Theo yêu cầu của lãnh đạo nhà máy, hộp sữa mới có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông hoặc có dạng một hình trụ.. Biết rằng hộp sữa mới có thể tích bằng 1 dm3.. Hãy giúp lãnh đạ
Trang 1NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 1 [DS12.C1.3.E05.d] Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế bao bì cho sản phẩm
mới Theo yêu cầu của lãnh đạo nhà máy, hộp sữa mới có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông hoặc có dạng một hình trụ Biết rằng hộp sữa mới có thể tích bằng 1 dm3 Hãy giúp lãnh đạo
nhà máy thiết kế hộp sữa sao cho vật liệu sử dụng làm bao bì ít nhất
Lời giải
Vật liệu làm bao bì ít nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần của hộp đạt giá trị nhỏ nhất
Nếu hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông: Gọi độ dài cạnh đáy là x dm( ) ,
chiều cao h dm( ), x h, >0.
Khi đó thể tích khối hộp:
2
2
1 1
x
Diện tích toàn phần của hộp là:
2 4 2
tp
x
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2 ( )
Vậy trong trường hợp này S tpđạt giá trị nhỏ nhất bằng 6dm2, đạt được khi khối hộp là hình lập
phương cạnh bằng 1 dm.
Nếu hộp sữa có dạng hình trụ với đáy là đường tròn bán kính r dm( ), chiều cao h dm( )với h>0, 0
r> .
Khi đó thể tích của khối trụ là:
2
2
1 1
r
p
p
Suy ra diện tích toàn phần của hộp bằng:
Trang 1
Trang 2NHÓM TOÁN VD – VDC
2
tp
S = p rh+ p r = +2r 2 r p 2= + +1r 1r 2 r p 2 ³ 3 2p3 .
Vậy trong trường hợp này S tp
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 2 dm3 p 2khi đáy là hình tròn có bán kính
rthỏa mãn: 2 ( )
3
2
2
p
Vì 3 23 p <6nên lãnh đạo nhà máy nên thiết kế hộp sữa có dạng hình trụ với bán kính đáy là:
3
1 2
p
=
và chiều cao
3 4
p
=
Câu 1 [DS12.C1.3.E05.d] Trên sa mạc có khu đất hình chữ nhật ABCD , có chiều dài AD 80(km)
, chiều rộng AB 10(km)
Vận tốc trung bình của xe máy trên khu đất này là 20(km h/ )
, riêng đi
trên cạnh BC thì vận tốc là 40(km h/ )
Một người đi xe máy từ A đến D Xậy dựng phương án
để di chuyển từ A đến D để tốn ít thời gian nhất và tính thời gian đó.
Lời giải
Giả sử người đó đi từ A đến các điểm E F,
rồi về D sao cho BE CF x km( ) (0x40) Tổng thời gian trên các đoạn đó là:
2
2
2
'( )
10 100 2
x
f x
x
2 2 10 4 3
2 3
Vậy thời gian di chuyển ngắn nhất là
4 3
2,8( )
HẾT
Trang 2