To 22 63 dan toc noi tru yen bai 2020

3,0 điểm Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp.. Tính xác suất sao cho tích các số xuất hiện ở ba lần gieo là một số không chia hết cho 6 mỗi số là số chấ

TỔ 22-STRONG TLHSG

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG PHỔ THÔNG DÂN TỘC NỘI TRÚ

TỈNH YÊN BÁI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2019-2020 TIME: 180 PHÚT PHẦN I-ĐỀ BÀI

Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số

1

x y x





 có đồ thị là  H , điểm A2;5 và đường thẳng

( ) : y x m (với m là tham số)

1) Chứng minh   luôn cắt  H tại hai điểm phân biệt

2) Gọi B C, là giao điểm của   và  H Chứng minh ABAC với mọi m Tìm các giá trị của m để tam giác ABC đều.

Câu 2 (4 điểm) 1) Giải phương trình

5 cos 2cos 2 2sin cos 2

6

2) Giải hệ phương trình

3







Câu 3 (3,0 điểm) Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp Tính xác

suất sao cho tích các số xuất hiện ở ba lần gieo là một số không chia hết cho 6 (mỗi số là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc ở mỗi lần gieo)

Câu 4 (3 điểm) Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp

đường tròn tâm

1 1

;

2 2

I æççç - ö÷÷÷÷

çè ø Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cắt AB AC, lần lượt tại ,

D E (D ¹ B E, ¹ C)

Cho phương trình ngoại tiếp tam giác IBC là

x +y - x y + + = và phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE là

x +y - x- = Tìm tọa độ điểm A

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 1 Mã đ ề Đ t 1-đ ợt 1-đề ề

Câu 5 (3 điểm) Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại A và BC2 ,a AC a  Gọi D là

điểm đối xứng với C qua trung điểm của AB Gọi  là góc giữa mặt phẳng (SBD và mặt) phẳng (ABC Biết rằng ) tan  6 và SA SB SD  Tính thể tích khối tứ diện SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD

Câu 6 (1 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

Câu 7 (2 điểm) Cho các số thực dương , ,x y z thay đổi thỏa mãn điều kiện x2y z 0 Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

2

P



-HẾT -PHẦN II-LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số

1

x y x





 có đồ thị là  H , điểm A2;5 và đường thẳng

( ) : y x m (với m là tham số)

1) Chứng minh   luôn cắt  H

tại hai điểm phân biệt

2) Gọi B C, là giao điểm của   và  H

Chứng minh ABAC với mọi m Tìm các giá trị của m để tam giác ABC đều.

Lời giải

Tác giả: Trần Văn Đoàn Face: Trần Văn Đoàn

Xét phương trình hoành độ:

1

x

x m x



 

  x2(3 m x)  1 m0 (*) x1

1) Phương trình  * có      

2 2

2 13 0

    

       







3 0

m

    

 



 

hai nghiệm phân biệt khác 1 Do đó   luôn cắt  H tại hai điểm phân biệt.

2) Giả sử x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình  * Khi đó ta có hai giao điểm là

 1; 1 ,

B x x m C x 2;x2m Trung điểm của BC là

1 1; 1 2

; 2 2

  Từ đó suy ra

;

và BC x 2 x x1; 1 x2 Vậy  AH BC.  0 AH BC ABAC

với mọi m

ABC

 đều

3

2 BC AH

A H







 

 

2 2

2 1

m

3 (m 3) 4(m 1) (m 7)

5

m

m





 Kết luận: m 1 hoặc m 5.

Câu 2 (4 điểm) 1) Giải phương trình

5 cos 2cos 2 2sin cos 2

6

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 3 Mã đ ề Đ t 1-đ ợt 1-đề ề

2) Giải hệ phương trình

3







Lời giải

Tác giả: Nguyễn Dung; Fb: Dung Nguyễn

1) Giải phương trình

5 cos 2cos 2 2sin cos 2

6

Ta có:

5 cos 2cos 2 2sin cos 2

6

cos 2cos 2 2sin cos 2 cos sin 2 sin

cos 2cos 2 2sin cos 2 sin 2

cosx 2cos 2x 3 sin cos 2x x sin sin 2x x

2 cosx 2cos 2x 3 sin cos 2x x 2sin cosx x

cos 1 2sinx x 2cos 2x 3 sin cos 2x x 0

cos cos 2x x 2cos 2x 3 sin cos 2x x 0

cos 2 cosx x 3 sinx 2 0

cos 2 0 cos 3 sin 2 0

x





 



+) cos 2x 0 2x 2 k x 4 k 2,k

+)

Vậy phương trình có các nghiệm là x 4 k2

 

và x 3 k2 ,k



2) Giải hệ phương trình

3







.

Điều kiện: x  2

Xét phương trình y33yx5 x2  y33y x233 x2

(1)

Vì VP  0   nên x 2 y33y 0 y 0

Xét hàm f t   t3 3 ,t t 0

Nhận thấy f t  3t2  3 0,  và t 0 f t  là hàm số liên tục trên 0; Suy ra f t 

đồng biến trên 0; .

0 2

2

y

x y





Thế xy2 2 vào phương trình 2x216 3 2  y2y x2 2x4

ta được:

2x 16 6 x2 3 x2 x  2x4

2x 6x 4 3 x 2 x 2x 4

2 x 2x 4 2 x 2 3 x 2 x 2x 4 2

.

Nhận thấy x  không là nghiệm của phương trình nên phương trình 2  2 tương đương với

phương trình

2

2

2 4

2 2

x

x













 



Xét phương trình

2 2 4

2 2

x

 



  x2 2x 4 4x8  x2 6x 4 0

3 13 2

(thỏa mãn điều kiện)

+) Với

3 13 2

thì

7 13 2

+) Với

3 13 2

thì

7 13 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm

hoaian8280@gmail.com

Câu 3 (3,0 điểm) Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp Tính xác

suất sao cho tích các số xuất hiện ở ba lần gieo là một số không chia hết cho 6 (mỗi số là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc ở mỗi lần gieo)

Lời giải

Face: hoaian

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 5 Mã đ ề Đ t 1-đ ợt 1-đề ề

Số phần tử của không gian mẫu: n    6.6.6 216

Gọi biến cố A: “Tích các số xuất hiện ở ba lần gieo là một số không chia hết cho 6 ”.

Ta chỉ có 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: Không lần nào xuất hiện mặt số 3 Khi đó để tích ba lần gieo không chia hết

cho 6 thì chỉ cần không lần gieo nào xuất hiện mặt số 6 Số các kết quả là 4.4.4 64

Trường hợp 2: Mặt số 3 xuất hiện ít nhất một lần Khi đó để tích ba lần gieo không chia hết

cho 6 thì chỉ cần thêm điều kiện là không lần nào gieo được mặt chẵn chấm

+ 1 lần số 3 và các lần còn lại thuộc 1;5 : 3.2.2 12 kết quả.

+ 2 lần số 3 và lần còn lại thuộc 1;5 : 3.2 6 kết quả

+ 3 lần gieo số 3 : 1 kết quả

Có 12 6 1 19   kết quả cho trường hợp 2

Vậy n A ( ) 64 19 83  và xác suất cần tìm là

 

83 216

n A

P A

n

Câu 4 (3 điểm) Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp

đường tròn tâm

1; 1

2 2

I æççç - ö÷÷÷

÷

çè ø Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cắt AB AC, lần lượt tại ,

D E (D ¹ B E, ¹ C)

Cho phương trình ngoại tiếp tam giác IBC là

x +y - x y + + = và phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE là

x +y - x- = Tìm tọa độ điểm A

Lời giải

Tác giả: Hoàng Thị Thúy Facebook: Hoàng Thúy

*Tọa độ điểm D E,

là nghiệm của hệ:

2 2

2 2

3 4 0

     





   



3 2 3 2 5 2

x y x y

éìï =ï êí

êï = êïî êìïê

Û ï =êïïïêíêï

-ïê = ïêïïîë

Không mất tính tổng quát giả sử D( )3;2

và

3; 5 .

Eæççç - ö÷÷÷

÷

Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC , F là điểm đối xứng với E qua điểm K,

S là điểm đối xứng với B qua điểm I . Khi đó

1 3;

2

Kæççç - ö÷÷÷÷

çè ø,

9 3

;

2 2

F æççç ö÷÷÷

÷

çè ø

*Ta cần chứng minh: IF / /AB

Ta có: ·AEI =12sdIEC¼ = ·IBC ( )1

Mặt khác: ·IBC ·SAC=

» 1

2sdSC

= ( )2

Từ ( )1

;( )2 suy ra: AEI· =SAC·

nên EI / / SA

Ta có:

ìï ^ ïí

ïî Þ IF / /AB

* Ta có: IF =uur ( )4;2 Þ nurAB =(1; 2- )

là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

Phương trình đường thẳng AB là: 1(x- 3)- 2(y- 2) =0 Û x- 2y+ =1 0

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 7 Mã đ ề Đ t 1-đ ợt 1-đề ề

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

ìï - + = ïïí

ïïî

( )

3 2 1 0

x l y x y

éìï = ïêíê

ï = êïî

Û êìï =-êïêíê =ï ïîë

Vậy tọa độ điểm A là A -( 1;0 )

Câu 5 (3 điểm) Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại A và BC2 ,a AC a  Gọi D là

điểm đối xứng với C qua trung điểm của AB Gọi  là góc giữa mặt phẳng (SBD và mặt) phẳng (ABC Biết rằng ) tan  6 và SA SB SD  Tính thể tích khối tứ diện SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD

Lời giải

Tác giả:Phạm Thị Thu Hà; Fb: Phạm Thị Thu Hà Phản biện:Hà Quang Trung; Fb: Ha Quang Trung

Vì D là điểm đối xứng với C qua trung điểm của AB nên ACBD là hình bình hành.

Gọi H là trung điểm của AD HA HB HD 

Gọi E là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABD )

Khi đó SE(ABD) SEEA SE, EB SE, ED SEA SEB SED, , là các tam giác

vuông tại E có SE chung và SA SB SD   SEASEBSED ( cạnh huyền và cạnh góc vuông)

(1)

EA EB ED

Mặt khác HA HB HD  (2)

Do đó từ (1) và (2) ta có H trùng E  SH (ABD)

Gọi K là trung điểm của BD

Vì  là góc giữa mặt phẳng (SBD và mặt phẳng () ABC nên SKH)  

Ta có:

3

AB a

3 2 tan

2

a

Ta có:

2

.AB.AC

ABC

a

3

a

Ta có

( , ) ( ,( )) ( ,( ))



Ta có BC(SBC)

Kẻ HM BC

Khi đó BC(SHM) (SBC) ( SHM) (3)

Mà (SBC) ( SHM)SM (4)

Trong (SHM kẻ ) HJ SM (5)

Từ (3), (4),(5)  HJ (SBC)  d H SBC( ,( ))HJ

Ta có:

3 3

2

a

Ta có:

9

3 14 14

a HJ

Vậy

3 14 (SC, AD)

14

a

Câu 6 (1 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 9 Mã đ ề Đ t 1-đ ợt 1-đề ề

 1 2 1 2 2 2 1 4 1 2 1 2

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Bá Long; Fb:Nguyễn Bá Long

Điều kiện: x   1;1

Đặt t 1x2  1 x2

Phương trình t  0 x0

Ta có t 0  2; t1 0; t 1  ta được: 00  t 2

Khi đó: t2  2 2 1 x4  2 1 x4  2 t2

Do đó phương trình trở thành  

2

2

t

  



Xét hàm số  

2

f t

t

  



 với t 0; 2

Ta có

 

2 2

4

2

t

 



Do đó  2  0 2 1

2 2



Vậy giá trị m cần tìm là:

2

1

2 2 m

phamcaothe1983@gmail.com

Câu 7 (2 điểm) Cho các số thực dương , ,x y z thay đổi thỏa mãn điều kiện x2y z 0 Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

2

P



Lời giải

Tác giả: Phạm Cao Thế; Fb: Cao Thế Phạm

Vì , ,x y z là các số dương và x2y z  0 z x 2y nên ta có:

2 3











P



Đặt

0

x t y

 

, khi đó 3  , 0

12 2 3



Xét hàm số   3 , 0

12 2 3



Ta có

 

2 (tm)

(l)

5

t

t





 

Bảng biến thiên

t 0 2 

 

f t  0 

 

f t

1

3 2

6 7

Từ bảng biến thiên ta có:   6 6

f t   P

và

6

4 7

2

x

y P









  

Vậy

6 min

7

P 

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 11 Mã đ ề Đ t 1- ợt 1-đề