001 đề hsg toán 8 cẩm thủy 22 23

Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F.. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF.. c Xác đình vị trí của điểm N trên cạnh ABsao cho tứ giác ACFBE có

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN CẨM THỦY

ĐỀ THI SỐ 87

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

NĂM HỌC: 2022-2023 Thời gian làm bài:90 phút Bài 1: (4,0 điểm)

:

P

a) Rút gọn biểu thức P;

b)Tìm xđể

1 1

P

x





x a

x x



  Tính theo a giá trị của biểu thức:

2

4 2 1

x P



Bài 2: (4,0 điểm)

1 Cho phương trình:

2 2

1

x

a) Giải phương trình khi a 2;

b)Tìm ađể phương trình có nghiệm duy nhất

2 Đa thức f x  khi chia cho x 1 dư 4, khi chia cho x 2 1 dư 2x 3 Tìm phần dư khi chia f x 

cho x1 x21

Bài 3:(4,0 điểm)

1 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x y2  1 x22xy2x y

2 Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tố phân biệt, lớn hơn 2 bất kỳ luôn chọn được 2

số gọi là a và b sao cho a2 b211

Bài 4:(6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCDcạnh a và điểm N trên cạnh AB Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF

a) Chứng minh B D M, , thẳng hàng;

b) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC.

c) Xác đình vị trí của điểm N trên cạnh ABsao cho tứ giác ACFBE có diện tích bằng 3 lần diện tích hình vuông ABCD.

Bài 5:(2,0 điểm)

Cho 2 số dươnga b, thỏa mãn điều kiện: a b 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 3 4

a

A a

a b

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ VÀO 10 THPT MÔN TOÁN

TRƯỜNG THCS ABC Năm học: 2022-2023 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm)

:

P

a) Rút gọn biểu thức P;

b)Tìm xđể

1 1

P

x





x a

x x



  Tính theo a giá trị của biểu thức:

2

4 2 1

x P



Lời giải

:

P

a)Khi đó:

2

2

P

x P



1

1 2

x

x x

x



 

 



TH2:  

1

2 1 0

0 2

1 0

x

x x



 

 



Vậy

1

2

x   x

là giá trị cần tìm

2

- Nếu x 0 a 0 P0

- Nếu

2 2

2

1 1

2

x x

a x

 



Vậy:

2

a P a





Bài 2: (4,0 điểm)

1 Cho phương trình:

2 2

1

x

a) Giải phương trình khi a 2;

b)Tìm ađể phương trình có nghiệm duy nhất

2 Đa thức f x 

khi chia cho x 1 dư 4, khi chia cho x 2 1 dư 2x 3 Tìm phần dư khi chia f x 

cho x1 x21

Lời giải

1 a) Thay a 2 vào phương trình ta được:

2

1

x

Khi đó ta có:

2

x

b)Với x 1ta có:  2 2  2

1

x

Phương trình có nghiệm duy nhất khi:

2

    





1 Giả sử f x   x1 x21 g  x + ax2bx c

+ Vì f x 

chia cho x 1 dư 4 nên f 1  4 a b c  4 (1) Mà

   1  2 1 g  +  2 1  2 1  1   

+ Vì f x 

chia cho x 2 1 được thương là 2x 3 nên:



Thay (2) vào (1) ta được:

a    a a  b c

Vậy đa thức dư là:

2

2

2x  x2

Bài 3: (0,0 điểm)

1 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x y2  1 x22xy2x y

2 Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tố phân biệt, lớn hơn 2 bất kỳ luôn chọn được 2

số gọi là a và b sao cho a2 b211

Lời giải

1 Ta có:

x y x  xy x y  x  x y x  x  x  x y x  x  x

 

1

x x



2

2

x

  

Bảng giá trị nguyên tương ứng:

2 2 1

Vậy x y ,   0;1 , 2; 7 , 1; 1 , 1; 1 , 3;7            

2 Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tố phân biệt, lớn hơn 2 bất kỳ luôn chọn được 2

số gọi là a và b sao cho a2 b211

Trong 11 số nguyên tố phân biệt lẻ lớn hơn 2 có ít nhất 9 số nguyên tố lẻ lớn hơn 5 nên theo nguyên lí Diricle luôn có ít nhất 2 số khi chia cho 5 có cùng số dư Giả sử hai số

(1) +) Vì a b, là hai số nguyên tố lẻ lớn hơn 5 nên a b  và a b  là hai số chẵn

 

  2      2 2

2

a b

a b













(2) +) Vì a b, là hai số nguyên tố lẻ lớn hơn 5

2

2

a mod

b mod

 







 (3) +) Vì ƯCLN(3,4,5) = 1 (4)

Nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: a2 b23.4.5 a2 b260

Bài 4: (0,0 điểm)

Cho hình vuông ABCDcạnh a và điểm N trên cạnh AB Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF

a) Chứng minh B D M, , thẳng hàng;

b) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC;

c) Xác định vị trí của điểm N trên cạnh ABsao cho tứ giác ACFE có diện tích bằng 3

lần diện tích hình vuông ABCD.

Lời giải

M

F

E

B A

D

C N

a) +) VìAEF vuông tại A, trung tuyến AM nên AM ME MF

+) CEF vuông tại C, trung tuyến CM nên CM ME MF

   thuộc trung trực của AC(1)

Mặt khác: Do ABCD là hình vuông nên BA BC DA DC  BD là trung trực của

AC(2) Từ (1) và (2) suy ra B D M, , thẳng hàng

b) +)Vì: MCF MCE  900 DCE MCE   MCF DCE

Xét DCEvà BCFcó:

  900 

(

DC BC gt

 



MCF DCE(c/m trên)

( )

DCE BCF g c g CE CF CEF

       vuông cân tạiC CM cũng là đường

ECF ECM  ACB ACE BCE BCE BCM     ACE BCM (3) +) Vì: EAC 450900 1350 MBC  EAC MBC  1350(4)

Từ (3) và (4) suy ra EAC đồng dạng với MBC.

c) Đặt AEx0 x a S ACFE S ACF S AEF S ABCS DCES AEF

ACFE

ACFE

Theo đề bài:

S  S  a  ax x ax a  x  ax a   x a x  a 

Vì 0  x a x a  AEAB a  AEN BCN g c g  AN BN

HayNlà trung điểm củaAB.

Bài 5: (0,0 điểm)

Cho 2 số dương a b, thỏa mãn điều kiện: a b 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 3 4

a

A a

a b

Lời giải

+) Từ

1

+) Khi đó:

a

Dấu "=" xảy ra khi

1 2

a b 

Vậy GTLN của

9 A 4



 khi

1 2

a b 

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =