Động lực học vật rắn

Nếu gọi  là vận tốc góc của thanh trong chuyển động quay quanh trục nằm ngang đi qua O, thì động năng quay của thanh có thể biểu diễn ở dạng k E k  L, trong đó k là một hằng số kh

Động lực học vật rắn

1.42 Hình trụ và khối hộp (Indonesia)

Một hình trụ có khối lượng m và bán kính r đang đứng

yên và tựa vào một khối hộp như hình vẽ Khối hộp được

kéo sang trái với vận tốc v không đổi Lúc đầu khối hộp ở

sát cạnh tường, bỏ qua ma sát giữa hình trụ với tường và

khối hộp Hãy xác định:

1) Dạng quỹ đạo chuyển động của tâm hình trụ so với

điểm A

2) Điều kiện của vận tốc v để khối hộp vẫn còn tiếp xúc

với trụ khi khoảng cách giữa hai điểm A và B là r 2

3) Các lực tác dụng lên thành hình trụ khi khoảng cách

giữa A và B là r 2

1.43 Thanh rắn thả ngang (Trung Quốc)

Một thanh cứng nhỏ, đồng chất khối lượng m, một đầu đi qua trục quay nằm ngang ở O Thanh có thể

quay tự do trong mặt phẳng thẳng đứng chứa O Ở thời điểm ban đầu thanh nằm ngang và được thả ra không vận tốc đầu

1) Ký hiệu m

L

  là mật độ khối lượng dài của thanh Nếu gọi  là vận tốc góc của thanh trong chuyển động quay quanh trục nằm ngang đi qua O, thì động năng quay của thanh có thể biểu diễn ở dạng

k

E k  L,

trong đó k là một hằng số không có thứ nguyên cần phải xác định Biết rằng, khi hai đại lượng bằng nhau

thì giá trị số của chúng phải bằng nhau, và thứ nguyên cũng phải bằng nhau Hãy tìm giá trị của các chỉ số

,  và 

2) Cho biết: động năng của một hệ là tổng của động năng chuyển động khối tâm (như một chất điểm) và

động năng chuyển động của hệ trong hệ quy chiếu khối tâm Hãy tìm hệ số k.

3) Khi thanh tạo với phương ngang một góc  , các phần của thanh ở hai phía của một điểm trên thanh và

cách O một khoảng r sẽ tác dụng lên nhau những lực bằng bao nhiêu, theo các phương dọc theo thanh và vuông góc với thanh? Gia tộc trọng trường là g.

Gợi ý: Nếu X t là một hàm của t, và   Y X t là hàm của     X t , thì đạo hàm của   Y X t theo t    

 

 

dY X t dY dX

dt dX dt

Ví dụ, hàm cos t với biên độc lập t sẽ có đạo hàm

 



1.44 Thanh trượt theo tường (Trung Quốc)

Hai vật nhỏ hình cầu, khối lượng m mỗi quả, được nối với

nhau bởi một thanh dài l khối lượng không đáng kể Ban đầu

thanh được dựa thẳng đứng sát vào tường như hình vẽ Giả sử

cầu 2 một vận tốc ban đầu nhỏ Trong quá trình chuyển động, quả 1 bắt đầu rời tường khi góc giữa thanh

và tường thẳng đứng có giá trị bằng bao nhiêu?

1.45 Yoyo (Thụy Sĩ)

Năm phần của bài này giải độc lập nhau

Phần 1 Khởi động

Xét hai hình trụ có cùng bán kính R và khối lượng m Khối lượng của hình trụ 1 tập trung tại tâm nó,

trong khi khối lượng hình trụ 2 tập trung ở biên của nó (mặt bên) Hai hình trụ được đặt trên đình của một mặt phẳng nghiêng, và cũng một lúc được thả cho lăn không trượt Hình trụ nào sẽ đến chân mặt phẳng nghiêng sớm hơn? Giải thích bằng công thức

Phần 2 Mômen quán tính của Yoyo.

Trong phần này, một yoyo có cấu tạo như ở hình 1.45a Nó bao gồm một hình trụ bán kính r, chiều dây l ở giữa và hai hình trụ hai bên có bán kính R, chiều dày L Ba hình trụ đồng chất và làm từ chất có

khối lượng riêng 

Mômen quán tính của cả hệ có thể viết dưới dạng I mR2, trong đó R là bán kính hình trụ ngoài và

m là tổng khối lượng của cả Yoyo Hãy biểu diễn hằng số  qua R, r, L và l.

Gợi ý: Mômen quán tính của một hình trụ bán kính r khối lượng m quay quanh trục đối xứng của nó

là 1 2

2mr

Phần 3 Yoyo trên mặt bàn

Yoyo mô tả ở trên được đặt đứng yên trên một mặt phẳng nằm ngang (hình 1.45b) Một sợi dây có khối lượng và đường kính không đáng kể quấn quanh hình trụ giữa của yoyo Trong phần này chỉ xét chuyển động lăn không trượt của yoyo

3a) Sợi chỉ được kéo với một lực F song song với bề mặt phẳng và hướng về bên phải (xem hình 1.45b) Yoyo di chuyển về phía nào? Yoyo sẽ di chuyển như thế nào khi lực kéo F 2

hướng lên trên? Hãy giải thích

Gợi ý: Hãy xét sự bắt đầu quay của yoyo.

3b) Tồn tại một góc  (góc giữa hướng của lực và mặt ngang) mà khi kéo với góc lớn hoặc nhỏ hơn góc

đó thì yoyo sẽ chuyển động Xác định góc  theo các thông số của yoyo

3c) Góc  này bằng bao nhiêu ở các giới hạn r R và r  ? Giải thích điều gì sẽ xảy ra.0

Phần 4 Yoyo trên mặt phẳng nghiêng.

Bây giờ yoyo được đặt lên một mặt phẳng nghiêng góc  so với phương ngang Thả yoyo ra, nó sẽ chuyển động xuống dưới chân mặt phẳng nghiêng Yoyo sẽ lăn không trượt nếu góc nghiêng  c và lăn có trượt nếu  c

Giả sử hệ số ma sát nghỉ và ma sát trượt là bằng nhau: k s , và mômen quán tính của yoyo là

2

I mR , trong đó hằng số , khối lượng m của yoyo và bán kính ngoài R cho trước.

4a) Biểu diễn trên hình vẽ các lực tác dụng vào yoyo

4b) Tìm biểu thức gia tốc của yoyo trong các trường hợp  c (lăn không trượt) như một hàm của  , R,

m,  và 

4c) Giống câu hỏi 2) trên, nhưng cho góc  c (lăn có trượt)

4d) Tìm góc tới hạn c

Phần 5 Yoyo chuyển động thẳng đứng

Trong phần này, một sợi dây có chiều dài lr được cuộn quanh hình

trụ ở giữa có bán kính r Ở thời điểm ban đầu, yoyo được treo đứng yên vào

trần như hình 1.45c Tại thời điểm t  , yoyo có tọa độ 0 0 x t  Trong 0 0

quá trình chuyển động, sợi dây luôn giữ phương thẳng đứng

5a) Viết biểu thức của tọa độ x t như một hàm của thời gian. 

5b) Xác định giá trị vận tốc dài cực đại vmax và tốc độ góc cực đại max

ĐÁP ÁN

1.42 Hình trụ và khối hộp (Indonesia)

1) Khi khối hộp vẫn còn tiếp xúc với khối trụ thì khối trụ cũng tiếp xúc với bậc Suy ra tâm khối trụ luôn cách mép bậc một đoạn r, hay nói cách khác tâm khối trụ chuyển động trên cung tròn tâm A, bán kính r 2) Xét thời điểm khi bán kính AC tạo với phương ngang một góc α Tâm C nằm cách đều khối hộp và bậc thang, do đó dễ thấy xC x /B 2, suy ra Bx

Cx

2 2 Véctơ vận tốc vuurC

, có phương vuông góc với bán kính quỹ đạo AC Sử dụng định lý các góc có cặp cạnh tương ứng vuông góc, dễ thấy phương của vuurC

hợp với phương thẳng đứng một góc α Vậy ta có:

sin



Gia tốc hướng tâm hướng từ C về A và có độ lớn

c x

a



2

4

Tâm C chuyển động đều theo phương ngang nên các phản lực từ A, B bằng nhau Phương trình định luật hai Newton cho phương CA có dạng sau:

N cos2 mg sin  N ma

B

v

r sin



2 2

2

2

4

Hay : B

2

Khi AB r 2thì  /4 Điều kiện để hộp vẫn còn tiếp xúc với khối trụ :

B

N  0 v24gr sin3 gr 2

3) Với v gr 2thì khi AB r 2, lực do khối hộp và bậc tác dụng lên khối trụ :

A B

r

2

2 2

Cách 2 :

Với cách chọn trục tọa độ như hình vẽ, dễ dàng tính được C

vt

x r cos 

2 Lần lượt lấy đạo hàm bậc nhất và bậc hai theo thời gian ta được:

'

r sin v / ;

r cos r sin

   2   

2

trong đó α', α" lần lượt là đạo hàm bậc nhất và bậc hai của góc α theo thời gian Tọa độ theo phương thẳng đứng yC OA r sin 

Lấy đạo hàm hai lần liên tiếp ta được:

C

C

y ' r cos ';

Thay các đạo hàm từ trên vào ta được

C



3

4

Vẫn như trước, ta nhận ra NANB

Xét phương trình định luật hai Newton cho phương y :

A

v

r sin



2 3

2

4

Ta nhận lại được kết quả trên

Cách 3 :

Từ (1) có thể tìm được gia tốc tiếp tuyến (chú ý dấu, tâm C quay theo chiều ngược kim đồng hồ, còn góc α định nghĩa theo chiều kim đồng hồ quay từ BA đến CA)

2 '2

3



Sau đó xét phương trình định luật hai Newton theo phương tiếp tuyến, ta sẽ tìm được NB mà không cần biết NA Dựa trên cách này còn có cách giải thứ tư là xét phương trình mômen lực cho chuyển động quay của C quanh tâm A

1.43 Thanh rắn thả ngang (Trung Quốc)

1) Theo đề bài, khi vận tốc góc của thanh trong chuyển động quay quanh O là ω thì động năng của thanh

có thể biểu diễn qua mật độ khối  , vận tốc góc ω và chiều dài L như sau :

k

E   k  L (1)

Ta sẽ biểu diễn thứ nguyên của các đại lượng  , ω, L và Ek trong (1), ngoại trừ k, qua các thứ nguyên

của chiều dài [L], khối lượng [M] và thời gian [T] (các thứ nguyên này là độc lập)

     

   

   

M L T







 

 





1

1

(2)

Thông thường, nếu ký hiệu  q là thứ nguyên của đại lượng vật lý q thì q có thể viết ở dạng

 

Trong đó (q) là giá trị của đại lượng q khi đo ở đơn vị  q Vậy (1) có thể được viết lại

Ek Ek k       L        L 

Trong hệ đơn vị được dùng ở (2 ) ta có

Ek k       L 

So sánh (2) và (6)

     M L T     M  L   T  



(7) Các thứ nguyên  L ,  M và  T là độc lập nên để hai vế của (7) đồng nhất nhau

,

2) Động năng của thanh

Trong đó k,C C  

L

2 2

Trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm, chuyển động của thanh có thể coi như là chuyển động quay cửa hai thanh dài quanh trục nằm ngang đi đầu của mỗi thanh với cùng vận gốc góc ω Do vậy động năng của

cả thanh lớn trong hệ quy chiếu này là

E  E  , ,  k  

3 2

Kết hợp (9), (11), (12) vào (10) ta có

kL  L   k  

Từ đây k 1

Vậy Ek  1 2 3L

3) Cơ năng của thanh bảo toàn

L

E mg sin

Từ (15), (16) suy ra

g sin L



  3

(17) Xét chuyển động của phần thanh dài (L – r) ở phía ngoài của điểm cách điểm O một khoảng r Phần này

có khối lượng (L r) và khối tâm của nó chuyển động với vận tốc

'

C

v r   

Khi thanh tạo góc θ so với phương ngang, phần phía trong sẽ tác dụng lên phần ngoài một sức căng

N hướng dọc theo thanh (chọn chiều dương hướng vào O), và một lực T vuông góc với thanh Áp dụng

định luật chuyển động cho khối tâm của nửa ngoài

T (L r)g cos  (L r)a 1 (19)

n

N (L r)g sin  (L r)a (20)

Trong đó gia tốc tiếp tuyến a1được tính theo biểu thức

'

C

a



1

3

Còn gia tốc pháp tuyến an

n

L r (L r)g sin a

L

Từ (19), (20), (21), (22) ta có

(L r)( r L)

L

4 (L r)( L r)

L

 

2

1.44 Thanh trượt theo tường (Trung Quốc)

Khi thanh tạo với tường một góc θ, các lực tác dụng lên hệ bao gồm:

trọng lực mg, các phản lực N 1 và N 2 của tường và sàn lên hai vật Khi quả 1

vẫn còn tựa vào tường thì vẫn còn lực N 1 tác dụng lên cả hệ, lực này gây ra

gia tốc theo phương x cho khối tâm Vậy điều kiện để vật 1 rời khỏi tường

là gia tốc của khối tâm theo phương x bằng không Có nhiều cách để tìm ra

gia tốc này, ta bắt đầu từ cách cơ bản nhất

Tọa độ của quả 1 biểu diễn theo l và θ

x10, y1l cos (1)

Của quả cầu thứ 2 là

x2lsin, y 2 0 (2)

Lấy đạo hàm các biểu thức trên ta được các vận tốc

dx

v

dt

 1



Trong đó d

dt



chính là vận tốc quay của thanh quanh khối tâm

Tương tự với quả 2

x

dx

dt

dy v

dt

 2 

Tọa độ khối tâm là

C

m



m



Từ đây tính được vận tốc của khối tâm

C

cx

dx

dt

C cy

dy

dt

[Kết quả này có thể nhận được bằng cách tính vận tốc khối tâm qua vận tốc các quả 1 và 2 từ phương trình (3) và (4)].

Lấy đạo hàm (6) ta được gia tốc khối tâm :

2 cx

cx

cy





(7)

Trong (7), d

dt



là gia tốc góc của hệ với trục quay qua khối tâm và vuông góc với thanh

Phương trình định luật II Newton cho chuyển động của khối tâm :

N 2ma , N2 2mg 2ma cy (8)

Phương trình quay của hệ quanh khối tâm

2

Thay (7) vào (8), rồi thay (8) vào (9) ta được

sin

dt l



Viết lại (10) ở dạng d d d g sin

  Tích phân hai vế ta được :

l

Hằng số C trong (10) xác định từ điều kiện đầu, khi 0, 0 C 2g

l

Cuối cùng 2 2g(1 cos )

l

Thay (10) và (11) vào (7) ta được :

3

2

Từ (12) dễ thấy quả 1 sẽ rời tường khi cos 2

3

 

Cách 2 : Sử dụng bảo toàn năng lượng

Từ (2) và (3) ta có v1y v tan2x  Chọn gốc thế năng tại O

Thế năng của hệ bảo toàn

Từ đây

2gl(1 cos )

Vật 1 sẽ rời tường khi acx 0g hay a đạt giá trị cực đại Mà từ (6) và (4) suy ra cx cx 2x

1

2

 Do đó để quả 1 rời tường thì vế phải của (14) phải có giá trị cực đại

Đạo hàm hai vế của (14) theo θ :

2

2 2x

Cách 3 :

Xét tâm quay tại O Vì hai véctơ vận tốc của các quả đi qua gốc tọa độ nên mômen động lượng của hệ luôn bằng không, suy ra môn men lực cũng phải luôn bằng không, hay

l

N lsin N lcos 2mg cos 0

2

Khối tâm của hệ chuyển động trên đường tròn tâm O bán kính l/2, do đó vận tốc của nó vuông góc với bán kính và có độ lớn

C

1

v

2

Gia tốc hướng tâm hướng về điểm O, còn gia tốc dài có cùng phương với vc, độ lớn của chúng là :

2

n

1

a

2

  , vC 1 d

2 dt



Chiếu hai véctơ này lên các trục x và y ta thu được kết quả (7) Sử dụng (7), (8) và (15) ta lại thu được (10) Từ đây giải tiếp như ở trên

Cách 4 :

Động năng của hệ theo định lý Konig bao gồm hai phần : động năng của khối tâm và động năng của chuyển động quay quanh khối tâm Vậy :

2 2

v

Bảo toàn cơ năng

gl(1 cos )

Từ hình vẽ

cx c

gl(1 cos )

v v cos cos

2

Khi vật 1 rời tường thì cx cx

cx



 và ta lại thu được kết quả Gia tốc góc trong (10) có thể thu được ngay lập tức bằng cách xét chuyển động của hệ quanh tâm quay tức thời A Hai phản lực có phương đi qua A nên mômen lực bằng không, chỉ còn trọng lực gây ra mômen

A

M 2mg sin mglsin I



Mặt khác mômen quán tính với điểm A có thể tính, sử dụng định lý Steiner :

2 2 A

l

2

 

    

Kết hợp (20) và (21) ta được kết quả (10)

1.45 Yoyo (Thụy Sĩ)

Phần 1 Khởi động

Với từng hình trụ, động năng ban đầu bằng không và thế năng cuối cùng có thể được chọn bằng không Do đó, ta có

mech pot,0 kin,f

E E E const Nhưng mỗi hình trụ có cùng thế năng ban đầu như nhau, do đó, cả hai đều có động năng giống nhau :

I

      

  vi iR

Vì Ekin,f ,1Ekin,f ,2 và I1I2, suy ra v1v2 Vậy hình trụ 1 sẽ lăn đến chân sớm hơn hình trụ 2

Phần 2 Mômen quán tính của Yoyo

Moment quán tính của một hình trụ bên ngoài :

2

1

2

m V R L Moment quán tính của một hình trụ bên trong :

2

1

2

 , m2 V2 R l2 Moment quán tính tổng cộng :

2

ImR

2

2I I (2m m )R

2

    

2R L r l 2(2R L r l)R



 



Phần 3 : Yoyo trên mặt bàn.

3a) Xét yoyo tăng tốc tức thời, có thể lấy O' là tâm quay Bằng cách áp dụng định luật II Newton (cho chuyển động quay) với O', ta thấy mômen lực duy nhất khác không là −(R−r)F1êz (xem hình 1.45Sa), gia tốc góc α mang dấu âm (   êz), do đó yoyo di chuyển về bên phải

Cũng phân tích như trên ta thấy 2 2

2



êz (hướng ra khỏi trang giấy), gia tốc α cũng hướng

ra khối tờ giấy và yoyo lần này di chuyển về bên trái

3b) Trường hợp giới hạn: góc giữa lực và bán kính nối O' với đường tròn r bằng π; xét đường thẳng từ O'

tiếp tuyến với hình trụ trong (xem hình 1.45Sb) Ta có

sin

R



R

  , tan R2 r2

r



 

3c)

r

R

      

Trường hợp này ta được một xy lanh Bất kỳ góc lớn hơn 0 đều gây nên mômen lực dương theo trục

Oz, và làm xi lanh lăn sang trái

r lim cos lim 1



Trường hợp giới hạn này, sợi dây được gắn vào tâm, bất cứ lực nào hướng sang phải đều khiến yoyo

di chuyển về bên phải Đối với một lực tạo góc π /2 so với phương nằm ngang, nó sẽ chỉ đơn giản là nhấc yoyo mà không cho nó lăn! (Không có mômen trong trường hợp này)

Phần 4 : Yoyo trên mặt phẳng nghiêng

4a) F f

: lực ma sát (song song với sàn nhà, ngược chiều chuyển

động, điểm đặt tại tiếp điểm yoyo mặt phẳng nghiêng)

mg: trọng lực (hướng thẳng đứng, điểm đặt tại tâm của yoyo)

N

: phản lực (hướng vuông góc với mặt phẳng nghiêng, điểm đặt tại

tiếp điểm yoyo và mặt phẳng nghiêng)

4b) Áp dụng định luật hai Newton cho chuyển động quay với tâm

của yoyo cho chúng ta

2 tot,O I RFf mR

Khi không có sự trượt xảy ra

f

F Nmg cos

Và gia tốc dài bằng a = αR Định luật hai Newton cho

f

ma mg sin   F

g sin a

1





 

4c) Lần này, lực ma sát bằng

f

F Nmg cos Nhưng a > αR Như trước đây, ta có

f

ma mg sin   F

a g(sin   cos )

4d) Ở giới hạn giữa hai trường hợp, gia tốc giống nhau :

c

g sin

1



 

c

1 tan 1

1

 

c

1 tan   



Phần 5 Yoyo chuyển động thẳng đứng

5a) Áp dụng định luật hai Newton (chuyển động dài và quay):

mg T ma 

I

r

2

1

1 I / mr



Sau khi tích phân hai lần (hoặc sử dụng phương trình chuyển động biến đổi đều đã biết trong cơ học

cổ điển), ta tìm thấy (sử dụng các điều kiện ban đầu x (t = 0), v(t = 0) = 0):

2 1 I / mr 2 1 I / mr

5b) Cách 1 (động lực học) :

Trong phần dưới đây, lưu ý

2

1 a

1 I / mr





v(t) at

2x