D05 bài toán ứng dụng, tối ưu, thực tế muc do 2

[DS12.C1.3.E05.b] Một xe khách chất lượng cao đi từ Cần Thơ đến Hà Nội chở được nhiều nhất50hành khách trên mỗi chuyến đi.. Theo tính toán của nhà xe, nếu chở được kkhách thì giá tiền mà

Câu 1 [DS12.C1.3.E05.b] Một xe khách chất lượng cao đi từ Cần Thơ đến Hà Nội chở được nhiều nhất

50hành khách trên mỗi chuyến đi Theo tính toán của nhà xe, nếu chở được kkhách thì giá tiền

mà mỗi khách phải trả khi đi tuyến đường này là

2

3 180

2

k

çè øtrăm đồng Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe sao cho tổng số tiền thu được từ hành khách nhiều nhất Tính số tiền đó

Lời giải

Số tiền thu được trên mỗi chuyến xe là:

2

3

2

T kæç kö÷ k

= ççè - ÷÷ø £ £ .

Gọi

2

3 ( ) 180

2

T k kæç kö÷

= ççè - ÷÷ø.

Bài toán trở thành: Tìm kđể

2

3 ( ) 180

2

T k kæç kö÷

= ççè - ÷÷øđạt GTLN, với 0£ £k 50.

Ta có:

T k æç köæ÷ç k÷ö

¢ =çç - ÷÷çç - ÷÷

120 (0;50) ( ) 0

40

k

T k

k

é = Ï ê

¢ = Û

ê =

Bảng biến thiên:

Vậy số tiền thu được nhiều nhất khi xe chở 40hành khách và số tiền thu được là 576000trăm đồng ( tức là 576.000.000đồng)

Câu 1 [DS12.C1.3.E05.b] Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB25m, chiều rộng

20

AD m được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn MN ( M N, lần lượt là trung điểm

BC và AD) Một đội xây dựng làm một con đường đi từ A đến C qua vạch chắn MN , biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm được 15m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được 30m Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C

Lời giải

x 25m

M

A

E

Giả sử con đường đi từ A đến C gặp vạch chắn MN tại E

đặt NE x m x    0; 25   AE x210 ;2 CE 25 x2 102

Thời gian làm đường đi từ A đến C là

 

2

( )

x

 

25

;

15 100 30 25 100

t x



  0 2 25 2 100 25  2 100

25 0

 





 



0 25

0 25

x x

 



 

5;

x

 0 20 725, 25  10 2 725, 5  2 5

Suy ra thời gian ngắn nhất làm con đường từ A đến C là

2 5

3 (giờ)

Câu 1 [DS12.C1.3.E05.b] (HSG Toán 12 – Cần Thơ năm 1819) Một xe khách chất lượng cao đi từ Cần

Thơ đến Hà Nội chở được nhiều nhất 50hành khách trên một chuyến đi Theo tính toán của nhà xe,

nếu xe chở được kkhách thì giá tiền mà mỗi khách phải trả khi đi tuyến đường này là

2

3 180 2

k



trăm đồng Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe sao cho tổng số tiền thu được từ hành khách nhiều nhất Tính số tiền đó

Lời giải Cách 1.

Số tiền thu được trên mỗi chuyến xe là  

2

3 180 2

k

T k k   

  với k ¥ , 0 k 50 Xét hàm số  

2

3 180 2

k

T k k   

  với k 0;50

Dễ thấy T k 

liên tục trên 0;50

Ta có  

2

T k     k           

 

120 0;50

k

T k

k

  

          

 

Ta tính được T 0  , 0 T50 551250

, T40 576000

Do đó      

0;50

maxT k T 40 576000

Vậy số tiền thu được nhiều nhất khi xe chở 40hành khách và số tiền đó là 57600000đồng

Cách 2.

Với k 0;50 thì kvà

3 180 2

k



  không âm nên

 

3

k

    

Đẳng thức xảy ra khi

3

2

k

Vậy số tiền thu được nhiều nhất khi xe chở 40hành khách và số tiền đó là 57600000đồng

Câu 1 [DS12.C1.3.E05.b] Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB25m, chiều rộng 20

AD m được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn MN ( M N, lần lượt là trung điểm BC và AD) Một đội xây dựng làm một con đường đi từ A đến C qua vạch chắn MN , biết khi làm đường trên miền

ABMN mỗi giờ làm được 15m và khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được30m Tính thời gian ngắn

nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C

Lời giải

x 25m

M

A

E

Giả sử con đường đi từ A đến C gặp vạch chắn MN tại E

Đặt NE x m x ( )( [0; 25]) AE x210 ;2

(25 ) 10

Thời gian làm đường đi từ A đến C là:

2

x

(25 )

15 100 30 (25 ) 100

t x



'( ) 0 2 (25 ) 100 (25 ) 100

(25 ) 0

4 [(25 ) 100] (25 ) ( 100)

 



 

0 25 4(25 ) ( 25) [400 (25 ) ]=0

x

 



 



0 25 4(25 ) ( 5 ) [20 (25 ) ]=0

x

 



 



0 25 4(25 ) ( 5) 5 20 25 20 25 = 0

x

 



 



0 25 4(25 ) ( 5) 5 5 45 = 0

x

 



 

0 25 ( 5)[4(25 ) ( 5) (45 )]=0

x

 



 

 5;

x

20 725 10 2 725 2 5

 Thời gian ngắn nhất làm con đường từ A đến

C là

2 5

3

định bởi phương trình

1

5 10 1 4

S t  t  t  t

Trong đó, S tính bằng mét, t tính bằng giây Hỏi

từ thời điểm t1sđến thời điểm t 5sthì vận tốc lớn nhất của chất điểm là bao nhiêu?

Lời giải

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm ts là v t   t3 3t210t

  2

' 3 6 10 0,

v t  t  t   Vậy t maxv t  v 5 100 /m s