9 2 gt12 cii bai 6 bpt mu logarit hdg

Vậy có 15 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán.. Vậy có 26 giá trị x nguyên thỏa bài toán... Vậy có 27 giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình đã cho... Vậy có tất cả 18 số nguy

CHUYÊN ĐỀ II – GIẢI TÍCH 12 – LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT

6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH – MŨ – LOGARIT

1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

 Nếu a  , 1 b  thì 0 a f x( ) a g x( )  f x  g x 

 

f x

a

 Nếu 0a , 1 b  thì 0 a f x( )a g x( )  f x g x 

 

f x

a

a  b f x  b

 Lưu ý: b  thì 0 f(x)

a b đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định của f x 

, còn a f(x) b vô nghiệm

2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

 Nếu a  thì 1    

 

   

0 loga f x loga g x g x

f x g x









 Nếu 0a thì 1

   

0 loga f x loga g x f x

f x g x









Câu 1: (MĐ 101-2022) Tập nghiệm của bất phương trình log5x  1 2

là:

A 9 ; 

B 25 ;

C 31 ; 

D 24 ; 

Lời giải Chọn D

Ta có: log5x1 2 x 1 52  x25 1  x24

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S 24 ; 

Câu 2: (MĐ 102-2022) Tập nghiệm của bất phương trình log5x  1 2

là

C

H

Ư

Ơ

N

G

II HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ

MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

LÝ THUYẾT.

I

=

=

=

I

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

II

=

=

=I

A 24; . B 9; . C 25;. D 31;.

Lời giải Chọn A

Ta có

 

1

1 5

x

x

 



 

Câu 3: (2020-2021 – ĐỢT 1)Tập nghiệm của bất phương trình 3x 2 là

A  ;log 23 

Lời giải

Ta có 3x  2 xlog 23

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S    ;log 23 .

Câu 4: (2020-2021 – ĐỢT 1)Tập nghiệm của bất phương trình 2x 5

A ( ; log 5)2 B (log 2;5  ) C ( ;log 2)5 D (log 5;2  )

Lời giải

Ta có: 2x  5 xlog 5.2

Tập nghiệm của bất phương trình là: (log 5;2  )

Câu 5: (2020-2021 – ĐỢT 1)Tập nghiệm của bất phương trình log 32 x  5 là

A

32 0;

3

32

; 3



25 0;

3

25

; 3

 

Lời giải

2

32

3

x   x  x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

32

; 3



Câu 6: (2020-2021 – ĐỢT 2)Tập nghiệm của bất phương trình log 32 x 3

là

A 3;

8; 3



8 0;

3

 

 

  D 0;3

Lời giải

2

8

3

x   x  x  x

Câu 7: (2020-2021 – ĐỢT 2)Tập nghiệm của bất phương trình log 23 x  4

81 0;

2

81

; 2



Lời giải

Ta có: log 23 x  4 4 81

2

Câu 8: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Tập nghiệm của bất phương trình 5x1 5x2 x 9

A 2;4 B 4; 2

C   ; 2  4; D   ; 4  2;

Lời giải Chọn A

2

5x 5x  x x 1 x x 9 x 2x 8 0 2 x 4

Vậy Tập nghiệm của bất phương trình là 2; 4

Câu 9: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tập nghiệm của bất phương trình 9x2.3x 3 0 là

A 0; 

B 0;

C 1;

D 1; 

Lời giải Chọn B

9x 2.3x 3 0 3x 1 3x 3 0 3x 1

(vì 3x 0,  x )  x 0 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 0; 

Câu 10: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm của bất phương trình 3x 2 13 27 là

A 4;  

B 4; 4 C  ;4 D 0; 4

Lời giải Chọn B

Ta có:

3x 27 3x  3 x 13 3 x 16 x 4 4 x 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S   4;4

Câu 11: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm của bất phương trình 3x 2 23 9

 là

A 5;5 B  ;5 C 5; 

D 0;5

Lời giải Chọn A

Ta có 3x223 9 x2 23 2 x2 25 5 x 5

Vậy nghiệm của bất phương trình 3x 2 23 9

 là 5;5

Câu 12: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm của bất phương trình 2x 2 7 4

A ( 3;3) B (0;3) C ( ;3) D (3; )

Lời giải Chọn A

Ta có : 2x2-7<4Û 2x2 - 7<22Þ x2- <7 2 Û x2<9Þ xÎ -( 3;3 )

Câu 13: (Mã 104 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm của bất phương trình 2x 2 1 là8

C 2; 2

Lời giải Chọn C

Từ phương trình ta có x2      1 3 2 x 2

Câu 14: (Đề Tham Khảo 2018) Tập nghiệm của bất phương trình 22x<2x+6 là:

A (- ¥ ; 6)

B (0; 64)

C (6; +¥ )

D ( )0; 6

Lời giải :

Chọn A

Cách 1: 22x<2x+6 Û 2x< + Û <x 6 x 6

Cách 2:

Đặt t =2x, t >0

Bất phương trình trở thành: tt -2 64 <0 Û 0 < <t 64 0 2x 64 6

x

Û < < Û <

Câu 15: (Đề Tham Khảo 2019) Tập nghiệm của bất phương trình 3x22x27 là

A 3; 

B 1;3

C   ; 1  3; D   ; 1

Lời giải Chọn B

Ta có 3x22x27 x2 2x 3 x2 2x 3 0   1 x 3

Câu 16: (Dề Minh Họa 2017) Cho hàm số

2 ( ) 2 7 x x

f x  Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A f x( ) 1  x x 2log 7 02  B f x( ) 1  xln 2x2ln 7 0

C f x( ) 1  xlog 27 x2 0 D f x( ) 1  1 xlog 7 02 

Lời giải Chọn D

1 log log 1 log 2 7x x 0 log 2x log 7x 0

2 2 log 7 0

x x

Đáp án B đúng vì      2 2

1 ln ln1 ln 2 7x x 0 ln 2x ln 7x 0

2

1 log log 1 log 2 7x x 0 log 2x log 7x 0

2 7

1 log log 1 log 2 7x x 0 log 2x log 7x 0

2 2 log 7 0

x x

Câu 17: (Đề Tham Khảo 2017) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

5

x

 

A S     ; 2. B S   1;  . C S     1; . D S     2; .

Lời giải

Bất phương trình tương đương 5x1 51  x   1 1 x 2.

Câu 18: (Đề Tham Khảo 2019) Tập nghiệm của bất phương trình 3x22x27 là

A   ; 1

B 3; 

C 1;3

D   ; 1  3;

Lời giải Chọn C

Ta có 3x22x27 x2 2x 3 x2 2x 3 0   1 x 3

Câu 19: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tập nghiệm của bất phương trình logx 1 là

A 10;

B 0;

C 10;

D  ;10

Lời giải Chọn C

10

x

x





Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 10;

3

log 13 x 2

là

A   ; 2  2 :  B  ;2

C 0; 2

D 2;2

Lời giải Chọn D

 Bất phương trình  

2

x

x

x x



Vậy, tập nghiệm của bất phương trình  2

3

log 13 x 2

là 2;2

3

log 36 x 3

là

A   ; 3  3;  B  ;3 C 3;3 D 0;3 .

Lời giải Chọn C

3

3

log 18 x 2

là

A  ;3 B 0;3 .

C 3;3

Lời giải Chọn C

Điều kiện: 18 x2  0 x  3 2 ;3 2

(*)

Khi đó ta có:  2

3

log 18 x 218 x2 9 3 x 3

Kết hợp với điều kiện (*) ta được tập ngiệm của bất phương trình đã cho là 3;3

3

log 31 x 3

là

A  ; 2 B 2; 2 C   ; 2  2; D 0; 2.

Lời giải Chọn B

3

log 31 x  3 31 x 27 x  4 0  x 2;2

Câu 24: (Đề Minh Họa 2017) Giải bất phương trình log 32 x  1  3

1

3

10 3

x 

Lời giải Chọn A

Đkxđ:

1

3

x   x

Bất phương trình 3x 1 2 3  3x9 x3(t/m đk)

Vậy bpt có nghiệm x> 3

Câu 25: (Mã 123 2017) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log22x 5log2x 4 0

A S  (  ;1] [4  ) B S[2 ;16] 

C S(0 ; 2] [16    ) D (  ; 2] [ 6 1 ; )

Lời giải Chọn C

Điều kiện  0x

Bpt



2

2

Kết hợp điều kiện ta có S0; 2   16;

Câu 26: (Mã 105 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

2

log x 2 log x 3m 2 0 có nghiệm thực

2 3

m

Lời giải

Chọn.A

Đặt tlog2x x 0

, ta có bất phương trình : tt2 2m3  2 0

Để BPT luôn có nghiệm thực thì   3 3m 0 m1

ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn 2x 1 2 2  x y 0?

Lời giải

Đặt t=2x>0 thì ta có bất phương trình (2t- 2)(t- y) 0< hay (t- 22)(t- y) 0 (*).< Vì yÎ ¢+ nên

2 2

y>

x

Û < < Û < < Û - < <

Nếu log2 y>10 thì xÎ {0,1,2, ,10}K đều là nghiệm, không thỏa Suy ra log2 y£10 hay 10

y£ = , từ đó có yÎ {1,2, ,1024}.K

Câu 28: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 3x2  9 logx  3x25 3 0?

Lời giải

Điều kiện: x  25 *  

Trường hợp 1:

0

0

2

2

25 27

2

x

x

x x

x

 



Kết hợp với điều kiện  *

ta được x   25;0 2

Mà x x  24; 23; ;1;0; 2  

có 26 giá trị nguyên của x thỏa mãn.

Trường hợp 2:

2

25 27

x x



Kết hợp các trường hợp, ta có tất cả 26 giá trị nguyên của của x thỏa mãn đề.

Câu 29: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn

3x2  9xlog2x30 5 0

Lời giải

Điều kiện: x  30

0

0

2

2

30 32

2

x

x

x x

x







Kết hợp điều kiện ta có:

2

x x



 

 Nên x   29, 28, 0, 2  nên có 31 số nguyên

Trường hợp 2:

2 2

30 32

x x

x



Vậy tổng cộng có 31 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 30: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn

2x2  4xlog2x14 4 0

?

Lời giải

Ta có:2x2  4xlog2x14 4 0

2

2

2

2

log 14 4 0

log 14 4 0

x

x

   

 

 

 



  







 



2

2

2

2 2

2

log 14 4

log 14 4

x

x

  

 

 

 



 







 



2

2

2

2

14 16

x

x

 







 



2 0

2

x x x x x

  

  









   



  











2

2

x x x









 



2

x x





   

Vì x nguyên nên x   13; 12; ;0;2 

Vậy có 15 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 31: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1)Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn

2x2  4xlog3x25 3 0

?

Lời giải

ĐK: x  25

+) Ta có  2   

2 3

0 2

2

25 27

x

x x







Ta có bảng xét dấu f x 2x2  4xlog3x25 3

+) Suy ra:   0 25 0

2

x

f x

x



   



+) Vì x   nên ta có x   24; 23; ; 1;0;2   Vậy có 26 giá trị x nguyên thỏa bài toán.

log x 1 log x 31 32 2x 0

Lời giải

Ta có

 2     1

log x 1 log x 31 32 2x 0

1

2 2

1

31

5

6

1 5

32 2

6 31

31

31

30 0

1 5

x

x

x

x

x x

x x

x

x

x

x





  

 







  



6

x x

 



  



Do x nguyên nên x   30; 29; 28; ; 5;6   

Vậy có 27 giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình đã cho.

log x 1 log x 21 16 2x 0?

Lời giải

Điều kiện: x  21.

Khi đó

2

1

2

1

( )

16 2 0

( )

16 2 0

x

x

x

I

II







 

  

 



 

  



Giải  I ta có



4

5

5

5

x

x

x

x

x

 







Kết hợp điều kiện ta được

5

x x

  



 

Giải  II ta có

 2     2   



 

5 2 5

x

x x

  



Từ  1 và 2 ta có các giá trị của x thoả mãn bất phương trình đã cho là

5

x x

  



 

Vì x  nên suy rax   20; 19; ; 4;5   Vậy có tất cả 18 số nguyên x thoả mãn đề bài.

Câu 34: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn

log (x 1) log (x 21) (16 2 ) 0?x

Lời giải

Điều kiện: x21 0  x 21

Đặt

Ta có:

log (x 1) log ( x21) 0  log (x 1) log ( x21)

21

5

4

4

x

x

x

x

 









Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có: f x( ) 0  21x4

Vì xZ x  20; 19; 18 ; 4   

Vậy, có 17 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 35: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 2) Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn

log x 1 log (x 31) 32 2x 0?

Lời giải

Đặt    2   1

log 1 log ( 31) 32 2x

Điều kiện: x  31.

Ta có:

log 1 log ( 31) 0 log 1 log ( 31) 0

h x





6

x

x





Bảng xét dấu h x 

Từ bảng xét dấu của h x  ta suy ra

log x 1 log (x 31) 32 2x 0 x ( 31; 5] {6}

Vậy có 27 số nguyên x thỏa mãn.

Câu 36: (MĐ 101-2022) Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng ba số

nguyên b thỏa mãn 3b 3  2b 18 0

a

?

Lời giải Chọn B

Xét

2

1

3 3 0

log 2 18 0

b

b

b a

b a

a





 



TH1: Nếu 2

18 log 1 0 a 9

a     Khi đó ta có bảng xét dấu vế trái BPT như sau:

Để với mỗi a có đúng ba số nguyên b thì b 2;3;4 nên

2

16 a 8

Vậy a  TH này có 1 giá trị 1 a thỏa mãn

TH2: Nếu 2

18 log 1 a 9

a    Khi đó ta có bảng xét dấu vế trái BPT như sau:

Để với mỗi a có đúng ba số nguyên b thì b    2; 1;0

nên

2

Vậy a 73;74; ;144

TH này có 72 giá trị của a thỏa mãn

Gom cả hai trường hợp ta có 73 giá trị của a thỏa

Câu 37: (MĐ 102-2022) Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số

nguyên b thỏa mãn 5b1 a.2b 5 0

Lời giải Chọn B

TH1:

2 2

0

5 log 2 5 0

b b

b

b

a

a





  



Để có đúng hai số nguyên b thỏa mãn thì 2

8 a 4

a

 

     

   a (có 1 giá trị1

a ).

TH2:

2 2

0

5 log 2 5 0

b b

b

b

a

a





  



Để có đúng hai số nguyên b thỏa mãn thì 2

 

          

 

21;22; ;40

a

  (có 20 giá trị a ).

Vậy có tất cả 21 giá trị a thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 38: (MĐ 103-2022) Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số

nguyên b thỏa mãn 4b1 a.3b100?

Lời giải Chọn D

Ta có a1,b 

   

3

0

log

b a

b

a









Trường hợp 1:

10

1 a 10

Tập nghiệm bất phương trình 3

10 0;log

S

a

  

 

Yêu cầu bài toán

3

10

10 27

a

a a

a







 

Trường hợp 2:

10

a

Tập nghiệm bất phương trình 3

10 log ;0

S

a

   

 

Yêu cầu bài toán 3

270 10

90

a

a a

a





 



Cả 2 trường hợp có tất cả 181 giá trị nguyên của athỏa yêu cầu bài toán

Câu 39: (MĐ 104-2022) Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số

nguyên b thoả mãn 3b  3 a.2b160?

Lời giải Chọn D

Do a  nên ta có 3b 3  2b 16 0

a

 

 

1

2 2 16 0

1

3 3 0

16

b

b b

b b

b

b

I

b

II a

a

 



   



 







    



Trường hợp 1: Nếu b thoả mãn

16

2b

a



Khi đó hệ  II

vô nghiệm

Do đó để có đúng hai giá trị b thoả mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi b 0;1

thoả mãn

 I

2

1 16

32

2

a

a a















Trường hợp 2: Nếu b thoả mãn

16

2b

a



Khi đó hệ  I

vô nghiệm

Do đó để có đúng hai giá trị b thoả mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi b 2;3

thoả mãn yêu cầu bài toán

16

1

16

a

a a











 



Vậy có 33 giá trị a thoả mãn yêu cầu bài toán

5

4  log 2540 



a với mọi số thực dương

a Giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y2  x 3y bằng

A

125

Lời giải Chọn C

 

 a x a  y 

Đặt tlog5a Vì a0 nên t 

Khi đó, bất phương trình  1

trở thành: t2 2 x t40 y2 0  2

Để  1

đúng với mọi số thực dương a   2 đúng với mọi

 

l

1 0

đ

  



  



    



t

 x y  .

Giả sử M x y ; 

thuộc hình tròn  C

tâm O0;0

và bán kính R 40 2 10.

Ta có:

2

3

                  

2

 P IM 

(với

1 3

;

2 2

I

) Để Pmax  IMmax.

Ta có:

   

      

   

nên I nằm trong hình tròn  C

Vì M thuộc hình tròn  C

, I nằm trong hình tròn  C

nên

max

Do đó:

2 2

60

     

Câu 41: (MĐ 102-2022) Xét tất cả các số thực x y, sao cho 499 y2 a4x log 7a2

 với mọi số thực dương

a Giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y24x 3y bằng

A

121

39

Lời giải Chọn C

Lấy loga cơ số 7 hai vế của bất phương trình 499 y2 a4x log 7a2

 ta được

2 9 y  4x 2log a log a  2 2

log a 2 logx a y 9 0

Đặt tlog7a ; t  

Khi đó ta có bất phương trình t22 x t y 2 9 0 nghiệm đúng với mọi t

1 0



    

 

 

  x2y2 9 Khi đó Px2y24x 3y  9 25x2y2  9 25.9 24

Vậy maxP  khi 24









3 4 9

9 16







 



9 5 12 5

y

x







 

 





3

6 log 5

27y a x a

 với mọi số thực dương a Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y2 4x8y bằng

Lời giải Chọn A

Giả sử điểm M x y ; .

Ta có:

 

2 3

2

3log a 6 logx a 3y 15 0

9x 9y 45 0 x y 5 0



           *

Từ  * suy ra điểm M thuộc hình tròn tâm O0;0 và bán kính R  5

Xét P x 2y2 4x8yx 22y42 20

Chọn điểm A2; 4 

suy ra P MA 2 20

P  MA  M M  AMmin AO R  5  Pmin 15

Câu 43: (MĐ 104-2022) Xét tất cả các số thực x y, sao cho 89 y2 a6x log 2a3

 với mọi số thực dương a

Giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P x 2y2 6x 8y bằng

Lời giải Chọn A

Ta có

8 y a x a  log 8 y log a x a  log a 2 logx a 9 y   0, a 0

 



        

 2  2

P x y  x y x  y  P

Gọi I3;4

; A x y ; 

thuộc hình tròn  C

Dễ thấy I nằm ngoài đường tròn  C .

2 25

P IA

min 3 2 25 4 21