Chủ đề 1 rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

se Gặp phép chia phân thức thì khi đổi thành phép nhân sẽ xuất hiện thêm mẫu mới nên dạng này ta thường làm bước đặt điều kiện sau.. Chú ý: Câu này có phép chia phân thức nên đoạn cuối

MA THTECrH

RUT GON BIEU THUC VA CAC CÂU HỎI THƯỜNG GAP

DANG 1: RUT GON BIEU THUC

DANG 2: CHO GIA TRI CUA X, TINH GIA TRI CUA BIEU THUC

DANG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

DẠNG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

DANG 5: SO SANH, CHUNG MINH BANG CACH XéT HIEU

DANG 6: TIM GIA TRI LON NHAT, GIA TRI NHO NHAT CUA BIEU THUC

DANG 7: TIM X DE P NHAN GIA TRI LA SO NGUYEN

DANG 8: TIM THAM SO DE PHUONG TRINH P = m CO NGHIEM

Mf THTE CH

TOAN CHON LOC - ON THI VAO LÚP 10

DANG 1: RUT GON BIEU THUC

Bước 1 Đặt điều kiện xác định của biểu thức :

8 T= (a>0): Điều kiện là x > 0

se Gặp phép chia phân thức thì khi đổi thành phép nhân sẽ xuất hiện thêm mẫu mới

nên dạng này ta thường làm bước đặt điều kiện sau

Bước 2 Phân tích mẫu thành tích, quy đồng mẫu chung

3 Vay A=

Chú ý: Câu này có phép chia phân thức nên đoạn cuối xuất hiện thêm Vx ở mẫu,

do đó ta làm bước đặt điều kiện sau

(Ja+2\Va-1) (Ja-1)(va+1)| | (va-1)(Va+1) (va-1](va+1)

Wael ate |, wa deslead

pva-1 (va-1)(va+1) | (va-1)(Vva+1)

—=

Peay) eye} | Wey)

_ a+2wJa+I-a-vja (va ~1)(va +1) 7 Va +1

(Va -1)(Va +1) 2Ja 2Ja

Diéu kién: a>0,a#l

Chú ý: Câu này có phép chia phân thức nên đoạn cuối xuất hiện thêm Ja ở mẫu,

đo đó ta làm bước đặt điều kiện sau

DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X, TĨNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Bước 1 Đặt điều kiện và chỉ ra giá trị đã cho của x thoả mãn điều kiện

Bước 2 Tính ^Íx tồi thay giá trị của x; Vx vao biểu thức đã rút gọn

Bước 3 Tính kết quả ở dạng trục căn thức ở mẫu và kết luận

CONG TY CO PHAN GIAO DUC VA CONG NGHE MATHTECH

Hotline: 0946.20.18.81 al cael 4 ok sá Sưu tâm từ sách Toán chọn lọc Ôn thi vào lớp 10.NÓ Vu cố ,

a) Có x =36 thoả mãn điều kiện

Khi đó jx =6, thay vào P ta được P=C “ =2

đd) Có wee a eo 243 _ v3=1 thoả mãn điều kiện 4 5

Khi d6 Vx = vs eaec! (do 3 >1) 2 a

CONG TY CO PHAN GIAO DUC VA CONG NGHE MATHTECH 11

Hotline: 0946.20.18.81 x ue 1 2 LAI la

Website- wow mathtech vn Sưu tâm từ sách Toán chọn lọc Ôn thi vào lớp 10.

_18+6V7 <7 3/7 = 9 (thoả mãn điều kiện)— Vx =3

Thay vào P, ta được P = ma =4

Vậy P=4 khi x= ` 2/7 - oe v21,

3-7 V3

4(3-2]-4|j3+2] _ f\@x-_ 4 4(v3—2}-4(V3 2) =— a = 16 thoả mãn điều kiện

Vay P=2 khix thoa man x—7Vx +10=0

CÔNE2TY CO PHAN GIAO DUC VA CONG NGHE MATHTECH

Hotline: 0946.20.18.81 A vở , ^ ¬ :

a tata Sưu tâm từ sách Toán chon lọc On thi vào lớp 10.

Chi dé 1 Rút gọn biểu thức và các câu hỏi thường gặp |

DANG 3: DUA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRINH

Bước I Đặt điều kiện để biểu thức xác định

Bước 2 Quy đồng mẫu chung

Bước 3 Bỏ mẫu, giải x, đối chiếu điều kiện và kết luận

MAaTHTECH "Ha

TOAN CHON LOG - ON THI VAO LOP 10

3.2 Phương trinh có chữa trị tuyệt đối

se |f(x)|=a (với a >0 và a là số cụ thể) thì giải luôn hai trường hợp f(x) = +a

e |f(x)|=g(x) (với g(x) là một biểu thức chứa x):

Cách I Xét hai trường hợp để phá trị tuyệt đối:

Trường hợp 1: Xét f(x)>0 thì |f(x)|= f(x) nên ta được f(x) = g(x)

Giải và đối chiếu điều kiện f (x)> > 0

Trường hợp 2: Xét f(x) <0 thì | f(x) | =-f(x) nên ta được -f(x) = g(x)

Giải và đối chiếu điều kiện f (x) <0

Cách 2 Đặt điều kiện g(x) >0 và giải hai trường hợp f(x)= +g(x)

Có A=B.|x—4|© ae rl eax 4|= Vx +2

Cách 1 Ta xét hai trudng hop:

Trudng hop 1: Xét x-420@x24 thi |x-4|=x-4 nén ta duoc

x-4=Vx+2x-Vx-6=0 (Vx —3)(Vx +2)=0.< x =9 (thod min)

Trường hợp 2: Xét x—4<0 © x<4 thì |x—4|=—x+4 nên ta được

-x+4=Vx +2 x+Vx-2=0(Vx-1)(¥x +2}=0 © x=1 thoả mãn) Cách 2 Vi Vx +2>0 véi moi x20, x #25 nén |x-4|=Vx +2

Kết hợp các điều kiện được x = 4

3.3 Đưa về bình phương dạng m’ +n’ =0 (hoac m7 +Vn = 0)

Bước 1 Đặt điều kiện để biểu thức xác định và đưa phương trình về dạng

MATH TECH

TOAN CHON LOC - ON THI VAO LOP 10

3.4 Danh gid vé nay > mat sé, vé kia < s6 dé

Buéc I Dua mot vé vé bình phương và sử dụng

A*+m>0+m;—A*+m<0+m

Bước 2 Đánh giá vế còn lại dựa vào bất đẳng thức quen thuộc như:

e Bất đẳng thức Côsi: a+b >2Aab hay Jab <*> Va>0,b>0

Dấu “=” xảy ra khi a =b

er: è ¬ 2 2 2 2 2

e Bất đẳng thức Bunhia: (a.x+b.y) <(a +b )(x +y V a, b, x, y

Dấu “=” xảy ra khi Paes

a

® atvb>VJa+b Va20,b=0

Dấu “=” xây ra khi a =0 hoặc b =0

Bước 3 Khẳng định phương trình chỉ xảy ra khi các dấu "=" ở bước I và bước 2

đồng thời xảy ra

cOnkSry C6 PHAN GIÁO DỤC VẢ CÔNG NGHỆ MATHTECH

Hotline: 0946.20.18 §1 Oe Sưu tầm từ sách Toán chọn lọc Ôn thi vào lớp 10 ¬ : SỐ cv

Vay x=9 thi A.(Vx -2)4+5Vx =x+44Vx+16 +V9—-x

DANG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRINH

Do đó (*) chi xay ra khi <© x =9 (thoả mãn điều kiện)

MATHTECH Si

TOAN CHON LOC - ON THI VAO LOP 10

Buéc 1 Đặt điều kiện để biểu thức xác định

Bước 2 Quy đồng mẫu chung, chuyển hết sang một vế để được dạng

EX) 9; FO) 9, FO) <9, 1) <9

g(x) g(x) s(x) g(x)

Bước 3 Giải các bất phương trình này, đối chiếu điều kiện và kết luận

Một số tình huống thường gặp

+) + Zee 8 va Vx —2 cing dau

Vì -3<0 nên ta được 4x —2<0 và giải ra 0<x <4

trường hợp này vô nghiệm

trường hợp này giải được 0 < x < l6

Vx -220 (do Vx+1>0)@vVx 22x24 (thoả mãn điều kiện)

* Khi đó Flere? teed i(vx +1)

4” eat 4 4(x+1) 4(Vx+1)

>0

<0

Ma Vx +3>0 nên ta được Vx -3<06Vx <3 O0<x<9

Két hop diéu kién, ta duoc 0< x <9

Do xeZ2 và x lớn nhất nên ta được x =8

Cách 2 (Xét hai trường hợp để phá trị tuyệt đối)

DANG 5: SO SANH, CHUNG MINH BANG CACH XéT HIEU

s Để chứng minh X > Y (X>Y) ta chứng minh hiệu X — Y >0(X-Y >0)

s Để chứng minh X < Y (X <Y) ta chứng minh hiệu X— Y <0 (X- Y <0)

e Để so sánh hai biểu thức X và Y ta xét dấu của hiệu X-— Y

e Để so sánh P với PÝ ta xét hiệu P— P” = P(1—P) rồi thay x vào và xét dấu

ie

MP xác định khi P>0 >0, mà x >0 nên Ax—2>0<x >4

xX Xét hiu VP - P = VP (1-/P) = as a2 =

6.1 Dua vao x >0 dé tim gid tri lan nhét của P = a+ ¿ (b>0,c>0)

vx+e

vỏ tìm gió trị nhỏ nhốt của Q=a— (b>0, >0)

X+€C Bước 1 Đặt điều kiện x >0 và khử x ở tử để đưa P, Q về dạng trên

Bước 2 Chuyển từng bước từ vx >0 sang pew! Q>a ae nhu sau:

C

Tw d6, tim gid tri nho nhat cua biéu thitc Q = aaa 3P

Ví dụ I Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Vậy MinQ =—4 khi P=-—2 hay x =0 (thoả mãn điều kiện)

Cách 2 (Thay P=-—2 được Q=-—4 nên ta dự đoán MinQ =-—4)

Vay MinN =7 khi M =3 hay x =0 (thoa man diéu kién)

Cach 2 (Thay M=3 duoc N =7 nên ta dự đoán MinN =7)

Do 0<A <Š =3A~5<0, A~2<0, A>0= B~I1>0= B>I1L

Vay MinB=11 khi A =: hay x =0 (thoả mãn điều kiện)

Vậy MinT =-1 khi S= 5 hay x =0 (thoa man diéu kiện)

Cách 2 (Thay S= = được T =—] nên ta dự đoán MinT = —l)

Bước 2 Dựa vào mẫu để thêm bớt hai vế với một số thích hợp

Bước 3 Sử dụng bất đẳng thức Côsi a+b>24/ab Va,b>0 Dấu “=” xảy ra

ca, CO PHAN GIAO DUC VA CONG NGHE MATHTECH

Hotline: 0946.20.18.81

iar Gitar alta os Suu tam từ sách Toán chọn loc On thi vào lớp 10

Vậy MaxP =-—5 khi 92x = “5 $S39x=l<ˆx => (thoả mãn điều kiện) ie

YWebsite: wuxw mathtech vn Sưu tâm từ sách Toán chọn lọc Ôn thi vào lớp 10

* Tìm MaxA: Ta thấy trong hai trường hợp x-m>0 và /x-m<0 thì

MaxA xay ra trong trường hợp Jx -—m>0=> Vx >m=>x>m’

* Tim MinA: Ta thay trong hai trung hop Vx —m>0 va Vx —m <0 thi MinA

Xây ra trong trường hợp Vx -—m<0=> Vx <m=>0<x<m’

a) Ta thấy trong hai trường hợp Vx -2>0 va Vx —2<0 thì MaxA xay ra trong trường hợp Vx -2>0> Vx >2>x>4

Vậy MaxA =6+3^/5 khi x =5 (thoả mãn)

b) Ta thấy trong hai trường hợp Vx —-2>0 va Vx -2<0 thì MinA xay ra trong

Vay MinA =—6—3¥V3 khi x =3 (thoa man)

Ví dụ 2 Tìm xe Ñ để biểu thức P= vx +2 dat gid tri vx-3

Vậy MaxP =16+52/10 khi x =10 (thoả mãn)

b) Ta thấy trong hai trường hợp Vx -3>0 va Vx —3<0 thi minP xay ra trong

Vậy MaxM =2+^/2 khi x=2 (thoả mãn)

b) Ta thấy trong hai trường hợp ^/x —1>0 và 4x —1<0 thì MinM xảy ra trong

Bước 2 Xét hai trường hợp

Trường hợp ÏI: Xét x e 2 nhưng Vx #Z

_2jxk+6-7 2[dx+3)- “a

Vvx+3 Ajx+3 Vjx+3 7 Vx 43 Truong hop 1: Xét x EZ nhung Vx ¢Z

Bước ï Giải P eZ2 giống như ví dụ 1

Bước 2 Kẻ bảng để chọn P <0 hoặc giải P <0 rồi kết hợp P € Z

e P nguyên dương khi

P>0 Bước I Giải P622 giống như ví dụ 1

Bước 2 Kẻ bảng để chọn P >0 hoặc giải P >0 rồi kết hợp P € Z

e P nguyên âm khi

Bước I Giải P2 giống như ví dụ 1

Bước 2 Kẻ bảng để chọn P >0 hoặc giải P >0 rồi kết hợp P e Z

Kết hợp với xe{0; Les 16: 25° 36: 81} ta duoc xe{0; 1; 4}

Vậy xe{0; 1; 4} là các giá trị cần tìm

eidi ta van phai xét trudng hop x eZ, Vx ¢Z va trudng hop x €Z, Vx eZ

Vides Tin x 6 #, để biển hú 6e a ae x3

Trường hơp 3 Xét xe 2 và Vx eZ

vi Vx +3eZ nén FeZ khi f

Vậy ce} e| là các giá trị cần tìm

Chú ý Với bài toán tim x ER dé m+ : eZ (a, b, ce N*, meZ)

(thoả mãn điều kiện)

Hotline: 0946.20.18.81 An nh ! ee ee Ie

Website: waew mathtech.vn Sưu tâm từ sách Toán chọn lọc Ôn thi vào lớp 10.

DẠNG 8: TÌM THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH P =m CÓ NGHIỆM

Bước 1 Dat điều kiện để P xác định

Bước 2 Tù P=m, rit Vx theom

Bước 3 Dựa vào điều kiện của x để giải m

Ví dụ 2 Cho hai biểu thức A =

Tìm meZ để phương trình = =— có nghiệm

Hotline: 0946.20.18.81 NI uc J Aare se

Website- www mathtech vn Sưu tâm từ sách Toán chọn lọc On thi vào lớp 10.

Như vậy 0<m<4,m+2, mà meZ nên me{l; 3; 4)

Vậy me{l; 3; 4} là giá trị cần tìm

(va +2)(va —1) ae Jai)

Bài 5 Tính giá trị của biểu thức P= Vx+1 iy ix —2

Bài 18 Cho hai biểu thức A =

Bài 19, Cho biểu thức P=

Hotline: 0946.20.18.81 NÓ vu củ ÂU HE chế

mm Sưu tầm từ sách Toán chọn lọc Ôn thi vào lớp 10

MA THTECH

TOAN CHON LOC - ON THI VAO LOP 10

Bài 23 Cho hai biểu thức A _ x1 vở g3 KHÍ, Jx +3 of Se

Khi A >0, hãy so sánh B với 3

Bài 24 Cho hai biểu thức A = x-1 fea ,B=`=— n_Vx+6, x —1

Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=3A Lên

Bài 31 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = — ‹

Bài 37 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C= B— A

2x~3X~2 vàn x3 —Vx +2x-2

Bai 38 Tim x EN để biểu thức A =

Bài 36 Cho biểu thức P =

vx-1

vx +2

4(V/x +1) _ k+l Bài 48 Cho hai biểu thức A =————ˆ và B=-=— x-4 vx -2

Tim me Z để phương trình == 5 có nghiệm

xi :

CONG TY CO PHAN GIAO DUC VA CONG NGHE MATHTECH

Hotline: 0946.20.18.81 a Sưu tầm từ sách Toán chọn lọc Ôn thi vào lớp 10. ng Ân hi An