 23

UBND HUYỆN THANH TRÌ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP HUYÊN MÔN TOÁN 8 Bài 1 (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2) Phân tích đa thức thành nhân tử Bài 2 (3,0 điểm) 1) Giải[.]

UBND HUYỆN THANH TRÌ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP HUYÊN_MÔN TOÁN 8 Bài 1 (4,0 điểm)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x1 x2 x3 x4 24

2) Phân tích đa thức thành nhân tử : x 4 4

Bài 2 (3,0 điểm)

1) Giải phương trình

2

2) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn x2y25x y2 260 37 xy

Bài 3 (3,0 điểm)

1) Cho 3 số x y z, , đôi một khác nhau, thỏa mãn x3y3z3 3xyzvà xyz 0 Tính giá

trị biểu thức

16 x y 3 y z 2019 z x P

2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2

27 12 9

x A

x







Bài 4 (3,0 điểm)

1) Cho hai số chính phương liên tiếp Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ

2) Cho đa thức F x x3ax2bx c a b c  , ,   Biết đa thức F x chia cho đa thức

1

x  dư  4, đa thức F x( )chia cho đa thức x  2dư 5

Hãy tính giá trị của Aa2019 b2019 b2020  c2020 c2021 a2021

Bài 5 (6,0 điểm) Cho điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa cạnh AB,vẽ các tia Ax By, cùng vuông góc với AB.Trên tia Axlấy điểm C ( C khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OCcắt tia Bytại D

1) Chứng minh AB2  4AC BD.

2) Kẻ OM CDtại M Chứng minh COlà tia phân giác góc ACDvà AC MC

3) Tia BMcắt tia Axtại N Chứng minh Clà trung điểm AN

4) Kẻ MH ABtại H Chứng minh các đường thẳng AD BC MH, , đồng quy

Bài 6 (1,0 điểm) Tìm số nguyên nsao cho n3 2018n 20202019 4

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

3) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x1 x2 x3 x4 24

Ta có x 1 x 2 x 3 x 4 24 x2  5x 4 x2  5x 6 24

Đặt x2 5x  5 t

4) Phân tích đa thức thành nhân tử : x 4 4

Ta có x4   4 x2  22 2x2 x2  2x 2 x2  2x 2

Bài 2 (3,0 điểm)

3) Giải phương trình

2

     (Điều kiện x 2)

Đặt

;

  Ta có a2 6b2  7ab

   6  0

6

a b

a b a b

a b





      



1

6

Th a b x tmdk

x

x

  





   



4) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn x2y25x y2 260 37 xy

2

2

Vì VT 0nên 5xy 3 4   xy  0 3xy4  

3 4

xy

do xy xy











 

2

2( )

2( )

x y tm

xy x y

 



      



Bài 3 (3,0 điểm)

3) Cho 3 số x y z, , đôi một khác nhau, thỏa mãn x3y3z3 3xyzvà xyz 0 Tính giá trị biểu thức

16 x y 3 y z 2019 z x P

Ta có:x3 y3 z3  3xyz x y z x    2 y2 z2  xy yz zx    0

Do x y z, , đôi một khác nhau nên x y z  0

Thay x y z z x,   y y z,  x P16 3 2019 2000  

4) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2

27 12 9

x A

x







Viết được

 2

min

6

27 12

x x





Viết được

 2

max

2 3

27 12

x x

 



Bài 4 (3,0 điểm)

3) Cho hai số chính phương liên tiếp Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ

Gọi hai số chính phương liên tiếp là k2và k 12

2

k  k k k  k k  

(đpcm)

4) Cho đa thức F x x3ax2bx c a b c  , ,   Biết đa thức F x chia cho đa thức x 1dư  4, đa thức F x( )chia cho đa thức x  2dư 5

Hãy tính giá trị của Aa2019 b2019 b2020  c2020 c2021 a2021

Gọi thương của phép chia F x cho x  2và x 1là P x Q x ,  

Ta có F x  x3ax2bx c x 2P x( ) 5 1  

     

F x x ax bx c  x Q x 

Thay x 2vào (1) ta được 4a2b c 3 3 

Thay x 1vào (2) ta được : a b c  3 4 

Từ (3) và (4) ta có a b .Nên A 0

Bài 5 (6,0 điểm) Cho điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa cạnh AB,vẽ các tia Ax By, cùng vuông góc với AB.Trên tia Ax lấy điểm C ( C khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OCcắt tia Bytại D

K H

N

M

D

O

C

5) Chứng minh AB2  4AC BD.

Chứng minh được ACO∽ BDO AB2  4AC BD.

6) Kẻ OM CDtại M Chứng minh COlà tia phân giác góc ACDvà AC MC

OC OD ACO BOD

AC OB

hay

OC OD

ACO OCD

AC OA  ∽ 

ACO DCO

  

Chứng minh ACOMCO ch gn(  ) AC CM

7) Tia BM cắt tia Axtại N Chứng minh Clà trung điểm AN

Nêu ra được ( '2)

CA CM

BD DM cmtt y

BD DM

Sử dụng hệ quả định lý Ta let đưa ra  / / 

CN CM

do CN BD CA CN

8) Kẻ MH ABtại H Chứng minh các đường thẳng AD BC MH, , đồng quy

Gọi K là giao điểm của MH BC, Nêu ra được

HK MK

AC NC

Suy ra MK HK hay BC cắt MH tại trung điểm của MH

Tương tự ADcắt MH tại trung điểm của MH

Vậy MH BC AD, , đồng quy tại K là trung điểm MH

Bài 6 (1,0 điểm) Tìm số nguyên nsao cho n3  2018n 2020 2019  4

Ta có : n3  2018nn3  n 2019n

chia hết cho 3

Ta có 20202019 4chia 3 dư 2 Vậy không tìm được n