SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi 23/3/2023[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 23/3/2023 Câu 1 (3,0 điểm).
1) Rút gọn biểu thức 1 2 2 1 2
:
1
x A
x
với 0 x 1
2) So sánh hai số M 3 2 2 310 6 3 và N 39 80 39 80.
Câu 2 (3,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
1)
2
2
10
1
2 1 2
x y
x1,y0
Câu 3 (3,0 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y ; thỏa mãn 2x2 y23xy 3x 3y11 0
2) Cho a b c , , là các số nguyên thỏa mãna b c 4046.Chứng minh rằng
P a b b c c a 6abc chia hết cho 14
Câu 4 (4,0 điểm)
1) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A thuộc Parabol P y : x2có tung độ yA 4 Tìm tọa độ các điểm B thuộc P sao cho tam giác OAB vuông tại B
2) Cho các số x y z , , thỏa mãn 1 x y z , , 3 và x2 y2 z2 2 x y z 1 Chứng minh bất đẳng thức 11xy yz zx 3 52. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5 (5,0 điểm) Cho điểm M mằn ngoài đường tròn (O) Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MC của (O) (A,
C là các tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MBD của (O) sao cho B nằm giữa M và D BC<BD
1) Chứng minh MC BC
MD CDvà AD BC. AB CD. .
2) Trên đoạn BD lấy điểm F sao cho FAD BAC Chứng minh hai tam giác ABF, ACD đồng dạng và AD BC AB CD AC BD
3) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt MC tại N và cắt đường thẳng CD tại P; ND cắt đường tròn (O) tại E Chứng minh ba diểm A, E, P thẳng hàng
Câu 6 (6,0 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Từ diểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của
(O) (B, C là các tiếp điểm) Vẽ cát tuyến AED (E nằm giữa A và D) không đi qua O cắt BC ở F Hai tia
CE và DB cắt nhau ở G, trên tia đối của tia BC lấy điểm H sao cho tứ giác CDHG nội tiếp đường tròn 1) Chứng minh 1 1 2
2) Khi tam giác CDG có diện tích bằng 1.Chứng minh
2
2 4
DBE
DE S
BC
- HẾT
-Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………
Chữ ký của cán bộ coi thi thứ nhất:……….………
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2022-2023
MÔN: TOÁN
Câu 1 (3,0 điểm).
1.Rút gọn biểu thức 1 2 2 1 2
1
x
x
2 So sánh 2 số M 3 2 2 310 6 3 và N 39 80 39 80
1
2
2
:
:
:
1
x A
x
x
0.25x2
0.25x2
0.25x2
2
2
0.25 0.25
0.25x2 0.25
Câu 2 (3,0 điểm).Giải phương trình và hệ phương trình sau
1
2
2
10
1
2 1 2
x y
x1,y0
1
ĐK x 0 Đặt: 4 1
3
x y
x
Khi đó
2
2
y
Phương trình đã cho trở thành: 3 y2 10 y 8 0
Giải phương trình ta được: 1 2 4
2;
3
0.25 0.25
0.25
0.25
Trang 3+ Với y1 2 thì x2 6 x 12 0 x1 3 21; x2 3 21
3
0.25 0.25
2
1
2 1
2 2
x y
Đặt 1
; 0
x
y
1 t 1 2 t2 2 t 1 0 t 1
t
1
x
x y y
Từ (2), (3) ta có
1 2 2
1 2 2
x y
0.25
0.25
0.25 0.25
0.25x2
Câu 3 (3,0 điểm)
1 Tìm tất cả các cặp số nguyên x y ; thỏa mãn 2 x2 y2 3 xy 3 x 3 y 11 0
2 Cho a b c , , là các số nguyên thỏa mãna b c 4046.Chứng minh rằng
P a b b c c a 6 abc chia hết cho 14
1 Phân tích thành nhân tử x y 2 x y 3 11
Giải bốn trường hợp :
Đáp số: 9;20 ; 9;10 ; 15; 26 ; 15; 16
2 Vì a, b, c là các số nguyên thỏa mãn
Trang 4
6
6 7
Vì a b c 4046 nên ít nhất một trong ba số a, b, c là số nguyên chẵn,
suy ra abc 2 Vậy P chia hết cho 14
Câu 4 (4,0 điểm)
1) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A thuộc Parabol P y : x2có tung độ yA 4 Tìm tọa độ các điểm B thuộc P sao cho tam giác OAB vuông tại B
2) Cho các số x y z , , thỏa mãn 1 x y z , , 3 và x2 y2 z2 2 x y z 1 Chứng minh bất đẳng thức 11xy yz zx 3 52 Đẳng thức xảy ra khi nào?
1
Điểm A thuộc (P) nên có tọa độ A 2; 4 hoặc A 2; 4
Do B P B b b ; 2 , b 2, b 0
Khi A 2; 4 do tam giác OAB vuông tại B ta có :
1
1; 1 2
B
Vậy có hai điểm B 1; 1 và B 1; 1
0.5
2 x2 y2 z2 2 x y z 1 vì 3 x 2 y2 z2 x y z 2 nên kết
hợp với giả thiết ta có x y z 3 15
Suy ra 1 2 2
3 5 3
Đẳng thức khi 3 5
3
Ta có x 1 y 1 z 1 3 x 3 y 3 z 0
Mặt khác, giả thuyết x y z 2 2 xy yz zx 2 x y z 1
Suy ra x y z 1 2 xy yz zx 3
Thay vào trên, ta được t 9 4 2 t 3, t xy yz zx
Giải được t 3 t 11
Nếu t 3 : từ điều kiện đề bài suy ra x y z 1
Trang 5Mâu thuẫn với điều kiện còn lại Vậy xy yz zx 11 Dấu = khi x y z , ,
là một hoán vị của bộ 1,2,3
Câu 5 (5,0 điểm) Cho điểm M mằn ngoài đường tròn (O) Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MC của (O) (A,
C là các tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MBD của (O) sao cho B nằm giữa M và D BC<BD
1) Chứng minh MC BC
MD CDvà AD BC. AB CD. .
2) Trên đoạn BD lấy điểm F sao cho FAD BAC Chứng minh hai tam giác ABF, ACD đồng dạng và AD BC AB CD AC BD
3) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt MC tại N và cắt đường thẳng CD tại P; ND cắt đường tròn (O) tại E Chứng minh ba diểm A, E, P thẳng hàng
0.5
1
Chứng minh MC BC
Hai tam giác MCB và MDC có
CMD chung MCB MDC cùng chán cung BC
Nên MCB MDC MC BC 1
Chứng minh AD BC AB CD
Hai tam giác
MAB và MDA có
MAB MDA cùng chán cung AB
Nên MAB MDA MA AB 2
Từ (1), (2) và MA = MC ta có :
Trang 6Chứng minh hai tam giác ABF, ACD đồng dạng và
AD BC AB CD AC BD
BAF CAD
Hai tam giác ABF và ACD có
Chứng minh ABC AFD AC BC AD BC AC FD 5
Từ (4), (5) ta có AB CD AD BC AC BF AC FD AC BD 6
3
Chứng minh A, E, P thẳng hàng
Từ 5.1(3), 5.2(6) ta có . 2 7
2
AD BC
Chứng minh được BC 2 CE 8
2 2
2
.
PC PD PB
Từ (8) ; (9) ta có
2
10
Giả sử AE cắt CD ở Q thì hai tam giác QEC và QDA đồng dạng
Mà hai tam giác QDE và QAC đồng dạng QD DE
2
.
Từ (10), (11) suy ra PC QC
P Q
Vậy A, E, P thẳng hàng
Câu 6 (6,0 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Từ diểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của
(O) (B, C là các tiếp điểm) Vẽ cát tuyến AED (E nằm giữa A và D) không đi qua O cắt BC ở F Hai tia
CE và DB cắt nhau ở G, trên tia đối của tia BC lấy điểm H sao cho tứ giác CDHG nội tiếp đường tròn 1) Chứng minh 1 1 2
Trang 72) Khi tam giác CDG có diện tích bằng 1.Chứng minh
2
2 4
DBE
DE S
BC
1
Chứng minh 1 1 2
Chứng minh AD AE AC2 1
Gọi I là giao điểm của OA và BC, J là trung điểm của DE
Chứng minh AF AJ AI AO AC 2 2
Từ (1) và (2) suy ra 2 2
.
AJ
2
Chứng minh
2
2 4
DBE
DE S
BC
Chứng minh
DBE
DHG
Gọi h h1, 2 lần lượt là chiều cao ứng với cạnh DG của hai tam giác DHG, DCG
1 2
DHG
DCG
Từ (1) và (2) suy ra
2
DBE
DE BH S
DG BC
Chứng minh BC BH BD BG
2
4
DG BD BG
Từ (3) và (4) ta có
2
.
DBE
S
Trang 8Ghi chú: Thí sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa.
Hết