Đs9 cđ1 rút gọn biểu thức và câu hỏi phụ 44

DẠNG 5: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNNA.. Kiến thức cần nhớ 1... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A Lời giải 1.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

DẠNG 5: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN

A Kiến thức cần nhớ

1 Xét bài toán: Cho biểu thức P x 

a) Rút gọn P x 

b) Tìm GTNN, GTLN của P hoặc một biểu thức có liên quan đến P

Ví dụ: Tìm Min (max) của x1   P x

2 Giải bài toán

- Tìm Tập xác định

- Rút gọn P

- Chỉ ra được số m sao cho P x  m (hoặc P x m)

Chi ra x0 sao cho P x 0 m

3 Chú ý: Với số thực A B , 0 thì

- A 0

- A B 2 AB (bất đẳng thức AM GM ) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A B

A B  C D  A C  B C

, với các số thực A B C D , , , 0

-  2  2 2  3  3 3

A B  A B A B  A B

, với A B , 0

B Bài tập

Bài 1: Chuyên Lê Hồng Phong, năm 2018

Cho biểu thức

      

a) Rút gọn biểu thức P

b) Với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa Chứng minh rằng P 4

Lời giải

a) Điều kiện: x0;x1

Ta có

 x 12

P

x



b) Với x0;x1

Ta có

 12 4 .1

4

P



Dấu “=” xảy ra  x  1 x1

Do x 1 nên P 4 (đpcm).

Bài 2: Chuyên Hưng Yên, năm 2017

0; 1

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm GTNN của biểu thức A x 4 x1  P

Lời giải

0; 1 1

x



b)  4  1  2 2  4 2 4  2 22 8 8

1

x

x

 Dấu “=” xảy ra  x 2 0  x  2 x4 (thỏa mãn)

Bài 3: Học sinh giỏi huyện Cầu Giấy, năm học 2019 - 2020

Cho biểu thức

1

P

x



a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P

b) Tìm GTNN của biểu thức P

Lời giải

a) Điều kiện

3

1 1

4

1 2

x x

x



















2

2

P

x

 

1

1

2

x

P



 

b) Ta có

1

P

P đạt GTNN thì

1 1

x x đạt GTLN  x x1 đạt GTNN

Lại có

1

4

x x x  x x 

 Giá trị nhỏ nhất của x x  1 1 x0

 Giá trị nhỏ nhất của P 0 x0

Vậy với x 0 thì P có giá trị nhỏ nhất bằng 0

Bài 4: Học sinh giỏi huyện Quan Sơn, năm học 2019 - 2020

Cho biểu thức

P

a) Rút gọn P Với giá trị nào của x thì P 1

b) Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất

Lời giải

a) Ta có

P

1

x



b) Ta có

2 2 4

2

x x

P

 



P có giá trị lớn nhất khi

4 2 1

x



 có giá trị lớn nhất  x 1 là số nguyên dương nhỏ nhất

Bài 5: Học sinh giỏi huyện Cẩm Thủy Thanh Hóa Vòng 2, năm học 2019 - 2020

Cho biểu thức

: 1 1

P

      

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Lời giải

a) Điều kiện x0;x1

Ta có:

1

P

     



 1 2

2

x x









x P x



b) Có

 

 

1

0

x

x loai



Vậy P min 4 x4

Bài 6: Học sinh giỏi huyện Đan Phượng, năm học 2018 - 2019

Cho biểu thức

P

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Lời giải

a) Điều kiện x0;x1

Ta có    

P

3

x



x



Vậy P min  4 x4.

Bài 7: Học sinh giỏi Tỉnh Lạng Sơn, 23/03/2019

Cho biểu thức    

x

A



, với x0;x9

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Lời giải

a) Ta có    

2

A

1

x



b) Ta có

x



Vì x 1 0, x 0;x9 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

Đẳng thức xảy ra

9

1

x

 (thỏa mãn) Vậy A min4 khi x 4

Bài 8: Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình, 23/03/2019

A

, với x 0 Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của A

Lời giải

 1

x x

A



Ta có

2

0, 0





  



1

x

1, 0

A  x Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1 khi x 1.

Bài 9: Đại học Ngoaị Ngữ hà nội, năm học 2010

:

x P





   và Qx4 7x215

a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của x thì Q 4P đạt GTNN

Lời giải

a) Điều kiện x0;x1

Ta có

1 1

1

x x x

x2 42 x 22 1 0 0  1 1

Dấu “=” xảy ra

2 4 0

2

2 0

x

x x

  

 

 Vậy x 2.

Bài 10: Chuyên Hưng Yên, năm học 2018-2019

:

x A



    và B x 4 5x2 8x2025 với x0;x1

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức T  B 2A2 đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

2

1 1



b) T  B 2A2 x4 5x2 8x2025 2 x24x 2x4 7x2 4x2023

x4 8x2 16 x2 4x 4 2003 x2 42 x 22 2003 2003, x

Vậy T min 2003 x2.

Bài 11: Chuyên Thái Bình, năm học 2018-2019

Cho các biểu thức  

x



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x sao cho P 2019

c) Với x 5, tìm GTNN của

10

T P

x

 

Lời giải

a) Ta có

1

x



b) P2019 4x1 2019  x505 (thỏa mãn)

c)

Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 21 khi x 5

Bài 12: Chuyên Toán Hà Nam, năm học 2019-2020

Cho biểu thức

:

A

        , với x0;x4;x9

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

a) Ta có

24 :

x A



24

:

x

A



:

1

A

x

b)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số ta có

25

1

x

x



Do đó A 8, đẳng thức xảy ra khi  x12 25 x  1 5 x16

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 8, đạt được khi x 16.

Bài 13: Chuyên Phú Yên, năm học 2019-2020

Cho biểu thức

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x để

1 2

x

 

đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

a) Điều kiện x0;x4;x9

2

x



2

1



:

A



b) Ta có

2

x P

  , dấu “=” xảy ra khi

1

1 x 1

x   

Vậy P max  3 x1.

Bài 14: Chuyên Quảng Ngãi, năm học 2019-2020

Cho biểu thức

2

2x 3 x x 1 x x P

  , với x0;x1

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị lớn nhất của A

Lời giải

a) Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

3

x

Dấu “=” xảy ra khi

3 2

x 

(thỏa mãn điều kiện)

Bài 15: Chuyên Quảng Ninh, năm học 2019-2020

Cho biểu thức

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị lớn nhất của A

Lời giải

a) Ta có

A

b)

x

A



  Với x 0 ta có x  1 1 nên

6 6 1

x 

Do đó

6

x

Bài 16: Chuyên Thái Bình vòng 1, năm học 2019-2020

Cho biểu thức

xy x y xy

P

x y

   

a) Rút gọn biểu thức P

b) Biết xy 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Lời giải

a) Ta có

2

xy x y xy xy x y xy x y xy

P

 

 , với x0;y0

b) Áp dụng bất đẳng thức Cachy, ta có:

4

16

Dấu “=” xảy ra  x y 4

Vậy P  min 1 tại x y 4

Bài 17: Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa, năm học 2013 - 2014

Cho biểu thức

1 : 1

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Cho

6

x y  Tìm giá trị lớn nhất của A

Lời giải

a) Ta có

1 1

A



:

1 1



Theo bất đẳng thức Côsi ta có

Dấu “=” xảy ra

9

x y

Vậy

1 9

9

max

A   x y

Bài 18: SPHN, năm 2015

Cho

2

1 1 1



    

a b

P

b a b a , với a0,b0;a0

a) Chứng minh rằng

1



P ab

b) Giả sử a b, thay đổi thỏa mãn 4a b  ab 1 Tìm GTNN của P

Lời giải

a) Ta có

2

2

2

1

a b T

b

S

b

b

a

b

     

MS

Vậy

1



P

ab

5 25

1

25

ab Vậy P25

Dấu ‘=” xảy ra

1

2 4

5











a

a b ab

Bài 19: HSG Tỉnh Hà Nam, năm 2020 - 2021

Cho

Q

a) Rút gọn Q

b) Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

a) Với x0;x1;x4 ta có:

Q

1

1







x

x

39

5









x

x

x

Vậy với x0;x1;x4thì

39 5

x Q x







b) Ta có 39 5 64 5 64 10 2  5  64 10 6

x



Dấu " " xảy ra

64 5

5

1 4

x

x

x x



 









 







Vậy MinQ 6 x9

Bài 20: HSG Quận Nam Từ Liêm, năm 2020 - 2021

Cho

: x y x x y y

A

x y

     

a) Rút gọn biểu thức A

b) Cho x y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Lời giải

1 a) Rút gọn biểu thức A

: x y x x y y

A

x y

     

2

xy

2

x y

xy

  



2

xy x y

 





2



xy





Vậy

A

xy





vớix0,y0

b) Cho x y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Với x0,y0 ta có:

A



Áp dụng bất đẳng thức Cô- Si ta có:

Mặt khác:

x y xy



Hay

Do đó: A  2 Dấu “ ” xảy ra

2 4

x y

x y

x y





 

Vậy MinA  2 tại x y 2

Bài 21: HSG Huyện Chương Mỹ, năm 2020 - 2021

Cho biểu thức

P

    , với x0;x4

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x  21 3 48  21 3 48

c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để

1

P nhận giá trị nguyên

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của

12 x x

Q P

x

 



Lời giải

1) Rút gọn biểu thức P

P





2

2 3

x P x





 2) Tính giá trị của biểu thức P khi x  21 3 48  21 3 48

Ta có:

21 3.4 3 21 3.4 3 (2 3 3) (2 3 3)

2 3 3 2 3 3 6

(tmđk x 0 và x 4)

Thay x 6v ào biểu thức P, ta có:

6 2 12 5 6

3

6 3

P   



Vậy khi x  21 3 48  21 3 48 thì

12 5 6 3

P 

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để

1

P nhận giá trị nguyên

Ta có:

1

1

P nguyên

5 2

x



 nguyên 5 x 2  x 2Ö (5)   1; 5

Bảng tìm x

2

Với x 1;9;49 thì

1

P có giá trị nguyên

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của

12 x x

Q P

x

 



Ta có:

 4   3  2   4

2 3

x Q





8

x

Dấu “=” xảy ra khi x 8 (tmđk)

Vậy GTNN của: Q 4 2 6 khi x 8

Bài 22: HSG Huyện Ứng Hòa, năm 2020 - 2021

0, 1

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

2

P

c) Tính giá trị của P khi cho x 3 7 50 37 50

Lời giải

1) Rút gọn

0, 1

P

P



1

x x

P

 

1

x

P





 

2)

2 2

x

   

Theo BĐT Cauchy ta có

2

2 2

x x

Nên

2

2 2 2 2

x

x

Suy ra maxQ 2 2 2 

dấu "=" xảy ra khi

2

2

x

3) Từ x 37 50 37 50

Ta có x3  7 50 7  50 3 x372 50

2

x

  ( Do x22x 7 0)

Thay x 2 ( Thỏa ĐKXĐ ), ta tính được

2

P 

Bài 23: HSG Huyện Vĩnh Lộc, năm 2019 - 2020

Cho biểu thức

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm các giá trị của x sao cho A 2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B biết rằng  

2

B

A x





Lời giải

a) Điều kiện xác định: x0;x4;x9 Khi đó:

A

2

x



b) Để

A

TH1: Khi

25 4

x x



TH2: Khi

x x

 

Đối chiếu với điều kiện xác định ban đầu ta được giá trị cần tìm của x là: 0 x 4 hoặc x 25 c) Ta có: B xác định khi x0;x4;x9

2



B

A x

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 2 số x 1 và

25 1



x , ta được

25

1

x



Dấu “=” xảy ra khi:

25

1

x

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là: MinB4 khi x 16