D05 sự tương giao của các đồ thị muc do 2

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A B, sao cho tam giác KABvuông tại K, trong đó K2; 2.. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm Đồ thị hàm số

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.b] Cho hàm số

1

x y x





 có đồ thị  C

Tìm m để đường thẳng d y:  x m cắt

 C

tại hai điểm phân biệt Avà Bsao cho PABđều, biếtP2;5

Lời giải

Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị  C

là nghiệm phương trình

1

x

x m x



 x2 (m 3)x m  1 0 1  (x  không là nghiệm của (1))1

Đường thẳng d cắt đồ thị  C

tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  1

có hai nghiệm phân biệt   0 m2 2m13 0  m 

Gọi x x là các nghiệm của phương trình (1), ta có: 1, 2

1 2

1 2

3 1

  





 



Giả sử A x 1; x1m, B x 2; x2m

Khi đó ta có: AB 2x1 x22

 1 22  1 52  1 22  2 22

,

 2 22  2 52  2 22  1 22

Suy ra PABcân tại P

Do đó PABđều  PA2 AB2

x1 22 x2 22 2x1 x22 x1 x22 4x1 x2 6x x1 2 8 0

5

m

m





Vậy giá trị cần tìm là m1, m5

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.b] Cho hàm số: y x 2 2m1x m 1(m là tham số thực) có đồ thị  P

Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d: y mx m  21 cắt đồ thị  P

tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục Oy.

Lời giải

Pt hoành độ giao điểm: x2 3m2x m– 2 –m 2 0 1 

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

2 0

2





        



m

m Vậy m 2hoặc m1

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.b] Cho hàm số y x 2 4x (1)3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số (1)

b) Tìm m để đường thẳng : y2x m cắt (P) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho tam giác OAB

có diện tích bằng 9 ( O là gốc tọa độ)

Lời giải

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  P

của hàm số: y x 2 4x 3

* TXĐ: D 

Đỉnh I1; 2

Trục đối xứng: x 2

Do a   nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2)1 0   và đồng biến trên khoảng (2; )

* Đồ thị:

Đồ thị cắt trục Ox tại 1;0 và 3;0.

Đồ thị cắt trục Oy tại 0;3.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của  P và đường thẳng y2x m là:

 

Ta có:     m 6

(P) và đường thẳng y2x m cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt    0 m 6.(**)

Gọi x A, x là hai nghiệm của pt (*) B

Ta có:

6

A B

A B





 



Lại có A x A; 2x Am B x,  B; 2x B m

Suy ra: AB x A x B22x Am 2x B m2  5 x Ax B2 4 x x A B

5 36 4 3 m 2 5 m 6

Độ dài đường cao của tam giác OAB

hạ từ  O

là:  ,   , 

5

m

Diện tích tam giác OABlà:   1  ,  6

2

Theo đề bài: dtOAB  9 m m6 9  m m2 6 81 m36m2 81 0  m3 (thỏa mãn đk **)

Vậy m  là giá trị cần tìm.3

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.b] (HSG Trường Nguyễn Quán Nho Thanh Hóa năm 19-20)Cho hàm số

có đồ thị là  P1 và hàm số có đồ thị là  P2 Giả sử đường thẳng

 d :y m cắt  P1

tại hai điểm phân biệt ,A B và cắt  P2

tại hai điểm , C D Tìm m để

Lời giải

2 4 3

2

AB CD

x  x  m x22x 3 m0

+) ĐK:

+) AB 2CD AB2 2CD2  (x1 x2)2 2(x3 x4)2

Vậy m  là giá trị cần tìm.5

Câu 1.[DS10.C2.1.E05.b] Cho parabol  P y: 2x22mx m 2

và đường thẳng  d :y2x 4m 3

Tìm

tất cả các giá trị của m để  d

cắt  P

tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x và biểu thức1, 2

Ax x  2 x x

đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P là:

2x 2mx m 2x 4m 3

2x 2x m 1 m 4m 3 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2   ' 0

Theo định lí Viet ta có  

2

1 ,

2

suy ra

Suy ra Amax  khi 9 m 4.

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.b] (HSG 11 trường THPT Thạch Thành III – 2017-2018)

Cho parabol  P : y x 2 và đường thẳng  d : y mx m  1 Tìm m để  P cắt  d tại hai điểm

phân biệt có hoành độ và và biểu thức

1 2

2 2

2( 1)

x x A





   đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Xét phương trình: x2 mx m 1 0

Để  P cắt đường thẳng  d khi pt có 2nghiệm phân biệt khi  m2 4m  4 0 m2

Theo vi-et ta có:

1 2





 



Khi đó: 2

2

m A m





 Để Ađạt GTNN khi phương trình: Am2 2m2A1 0 có nghiệm khi

2



Vậy Ađạt GTNN bằng

1 2



khim  2

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.b] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT Cẩm Thủy 1 – Thanh Hóa – 2017 - 2018)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho hai Parabol ( ) :P1 y x 2 5x a và ( ) :P2 y x 210x b (a b, là

1 2

1 0

2

2 0

m

m m

   





   



1

tham số) Biết ( )P cắt Ox tại hai điểm 1 M x1 1;0 , M x2 2;0 ( )P cắt Ox tại hai điểm2

3 3;0 , 4 4;0

thỏa mãn

x x x Tìm a và b

Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho hai Parabol ( ) :P1 y x 2 5x a và

2 2

( ) :P y x  10x b (a b, là tham số) Biết ( )P cắt Ox tại hai điểm1

1 1;0 , 2 2;0

M x M x ; ( )P cắt Ox tại hai điểm 2 M x3 3;0 , M x4 4;0

thỏa mãn

x x x Tìm a và b

Từ giả thiết:  P1

cắt Ox tại hai điểm

25 4

a

và  P2

cắt Ox tại hai điểm b25

Đặt

k

kết hợp với định lý Vi-ét ta có hệ:

1 2

1 2

3 4

3 4

5

10















 



 







Tìm được k  và 2 x  1 1

Với k  và 2 x  suy ra 1 1 a  và 4 b  (thỏa mãn).16

Kết luận: Vậy a  và 4 b  16

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.b] Cho hàm số y x2 2(m1)x 1 m2 (1), ( m là tham số).

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A B, sao cho tam giác

KABvuông tại K, trong đó K(2; 2)

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A B, khi và chỉ khi phương trình (2) có hai

nghiệm phân biệt

Gọi các nghiệm của phương trình (2) là x x 1, 2

Tọa độ các giao điểm A B, là A x( ;0), ( ;0)1 B x2 ; KA (x1 2; 2), KB (x2 2; 2)

KAKB KA KB    x  x     x x  x x  

3

m

m





Kết hợp điều kiện m   , ta được 1 m  , 1 m 3.

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.b] [ HSG THANH HÓA 2018] Cho hàm số y x 2 4x m có đồ thị là P m

Tìm tất các giá trị thực của tham số msao cho parabol P m

cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, Bthỏa mãn OA3OB

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: x2 4x m 0 *

Để  P

cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, Bthì  *

có hai nghiệm phân biệt ' 4 m 0 m 4

      

Theo giả thiết

3

3

A B





 TH1: x A 3x B

3

A B

A B











 TH2: x A 3x B:

3

A B











Do đó m  , 3 m 12.

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.b] Cho Parabol ( )P có phương trình y x 2 3x1, đường thẳng dcó phương

trình y(2m1)x2và điểm M(3;3) Tìm tất các các giá trị của tham số msao cho đường

thẳng dcắt Parabol ( )P tại hai điểm phân biệt A B, sao cho tam giác MABvuông cân tại M

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của dvà ( )P là x2 2(m2)x 1 0 (*)

Do ac  nên 0 (*)luôn có hai nghiệm phân biệt hay dvà ( )P luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

,

A B

với mọi m

Gọi A x( ;(21 m1)x12); ( ;(2B x2 m1)x22)

, với x x1, 2

là hai nghiệm của (*)

Tam giác AMBvuông tại

 

1 2 3( 1 2) 9 (2 1) 1 2 (2 1)( 1 2) 1 0

2

2

2

2

m

m

 



 



+ Với m2 x11;x2 1 MA  ( 4;2),MB  ( 2; 4)  MA MB 2 5

+ Với

  (không thỏa) Vậy m 2là giá trị cần tìm

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.b] Cho hai hàm số y x 22x 3và y4x m ( m là tham số) Tìm m để đồ thị

các hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt A B, sao cho khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng ABđến các trục tọa độ bằng nhau

Lời giải

Gọi  P là parabol y x 22x 3và d là đường thẳng y4x m

Phương trình hoành độ giao điểm của  P và d là:

2 2 3 4

x  x  x m  x2  2x m  3 0  1

 P và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi:

 1 có hai nghiệm phân biệt    ' 0 m  4

Gọi ;x x là hai nghiệm của A B  1 , I là trung điểm ABnên:

1 2

A B I

x x

x   

; y I 4x I m m  4

d I Ox d I Oy  y x

     hoặc m  5

Kết hợp với m   ta được 4 m  3

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.b] (HSG Toán 10 - Hà Nam năm 19-20) Cho hàm số

y x  m x m  m với m là tham số, có đồ thị là  P Chứng minh đường thẳng

d y x  luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho độ dài đoạn thẳng AB không đổi.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

x  m x m  m  x  x2 2m2x m 22m 3 0

m 12 m2 2m 3 4



Do đó với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt: x1 m 3;x2   m 1

Giả sử A m 3;m1

và B m 1;m 3

Khi đó AB2 m 3 m12m 1 m32 32  AB4 2

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.b] (HSG 10 HẢI DƯƠNG 2018-2019) Cho hàm số y x 2 4x có đồ thị 3  P

Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d m:y x m 

cắt đồ thị  P

tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x thỏa mãn 1, 2 1 2

1 1

2

x  x  .

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm: x2 4x  3 x m x2 5x 3 m 0  *

Xét theo yêu cầu bài toán thì phương trình  *

có hai nghiệm phân biệt và khác 0 13

4 13 0

4



 

Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2  *

Ta có:

 1 2 1 2

1 2

1 1

2 x x 2x x 0

Theo định lý Vi-ét:

1 2

1 2

5 3





 

 Thế vào  ** ta được:2m1 0  m12 (thỏa mãn).

Vậy

1 2

m 

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.b] Cho parabol  P y:  x24x và đường thẳng :5 d y mx  1 2m Tìm m

để đường thẳng d cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt A , B sao AB ngắn nhất.

Lời giải

Pt hoành độ giao điểm: x2m 4x 2m 4 0 1  

2 32 0

m

    , m    pt (1) luôn có 2 nghiêm phân biệt

Do đó đường thẳng  d luôn cắt  P tại 2 điểm phân biệt A , B

Giả sử:

 1; 1 1 2 

; B x mx 2; 2 1 2m

m2 1 x2 x12

    m21x1x22 4x x1 2

   m21 m232 4 2

, m

4 2

Min

AB

   m 0