D05 sự tương giao của các đồ thị muc do 3

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại có hai nghiệm phân biệt có hoành độ là các số nguyên.. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt  P tại hai điểm phân biệt M , N và

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] Cho hàm số y=x2−2mx+m−4 (với m là tham số thực) Tìm m để đồ thị

hàm số đã cho cắt trục hoành tại có hai nghiệm phân biệt có hoành độ x x thỏa mãn1, 2

x x  m

Lời giải

Xét phương trình x2 2mx m  4 0

Ta có:

2



          

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m   

Theo định lý Viet: x1 x2 2 ; m x x1 2 m 4

1

4

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] Cho hàm số y=x2−2mx+m−4 (với m là tham số thực) Tìm m để đồ thị

hàm số cắt trục hoành tại có hai nghiệm phân biệt có hoành độ là các số nguyên

Lời giải

Xét phương trình x2 2mx m  4 0

Ta có:

2



          

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m   

Gọi x x x1, (2 1x2)là hai nghiệm nguyên của phương trình

Ta có: x1 x2 2 ; m x x1 2 m 4

Suy ra x1x2 2x x1 2  8 2(x1x2) 4 x x1 21 15  (2x11)(2x21)15

TH1:

4

m

TH2:

0

m

TH3:

3

m

TH4:

1

m

Thử lại m =0, m = 1, m = - 3, m = 4 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] (HSG Toán 12 – Triệu Sơn, Thanh Hóa năm 2020) Cho parabol  P

:

2 3 2

y x x và đường thẳng d :   y x m Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để d cắt

 P

tại hai điểm phân biệt M , N và khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng MN đến các trục

tọa độ bằng nhau

Lời giải

Tập xác định

1

\ 2

D  



Ta có 2 1

x y x





1

y x





Phương trình hoành độ giao điểm: x2 3x 2 x m  x2 2x 2 m0 (1)

d cắt  P tại hai điểm phân biệt M , N      0 1 2m 0 m1 (2)

Gọi x x lần lượt là hoành độ của các điểm M , N 1, 2

Khi đó x x là các nghiệm của phương trình (1) và 1, 2 M x 1;x1m

, M x 2; x2m

Theo Vi-et, ta có:

1 2

1 2

2 2





 



Vì I là trung điểm của đoạn thẳng MN  I1;m1

Vì I cách đều các trục tọa độ

2

0







m m

Kết hợp với điều kiện (2)  m2.

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] (HSG 11 trường THPT Thạch Thành III – 2017-2018)

Cho parabol  P : y x 2và đường thẳng  d : y mx m  1

Tìm m để  P

cắt  d

tại hai điểm phân biệt có hoành độ và và biểu thức

1 2

2 2

x x A





   đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Xét phương trình: x2 mx m 1 0

Để  P cắt đường thẳng  d khi pt có 2 nghiệm phân biệt khi  m2 4m  4 0 m2

Theo vi-et ta có:

1 2





 



Khi đó: 2

2

m A m





 Để Ađạt GTNN khi phương trình:Am2 2m2A1 0 có nghiệm khi

2



        

Vậy Ađạt GTNN bằng

1 2

 khim  2

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT Cẩm Thủy 1 – Thanh Hóa – 2017 - 2018)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho hai Parabol ( ) :P1 y x 2 5x a và ( ) :P2 y x 2 10x b (a b, là tham số) Biết ( )P cắt Ox tại hai điểm 1 M x1 1;0 , M x2 2;0 ( )P cắt Ox tại hai điểm2

3 3;0 , 4 4;0

M x M x thỏa mãn 31 23 42

x x x Tìm a và b

Lời giải

Từ giả thiết:  P1 cắt Ox tại hai điểm a254 và  P2 cắt Ox tại hai điểm b25

1

Đặt

k

kết hợp với định lý Vi-ét ta có hệ:

1 2

1 2

3 4

3 4

5

10

x kx

x kx

x kx























Tìm được k  và 2 x  1 1

Với k  và 2 x  suy ra 1 1 a  và 4 b  (thỏa mãn).16

Kết luận: Vậy a  và 4 b  16

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] (HSG trường THPT Nga Sơn-Thanh Hóa 2017-2018)Cho Parabol  P :

x mx và đường thẳng :d y2mx m Tìm m để  P

cắt d tại hai điểm phân biệt có hoành

độ x x sao cho biểu thức 1, 2  

1 2

2 2

x x B





   đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm x2 mx m 1 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m  2 4 0(luôn đúng)

Áp dụng định lí Viet ta có

1 2





 

 Thay vào Bta được

2

B

Dấu “=” xảy ra khi m 2.

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] Cho hàm số y x2 2(m1)x 1 m2 (1), ( m là tham số).

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A B, sao cho tam giác

KABvuông tại K, trong đó K(2; 2)

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A B, khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

             

Gọi các nghiệm của phương trình (2) là x x 1, 2

Tọa độ các giao điểm A B, là A x( ;0), ( ;0)1 B x2 ; KA (x1 2; 2), KB (x2 2; 2)

KAKB KA KB    x  x     x x  x x  

3

m

m





Kết hợp điều kiện m   , ta được 1 m  , 1 m 3.

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] [ HSG THANH HÓA 2018] Cho hàm số y x 2 4x m có đồ thị là P m

Tìm tất các giá trị thực của tham số msao cho parabol P m

cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, Bthỏa mãn OA3OB

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: x2 4x m 0

Để cắt tại hai điểm phân biệt A, Bthì có hai nghiệm phân biệt

      

Theo giả thiết

3

3





 TH1: x A 3x B

3

A B











 TH2: x A 3x B:

3

A B











Do đó m  , 3 m 12.

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] (HSG Lớp 10 – SGD Hải Dương - Năm 2018) Cho parabol  P :yx2và

đường thẳng  d đi qua điểm I0; 1 và có hệ số góc k Gọi Avà Blà các giao điểm của  P và

 d Giả sử A, Blần lượt có hoành độ x , 1 x Tìm k để trung điểm của đoạn thẳng 2 ABnằm trên

trục tung

Lời giải

– Đường thẳng  d có phương trình: y kx 1.

- Phương trình hoành độ giao điểm của  P và  d : 2

1

x kx

    x2kx1 0  1 . Phương trình  1 luôn có hai nghiệm phân biệt x , 1 x vì 2  k2 4 0, k

- Trung điểm M của ABcó hoành độ là

1 2

x x k



M

 nằm trên trục tung 2 0

k

  

0

k

 *

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] (HSG10_THPT-PĐP_2017-2018) Cho hàm số yx2  2x2có đồ thị  P

và đường thẳng d có phương trình y x m 

Tìm m để đường thẳng d cắt  P

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA2 OB2 82

Lời giải

Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm phương trình:

x  x  x m x  x  m

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B  (1) có hai nghiệm phân biệt

1

9 4(2 ) 0 4 1 0

4

          

(*) Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm là A x x( ;1 1m); B x x( ;2 2m), trong đó x x là các nghiệm 1, 2 của (1) Theo định lý Viet ta có: x1x2 3,x x1 2  2 m.Ta có: OA2OB2 82

x  x m x  x m 

2 x x 2m x x 2m 82

x x x x m x x m

9 2(2 m) 3m m 41 m 5m 36 0

4 9





  



m m

Đối chiếu điều kiện (*) ta được m  là giá trị cần tìm.4

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] (HSG Lớp 10 – SGD Hải Dương - Năm 2018) Cho parabol  P :yx2và

đường thẳng  d đi qua điểm I0; 1 và có hệ số góc k Gọi Avà Blà các giao điểm của  P và

 d Giả sử A, Blần lượt có hoành độ x , 1 x Chứng minh rằng 2 x13 x23 2

, k  

Lời Giải

Theo Viet ta có: x1x2 k, x x  1 2 1

- Ta có: 3 3    2

x  x  x  x  x x  x x 

  x1 x2 x1x22 x x1 2

Có x1 x2 2 x1x22 4x x1 2 k24 x1 x2  k24

, k   Đẳng thức xảy ra khi k  0

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] (HSG10_SỞ GD&ĐT_QUẢNG NAM_2016-2017) Cho parabol (P) có

phương trình yx2 3x1, đường thẳng dcó phương trình y(2m1)x2và điểm M(3;3). Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể đường thẳng dcắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao

cho tam giác MAB vuông cân tại M

Lời giải

Cho parabol (P) có phương trình yx2 3x1, đường thẳng dcó phương trình

y m x và điểm M(3;3) Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể đường thẳng dcắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác MAB vuông cân tại M

+ Phương trình có hoành độ giao điểm của (P) và d là: x2 2(m2)x 1 0 (*)

+ Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt (vì a c  0).

Suy ra dluôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m.

+ Gọi A x( ;(21 m1)x12)và B x( ;(22 m1)x22)

(với x1và x2là hai nghiệm của phương trình (*)).

+ MA (x1 3;(2m1)x1 1)

và MB (x2 3;(2m1)x2 1)

+ Tam giác MAB vuông tại M suy ra:

   

 

2

1 2 3( 1 2) 9 (2 1) 1 2 (2 1)( 1 2) 1 0

2

1 6(m 2) 9 (2m 1) (2m 1)2(m 2) 1 0

2

2

2

m

m







 

 + Với m 2 Suy ra x11,x2 1

Khi đó: MA  ( 4;2), MB ( 2; 4)

Suy ra MA  MB

+ Với

1 2

m 

Suy ra 1

3 12 2

x  

, 2

3 12 2

x  

Khi đó:

MA    MB   

Suy ra MA  MB

(không thỏa ) Vậy với m 2, tam giác MAB vuông cân tại M.

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] (Olympic 10 – SGD Quảng Nam - Năm 2018) Cho parabol  P có phương

trình y ax 2bx c a , 0và đường thẳng d có phương trình y2x Tìm các hệ số , ,2 a b c biết đỉnh Acủa  P thuộc đường thẳng d , đồng thời  P cắt đường thẳng d tại điểm thứ hai là B

sao cho AB  5và OA OB ( O là gốc tọa độ).

Lời giải

Ta có A d nên A m ; 2 m2

A là đỉnh của  P nên phương trình của  P được viết lại y a x m   2 2m2a0

Phương trình hoành độ giao điểm của  P và d là:

  2  2 22 2

 x m ax am   

2









  



x m

x m

a

Hai giao điểm của  P và d là A m ; 2m 2 , B m 2; 2m 2 4

AB

      

10

OA OB  m   m  m   m  m

Với

13 2;

10

a m

ta có phương trình của  : 2 2 26 139

P y x  x

Vậy

26 139

a b c

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] (Đề Ôn thi HSG Toán 11 – Thanh Hóa năm 1819) Cho hàm số bậc hai

y x  mx m có đồ thị là đường cong  P

Tìm tất cả các giá trị của m để  P

cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độx x và 1, 2 2 2

1 2

x x đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của  P

x  mx m 

Để  P cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độx x  Phương trình (*) có hai nghiệm1, 2 phân biệt x x 1, 2 2 3 2 0 2  **

1

m

m







       



Với điều kiện (**), theo định lí Viét ta có: x1x2 2 ,m x x1 2 3m 2.

x x  x x  x x  m  m  m  m

2

1 2

x x  m  m  m     m D    

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

m   m

(thỏa mãn điều kiện  ** )

Vậy

3 4

m 

là giá trị cần tìm

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] (HSG Toán 10 - Hà Nam năm 19-20) Cho hàm số

y x  m x m  m với m là tham số, có đồ thị là  P Biết đồ thị  P đã cho luôn tiếp

xúc với một đường thẳng d cố định Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng 1 d đi qua điểm2

 ; 2 1

M m m 

và song song với d sao cho đường thẳng 1 d tạo với hai trục tọa độ ,2 Ox Oy một tam

giác có diện tích bằng 18

Lời giải

Giả sử đường thẳng d y ax b1:   với ,a b  

Khi đó phương trình hoành độ giao điểm: x2 2m1x m 22m 5ax b

         có nghiệm kép với mọi m

Do đó  2m 1 a2 4m2 8m20 4 b0 m

4m a 1 a 2a 21 4b 0 m

2

1

a





 



1 6

a b





 



Do đó đường thẳng d y x1:   6

Đường thẳng d2:y1x m 2m1 x m (điều kiện: 1 m  )5

Gọi C d 2Ox D d,  2Oythì C1 m;0 , D0;m1

(điều kiện: m 1)

1

1 18 2

OCD

5 7

m m





  

Đối chiếu điều kiện thì m  7

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] (HSG cấp trường Toán 10 – THPT Đan Phượng năm 2018- 2019)Cho

parabol  P y: 2x26x1 Tìm giá trị của k để đường thẳng :yk6x1cắt parabol  P

tại hai điểm phân biệt M N sao cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng,

3

2

d y x

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của  P

và   là

2

2x 6x1 k6 x1 2x2 kx 2 0 (1)

Phương trình (1) có  k216 0,    nên nó luôn có hai nghiệm phân biệt Suy ra với mọi giák

trị của tham số k thì đường thẳng luôn cắt  P

tại hai điểm phân biệt M N, .

Gọi x x lần lượt là hai nghiệm của (1).Khi đó theo Vi-et ta có 1, 2 1 2

2

k

x x 

Ta có M x k 1; 6x11 ; N x 2;k6x21, nên tọa độ trung điểm I của MN là

 6

k

I   

Điểm I d khi và chỉ khi



Vậy k  4 3 2 thì thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] (HSG Toán 10 - THPT Thuận Thành 2 _2018-2019) Cho hàm số

2 4 4 ; m

y x  x  m P

Tìm mđể P mcắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn 1; 4

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của P mvà trục hoành:

 

x  x  m  x  x  m

Dựa vào đồ thị ta thấy,  1 có 2 nghiệm cùng thuộc đoạn 1; 4

khi và chỉ khi  1 m 1 3hay

0m4.

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] Cho hàm số y x 2 2mx2m2  4mcó đồ thị là P m

Tìm m để P m

cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.

Lời giải

Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa P m

và Ox :

 

x  mx m  m

P m

cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu khi phương trình  1

có 2 nghiệm trái dấu

Vậy 0m thỏa yêu cầu bài toán.2

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] Cho hàm số y x 2 2mx2m2  4mcó đồ thị là P m.

Tìm các giá trị của k để phương trình

2 4

x  x k

có 4 nghiệm phân biệt

Lời giải

Xét ( ) :P0 y x 2 4xcó TXĐ D , đỉnhI2; 4 

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P và Ox là 0

4

x

x x

x





   



 Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số

2 4

yx  x

là

Từ bảng biến thiên phương trình

2 4

x  x k

có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0k4 Vậy 0k4thỏa yêu cầu bài toán

Câu 1 [DS10.C2.1.E05.c] Cho hàm số yx2 2m 3x 2m2 1 

Xác định mđể đồ thị hàm số  1 cắt đường thẳng y3x tại hai điểm ,1 A B phân biệt sao cho OAB

 vuông tại O(với Olà gốc tọa độ)

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của ĐTHS  1 và đường thẳng y3x là:1

x  m x m  x

      *

Để ĐTHS  1 cắt đường thẳng y3x tại 2 điểm phân biệt ,1 A B  phương trình  * có 2 nghiệm phân biệt   0

3 1

m m

 





Gọi x x là các nghiệm của phương trình 1, 2  * ,ta có

1 2

1 2

2





 ĐặtA x 1;3x1 1 , B x 2;3x21

OAB

 vuông tại O OA OB  . 0

10x x 3 x x 1 0

26m 31 0

31 26

m

( thỏa mãn) Vậy

31 26

m 

Câu 1.[DS10.C2.1.E05.c] (HSG Hà Tĩnh - Khối 10 - Lần 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):

2 4 3

y x  x , điểm I(1, 4) và đường thẳng d: y mx m  8 Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB cân tại I

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d là:

x  x mx m 

Để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B   (m6)2 0

 m 6

Tam giác IAB cân tại I khi và chỉ khi I, A, B không thẳng hàng và IA2 IB2

* I, A, B không thẳng hàng  I d  2m 8 4 m2

* IA2 IB2

1 2

1 2

1 2

2

m

m

m





 



  













Vậy các giá trị của m thỏa yêu cầu đề bài là m  2 3, m  2 3