Hdc Toan 10..Docx

TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHU VĂN AN, BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN LỚP 10 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ 2022 2023 (Thời gian làm bài 180 phút) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Đáp án Điểm Bài 1 (4đ) Cho[.]

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

CHU VĂN AN, BÌNH ĐỊNH

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN LỚP 10

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

2022-2023

(Thời gian làm bài: 180 phút)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1

(4đ) Cho các đa thức P x Q x ,  

hệ số nguyên thỏa mãn P x 3 xQ x 3 x2 x 1

Chứng minh rằng 2022 là ước chung của P2023 và Q2023.

Đầu tiên ta thấy rằng P x 3  P 1 x31

, nên P x 3  P 1 x2 x 1

Tương tự ta cũng có Q x 3  Q 1 x2 x 1

0,5 0,5 Khi đó:

   

   

2

1







1

1

Từ đây, suy ra:

2023 2023  1 2022

2023 2023  1 2022

Ta có điều phải chứng minh

0,5 0,5

Bài 2

(4đ) Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z    Chứng minh rằng3

3

Vì x y z   nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 3

3

1đ

Với số thực dương x ta luôn có 132 9 1 2 1

x

x



  

  (vì nó tương đương với

x1 2 x2  )0

2đ

Từ đó VT  *  1 2x1 1 2 y1 1 2 z1  3 1đ

Bài 3

(4đ) Cho tam giác nhọn ABC có

 

B C , đường cao BE và CF giao nhau tại H Gọi M là trung điểm của cạnh BC , K và L lần lượt là trung điểm của ME MF, Đường thẳng đi qua A cắt đường thẳng KL tại T Chứng minh rằng TA TM .

0,5

Gọi I là trung điểm của AH, khi đó I là tâm đường tròn đi qua các điểm

, , ,

A E F H

Để ý rằng, tam giác IHE cân tại I , tam giác MEF cân tại M , IHE và ACB

cùng phụ với HAE Từ đó ta có biến đổi như sau:

IEM IEH HEM IHE HBM   ACB HBM 

1

Suy ra MEIE Do đó ME tiếp xúc với AEF

Tương tự ta cũng có MF tiếp xúc với AEF

1

Xét đường tròn  1

ngoại tiếp tam giác AEF và đường tròn 2

tâm M bán kính r  , ta có:0 0

KE KM (gt)  Phương tích của điểm K đối với hai đường tròn là bằng

nhau

LF LM (gt)  Phương tích của điểm L đối với hai đường tròn là bằng

nhau

Do đó KL chính là trục đẳng phương của hai đường tròn nói trên

Suy ra điểm T có cùng phương tích đối với hai đường tròn  1

và 2

1

Vì AT BC AH|| , BC nên AT AH, suy ra AT tiếp xúc với   , tức 1

phương tích của điểm T đối với 1

là TA Hơn nữa, phương tích của điểm 2 T

đối với 2

là TM , do đó 2 TA2 TM2 (đpcm)

1

Bài 4

(4đ) Với mỗi số nguyên dương n  , gọi 1 1 2

1a 2a a s

s

p p p là một phân tích thừa số nguyên tố của n,

đặt  n a1a2 a s Chứng minh rằng, tồn tại 2023 số nguyên dương liên tiếp, sao cho trong đó có 2007 số nguyên n thỏa mãn  n 11

Đặt f n  kn n, 2023  k 11

Dễ thấy rằng f n 

và f n  1

hơn kém nhau không quá 1 đơn vị

Với k 2023 thì  k log 20232  11

, do đó f  1 2024

1

Trung Hoa, tồn tại số nguyên dương n  sao cho 0 1

1

 

Điều này có nghĩa là f n  0 0

1

Từ các sự kiện: f n  và f n  1 luôn hơn kém nhau không quá 1 đơn vị,

 1 2022

, có số nguyên dương n  sao cho 0 1 f n  0 0

Suy ra tồn tại số nguyên dương n11;n0

sao cho f n  1 2007

(đpcm)

1

Bài 5

(4đ)Cho trước các điểm , , , , , , , , ,A B C D E F G H K L trên mặt phẳng Bạn Hùng muốn vẽ hình bên dưới

chỉ bởi một nét vẽ (Tức là từ lúc bắt đầu vẽ đến lúc kết thúc, không được nhấc bút lên và cũng không đồ lên những nét đã vẽ) Bạn Hùng có thể thực hiện được mong muốn không? Nếu được thì các bạn hãy nêu cách vẽ, nếu không được thì hãy giải thích vì sao?

Giả sử ta có thể vẽ được hình trên theo mong muốn của bạn Hùng Ta gọi mỗi

đường nối giữa hai đỉnh là một cạnh liên thuộc của hai đỉnh đó

Không mất tính tổng quát, có thể giả sử nét vẽ được bắt đầu từ một đỉnh X và

kết thúc tại một đỉnh Y, trong đó X Y,  A B C D E F G H K L, , , , , , , , , 

1

Trường hợp X Y : Xét một đỉnh Z A B C D E F G H K L, , , , , , , , , 

mà ,

Z X Z Y

Vì nét vẽ xuất phát từ X và kết thúc tại Y, nên nét vẽ cạnh liên thuộc đầu tiên

của X là nét vẽ rời khỏi X và nét vẽ cạnh liên thuộc cuối cùng của X cũng là

nét vẽ rời khỏi X , do đó số cạnh liên thuộc của X phải là một số lẻ Lập luận

tương tự, số cạnh liên thuộc của Y cũng là một số lẻ Vì Z X Z Y,  nên nét vẽ

cạnh liên thuộc đầu tiên của Z là tiến vào Z và nét vẽ cạnh liên thuộc cuối cùng

của Z là rời khỏi Z, do đó số cạnh liên thuộc với Z là một số chẵn Tóm lại

trong trường hợp này, số cạnh liên thuộc của X và Y đều là số lẻ, số cạnh liên

thuộc tại mỗi đỉnh còn lại đều là số chẵn

1

Trường hợp X Y : Xét một đỉnh Z A B C D E F G H K L, , , , , , , , , 

mà Z X

Vì nét vẽ xuất phát từ X và kết thúc tại X , nên nét vẽ cạnh liên thuộc đầu tiên

của X là rời khỏi X và nét vẽ cạnh liên thuộc cuối cùng của X là tiến vào X ,

do đó số cạnh liên thuộc của X phải là một số chẵn Vì Z X nên nét vẽ cạnh

liên thuộc đầu tiên của Z tiến vào Z và nét vẽ cạnh liên thuộc cuối cùng của Z

1

rời khỏi Z, do đó số cạnh liên thuộc với Z là một số chẵn Tóm lại trong trường

hợp này, số cạnh liên thuộc của tất cả các đỉnh đều là số chẵn

Ta có thể quan sát hình vẽ trên và thấy rằng các đỉnh , , ,A C G K đều có số lẻ

cạnh liên thuộc ĐIều này mâu thuẫn với cả hai trường hợp nói trên Như vậy bạn

Hùng không thể vẽ hình nói trên bởi một nét như bạn ấy mong muốn

1

LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn.

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không chấm điểm cho phần đó.