1 động học và động lực học vật rắn

LÝ THUYẾT CỦA CHỦ ĐỀ CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 1.. Tốc độ góc - Tốc độ góc trung bình trong khoảng thời gian t là: tb= tt - Đơn vị của tốc độ góc là rad/s Vậy

CHƯƠNG I: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN CHỦ ĐỀ 1: ĐỘNG HỌC VẬT RẮN VÀ ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

A LÝ THUYẾT CỦA CHỦ ĐỀ

CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN

QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH

1 Toạ độ góc

- Xét một vật rắn bất kì quay xung quanh một trục Az cố định

- Dựng mặt phẳng P 0 cố định chứa trục quay và mặt phẳng động P chứa trục

quay và gắn với vật Khi vật quay thì mp(P) quay theo Góc  giữa P và P0

dùng để xác định vị trí của vật rắn và gọi là toạ độ góc của vật.

- Đơn vị của  là radian (rad).

- Chú ý : Nếu chỉ xét vật quay theo một chiều và chọn chiều dương là chiều

quay của vật, khi đó  > 0

2 Tốc độ góc

- Tốc độ góc trung bình trong khoảng thời gian t là:

tb=

tt

- Đơn vị của tốc độ góc là rad/s

Vậy: Gia tốc góc tức thời (gọi tắt là gia tốc góc) của vật rắn quay quanh một trục ở thời điểm t

là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của tốc độ góc ở thời điểm đó và được xác định bằng đạo hàm của tốc độ góc theo thời gian.

- Đơn vị của gia tốc góc là rad/s2

4 Các phương trình động học của chuyển động quay

a) Trường hợp tốc độ góc của vật rắn không đổi theo thời gian ( = const): chuyển động quay đều.

- Từ (1.1)

   0   (t  t0) (1.5)

Trong đó 0 là toạ độ góc của vật tại thời điểm t0

b) Trường hợp gia tốc góc của vật rắn không đổi theo thời gian ( = const): chuyển động quay biến

đổi đều

- Các phương trình của chuyển động quay biến đổi đều của vật rắn quay quanh một trục có dạng:

) ( 0

0  t  t

  

 (1.6)

2 0 0

2

1 ) (t t  t t



)(

Nếu tốc độ góc của vật giảm dần theo thời gian thì chuyển động quay là chậm dần (. < 0).

5 Vận tốc và gia tốc của các điểm trên vật quay

- Quan hệ giữa tốc độ dài và tốc độ góc của một điểm trên vật quay:

- Nếu vật quay không đều: vận tốc của mỗi điểm thay đổi cả hướng

và độ lớn Do đó vectơ gia tốc của mỗi điểm có 2 thành phần:

QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH

1 Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực

a) Momen lực đối F đối với một trục quay vuông góc với F:

M = F.d (2.1)

Trong đó d là tay đòn của lực = khoảng cách giữa trục quay và giá của lực, M có đơn vị là N.m

Quy ước: Chọn một chiều quay là chiều dương, M > 0 nếu lực F có tác dụng làm vật quay theochiều dương; M < 0 nếu lực F có tác dụng làm vật quay theo chiều ngược lại

b) Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực.

 Xét chất điểm M có khối lượng m, chuyển động trên đường tròn

 Xét trường hợp vật rắn gồm nhiều chất điểm khối lượng mi, mj,

ở cách trục quay các khoảng ri, rj, khác nhau:

i m r

M

1 (2.6)

2 Momen quán tính

Định nghĩa: Momen quán tính I đối với một trục là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của

vật rắn trong chuyển động quay quanh trục ấy:

Độ lớn của I phụ thuộc vào khối lượng của vật rắn và sự phân bố khối lượng xa hay gần trục quay

Đơn vị của momen quán tính là kg.m2

Ví dụ: Momen quán tính của một số vật đồng chất đối với trục đối xứng của nó:

a) Đĩa tròn hoặc hình trụ đồng chất bán kính R, trục quay trùng với trục hình trụ: 1 2

- Gọi  là trục quay qua khối tâm, I là mô men quán tính của vật đối với 

- Gọi  ' là trục quay song song với , cách  một khoảng d

Khi đó, mô men quán tính của rắn đối với một trục  ' là

I’ = I + md2.VD: Mô men quán tính của thanh mảnh đồng chất đối với một trục quay đi qua đầu thanh, vuônggóc với thanh là:

I’ =

2lm2

3 Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định

(2.6)  M  I (2.8)

4 Bài tập ví dụ

Một thùng nước khối lượng m được thả xuống giếng nhờ một dây dài quấn

quanh một hình trụ có bán kính R, momen quán tính I Bỏ qua khối lượng của

dây và momen quán tính của tay quay Hình trụ coi như quay tự do không ma

sát quanh trục cố định (hình vẽ) Tính gia tốc của thùng nước

BÀI TẬP

1 Các phương trình động học:

) ( 0

0  t  t

  



2 0 0

2

1 ) (t t  t t



)(

- Phương trình cơ bản của chuyển động quay: M  I

Câu 1: Một bánh xe bán kính R = 30 cm quay nhanh dần đều từ tốc độ góc 0, trong 30s đầu quayđược 86,25 vòng Tốc độ góc của bánh xe ở cuối 30s trên là 4,75 vòng/s Tính gia tốc góc , tốc

độ góc 0 và tốc độ dài của một điểm ở mép bánh xe ở cuối 10s tiếp theo

LG : - Trong t = 30s, bánh xe quay được góc  = 86,25 vòng = 172,5 rad,  = 4,75 vòng/s =

 2

2

1 t t

'   0   t

 v = R = 11,31 m/s

Cõu 2: Có hai vật A và B khối lợng lần lợt là 200g và 100g đợc buộc vào hai

đầu của một sợi dây mảnh, không giãn, không khối lợng Dây đợc vắt qua một

ròng rọc là một đĩa hình trụ đồng chất khối lợng 200g, bán kính 4 cm Giữ cho

A và B đứng yên, sau đó thả nhẹ Dây không trợt trên ròng rọc Lấy g = 10 m/

s2.Tính gia tốc góc của ròng rọc, gia tốc của hai vật A, B và tốc độ góc của ròng

rọc sau khi A đi đợc 40cm

2 1R

)(

I m m

g m m a

Cõu 3 - HSG chọn đội dự tuyển QG vũng 1 Quảng Bỡnh 2016-2017(4 điểm):

Cho cơ hệ như hỡnh 4 Trong đú sợi dõy khụng dón, khối lượng khụng

đỏng kể, một đầu dõy gắn với vật cú khối lượng M đầu kia được quấn

vào một hỡnh trụ đặc đồng chất khối lượng m cú bỏn kớnh R.Toàn bộ hệ

thống được vắt qua một rũng rọc khụng cú khối lượng gắn trờn đỉnh một

mặt phẳng nghiờng nằm cố định với gúc nghiờng  Bỏ qua ma sỏt trờn

mặt phẳng nghiờng và rũng rọc Ban đầu hệ đứng yờn sau đú thả tự do

sao cho cỏc vật chuyển động khụng vận tốc đầu và phần dõy trờn hỡnh

trụ luụn thẳng đứng

1 Tỡm gia tốc chuyển động tịnh tiến của hai vật M và m

2 Biện luận gia tốc đú của hai vật theo gúc 

m < 3M sin : Vật M chuyển động đi xuống ngược chiều dương của

m = 3M sin: Vật M đứng yên 0,25

Câu 4 – HSG Ninh bình 2012-2013: Một bánh xe không biến dạng khối lượng m, bán kính R, có

trục hình trụ bán kính r tựa lên hai đường ray song song nghiêng góc α so

với mặt phẳng nằm ngang như hình 1 Coi hệ số ma sát trượt giữa trục

hình trụ và hai đường ray bằng hệ số ma sát nghỉ cực đại giữa chúng và

bằng  Cho biết momen quán tính của bánh xe (kể cả trục) đối với trục

quay qua tâm là I = mR2

1 Giả sử trục bánh xe lăn không trượt trên đường ray Tìm lực ma sát

giữa trục bánh xe và đường ray

2 Tăng dần góc nghiêng α tới giá trị tới hạn α 0 thì trục bánh xe bắt đầu trượt trên đường ray.Tìm α 0.

gsinα a

suy ra: mgsinα

r R

R

2 ms

2

ms mgsinα

r R

R F



 (do α  α 0) μ

R

r R tanα 2

2 2 0

Câu 5(2đ) – HSG Thanh hóa 2011-2012: Một ròng rọc hình trụ khối lượng M=3kg, bán kính

R=0,4m được dùng để kéo nước trong một cái giếng (hình vẽ) Một chiếc xô

khối lượng m=2kg, được buộc vào một sợi dây quấn quanh ròng rọc Nếu xô

được thả từ miệng giếng thì sau 3s nó chạm vào nước Bỏ qua ma sát ở trục

quay và momen quán tính của tay quay Lấy g = 9,8 m/s2 Tính:

a Lực căng T và gia tốc của xô, biết dây không trượt trên ròng rọc

b Độ sâu tính từ miệng giếng đến mặt nước

R

2

1

.2

b h at ( 5 , 6 ).( 3 ) 25 , 2m

2

1 2





Câu 6 – HSG Thanh hóa 2010-2011 đề chính thức (2,5 điểm): Một ròng rọc kép gồm hai hình

trụ đặc đồng chất đặt đồng tâm Hình trụ lớn có khối lượng M = 200g, bán kính R = 10cm, hình trụnhỏ có khối lượng m = 100g, bán kính r = 5cm Trên rãnh của từng hình trụ có quấn một sợi dâynhẹ không dãn, đầu tự do mỗi dây mang vật khối lượng lần lượt là m1 = 250g và m2 = 200g (hìnhvẽ) Ban đầu hệ đứng yên, thả cho hệ chuyển động Tính gia tốc của từng vật và lực căng của mỗidây treo

 Biểu diễn các lực tác dụng lên hệ

Vì R.P2 > r.P1 nên m2 đi xuống, m1 đi lên 0,5

(trang7)1

P 

m1

m2

R r

Hình câu 1

m

R r

 Áp dụng định luật II Newton cho m1, m2:

1

mr MR

Câu 7: Cuộn chỉ sẽ lăn về phía nào, nếu ta kéo sợi chỉ dưới các góc nghiêng khác nhau (Hình

1.22)? Xét các trường hợp sau: a) phương dây đi qua điểm O (điểm

tiếp xúc giữa vành cuộn chỉ và mặt bàn); b) góc kéo dây nhỏ hơn

trong trường hợp a; c) góc kéo dây lớn hơn trong trường hợp a Trong

cả ba trường hợp cuộn chỉ không trượt

Hình 1.22G.

F 

+

msn

F 

Câu 8 – HSG Quảng nam 2013-2014: Trên một mặt phẳng nghiêng góc α (so với mặt

ngang) đặt một vật hình hộp nhỏ A và một vật hình trụ đặc B, đồng chất, khối lượng phân

bố đều Cùng một lúc cho hai vật bắt đầu chuyển động xuống phía dưới theo đường dốc chính của mặt nghiêng Vật A trượt, vật B lăn không trượt và trong quá trình chuyển động hai vật luôn cách nhau một khoảng không đổi Biết hệ số ma sát trượt giữa vật A và mặt phẳng nghiêng bằng μ

 Gia tốc của vật A: a1 = g.(sinα – μcosα)

- Phương trình chuyển động tịnh tiến của vật B:

- Với Fms2 là lực ma sát giữ cho B lăn không trượt, đồng thời gây ra

sự quay quanh trục của nó với gia tốc góc γ Ta có phương trình:

- Lực ma sát cực đại giữa B và mặt nghiêng: Fmsnmax = μ’m2gcosα

- Điều kiện phải thỏa mãn là: Fms2 ≤ Fmsnmax

 m g sin    m g cos 

3

1

2 '

3

tg '

0,50 0,50

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25

0,25 0,25 0,25

Câu 9 – HSG Thừa thiên huế 2008-2009: Một hình trụ đặc bán kính R, khối lượng m1 = 20 kg cóthể quay không ma sát quanh một trục cố định nằm ngang trùng với trục của hình trụ

Trên hình trụ có quấn một sợi dây không giãn, khối lượng không đáng kể Đầu tự do

của dây có buộc một vật nặng m2 = 4 kg, như hình vẽ Tìm gia tốc của vật nặng và lực

căng của dây Biết moment quán tính của hình trụ đối với trục quay là

2 1

hình trụ quay và vật nặng tịnh tiến đi xuống

- Gọi a là gia tốc dài của vật nặng, γ là gia tốc góc của hình trụ

m

(với T là lực căng dây tác dụng lên vật nặng)

- Phương trình chuyển động quay của hình trụ : M = Iγ, với M = T’R = TR

(với T’ là lực căng của dây tác dụng lên hình trụ, T’ = T)

2 1

và T = m2(g – a)  286 (N)

0,50,50,751,0

Câu 11 (2 điểm): Chứng minh rằng momen quán tính của một thanh rắn, mảnh, đồng chất có

chiều dài L, khối lượng m đối với trục quay vuông góc với thanh tại một đầu của nó là I = 1

2

2 2385

F R T R I

a

R a

R

M a T F

0,25đ0,5đ

Đến kết quả T mới cho điểm

+ Gọi D là khối lượng của một đơn vị chiều dài thanh rắn D = m

.

3

L L

Câu 12 – HSG Thanh hóa 2014-2015: Một thanh cứng, mảnh, đồng chất có chiều dài h dựng

thẳng đứng trên mặt đất Đầu trên của thanh bắt đầu đổ xuống trong mặt phẳng thẳng đứng với vậntốc ban đầu coi như bằng không, trong khi đầu dưới của thanh không bị trượt Bỏ qua sức cản củakhông khí Biết momen quán tính của thanh đối với trục quay đi qua một đầu của thanh và vuônggóc với thanh là 2

3

mh

I  với m là khối lượng của thanh Cho gia tốc trọng trường g 9,81 /m s2.a) Tính gia tốc dài đầu trên của thanh khi nó hợp với phương thẳng đứng một góc = 600

b) Thanh hợp với phương thẳng đứng một góc bằng bao nhiêu thì gia tốc dài đầu trêncủa nó bằng g

a) Áp dụng phương trình động lực học vật rắn cho chuyển động quay của thanh quanh một trục tại đầu dưới của thanh và vuông góc với thanh: M = mg sin

Câu 13 – HSG Nam định 2012-2013: Một đĩa tròn phẳng, đồng chất khối lượng 0,2 kg, bán kính

20 cm đang quay đều quanh trục vuông góc với mặt đĩa và đi qua tâm đĩa với tốc độ góc 0 =10rad/s thì bị tác dụng bởi một momen hãm Đĩa quay chậm dần đều và dừng lại sau khi quay đượcmột goc 10 rad/s

1.Tính độ lớn của momen hãm đó?

2.Tính thời gian từ lúc đĩa chịu tác dụng của momen hãm đến khi dừng hẳn?

Câu 14 – HSG Thanh hóa 2012-2013: Cho hệ cơ

học như hình 1 gồm: hai vật A; B có khối lượng mA

= 2 kg, mB = 3 kg được nối với nhau bằng một sợi

dây nhẹ không dãn Sợi dây được vắt qua một ròng

so với phương nằm ngang Ròng rọc có bán kính R = 10 cm, momen quán tính I = 0,05kg.m2 Thảcho hai vật chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 0 Bỏ qua mọi ma sát, coi rằng sợi dây khôngtrượt trên ròng rọc Lấy g = 10 m/s2

a Tính gia tốc của vật A và lực căng dây

b Tính áp lực của dây nối hai vật lên ròng rọc

) 2 ( sin

) 1 (

R

Ia I R T

T

a m P

T

a m T

P

B

A

B B

B

A A

momen quán tính I và bán kính R Coi rằng dây không trượt trên

ròng rọc khi quay Biết hệ số ma sát giữa vật m2 và mặt bàn là , bỏ

I

m m R

 



  (3.4)b/ Tìm điều kiện giữa khối lượng m1, m2 và hệ số ma sát mặt bàn  để hệ thống

nằm cân bằng

Để hệ thống nằm cân bằng P1 = Fmsn ≤ (Fmsn)max,  m2µ ≥ m1

0,50,250,250,5

0,5

0,5

A

Câu 16(5 điểm): Trên mặt sàn nằm ngang hoàn toàn nhẵn có đặt một chiếc nêm, khối lượng M,

mặt nêm nghiêng một góc  = 300 so với phương ngang Trên mặt

nêm có đặt một quả cầu đồng chất, đặc, bán kính R, khối lượng

0,5M Khi được thả, quả cầu lăn không trượt trên nêm (như hình vẽ)

Hãy xác định gia tốc của nêm Lấy g = 10 m/s2

HƯỚNG DẪN GIẢI: (5 điểm)

Hãy xác định gia tốc của nêm

- Gọi nêm là vật 1, quả cầu là vật 2

- Xét chuyển động của nêm trong hệ quy chiếu mặt đất (Hình

trong có gắn một vật nhỏ khối lượng m (hình vẽ) Kéo cho vành lăn

không trượt trên mặt ngang sao cho tâm của vành có vận tốc v0 Hỏi v0

phải thoả mãn điều kiện gì để vành không nảy lên? Lực tác dụng lên

vành để kéo vành chuyển động với vận tốc không đổi (như giả thiết)

không có thành phần thẳng đứng?

Bài giải

+ Khi m ở vị trí bất kì, lực tác dụng vào m có P và F lực mà vành

tác dụng vào m Có thể phân tích lực F thành hai phần: N có

phương trùng với bán kính vành tròn, chiều hướng tâm, Q có

phương tiếp tuyến với vòng (hình vẽ)

P Q

2 cos

2 0 2

R

mv P P

R

mv P

m v

Mg P R

mv Mg

'

(trang13)

N P

Q

Câu 19 - ÔN THI HSG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG Vật rắn có liên kết ròng rọc

Có hai ròng rọc là hai đĩa tròn gắn đồng trục Ròng rọc lớn có khối lượng m = 200g, bánkính R1 = 10cm Ròng rọc nhỏ có khối lượng m’ = 100g, bán kính R2 = 5cm Trên rãnh hai ròngrọc có hai dây chỉ quấn ngược chiều nhau để khi m1 đi xuống m2 đi lên hoặc ngược lại Đầu dâycủa ròng rọc lớn mang khối lượng m1 = 300g, đầu dây của ròng rọc nhỏ mang khối lượng m2 =250g Thả cho hệ chuyển động từ trạng thái đứng yên Lấy g = 10m/s2

2 2 2

2

1 1 1

m

T

a m T

1 2

a R

a mR

+ Nhân (2a) với R1, (2b) với R2, rồi cộng hai vế (2) và (3):

 m1gR1 - m2gR2 = m1a1R1 + m2a2R2 + I = a2

2 2 2 1 1

2 2 1 1 2

2 2

2

R

I R m R m

g R m R m a

R

I R

Câu 20 – HSG Gia lai 2015-2016 bảng A đề chính thức:

Một đĩa tròn đồng chất, khối lượng M =2( )kg phân bố đều, bán kính R =0,5 ( )m có thể quay quanh

trên đĩa (hình 1) Ban đầu, đĩa ở trạng thái đứng yên, một quả cầu nhỏ

khối lượng m=1 ( )kg được truyền với vận tốc v0 = 3( / )m s

theo phương tiếp tuyến vào phía bên trong bề mặt của vòng thép Lấy g=9,81( /m s2), bỏ qua mọi

ma sát và lực cản của không khí

a Tìm tốc độ của quả cầu ngay khi rời đĩa

b Tìm khoảng cách từ mép của đĩa đến nơi quả cầu chạm mặt đất

c Kể từ thời điểm quả cầu rời đĩa tại vị trí K đến thời điểm quả cầu chạm đất tại A thì điểm K trên

đĩa cách A một khoảng bao xa?

m2 m1

o r1 r2

1 Hình

O v0

R

r m M

M

Ký hiệu các góc trên mặt phẳng hình chiếu bằng:

0,250,25

0,25

0,25

0,250,25

0,250,250,25

Câu 21 – HSG Bình thuận 2015-2016 chọn đội tuyển thi QG:

Cho một mặt phẳng nghiêng nhám tạo góc  so với phương ngang và hai vật rắn M1, M2 có dạnghình trụ đồng chất, có cùng khối lượng m, có cùng bán kính (vật M1 là hình trụ đặc; vật

M2 là hình trụ rỗng, thành mỏng) Ma sát giữa các vật và mặt nghiêng đủ lớn để các vật

có thể lăn không trượt trên mặt nghiêng Hệ số ma sát trượt giữa hai vật là  Gia tốc

trọng trường là g

a Đặt lần lượt từng vật lên trên mặt phẳng nghiêng như hình (a) và thả nhẹ để các

vật lăn không trượt Tính gia tốc của trục hình trụ của các vật

b Đặt cùng lúc hai vật lên mặt phẳng nghiêng sao cho hai vật tiếp xúc với nhau

như hình (b) rồi thả nhẹ Hỏi phải đặt M2 phía trước hay sau M1 để hai vật cùng lăn không trượt trên mặtnghiêng mà vẫn tiếp xúc với nhau? Tính gia tốc của trục hình trụ của các vật và áp lực tương tác giữa cácvật

a Chọn các chiều dương như hình vẽ Hình trụ chịu tác dụng của các lực như hình vẽ.

Theo định luật II Newton:

sin

mg  f ma

(1)……… ….

[0,25đ]

Áp dụng định lý biến thiên MMĐL cho trục quay trùng

với khối tâm: