Hdc toan 10 hsg 2122 (chuyen)

Nội dung Điểm Câu 3... Gọi O1 là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH, O2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH.. a Trên tia Ax lấy điểm D nằm ngoài hai đường tròn O1, O2.. Đường thẳng vu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

NĂM HỌC 2021 - 2022

MÔN: TOÁN 10 (CHUYÊN)

(Bản hướng dẫn này gồm 06 trang)

Câu 1 (3,0) Giải hệ phương trình sau

2





Điều kiện: x0, x y 0, y3

2x2x2  x y y x y  (  ) 2x x y (y2 x2)xy x 2

- Nhận xét: x y  không thỏa hệ0

- Xét x2y2 0

2

x y



 

 x y

Khi đó phương trình còn lại trở thành:

2x  x (1 4 )  x x    3 3 0 2(x x 3)  (x x 3) 3 0  

3 1 3 3 2

   





   



 x x  3 1 x1

Với x 1 thì y 1



3

2

2

y 

Câu 2 (3,0 điểm)

Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

H

3,0

+ Ta có: a2b a3b2  a (a b 2) 3 b2 2a4b2

2 2

2

2



Tương tự suy ra:

H

a b c

3

mà a2b2  a b2b233ab4



3

2



Tương tự suy ra: 23 2 2 3 2 2 3 2 2

3 -3

Ta có:a ab b  33 a b2 2 , b bc c  33b c2 2 , c ca a  33 c a2 2

 6 ( ab bc ca  ) 3 3a b2 2 33b c2 2 33c a2 2 (1)

mà: (a b c  )2 3(ab bc ca  ) hay 32 3(ab bc ca  )hay 3 ab bc ca   (2)

Lấy (1) cộng (2) vế theo vế  9 3 3a b2 2 33b c2 2 33c a2 2

 3 a b2 2 3b c2 2 3 c a2 2 3

Suy ra H 1, dấu bằng xảy ra khi a b c  1.

Vậy maxH 1 khi a b c  1.

Nội dung Điểm Câu 3 (3,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm đơn điệu : f   thỏa mãn f x  f y( ) f x( ) , y x y  3,0

Vì f là hàm đơn điệu nên f là hàm đơn ánh.

+ Thay y  ta có 0 f x f  (0)f x( )   x

Thay x  ta có 0 f f y ( ) f(0) hay y f f x ( ) f(0) x   x

+ Thay x bởi ( ) f x ta có :

f f x ( ) f y( ) f f x ( ) y f  0  x y f f x y (  ) x y,  

 f x( ) f y( )f x y(  ) x y,   (vì f là hàm đơn ánh)..

 f là hàm cộng tính

Hơn nữa f đơn điệu nên  f x( )kx (k là hằng số).

+ Thay biểu thức ( )f x kx vào hệ thức f x  f y( ) f x( ) ta được y

f x ky   kx y  k x ky(  )kx y

 (k21)y  0 y  k 1.

+ Kiểm tra ( )f x x f x, ( ) x thỏa mãn yêu cầu của đề

Câu 4 (3,0 điểm)

Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số ab (với a b  ), biết rằng tổng tất cả các chữ

số nguyên từ a đến b bằng ab

3,0

Theo đề ta có ab a a1  a2     b 1 2 3 9 45 

Nên a ≤ 4

Ta xét các trường hợp sau:

+ Nếu a = 4 và a b thì ab45 1 2 3 9     a1 mâu thuẩn.!

( hoặc suy ra ab 45, mà 4 + 5 khác 45 nên TH này không xảy ra)

+ Nếu a = 3 thì 3 4   b1 b 3b30b Suy ra 1 2 3    b1 33

Mà ta có  

2

b b

nên (b - 1)b = 66, phương trình này không có nghiệm b {4;5; ,9}

0,5

Vậy có hai số tự nhiên thỏa đề là 27 và 15.

Câu 5 (5,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có ba cạnh AB = c, BC = a, CA = b thỏa mãn a = b + c 3 3 3

Ta có 3 3 3

a b c









0 0

b a

c a

 





 

b a c a







  

















2 2 2

a



0

    

2 2 2

0 2

bc



Suy ra A là góc nhọn.

a3 b3c3 (b c b )( 2 bc c 2)a b( 2 bc c 2)

 a2 b2 bc c 2

2 2 2

0

1 cos A cos 60

bc

Vậy A > 60 0

2) Cho tam giác ABC (AB < AC, A tù) có đường cao AH, tia phân giác trong góc A là

Ax Gọi (O1) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH, (O2) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH

a) Trên tia Ax lấy điểm D nằm ngoài hai đường tròn (O1), (O2) Hai đường thẳng DB,

DC lần lượt cắt (O1), (O2) tại điểm thứ hai là K và L Đường thẳng vuông góc với AD tại A lần lượt cắt hai đường tròn (O1), (O2) tại điểm thứ hai là E và F Chứng minh tứ giác EFLK nội tiếp đường tròn

b) Đường thẳng d tiếp xúc với hai đường tròn (O1), (O2) lần lượt tại P, Q Các tiếp tuyến tại P, Q của đường tròn ngoại tiếp tam giác HPQ cắt nhau tại N Lấy điểm M đối xứng với A qua PQ Chứng minh H, M, N thẳng hàng

3,5

Hình vẽ câu a) (0,25 điểm) Hình vẽ câu b) (0,25 điểm)

a) Chứng minh tứ giác EFLK nội tiếp

Ta có ALF = ACF = CAD = BAD = ABE = AKE    

Mà tứ giác AKDL nội tiếp đường tròn đường kính AD có AE là tiếp tuyến

Nên

ALK = EAK = sdAK

2

Suy ra KLF = ALF + ALK = AKE + EAK = 180 - KEA     0  KLF + KEA = 180 0

Vậy tứ giác EFLK nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh H, M, N thẳng hàng

+ Gọi I là giao điểm của PQ và AH

Ta có PHQ = PHI + QHI = API + AQI = MPI + MQI = 180 - PMQ        0 

Suy ra tứ giác HPMQ nội tiếp đường tròn (1)

+ Chứng minh hai tam giác IPA và IHP đồng dạng, suy ra được IP.HP = PA.IH

Nội dung Điểm Câu 6 (3,0 điểm)

Trong hình vuông có cạnh bằng 1, ta đặt một số đường tròn mà tổng chu vi của chúng

bằng 2022 Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng có điểm chung với ít nhất 644 đường

tròn trong các đường tròn này

3,0

+ Gọi các đường tròn là Ci với bán kính tương ứng là R ,i = 1, n i (n là số nguyên

dương)

+ Với mỗi đường tròn Ci, ta dựng đường kính song song với cạnh AB của hình

vuông, sau đó chiếu theo phương vuông góc với cạnh AB lên cạnh AB, ta thu

được hình chiếu tương ứng của đường kính này trên cạnh AB, có độ dài bằng

đường kính bằng 2Ri

+ Do tổng chu vi các đường tròn bằng 2022 nên

2π Ri = 2022 (2R ) =i

π



Theo nguyên lý Đirichlet thì trong các hình chiếu trên cạnh AB của các đường kính

nói trên tồn tại

2022

1 644



  hình chiếu có chung ít nhất một điểm, gọi I là một trong các điểm chung đó

Khi đó, đường thẳng qua I và vuông góc với AB có điểm chung với ít nhất 644

đường tròn

* Lưu ý:

Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong HDC nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.