Toan 9 cam khe (22 23)

Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng  d bằng 1.. Tổng các phần tử của S bằng Câu 9: Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD4cm, đáy n

PHÒNG GD&ĐT

CẨM KHÊ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có 03 trang)

Chú ý:

- Câu hỏi trắc nghiệm khách quan có một lựa chọn đúng.

- Thí sinh làm bài thi (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) trên tờ giấy

thi, không làm bài trên đề thi

A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm).

Câu 1: Cho a b c, , là các số thực thoả mãn a2b2 2 Khi đó, giá trị của biểu thức

a  b  b  a bằng

Câu 2: Cho x  1 3339 Giá trị biểu thức Px3 3x2 6x 332022

bằng

Câu 3: Cho đường thẳng  d :ym1x 2

Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m để

khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng  d

bằng 1

Câu 4: Cho đường thẳng  d :y mx m   Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đường1 thẳng  d

tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2?

4

x my





 (với m là tham số) có nghiệm duy nhất x y; 

Khi đó điểm I x y ; 

luôn nằm trên đường thẳng có phương trình là

A x 2y 1 0 B x 2y 1 0 C 2x y 1 0 D 2x y  1 0

Câu 6: Cho Parabol  P y x:  2 Trên Parabol  P

lấy hai điểm A B, sao cho AOB 900 ( O là

gốc toạ độ) Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A B, lên trục hoành Khi đó, giá trị của

OH OK bằng

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng d y: 2mx m 4 cắt Parabol  P y x:  2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ nguyên?

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hai phương trình x2mx 4 0 và

x  x m  có ít nhất một nghiệm chung Tổng các phần tử của S bằng

Câu 9: Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD4cm, đáy nhỏ bằng đường cao và đường chéo vuông góc với cạnh bên Độ dài của đường cao hình thang bằng

A

2 5

4 5

4 3

2 3

5 cm.

Câu 10: Cho tam giác ABC cân có A 1000 Điểm D thuộc nửa mặt phẳng không chứa điểm A

có bờ BC sao cho CBD 15 ,0 BCD 350 Số đo ADB bằng

Câu 11: Cho khối chóp đều S ABCD. có tất cả các cạnh bằng 2a Thể tích của khối chóp đều

S ABCD bằng

A

3 2

6

a

3 2 3

a

3

4 2 3

a

Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH 4 và diện tích bằng 20 Khi đó tích AB BC CA bằng. .

Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB4cm, tia phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC cắt AC lần lượt tại D và E Tính độ dài DE, biết AD2cm

Câu 14: Cho hình vuông ABCD , gọi M N, lần lượt là trung điểm của BC và CD , biết



cosMAN a

b



với a b, là các số nguyên dương và

a

b là phân số tối giản Khi đó giá trị a b bằng

Câu 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O R; 

có AB6cm AC, 25cm và đường cao 5

AH  cm Bán kính của đường tròn R bằng

Câu 16: Bác An có ao cá diện tích 50m2 để nuôi cá Vụ vừa rồi bác nuôi với mật độ 20con m/ 2 và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, bác thấy cứ thả giảm đi

2

8con m thì mỗi con cá thành phẩm thu được sẽ tăng thêm / 0,5kg Vậy vụ tới bác An phải mua để

thả bao nhiêu con cá giống để đạt được tổng năng suất cao nhất ? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi)

B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm).

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho các số n1, 2n1 và 5n  đều là các số1

chính phương

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 7x2y 3 y x  8y 5x 1

c) Cho a b c, , là các số nguyên Chứng minh nếu a2018b2019c2020 chia hết cho 6 thì

2020 2021 2022

a b c cũng chia hết cho 6

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Tìm đa thức bậc bốn f x 

biết f  0  và 1 f x  f x 1 x x 1 2  x1

với mọi x  

b) Giải phương trình x32x2 6x 1 2 x2  x 1 x1 3 x 1

c) Giải hệ phương trình







Câu 3 (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O , đường kính AB2R Trên tia đối của tia AB lấy điểm

M Từ M kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn ( C là tiếp điểm) Kẻ đường thẳng qua B vuông góc

với đường thẳng MC tại D và cắt đường thẳng AC tại E

a) Chứng minh CE CA

b) Gọi G là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác COB với đường thẳng MC Tia

CO cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai F Chứng minh ba đường thẳng CB EF GO, , đồng quy

c) Chứng minh BF OG 2 2R

Câu 4 (1,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

2

P

      

 

-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./.

PHÒNG GD&ĐT CẨM KHÊ KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022 - 2023

Hướng dẫn chấm có 05 trang

I Đáp án phần trắc nghiệm khách quan

- Mỗi câu đúng được 0,5 điểm

- Tổng điểm phần Trắc nghiệm khách quan: 0,5 x 16 = 8,0 điểm

ĐỀ CHÍNH THỨC

4 B 8 D 12 D 16 B

II Đáp án - Thang điểm phần tự luận

1 Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp án mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

2 Đáp án - thang điểm

Câu 1

a) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho các số n1, 2n1 và 5n  đều là các số1

chính phương

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 7x2y 3 y x 8y 5x 1

c) Cho a b c, , là các số nguyên Chứng minh nếu a2018b2019c2020 chia hết cho 6 thì

2020 2021 2022

a b c cũng chia hết cho 6

3,0 điểm

a) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho các số n1, 2n1 và 5n  đều là các số1

chính phương

1,0 điểm Nếu n3k1k 

thì n 1 3k2 không là số chính phương Nếu n3k2k  thì 2n 1 6k5 Khi đó 2n 1 chia 3 dư 2 nên không là số chính

phương Vậy n3

0,25

Ta có 2n 1 là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1, khi đó 2 8n  n4 n1 lẻ

Do đó n 1 là số chính phương lẻ nên chia cho 8 dư 1, suy ra n8. 0,25

Do 3n và n8 nên n24.

Với n 24 ta có n 1 25 5 ; 2 2 n1 47 7 ;5  2 n 1 121 11 2

Vậy n 24

0,5

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 7x2y 3 y x 8y 5x 1 điểm1,0

Ta có 7x2y 3 y x  8y 5x 1 7x2y 3 y x   x 2y6y x 1

Đặt

2

b y x

 





 

0,25

Do a b, nguyên nên 7b a 2 a1

nguyên Do đó 3

13

7a  6 nguyên Khi đó 7a3 6  13; 1;1;13   a1;a1

0,25

* Với a 1 b0 ta có

y x





* Với a 1 b2ta có



Vậy cặp số nguyên thoả mãn là x y  ;   1;1

0,25

c) Cho a b c, , là các số nguyên Chứng minh nếu a2018b2019c2020 chia hết cho 6 thì

2020 2021 2022

a b c cũng chia hết cho 6

1,0 điểm

Ta có

2020 2021 2022 2018 2019 2020

0,5

Nhận xét: Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6, do có 1 số chẵn và một số chia hết cho 3

Khi đó a a 1 a1 ; b b1 b1 ; c c1 c1 đều chia hết cho 6 0,25 Vậy a2020b2021c2022 a2018b2019c2020 6 a2020b2021c2022 6

Câu 2

a) Tìm đa thức bậc bốn f x 

biết f  0 1 và f x  f x 1 x x 1 2  x1

với mọi x  

b) Giải phương trình sau x32x2 6x 1 2 x2 x 1 x1 3 x1

c) Giải hệ phương trình





4,0 điểm

a) Tìm đa thức bậc bốn f x 

biết f  0 1

và f x  f x 1 x x 1 2  x1

với mọi

x  

1,0 điểm Đặt f x  ax4bx3cx2dx e a  0

Ta có f x  f x 1 4ax3 3 2 a b x  24a 3b2c x a b c d    

Mặt khác f x  f x 1 x x 1 2  x1 2x33x2x

nên ta có

0,25

1

2 0

1

a a

c

a b c d

d

















 

0,25

Vậy   1 4 2 3 5 2 1

b) Giải phương trình sau x32x2 6x 1 2 x2 x 1 x1 3 x1 1,5

điểm ĐK:

1

3

x 

Phương trình x32x2 6x 1 2 x2 x 1 x1 3 x1

0,5

   

2 x x 1 x x 1 1 3x 1 x 1 3x 1 x x 0

2

1 1

  

2

1 1

0,25

Do

1

3

x 

nên

2 2

1 0

1 1

x

 

  

Khi đó, phương trình (*)

0

1

x

x





 (thoả mãn) Vậy phương trình có nghiệm x 0 và x 1

0,25

b) Giải hệ phương trình







1,5 điểm

Từ phương trình thứ hai , ta có 4 8 x 3x2 y2 8y

x  y x  xy y x y x x x  y  y

5

x

x









0,25

* Với xy thay vào phương trình thứ hai ta có x  2 1 0 (vô nghiệm) 0,25

* Với x 3 thay vào phương trình thứ hai ta có

7

y

y





* Với x 5 thay vào phương trình thứ hai ta có y28y119 0 (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm x y ;   3; 1 ; 3; 7      0,25

Câu 3 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB2R Trên tia đối của tia AB lấy điểm M .

Từ M kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (C là tiếp điểm) Kẻ đường thẳng qua B vuông góc

với đường thẳng MC tại D và cắt đường thẳng AC tại E.

a) Chứng minh CE CA .

b) Gọi G là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác COB với đường thẳng MC.

Tia CO cắt đường tròn  O

tại điểm thứ hai F Chứng minh ba đường thẳng CB EF GO, ,

đồng quy.

c) Chứng minh BF OG 2 2R

4,0 điểm

điểm

Ta có: OBC cân tại O nên OBC OCB 

Do CO và BDcùng vuông góc với MC nên OC BD/ /

0,5

Khi đó BC là đường cao và phân giác trong của tam giác ABE ABE cận tại B

b) Gọi G là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác COB với đường thẳng MC.

Tia CO cắt đường tròn  O

tại điểm thứ hai F Chứng minh ba đường thẳng CB EF GO, ,

đồng quy.

1,5 điểm

Mặt khác, CF/ /BE nên tứ giác BECF là hình bình hành Vậy BC và EF cắt nhau tại T là

Ta có, tứ giác BOCG nội tiếp nên OCG OBG  1800 OBG 900 nên BG là tiếp tuyến

Khi đó GC GB, là tiếp tuyến của  O

nên OG đi qua trung điểm T của BC và EF

Vậy ba đường thẳng CB EF GO, , đồng quy

0,5

điểm

Khi đó BF OG 2OT OG 2 2OT OG. 2 2OC2 2 2OC2 2R 0,5

Dấu “=” xảy ra khi 2OT OG hay T là trung điểm của OG

, ,

biểu thức

2

P

      

 

Ta có

1

ab     

    , dấu “=” xảy ra khi a b .

0,25

Khi đó

2

2

1 2

0,25

Vậy

2

4 2 1

c

P



Hay P  , dấu “=” xảy ra khi 15

;

a b  c

Vậy minP  khi 15

;

a b  c

0,25