Giải vở bài tập toán lớp 9 tập 1 là tài liệu được biên soạn một cách chi tiết và công phu hỗ trợ các em học sinh ôn tập và rèn luyện môn Toán học phổ thông. Đóng gói dưới dạng file PDF.
Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A = A 2
Vế trái đúng bằng vế phải Vậy đẳng thức được chứng minh b) Theo câu a) ta có : 4 – 2 3 = ( 3 1) 2 Do đó :
Bài 3 a) Vì x = x 2 nên ta có x = 11 Suy ra x = 11 hoặc x = –11 b) Vì x = x 2 và 9 = 9 nên ta có : x = 9
Suy ra x = 9 hoặc x = –9 c) Vì 9x = (3x) = 3 x 2 2 nên ta có 3|x|= 15
Suy ra x = 5 hoặc x = –5 d) Vì 16x = (4x) = 4 x 2 2 và |–24| = 24 nên ta có
Bài 1 a) 5x 2 có nghĩa khi 5x + 2 t 0 hay 5x t 2 tức là khi x t –2
Trong bài tập này, ta xem xét các bất đẳng thức và biểu thức chứa căn thức để xác định tập xác định của hàm số Cụ thể, điều kiện 5b và 6 đều liên quan đến việc xác định khi biểu thức 3x có nghĩa, tức là khi 6 – 3x > 0 hoặc –3x > –6, tương ứng với x < 2 Đối với c, biểu thức –1 x 2 > 0 tương đương với x + 2 < 0, tức là x < –2, là điều kiện để biểu thức có nghĩa Cuối cùng, ta nhận thấy rằng 9x^2 – 6x + 1 = (3x – 1)^2 luôn không nhỏ hơn 0 với mọi x, do đó căn thức đã cho có nghĩa với tất cả các giá trị của x.
Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
Thay x = – 2 vào kết quả trên ta được :
Thay a = –2, b = – 3 vào kết quả trên ta được : 3a b 2 = 3 2 3 2 = 3.2.( 3 2)
Bài 3 a) Ta có 16x = 8 2 suy ra x = 64
16 vậy x = 4 b) Ta có 4x = ( 5) 2 hay 4x = 5, suy ra x = 5
34 < 8 2 = 64 tức là ( 34) 2 < ( 64) 2 suy ra 34 < 8 hay 25 9 < 25 + 9 Vậy 25 9 < 25 + 9 b) Với a > 0, b > 0 ta có :
Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
Bảng căn bậc hai
Dùng máy tính bỏ túi ta tìm được :
Nhận xét : Kết quả do máy tính tìm được chính xác hơn
911, 9 | 30,19 (dời dấu phẩy sang trái 1 chữ số ở kết quả)
91190 | 301,9 (dời dấu phẩy sang trái 2 chử số ở kết quả)
0, 09119 | 0,3019 (dời dấu phẩy sang phải 1 chữ số ở kết quả) 0,0009119 | 0,03019 (dời dấu phẩy sang phải 2 chữ số ở kết quả)
Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
Biến đổi đơn giản biểu thức căn bậc hai (tiếp theo)
CĂN BẬC HAI (tiếp theo)
Bài 2 a a b ab = ab b b b = ab ab 2 b = ab ab b = a ab neáu b 0 a ab neáu b 0
2 a b = a b a = a ab = a ab b a b a a b a b a = ab neáu a 0 b ab neáu a 0 b
= 3 2( 2 3) = 6 3 6 b) ab 1 2 2 1 a b = ab a b 2 2 1 = ab a b 2 2 1 ab ab
Bài 4 a) Thực hiện đưa thừa số vào trong dấu căn ta có :
Vỡ 24 29 32 45 neõn ta saộp xeỏp nhử sau :
Vỡ 38 56 63 72 neõn ta saộp xeỏp nhử sau :
Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
= 5a.8b ab 3.2ab ab 2ab.3 ab 5b.9a ab
= 40ab ab 45ab ab 6ab ab 6ab ab
Bài 3 a) Biến đổi vế trái, ta được :
Vậy vế trái bằng vế phải, do đó đẳng thức được chứng minh b) Ta biến đổi vế trái :
Vậy vế trái bằng vế phải, do đó đẳng thức được chứng minh
Bài 2 a) a ab a b b b a = ab 2 ab a ab 2 b b a
Bài 3 a) Biến đổi vế trái :
Vậy vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh b) Biến đổi vế trái :
Vậy vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh
Căn bậc ba
Vì 750 < 1080 neân 3 750 < 3 1080, suy ra 5 6 3 < 6 5 3 ÔN TẬP CHƯƠNG I
= ( x(y x 1) (y x 1) = (y x + 1)( x – 1) b) ax by bx ay = ( ax bx) ( ay by)
= 3(4 + x) – x(4 – x) = (4 + x)(3 – x) ÔN TẬP CHƯƠNG I (tiếp theo)
Bài 1 a) Nhận xét 9x 2 – 6x + 1 = (3x – 1) 2 Do đó ta có :
Suy ra 3x – 1 = 2 hoặc 3x – 1 = –2 hay 3x = 3 hoặc 3x = –1 tức là x = 1 hoặc x = –1
Bài 2 a) Biến đổi vế trái :
Vế trái đúng bằng vế phải Đẳng thức được chứng minh b) Biến đổi vế trái :
Vế trái đúng bằng vế phải Đẳng thức được chứng minh c) Biến đổi vế trái : a b b a : 1 ab a b
Vế trái đúng bằng vế phải Đẳng thức được chứng minh d) Biến đổi vế trái : a a a a
Vế trái đúng bằng vế phải Đẳng thức được chứng minh
Vậy Q = a b a b b) Thay a = 3b vào biểu thức rút gọn của Q ta có :
Vì a t 0 và b > 0 nên a b Xác định và không âm
Vậy a b là căn bậc hai số học của a b, tức là a b = a b Áp dụng 252 = 252 = 36 = 6
Vế trái đúng bằng vế phải Đẳng thức được chứng minh
Vậy Q = 1 x 1 b) Thay x = 4 vào biểu thức rút gọn của Q ta có :
Chương HHÀM SỐ BẬC NHẤT
Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số
Bài 2 a) Tính giá trị tương ứng của y theo x, ta được bảng giá trị sau : x –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 y = –1
2x + 3 4,25 4 3,75 3,5 3,25 3 2,75 2,5 2,25 2 1,75 b) Khi x lần lượt nhận các giá trị tăng lên thì giá trị tương ứng của hàm số giảm dần Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên
Bài 3 a) Vẽ đường thẳng qua gốc tọa độ O(0 ; 0) và điểm A(1 ; 2), ta được đồ thị của hàm số y = 2x
Vẽ đường thẳng qua gốc tọa độ O(0,0) và điểm B(1,–2) giúp xác định đồ thị của hàm số y = –2x Khi giá trị của biến x tăng lên, giá trị của hàm số y sẽ giảm xuống tương ứng, phản ánh tính chất của hàm số tuyến tính có hệ số âm Điều này giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ tỷ lệ thuận giữa x và y trong đồ thị của hàm số y = –2x.
= 2x cũng tăng lên, do đó y = 2x là hàm số đồng biến trên Khi giá trị của biến x tăng lên thì giá trị tương ứng của hàm số y
= –2x lại giảm, do đó y = –2x là hàm số nghịch biến trên x y
Bài 1 a) Các điểm thuộc đồ thị của hàm số y = 3x là :
3 b) Giả sử điểm M có hoành độ là x và tung độ là y Vì M thuộc đồ thị hàm số nên y = 3x Theo định lí Py-ta-go ta có x 2 + y 2 (4 10)2 = 160 Suy ra x 2 + 9x 2 = 160 10x 2 = 160 x 2 = 16 x = r4
Vậy điểm M có tọa độ (–4 ; –12) hoặc (4 ; 12)
Trong bài tập này, các kết quả được trình bày trong bảng thể hiện mối quan hệ giữa giá trị của biến x và các giá trị tương ứng của các hàm số y = 0,5x – 1,25; y = 0,5x – 1,125; y = 0,5x – 0,75; y = 0,5x – 0,5; y = 0,5x; y = 0,5x + 0,5; y = 0,5x + 0,75; y = 0,5x + 1,125; y = 0,5x + 1,25; y = 0,5x + 2 Khi biến x nhận giá trị giống nhau, giá trị của hàm số y = 0,5x + 2 luôn lớn hơn giá trị của hàm số y = 0,5x Điều này cho thấy, hàm số y = 0,5x + 2 nằm trên so với hàm số y = 0,5x trên đồ thị, phản ánh mối quan hệ chênh lệch về giá trị giữa hai hàm số.
Với x1, x2 bất kì thuộc và x1 < x2, ta có : f(x1) – f(x2) = 3x1 – 3x2 = 3(x1 – x2) < 0 hay f(x1) < f(x2)
Suy ra hàm số y = 3x là hàm số đồng biến trên
Hàm số bậc nhất
Các hàm số bậc nhất là : y = 5 – 2x có a = –2, b = 5, là hàm số nghịch biến trên y = x 2 – 1 có a = 2, b = –1, là hàm số đồng biến trên y = 3(x – 1) – x = 3x – 3 – x = 2x – 3 có a = 2, b = –3, là hàm số đồng biến trên
Bài 2 a) Hàm số y = (m – 2)x + 3 đồng biến khi m – 2 > 0 hay m > 2 b) Hàm số y = (m – 2)x + 3 nghịch biến khi m – 2 < 0 hay m < 2
Hình chữ nhật ban đầu có kích thước là 30cm x 20cm Khi giảm đi mỗi cạnh x centimet, hình chữ nhật mới có kích thước là (30 – x) cm x (20 – x) cm Quá trình này giúp xác định diện tích và các đặc điểm hình học của hình chữ nhật sau khi giảm kích thước.
Chu vi của hình chữ nhật mới là y nên ta có : y = 2[(30 – x) + (20 – x)] = 2(50 – 2x)
Vậy công thức phải tìm là y = 100 – 4x
Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi m – 3 ≠ 0, tức là m ≠ 3 Hàm số đồng biến khi m > 3 và nghịch biến khi m < 3 Điểm A (1, 2) thuộc đồ thị của hàm số, nên ta có thể xác định các mối quan hệ liên quan đến hàm số dựa trên điểm này.
Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi 5 m z 0
Muốn vậy, 5 – m > 0 hay m < 5 b) Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi m 1 m 1 z 0 tức là m + 1 z 0 và m – 1 z 0 Suy ra m z r1
Bài 3 a) Do 1 – 5 < 0 nên hàm số y = (1 – 5)x – 1 ngịch biến trên b) Khi x = 1 + 5 ta có : y = (1 – 5)(1 + 5) – 1 = 1 – 5 – 1 = –5 c) Khi y = 5 ta có :
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)
Vì đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = –2x nên a = –2 Đồ thị này lại đi qua điểm A(1 ; –4) nên ta có –4 = –2 + b, suy ra b = –2
Vậy hàm số phải tìm là y = –2x – 2
Bài 2 a) – Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm O(0 ; 0) và M(1 ; 2), ta được đồ thị của hàm số y = 2x
– Vẽ đường thẳng đi qua O(0 ; 0) và N 1 ; 1
3 Đ ã ă á â ạ, ta được đồ thị của hàm số y = –2
– Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm B(0 ; 5) và E(–2,5 ; 0), ta được đồ thị của hàm số y = 2x + 5
– Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm B(0 ; 5) và F(7,5 ; 0), ta được đồ thị của hàm số y = –2
3x + 5 b) Bốn đường thẳng đã cho cắt nhau tạo thành tứ giác OABC
Vì đường thẳng y = 2x + 5 song song với đường thẳng y = 2x, đường thaúng y = –2
3x + 5 song song với đường thẳng y = –2
3x, do đó tứ giác OABC là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối song song)
Trong bài tập này, ta bắt đầu bằng cách vẽ đường thẳng qua điểm O(0,0) và M(1,2), nằm trên đồ thị của hàm số y = x, đồng thời vẽ đường thẳng qua B(0,2) và E(–1,0), nằm trên đồ thị của hàm số y = 2x + 2 Tiếp theo, ta xác định tọa độ điểm A bằng cách giải phương trình 2x + 2 = x, được x = –2, từ đó tính y = –2, nên điểm A có tọa độ A(–2, –2) Cuối cùng, qua điểm B(0,2) vẽ đường thẳng song song với trục Ox, có phương trình y = 2, cắt đường thẳng y = x tại điểm C.
– Tìm tọa độ C : Với y = x, mà y = 2 x = 2 Vậy C(2 ; 2)
– Tính diện tích tam giác ABC có :
Coi BC là cạnh đáy, AD là chiều cao ứng với cạnh đáy BC, ta có :
Bài 1 a) Thay x = –1, y = 1 vào công thức y = (m – 1)x + m ta được
Đẳng thức –(m – 1) + m = 0 cho thấy nó đúng với mọi giá trị của m, chứng tỏ đồ thị của hàm số luôn đi qua điểm A(–1; 1) Ngoài ra, đồ thị của hàm số còn cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng 0, giúp xác định vị trí của đồ thị trên mặt phẳng tọa độ.
Do đó, ta có : 3 = (m – 1).0 + m suy ra m = 3 c) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có tung độ bằng 0
Do đó, ta có : 0 = (m – 1)(–2) + m, suy ra m = –2
Bài 2 a) Thay x = 4, y = 11 vào y = 3x + b ta có 11 = 3.4 + b suy ra b = –1 vậy hàm số là y = 3x – 1
Vẽ đồ thị hàm số y = 3x – 1 Đó là đường thẳng đi qua hai điểm A(0 ; –1) và B 1 ; 0
D b) b) Thay x = –1 và y = 3 vào y = ax + 5, ta có 3 = –a + 5, suy ra a 2 Vậy hàm số là y = 2x + 5 Đồ thị của hàm số này là đường thẳng đi qua hai điểm D(0 ; 5) và C 5 ; 0
(hình a) Đồ thị của hàm số y = 3x + 3 là đường thẳng đi qua điểm M(–1 ; 0) và điểm N(0 ; 3) Điểm N có tung độ bằng 3 được vẽ bằng compa và thước thẳng như sau :
– Xác định điểm A(1 ; 1) Theo định lí
Py-ta-go, độ dài OA = 1 2 1 2 = 2
– Vẽ cung tròn tâm O bán kính OA cắt tia Ox tại điểm có hoành độ 2
– Xác định điểm B( 2 ; 1) Khi đó độ dài OB = ( 2) 2 1 2 = 3
– Vẽ cung tròn tâm O bán kính OB cắt tia Oy tại điểm
Vẽ đồ thị hàm số y = 5x + 5 : Đó là đường thẳng đi qua hai điểm
P(0 ; 5) và Q(–1 ; 0) Cách dựng đoạn thẳng có độ dài bằng 5 được theồ hieọn treõn hỡnh veừ (hỡnh b) y
Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
Ta nhận xét rằng d1 // d3 (chúng có cùng hệ số 2) d1 cắt d2 (vì giao nhau tại điểm trên trục tung có tung độ là 3) d2 caét d3 (vì –1 z 2)
Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nên phải có điều kiện m z 0 và m z –1
2 a) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi m = 2m + 1 hay m = –1 (thỏa mãn các điều kiện m z 0 và m z –1
2) b) Hai đường thẳng cắt nhau khi m z 2m + 1 hay m z –1 kết hợp với các điều kiện nên trên thì phải có m z –1, m z 0 và m z –1
Bài 3 a) Đường thẳng y = ax + 3 song song với đường thẳng y = –2x khi a = –2 b) Thay x = 2 và y = 7 vào y = ax + 3 ta có : 7 = 2a + 3, suy ra a = 2
Hàm số y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2, đi qua điểm A(0, –2), và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3, đi qua điểm B(3, 0).
Từ nhận xét đó ta có :
3 Vậy hàm số phải xác định là y = 2
Vì y = (2m + 1)x + 2k – 3 là hàm số bậc nhất nên m + 1 z 0 hay m z –1
Gọi đồ thị hàm số y = 2x + 3k là đường thẳng (d), đồ thị của hàm số y = (2m + 1)x + 2k – 3 là đường thẳng (d') a) Hai đường thẳng (d) và (d') cắt nhau khi và chỉ khi 2 z 2m + 1 tức là m z 1
2 Vậy điều kiện đối với m để (d) và (d') cắt nhau là m z 1
2 và m z –1 b) Hai đường thẳng (d) và (d') song song với nhau khi và chỉ khi các điều kiện sau đây đồng thời được thỏa mãn : y 2 = 2m + 1 m = 1
2 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra điều kiện đối với m và k để (d) và (d') song song với nhau là m = 1
2 và k z –3 c) Hai đường thẳng (d) và (d') trùng nhau khi và chỉ khi các điều kiện sau đây đồng thời thỏa mãn : y 2 = 2m + 1 m = 1
Từ (1), (2), (3) suy ra điều kiện đối với m và k để (d) và (d') trùng nhau là m = 1
Bài 3 a) Giả sử đồ thị của hàm số (1) cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại điểm A có hoành độ bằng 2 Tung độ của điểm A là : y = 3
Vì điểm A(2 ; 3) cũng nằm trên đồ thỉ của hàm số (1) nên ta có 3 = 2a – 4 suy ra a = 7
Trong bài toán này, giả sử đồ thị của hàm số cắt đường thẳng y = –3x + 2 tại điểm B có tung độ bằng 5 Để tìm hoành độ của điểm B, ta thiết lập phương trình 5 = –3x + 2, từ đó suy ra x = –1 Như vậy, điểm B có hoành độ là –1 và tung độ là 5, và điểm B(–1; 5) cũng nằm trên đồ thị của hàm số.
(1) nên ta có 5 = –a – 4 suy ra a = –9.
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0)
Bài 1 a) Hệ số góc của (d) là 1
2 Vỡ (d) ủi qua ủieồm A(–1 ; –4) nên ta có :
2 B0 Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = –3x + 1 nên a = –3, (d) lại đi qua A(–1 ; –4) nên ta có :
–4 = (–3)(–1) + b b = –7 c) Đường thẳng (d) có hệ số góc bằng k nên ta có a = k, (d) đi qua A(–1 ; –4) nên ta có :
Bài 2 a) Thay x = 2, y = 6 vào y = ax + 3 ta được
2 b) Vẽ đồ thị hàm số y = 1,5x + 3 Đó là đường thẳng đi qua hai điểm P(0 ; 3) và Q(–2 ; 0)
Bài 3 a) Đồ thị của hàm số y = –2x + 3 là đường thẳng đi qua hai điểm A(0 ; 3) và B(1,5 ; 0) b) Xét tam giác vuông OAB, ta có : tgOBA = OA
1,5 = 2 Dùng máy tính bỏ túi ta tìm được
Bài 1 a) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x nên a = 1, nó cắt trục tung tại điểm A(0 ; –2) nên ta có
Đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số y = x – 2, đi qua hai điểm A(0, –2) và B(2, 0) Đồ thị này thể hiện mối quan hệ tuyến tính giữa x và y, giúp xác định các điểm nằm trên đường thẳng một cách chính xác Trong bài toán, xét tam giác vuông OAB có các điểm O(0,0), A(0, –2) và B(2, 0), ta xác định được rằng tangent của góc D bằng tan(ABO) = OA / OB, qua đó hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông này.
Bài 2 a) Đồ thị của hàm số y = 1
2x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm A(–4 ; 0) và C(0 ; 2) Đồ thị của hàm số y = –x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm C(0 ; 2) và B(2 ; 0) b) Xét các tam giác vuông
AOC và BOC ta có : tgA = OC
Trong tam giác ABC ta có :
Trong bài viết này, chúng ta gọi chu vi của tam giác ABC là P và diện tích là S Bằng cách áp dụng định lý Pythagoras cho các tam giác OAC và OBC, ta có thể tính toán chính xác các giá trị của chu vi và diện tích của tam giác ABC, từ đó nắm bắt rõ hơn về các đặc điểm hình học của tam giác này.
Lại có AB = OA + OB = 4 + 2 = 6 (cm)
Vậy P = AB + AC + BC = 6 + 20 + 8 (cm) (| 13,3 (cm))
Bài 3 a) Đồ thị của hàm số y = x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm A(0 ; 1) và B(–1 ; 0) Đồ thị của hàm số y = 1
3 x + 3 là đường thẳng đi qua hai điểm C(0 ; 3) và D(–3 ; 0) Đồ thị hàm số y = 3x – 3 là đường thẳng đi qua hai điểm E(0 ; – 3) và F(1 ; 0) b) Trong tam giác vuông OAB, ta có :
OB 1 Trong tam giác vuông OCD, ta có :
Trong tam giác vuông OEF, ta có :
Bài 1 a) Vì (d) đi qua A(–1 ; 2) và B(3 ; –4) nên ta lần lượt có :
3m n = 0 ® ¯ m = 0 n = 0 ® ¯ Vậy m = 0, n = 0 b) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = 1
2 khi và chỉ khi m z 2 (theo giả thiết) cà m – 2 z 1
2 c) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = –3
2 d) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y = 2x – 3 khi và chỉ khi m – 2 = 2 và n = –3
Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) (k z 0) và y = (5 – k)x + (4 – m) (k z 5) trùng nhau khi và chỉ khi : k = 5 – k (1) và m – 2 = 4 – m (2)
Vậy, điều kiện để hai đường thẳng đã cho trùng nhau là k = 5
Bài 3 a) Hai đường thẳng y = (k + 1)x + 3 và y = (3 – 2k)x + 1 song song với nhau khi và chỉ khi k + 1 z 0, 3 – 2k z 0 và k + 1 = 3 – 2k Suy ra k = 2
2 b) Hai đường thẳng y = (k + 1)x + 3 và y = (3 – 2k)x + 1 cắt nhau khi và chỉ khi k + 1 z 0, 3 – 2k z 0 và k + 1 z 3 – 2k Suy ra k z –1, k z 3
3 c) Hai đường thẳng nói trên không thể trùng nhau được vì chúng có tung độ gốc khác nhau (3 z 1)
Bài 4 a) Đường thẳng y = 2x (1) đi qua gốc tọa độ O và điểm C(1 ; 2) – Đường thẳng y = 0,5x (2) đi qua gốc tọa độ O và điểm D(1 ; 0,5) – Đường thẳng y = –x + 6 (3) đi qua hai điểm E(0 ; 6) và F(6 ; 0)
0,5 y = 0,5x y = –x + 6 b) Gọi A, B thứ tự là giao điểm của hai đường thẳng có phương trình (3) với các đường thẳng có phương trình (1) và (2), ta có : –x + 6 = 2x x = 2
–x + 6 = 0,5x x = 4 Suy ra y = 2 neân B(4 ; 2) c) OA = 2 2 4 = 20 2 ; OB = 4 2 2 = 20 2
Do OA = OB nên tam giác OAB cân tại O, suy ra OAB = OBA
Ta có tgAOx = 2 AOx | 63 0 26’ tgBOx = 0,5 BOx | 26 0 34’
Bài 1 a) Hai đường thẳng y = ax + b (a z0) và y = a'x + b' (a' z 0)
+ Cắt nhau khi và chỉ khi a z a'
+ Song song khi và chỉ khi a = a' và b z b'
+ Trùng nhau khi và chỉ khi a = a' và b = b' b) Áp dụng :
Hai đường thẳng y = ax + 2 (a z 0) và y = 3x + b :
+ Cắt nhau khi và chỉ khi a z 3
+ Song song khi và chỉ khi a = 3 và b z 2
+ Trùng nhau khi và chỉ khi a = 3 và b = 2
Bài 2 a) Đồ thị của hàm số y = 2x – 3 là đường thẳng đi qua hai điểm
2 Đ ã ă á â ạ Đồ thị của hàm số y = 4
3x – 2 là đường thẳng đi qua hai điểm
2 Đ ã ă á â ạ và C(0 ; –2) b) Ta có phương trình hoành độ giao ủieồm :
Vậy giao điểm của hai đồ thị là B 3 ; 0
Bài 3 Để (d) là hàm số bậc nhất m – 1 z 0 m z 1 a) (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 – 2 thì :
1 – 2 = (m – 1).0 + m m = 1 – 2 b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = –5x + 1 m 1 = 5 m 1 ® z ¯ m = 4 m 1 ® z ¯
Vậy m = 4 m 1 ® z ¯ thì (d) song song với đường thẳng y = –5x + 1 c) (d) đi qua A(2 ; –1) nên ta có :
Chương HHỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Phương trình bậc nhất hai ẩn
Cặp số (–2 ; 1) không là nghiệm của phương trình vì
Cặp số (0 ; 2) là nghiệm của phương trình vì 5.(0) + 4.2 = 8 = 8 Cặp số (–1 ; 0) không là nghiệm của phương trình vì
Cặp số (1,5 ; 3) không là nghiệm của phương trình vì
Cặp số (4 ; –3) là nghiệm của phương trình vì 5.4 + 4.(–3) = 8 = 8 b) Xeựt phửụng trỡnh 3x + 5y = –3
Cặp số (–2 ; 1) không là nghiệm phương trình vì
Cặp số (0 ; 2) không là nghiệm phương trình vì
Cặp số (–1 ; 0) là nghiệm của phương trình vì 3.(–1) + 5.0 = –3 = –3 Cặp số (1,5 ; 3) không là nghiệm phương trình vì
Cặp số (4 ; –3) là nghiệm của phương trình vì 3.4 + 5.(–3) = –3 = –3
Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là (y = 3x – 2) với x Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó là đường thẳng y = 3x – 2
(hỡnh beõn) ủi qua hai ủieồm A(0 ; –2) và B(2 ; 4) x y
Nghiệm tổng quát của phương trình được xác định là x = 3 – 5y Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình đi qua hai điểm A(3, 0) và B(–2, 1), thể hiện mối quan hệ tuyến tính giữa x và y Đường thẳng x = 3 – 5y là đường thẳng đi qua các điểm này, phản ánh chính xác nghiệm của phương trình đã cho.
3 Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là (y = 4
3) với x Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó là đường thẳng y = 4
3 đi qua hai điểm A(2 ; 3) và B(–1 ; 1)
Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là (x = 5
2 – y) với y Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó là đường thẳng x = 5
Tập nghiệm của phương trình x + 2y = 4 được biểu diễn bởi đường thẳng (d1) đi qua hai điểm (0, 2) và (4, 0), thể hiện tất cả các điểm thỏa mãn phương trình này Trong khi đó, tập nghiệm của phương trình x – y = 1 được biểu diễn bởi đường thẳng (d2) đi qua hai điểm (0, 3) và (4, 3), chứa tất cả các điểm thoả mãn phương trình này Cả hai đường thẳng (d1) và (d2) thể hiện các tập nghiệm của các phương trình tuyến tính trong mặt phẳng tọa độ.
Hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại M(2 ; 1) Bằng cách thử trực tiếp vào phương trình, ta thấy (2 ; 1) là nghiệm của cả hai phương trình đã cho
Bài 4 a) Ta có 4x – y = 5 y = 4x – 5 Do đó :
Tập nghiệm của phương trình là S = {(4x – 5)|x }
Nghiệm tổng quát của phương trình là (y = 4x – 5) với x ; viết cách khác x y = 4x 5 ® ¯ b) Ta có x + 3y = 6 x = 6 – 3y Do đó :
Tập nghiệm của phương trình S = {(6 – 3y)|y }
Nghiệm tổng quát của phương trình là (x = 6 – 3y) y ; viết cách khác x = 6 3y y ® ¯ c) Ta có –2x + 2y = 3 y = 3 2x
Do đó có hai cách trả lời :
Cách 1 : Tập nghiệm của phương trình là S = 3 2x x
2 ưĐ ã ẵ đă á ắ â ạ ¯ ¿ ẵắ ẵẵ ¿ắắ Nghiệm tổng quát của phương trình là x
Cách 2 : Tập nghiệm của phương trình là S = 2y 3 y
2 ưĐ ã ẵ đăâ áạ ắ ¯ ¿ ẵắ ẵẵ ¿ắắ Nghiệm tổng quát của phương trình là
Tập nghiệm của phương trình là S = 3x 4 x
5 ưĐ ã ẵ đă á ắ â ạ ¯ ¿ ẵắ ẵẵ ¿ắắ
Nghiệm tổng quát của phương trình là y = 3x 4
5 Đ ã ă á â ạ với x ; viết cách khác x 3x 4 y = 5 ° ®°¯ e) Ta có 5x + 0 y = 10 x = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là {(2)|y }
Nghiệm tổng quát của phương trình là y x = 2 ®¯ f) Ta có 0x + 2y = 7 y = 7
Vậy tập nghiệm của phương trình là 7 x
2 ưĐ ã ẵ đă áâ ạ ắ ¯ ¿ ẵắ ẵẵ ¿ắắ Nghiệm tổng quát của phương trình là x y = 7 2 °® °¯
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Trong bài tập này, ta xét hai đường thẳng y = 3 – 2x và y = 3x – 1, trong đó đường thẳng đầu tiên có hệ số góc là a = –2, còn đường thẳng thứ hai có hệ số góc là a' = 3 Vì hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau, dẫn đến hệ phương trình có một nghiệm duy nhất Tiếp theo, xét sự tồn tại của hai đường thẳng (d1): y = –1, làm rõ mối quan hệ và khả năng giao cắt giữa các đường thẳng trong bài toán.
2x + 1 Hai đường thẳng này cùng có hệ số góc là –1
2 Tuy nhiên, (d1) có tung độ gốc là 3, (d2) có tung độ gốc là 1
Vì (d1) và (d2) có cùng hệ số góc 1 nhưng có tung độ gốc khác nhau nên chúng song song Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm c) Ta có 2y = 3x
Dễ thấy hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ có hệ số góc –3 2
2 3 = –1 nên chúng vuông góc Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm d) Ta có
Vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là trùng nhau nên hệ có vô số nghiệm
Trong bài tập, ta thực hiện vẽ các đường thẳng dựa trên hệ phương trình để xác định nghiệm của hệ Đầu tiên, vẽ các đường thẳng 2x – y = 1 và x – 2y = –1 (hình a); hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm M, chứng tỏ hệ phương trình có nghiệm duy nhất Tiếp theo, vẽ các đường thẳng 2x + y = 4 và –x + y = 1 (hình b); hai đường thẳng này cũng gặp nhau tại điểm M, xác nhận hệ phương trình có nghiệm Qua đó, việc vẽ và quan sát giao điểm của các đường thẳng giúp xác định sự tồn tại của nghiệm của hệ phương trình.
Hai phương trình tương đương với nhau khi chúng có cùng tập nghiệm, nghĩa là hai tập nghiệm trùng nhau, và do đó hai đường thẳng biểu diễn hai tập nghiệm đó cũng trùng nhau Ngược lại, hai phương trình không tương đương khi chúng có tập nghiệm khác nhau, dẫn đến hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm này cũng khác nhau, có thể là song song hoặc cắt nhau.
Trong bài 4, phần a, hai đường thẳng (d1) và (d2) không cắt nhau cho thấy hệ phương trình đã cho không có nghiệm duy nhất, tức là hệ có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm Trong phần b, hai đường thẳng (d1) và (d2) không song song chứng tỏ hệ phương trình không vô nghiệm, do đó hệ luôn có ít nhất một nghiệm, có thể là duy nhất hoặc vô số nghiệm.
Hai đường thẳng (d1) và (d2) khác nhau chứng minh rằng hệ phương trình đã cho không thể có vô số nghiệm Điều này có nghĩa là hệ phương trình đó chỉ có thể vô nghiệm hoặc duy nhất một nghiệm.
Bài 1 a) Ta có 2x + y = 4 y = 4 – 2x Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là
Tương tự, nghiệm tổng quát của phương trình 3x + 2y = 5 là
2 Đ ã ă á â ạ ãá ãã ạáá b) Đường thẳng 2x + y = 4 đi qua các điểm (0 ; 4) và (4 ; –4) Đường thẳng 3x
+ 2y = 5 đi qua các điểm (–1 ; 4) và
2 Đ ã ă á â ạ Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M(3 ; –2) (hình bên) Thử lại ta thấy (3 ; –2) là một nghiệm của hệ
Vậy hai phương trình đã cho có nghiệm chung là (3 ; –2)
M M a) Đoán nhận : Hệ đã cho có một nghiệm, vì dễ thấy hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong hệ cắt nhau tại ủieồm M
Trong hình a, hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M(2; 1), cho thấy đây là nghiệm của hệ phương trình Sau khi kiểm tra lại, ta xác định rằng M(2; 1) thực sự là nghiệm của hệ phương trình đã cho Hệ phương trình này có một nghiệm duy nhất vì hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong hệ cắt nhau, chứng tỏ chúng có điểm chung duy nhất.
Tìm nghiệm : Trên hình b, ta thấy hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm M(–4 ; 2) Thử lại, ta thấy M(–4 ; 2) là nghiệm của hệ
Tập nghiệm của một phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một đường thẳng trong không gian Nếu hai nghiệm của hệ phương trình được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt M và N, thì hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của chúng có thể giao nhau tại hai điểm chung, cho thấy hệ phương trình có nghiệm chung Điều này phản ánh mối quan hệ giữa các nghiệm của hệ phương trình và sự liên kết của các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm trong không gian.
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm
Bài 4 a) Phương trình cần tìm là y = 3 x 2
Trong bài toán về phương trình đường thẳng, câu b) yêu cầu tìm phương trình là y = –x + 2 hoặc x + y = 2, thể hiện mối liên hệ giữa hoành độ và tung độ của các điểm trên đường thẳng Đường thẳng này gồm các điểm có cùng hoành độ bằng 3, tức là phương trình cần tìm là x = 3, xác định đường thẳng vuông góc với trục tung trong hệ tọa độ Cuối cùng, trục hoành gồm các điểm có cùng tung độ bằng 0, nghĩa là mọi điểm nằm trên trục hoành đều thỏa mãn phương trình y = 0, giúp xác định rõ vị trí của trục trong hệ tọa độ.
Do đó phương trình cần tìm là y = 0
Trong Bài 5, phần a) cho biết rằng ba đường biểu diễn các tập nghiệm (d1), (d2) và (d3) của ba phương trình khác nhau, chứng tỏ không trùng nhau và không thể có vô số nghiệm Phần b) luận chứng hệ (I) vô nghiệm vì (d1) // (d2), dẫn đến hệ (II) vô nghiệm vì (d2) // (d3), và từ đó suy ra hệ (III) cũng vô nghiệm, vì (d1) // (d3) Trong phần c), hệ (I) vô nghiệm vì (d1) // (d2), còn hệ (II) có một nghiệm duy nhất do đường thẳng (d2) cắt (d3), dẫn đến kết luận rằng (d3) cắt (d), và hệ (III) có nghiệm duy nhất, đảm bảo tính nhất quán của các phương trình và tập nghiệm trong tam giác toán học.
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất (x ; y) = (10 ; 7) b) 7x 3y = 5
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất (x ; y) = 11 ; 6
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất (x ; y) = 25 ; 21
Bài 2 a) Biểu diễn y theo x từ phương trình thứ nhất, ta được y = 3x 11
Thế y trong phương trình thứ 2 bởi 3x 11
4x 5y = 3 ® ¯ x = 7 3.7 11 y = 2 ° ® °¯ x = 7 y = 5 ® ¯Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất (x ; y) = (7 ; 5) b) Biểu diễn x theo y từ phương trình thứ nhất, ta được x = 2y 6
Thế x trong phương trình thứ hai bởi 2y 6
Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất (x ; y) = 3 ; 3
Bài 3 a) Từ phương trình thứ nhất, ta có x = –y 5
Thế kết quả này vào x trong phương trình thứ 2, ta được :
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
2 2 Đ ã ă á ă á â ạ b) Từ phương trình thứ hai ta có y = 4 – 2 3 – 4x
Thế kết quả này vào phương trình (1) ta được
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = (–1 ; –2 3)
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho chính là nghiệm của heọ phửụng trỡnh
Để giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta từ phương trình thứ hai biểu diễn y theo x, được y = 2x – 3 Sau đó, ta thế kết quả này vào phương trình đầu tiên để tìm giá trị của x, rồi thay vào y = 2x – 3 để tìm y Phương pháp thế giúp rút ngắn quá trình giải hệ phương trình một cách dễ dàng và chính xác.
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là (2 ; 1)
Gọi (d) là đường thẳng ax + by = 5 Đường thẳng (d) đi qua điểm M(1 ; –1) khi và chỉ khi a + b(–1) = 5, tức là a – b = 5 Đường thẳng (d) đi qua điểm N(–2 ; –3) khi và chỉ khi a(–2) + b(–3) = 5, tức là –2a – 3b = 5
Do đó (d) đi qua cả M lẫn N khi và chỉ khi ta có a b = 5
Để tìm giá trị của a và b trong hệ phương trình 2a + 3b = 5, ta xem đây là một hệ phương trình với hai ẩn và tiến hành giải hệ này Từ phương trình đầu tiên, ta có thể biểu diễn a theo b là a = (5 - 3b)/2 Sau đó, thay thế biểu thức này vào phương trình thứ hai để tìm giá trị của b và từ đó xác định giá trị của a, giúp giải quyết hệ phương trình một cách chính xác.
Vậy đáp số của bài toán là a = 1 và b = –4 ÔN TẬP HỌC KÌ I (ĐẠI SỐ)
Bài 4 a) Đường thẳng y = kx + 1 song song với đường thẳng y = 3x nên hệ số góc của chúng bằng nhau vậy k = 3 b) Đường thẳng y = kx + 1 đi qua điểm A(–1 ; 0) nên ta có :
0 = –k + 1 k = 1 c) Khi x = 1 thì y = 2x + 1 = 2.1 + 1 = 3 Vậy hai đường thẳng x = 1 và y = 2x + 1 cắt nhau tại điểm B(1 ; 3) đường thẳng y = kx + 1 đi qua điểm B(1 ; 3) nên ta có :
Vì hai hàm số cho là hàm số bậc nhất, các hệ số của biến x phải khác không, cụ thể là 2m ≠ 0 và m – 1 ≠ 0, dẫn đến m ≠ 0 và m ≠ 1 Đồ thị của hai hàm số tạo với trục Ox góc nhọn khi hệ số của x dương, tức là 2m > 0 và m – 1 > 0, tương đương với m > 0 và m > 1.
Vậy m > 0 và m > 1 Đồ thị của chúng tạo với trục Ox góc tù khi hệ số của x âm tức là 2m < 0 và m – 1 < 0 hay m < 0 và m < 1
Vì m < 0 và m < 1, đồ thị của hai hàm số song song nhau khi và chỉ khi a = a' và b = b' Với điều kiện b = b' (vì 1 ≠ 2), nên đồ thị của chúng chỉ song song khi a = a' Điều này xác định rõ mối liên hệ giữa các hệ số của hai hàm số và đặc điểm của đồ thị của chúng trên mặt phẳng tọa độ.
Kết hợp với điều kiện trên ta thấy m = –1 là giá trị cần tìm
Bài 6 Đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = – 3x + 1 nên a = – 3 Đồ thị y = ax + b đi qua điểm M( 3 ; –1) nên ta có : –1 = (– 3) 3 + b b = 2
Vậy hàm số phải xác định là y = – 3x + 2
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG
MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG
TAM GIÁC VUÔNG (tiếp theo)
Do các tam giác tạo thành là những tam giác vuông cân nên x = 5 và y = 5 2 + x 2 = 5 2 + 5 2 = 50
Xét tam giác vuông ABC Theo định lí Py-ta-go ta có :
Theo các hệ thức về cạnh và đường cao của tam giác vuông, ta có :
Bài 3 a) Hai tam giác vuông DAI và DCL có : x y y
AD = DC (là hai cạnh của hình vuông ABCD)
AID = CDL (cùng phụ với góc CDI) neân chuùng baèng nhau Suy ra
Tam giác DIL có DI = DL nên nó là tam giác cân b) Theo a), ta có :
Mặt khác, trong tam giác vuông DKL có DC là đường cao ứng với cạnh huyền nên :
Vì DC là cạnh của hình vuông ABCD đã cho nên DC không đổi, tức là 1 2 1 2
DC không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
Tỉ số lượng giác của các góc nhọn
Trong tam giác vuông ABC, theo định lí
Py-ta-go, ta có :
Vì A và B là hai góc phụ nhau nên :
Bài 2 sin60 0 = cos(90 0 – 30 0 ) = cos30 0 , cos75 0 = sin(90 0 – 15 0 ) = sin15 0 sin52 0 30' = cos(89 0 60' – 37 0 30') = cos37 0 30' cotg82 0 = tg(90 0 – 8 0 ) = tg8 0 , tg80 0 = cotg(90 0 – 10 0 ) = cotg10 0
Trong tam giác vuông ABC, theo định nghĩa các tỉ số lượng giác, ta có : cosB = AB
BC Suy ra AB = cosB BC = cos30 0 8
Dựng góc vuông xOy Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị Trên tia Ox, lấy điểm A sao cho OA = 3 Treõn Oy, laỏy ủieồm B sao cho
OB = 4 Góc OBA = D là góc cần dựng
Thật vậy, trong tam giác vuông AOB, ta có tgD = tgOBA = OA = 3
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC NHỌN (tiếp theo)
Bài 1 a) Theo định nghĩa các tỉ số lượng giác, ta có : tgD = AC
C b) Trong tam giác vuông ABC, theo định lí Py-ta-go, ta có :
Ta có sin 2 B + cos 2 B = 1, suy ra : sinB = 1 cos B = 1 2 0,8 = 0,6 2
Mặt khác, ta có : tgB = sin B cos B = 0, 6
Vì B và C là hai góc phụ nhau nên : sinC = cosB = 0,8 ; cosC = sinB = 0,6 tgC = cotgB = 1,33 ; cotgC = tgB = 0,75
Giả sử tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC = 8 và B = 60 0
Trong tam giác đó cạnh đối diện với góc 60 0 là AC Theo định nghĩa các tỉ số lượng giác, ta có : sin60 0 = sinB = AC
Gọi độ dài đường cao đối diện với góc 45 0 là y
Trong bài toán, ta xác định rằng hai cặp góc 32° và 58° là phụ nhau, nên sin 32° bằng cos 58°, đồng thời sin 32° bằng nhau với cos 58° theo định nghĩa về các góc phụ Tương tự, hai góc 76° và 14° cũng là các góc phụ, do đó tang 76° bằng cotang 14°, dẫn đến phép tính tang 76° trừ cotang 14° bằng 0 Các quy tắc lượng giác này giúp hiểu rõ mối quan hệ giữa các góc yếu tố trong hình học, phù hợp với các nguyên tắc về đồng nhất của các hàm lượng giác.
Xét tam giác MNQ vuông tại Q
MQ MQ (1) Xét tam giác MPQ vuông tại Q
Từ (1) và (2) suy ra cotgP > cotgN và cotggP = 2cotggN
Bảng lượng giác
Bài 1 a) Vì với mọi góc nhọn D, ta đều có 0 < sinD < 1 nên không có góc nhọn x nào mà sinx = 1,010
N Q P b) Vì với mọi góc nhọn D, ta đều có 0 < cosD < 1 nên không có góc nhọn x nào mà cosx = 2,354 c) tgx = 1,675 suy ra x | 59 0 9'
Ta có khi D tăng từ 0 0 đến 90 0 thì sinD và tgD tăng còn cosD và cotgD giảm dần
Bởi vậy : a) sin20 0 < sin70 0 b) cos25 0 > cos63 0 15' c) tg73 0 20' > tg45 0 d) cotg2 0 > cotg37 0 40'
Trong tam giác vuông ABC nếu coi
AC = 1 thì BC = 2 và ta có sinB = AC = 1
Suy ra B = 30 0 Từ bảng lượng giác của các góc đặc biệt, ta có : cosB = cos30 0 = 3
Trong bài 1, phần a, vì hai góc 25° và 65° phụ nhau nên sin25° bằng cos65°, dẫn đến kết luận rằng sin25° = sin25° Phần b, do hai góc 58° và 32° là phụ nhau, nên tg58° bằng cotg32°, từ đó chứng minh rằng tg58° – cotg32° = 0.
Bài 2 a) Ta có cos14 0 = sin(90 0 – 76 0 ) = sin76 0 cos87 0 = sin(90 0 – 3 0 ) = sin3 0 và 3 0 < 47 0 < 76 0 < 78 0 Vì khi D tăng từ 0 0 đến 90 0 thì sinD tăng nên ta có : sin3 0 < sin47 0 < sin76 0 < sin78 0
Trong khoảng từ 0° đến 90°, bộ giá trị của các hàm lượng giác theo thứ tự giảm dần là: cos87° > sin47° > cos14° > sin78° Đồng thời, ta có các quan hệ giữa cotg và tg: cotg25° = tg65° và cotg38° = tg52°, với các góc 52°, 62°, 65°, và 73° Vì hàm tang tăng khi D tăng từ 0° đến 90°, nên ta có các bất đẳng thức: tg52° < tg62° < tg65° < tg73°.
Bởi vậy cotg38 0 < tg62 0 > cotg25 0 < tg73 0
Bài 3 a) Vì với góc nhọn x bất kì, ta luôn có 0 < sinx < 1 nên sinx – 1 < 0 b) Vì với góc nhọn x bất kì, ta luôn có 0 < cosx < 1 nên 1 – cosx > 0
Vì tan 25° = sin 25° / cos 25°, và vì cos 25° < 1 nên tan 25° > sin 25° Tương tự, vì cotg 32° = cos 32° / sin 32°, và vì sin 32° < 1 nên cotg 32° > cos 32° Đặc biệt, vì tan 45° = sin 45° / cos 45°, và cos 45° < 1 nên tan 45° > cos 45° Cuối cùng, vì cotg 60° = cos 60° / sin 60°, và sin 30° = 1, giúp chúng ta hiểu rõ về mối liên hệ giữa các hàm lượng giác trong các góc đặc biệt này.
Trong tam giác ABC, ta có :
Theo định lý Pythagoras, tam giác ABC là tam giác vuông Vì vậy, theo định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác vuông, ta có thể xác định rằng sin của góc B bằng tỷ lệ cạnh đối diện với góc B trên cạnh huyền, hay sin B = AC.
Trong một tam giác vuông, khi biết một cạnh góc vuông là 17 đơn vị và cạnh góc vuông kia là 26 đơn vị, ta có thể xác định các góc liên quan Gọi góc đối diện với cạnh dài 17 đơn vị là D và góc nhọn còn lại là E, ta có công thức tangent của góc D là tg D = 17/26 Điều này giúp xác định chính xác các góc trong tam giác vuông dựa trên độ dài các cạnh, hỗ trợ tính toán và hình dung rõ ràng hơn về hình học tam giác.
Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Suy ra tam giác ABC là tam giác vuông cân Bởi vậy b = c = 10cm ; a = 200 | 14,14 (cm) c) Ta có
C = 90 0 – B = 90 0 – 35 0 = 55 0 b = asinB = 20 sin35 0 | 11,48 (cm) c = a 2 b 2 = 20 2 11, 48 2 | 16,38 (cm) d) Ta có tgB = AC
Hình bên Ta có tgD = 7
Bài 3 y Trong tam giác vuông ANB, ta có : sinB = AN
AN = 11.sin38 0 | 6,77 (cm) y Trong tam giác vuông
ANC, ta có : sinC = AN
4 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG
TAM GIÁC VUÔNG (tiếp theo)
Kẻ BK vuông góc với AC (K AC)
Ta có tam giác BKC vuông tại
Trong tam giác vuông ABK, biết BK = 5,5cm và KBA = 22 0 , do đó
AB = BK 0 cos 22 = 5,5 0 cos 22 | 5,932 (cm) a) Trong tam giác vuông ANB, ta có :
AN = AB.sin38 0 | 5,932 sin38 0 | 3,652 (cm) b) Trong tam giác vuông ANC, ta có :
Ta có thể mô tả khúc sông và đường đi của con thuyền bởi hình bên, trong đó
AB là chiều rộng của khúc sông, AC là đoạn đường đi của con thuyền
Theo giả thuyết, thuyền qua sông mất 5 phút với vận tốc 2 km/h (| 33 m/phút), do đó :
Trong tam giác vuông ABC, đã biết C = 70 0 (= CAx) và AC | 165m nên cạnh AB (chiều rộng của khúc sông) như sau :
Ta coi vách đá vuông góc với mặt đất
Khi đó tam giác ABC vuông tại C và độ dài AC chính là độ cao của vách đá
Trong tam giác vuông ABC, ta có :
Vậy vách đá cao khoảng 21 mét
Bài 1 a) Trong tam giác ABC, ta có :
AB = AC.sin54 0 = 8.sin54 0 | 6,472 (cm) b) Kẻ AH vuông góc với CD
(H CD) Trong tam giác vuông AHC, ta có :
Trong tam giác vuông AHD, ta có : sinD = AH
Trong tam giác ABC, kẻ đường cao BH Khi đó :
Trong tam giác vuông AHB, ta có :
Vậy diện tích tam giác ABC là :
Chiều cao của tháp là độ dài đoạn thẳng BD Trong đó DC = 1m
Trong tam giác ABC, có AC = 150m và A = 20 0 , do đó :
Vậy chiều cao của tháp là :
5 ỨNG DỤNG THỰC TẾ CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN THỰC HÀNH NGOÀI TRỜI
Đoạn thẳng AB thể hiện vị trí và độ cao của tòa nhà, giúp xác định chính xác chiều cao và vị trí của công trình Điểm C đại diện cho vị trí ôtô đang đỗ, góp phần làm rõ khoảng cách từ ôtô đến tòa nhà Khoảng cách BC chính là khoảng cách trực tiếp từ ôtô đến tòa nhà, là yếu tố quan trọng trong việc tính toán khoảng cách thực tế và độ cao của tòa nhà Sử dụng các yếu tố này, ta có thể phân tích chính xác mối quan hệ không gian giữa ôtô và tòa nhà, phục vụ các công tác đo đạc và lập bản đồ.
Trong tam giác vuông ABC, ta có :
BC = AB 0 tg28 = 60 0 tg28 | 112,84 (m) Vậy ôtô đang đỗ cách tòa nhà khoảng 112,84m
Trong hình bên, ta coi BC là khoảng cách từ người trinh sát đến tòa nhà ;
AC là chiều cao của tòa nhà a) Trong tam giác vuông ABC, ta có :
Tòa nhà cao khoảng 8,391 mét Khi góc A = 35 độ, ta có công thức tính BC = AC = 8,391 x tan 35°, tương đương khoảng 12 mét Điều này cho thấy người trinh sát đứng cách tòa nhà khoảng 12 mét, nghĩa là anh ta cần tiến xa hơn về phía ngôi nhà để có góc quan sát phù hợp hơn.
Trong hình bên, chiều cao của thang đạt được so với mặt đất là cạnh AH của tam giác vuông AHB
Trong tam giác vuông AHB, ta có
Vậy chiều cao của thang đạt được so với mặt đất vào khoảng 4,857m
5 ỨNG DỤNG THỰC TẾ CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN THỰC HÀNH NGOÀI TRỜI (tiếp theo)
Trong hình bên, góc D là góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất Trong tam giác vuông ABC, ta có : tgD = AB
Trong hình bên, điểm A là điểm máy bay bắt đầu hạ cánh, C là sân bay, và tam giác ABC mô tả góc nghiêng của đường bay khi hạ cánh so với mặt đất Góc nghiêng ACB, khi đạt 30 độ, phản ánh góc tiếp cận của máy bay với mặt đất, giúp xác định độ cao của máy bay (AB) so với mặt đất dựa trên hình học tam giác vuông ABC Việc hiểu rõ các yếu tố này quan trọng trong quá trình diễn tập và đảm bảo an toàn cho chuyến bay khi máy bay hạ cánh.
Để tạo góc nghiêng 30 độ, phi công cần cho máy bay hạ cánh khi cách sân bay khoảng 191,073 km, dựa trên công thức AC = AB sin C Trong tam giác vuông ABC, khi AC bằng 300 km, ta có thể xác định rằng sin C bằng AB, giúp điều chỉnh góc nghiêng phù hợp để đảm bảo an toàn và chính xác trong quá trình hạ cánh.
Vậy nếu cách sân bay 300km, máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng vào khoảng 1,910 0
Trong bài viết này, chúng ta xem xét vị trí của đài hải đăng A, chân đài B, và tàu C trên mặt biển Đặc biệt, hình thành nên tam giác vuông ABC, trong đó A là điểm quan sát, B là chân đài hải đăng trên mặt nước, và C là vị trí tàu trên biển Hiểu rõ mối quan hệ giữa các điểm này giúp xác định khoảng cách và góc nhìn chính xác từ người quan sát đến tàu, hỗ trợ trong các ứng dụng định vị hàng hải Phân tích tam giác vuông ABC là phương pháp quan trọng để tính toán các khoảng cách liên quan trong hoạt động hàng hải, đảm bảo an toàn và hiệu quả cho tàu thuyền khi di chuyển trên biển.
C = 1 0 42', AB = 800 feet Do đó khoảng cách BC từ tàu đến chân đài hải đăng là :
Tính theo hải lí thì khoảng cách từ tàu đến chân của đài hải đăng là :
5280 | 5,105 (hải lí) ÔN TẬP CHƯƠNG I
Tam giác AHB vuông cân tại H nên AH = BH = 20cm Do đó :
AB = AH 2 BH 2 < AH 2 HC 2 = AC
Vậy cạnh AC là cạnh lớn và AC = 29 (cm) y Trường hợp 1 (hình b)
Tam giác AHB vuông cân tại H nên AH = BH = 21cm
AB = AH 2 BH 2 > AH 2 HC 2 = AC
Vậy cạnh AB là cạnh lớn và AB | 29,698 (cm)
Trong tam giác vuông BIK có
K = 50 0 + 15 0 = 65 0 và IB = IK tg65 0 = 380 tg65 0
Trong tam giác vuông AIK, có
Vậy khoảng cách AB là :
Trong hình bên, điểm A đại diện cho đỉnh của ngọn đèn biển, điểm B là chân đèn nằm ở mực nước biển, và điểm C là vị trí của hòn đảo mà người quan sát nhìn thấy từ điểm A Trong tam giác vuông ABC, ta có thể áp dụng các công thức hình học để xác định các khoảng cách và góc liên quan, giúp hiểu rõ hơn về vị trí của hòn đảo so với đèn biển Những kiến thức này rất hữu ích trong việc định vị và xác định hướng đi chính xác qua các yếu tố hình học, phù hợp với các nguyên tắc SEO về nội dung địa lý và toán học.
Vậy khoảng cách từ đảo đến chân đèn (ở mực nước biển) vào khoảng 65,82m ÔN TẬP CHƯƠNG I (tiếp theo)
Bài 1 a) Tam giác ABC có :
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A
Trong tam giác vuông AHB có AH = AB.sinB = 6 0,6 = 3,6 (cm)
Trong phép biến đổi, ta có thể xác định rằng SMBC bằng SABC khi đường cao kẻ từ điểm M của tam giác MBC bằng AH Điều này cho thấy, điểm M nằm trên một đường thẳng song song với cạnh BC và cách đều cạnh BC một khoảng cách 3,6cm Sự liên hệ này giúp hiểu rõ hơn về đặc điểm hình học của tam giác và các yếu tố liên quan đến độ cao cũng như khoảng cách trong bài toán.
Bài 2 y Trong tam giác vuông ABC, ta có :
C = ADE = 50 0 và AC = BC 0 = 20 0 cos50 cos50 | 31,11 (m) y Trong tam giác vuông DHC, ta có DH = 5 và DC = DH 0 = 5 0 sin 50 sin 50 | 6,53 (m)
Vậy khoảng cách AD là :
Bài 1 Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông a) Ta có : x 2 = 9 25 = 225 x = 225 = 15 b) Ta có :
Ta có các tỉ số lượng giác của góc B : sinB = AC
Ta có tỉ số lượng giác của góc C
Trong hai tam giác vuông ABC, hai B và C phụ nhau nên : sinC = cosB = AB
* Trên Ox lấy 5 đoạn thẳng
Trên Oy lấy 4 đoạn thẳng
Bài 4 Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có : sinC = AB
Trong tam giác vuông B và C phuù nhau neõn : cosB = sinC = 5
7 B = 44 0 25' Áp dụng định lí Py-ta-go ta có :
1 SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN
GT ABCD là hình chữ nhật
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
2BD, AC = BD (tính chaát đường chéo hình chữ nhật) nên OA = OB = OC = OD
Các điểm A, B, C, D cách đều điểm O nên thuộc đường tròn tâm O bán kính R = OA Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ADC vuông tại D, ta có
AC 2 = AD 2 + DC 2 = BC 2 + AB 2 = 5 2 + 12 2 = 169, suy ra AC = 13
Bán kính của đường tròn bằng OA = 1
Bài 2 a) Xét tam giác ABC vuông tại A Gọi
Trung điểm của cạnh BC chính là điểm O trong tam giác vuông ABC Suy ra, OA bằng OB và OC do AO là trung tuyến của tam giác vuông ABC, giúp xác định O là tâm của đường tròn đi qua các đỉnh A, B, C Do đó, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính là trung điểm của cạnh huyền, như hình minh họa bên cạnh Khi xem xét tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn có đường kính BC, ta nhận thấy OA bằng OB và OC, khẳng định tính chất đặc biệt của tam giác nội tiếp trong đường tròn đường kính.
Vậy tam giác ABC vuông tại A
Bài 3 a) Tam giác ABC có BE = AE, BF = FC nên EF là đường trung bình, suy ra EF // AC và EF = 1
Tam giác ADC có AH = HD DG = GC nên HG là đường trung bình, suy ra HG // AC và HG = 1
Suy ra EF // HG (vì song song với AC)
EF = HG (vỡ cuứng baống 1
Do đó EFGH là hình bình hành
Tam giác ABD có AE = EB, AH = HB nên EH là đường trung bình suy ra EH // BD Ta lại có EF // AC, AC A BD nên EH A EF
Hình bình hành EFGH có HEF = 90 0 nên là hình chữ nhật, suy ra
Trong bài toán, gọi O là giao điểm của các đường thẳng EG và FH, ta có OE = OF = OG = OH bởi vì đều bằng nửa độ dài các đoạn thẳng bằng nhau là EG và HF Điều này chứng tỏ bốn điểm E, F, G, H đều nằm trên cùng một đường tròn tâm O bán kính R = OF Để tính bán kính của đường tròn (O), ta áp dụng các công thức hình học phù hợp dựa trên quan hệ giữa các điểm và các đoạn thẳng đã cho.
2BD = 3 Neân HF 2 = EH 2 + EF 2 = 4 2 + 3 2 = 25
Bán kính của đường tròn (O) bằng OF = 1
Dựa vào định nghĩa đường tròn, ta nối các ô (1) và (4), (2) và (6) Dựa vào định nghĩa hình tròn, ta nối các ô (3) và (5)
– Dựng đường trung trực của BC, cắt Ay ở O
– Dựng đường tròn tâm O bán kính OB b) Chứng minh
O thuộc đường trung trực của BC nên
OB = OC Đường tròn (O ; OB) có O Ay, đi qua
B và C vì O d và OB = OC
KL MA, MB = ? Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác
AOI vuông tại O, ta có :
Tam giác AMB có cạnh AB là đường kính của đường tròn (O), vì vậy góc tại M và góc tại B đều bằng 90 độ Trong khi đó, các tam giác vuông AOI và AMB chia sẻ góc nhọn tại A, dẫn đến suy luận rằng OA = AI = OI Điều này cho thấy sự cân đối và mối liên hệ chặt chẽ giữa các yếu tố trong tam giác, giúp xác định các tính chất hình học và chiều dài cạnh một cách chính xác.
MA AB MB, tức là 20 = 25 = 15
2 ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
KL a) B, E, D, C thuộc đường tròn b) DE < BC a) Gọi M là trung điểm của BC Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta có
Trong bài toán về hình học, ta xác định rằng các điểm 2BC suy ra EM = DM = BM = CM, do đó bốn điểm B, E, D, C đều nằm trên cùng một đường tròn (M, EM) Khi xem xét trong đường tròn này, ta nhận thấy các đường trung tuyến ứng với DE và BC đều vuông góc với dây cung, dựa trên tính chất của đường trung tuyến trong hình tròn Đồng thời, dây lớn nhất của đường tròn chính là đường kính, điều này giúp xác định các quan hệ về độ dài và vị trí của các điểm liên quan trong bài toán hình học.
Do không xảy ra DE = BC nên DE < BC
GT Cho (O), đường kính AB, dây CD
Kẻ OM A CD Ta có AH A CD,
BK A CD neân AH // BK Hình thang AHKB có OA = OB và OM //
Trong hình học, đường kính chứa OM vuông góc với dây CD nên MC bằng MD, thể hiện tính chất quan trọng của đường kính vuông góc với dây trong hình học Đường kính vuông góc với một dây truyền qua trung điểm của dây đó, giúp xác định các điểm trung tâm và đối xứng quan trọng trong hình Đây là lý thuyết cơ bản trong chứng minh và phân tích các mối quan hệ hình học giữa các đường thẳng, dây và đường kính trong các hình chứa các đối tượng đối xứng.
Từ (1) và (2) suy ra MH – MC = MK – MD, tức là CH = DK
Bài 3 a) Tam giác ABC vuông tại C vì OC = 1
2AB b) Đường kính AB vuông góc với CD tại H nên H là trung điểm CD (theo tính chất đường kính và dây cung)
Tam giác BCD có đường cao BH cũng là đường trung tuyến nên tam giác đó cân tại B, giúp xác định các đặc điểm hình học chính xác Trong khi đó, tam giác ABC vuông tại C có đường cao CH, dẫn đến quan hệ AC² = AB × AH, với dữ liệu cụ thể là 15² = 25 × AH, từ đó suy ra AH = 9.
25 = 9 (cm) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AHC, ta tính được
CH 2 = AC 2 – AH 2 = 15 2 – 9 2 = 144 neân CH = 12cm
Suy ra CD = 2CH = 2 12 = 24 (cm)
3 LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH
Bài 1 a) Kẻ OH A AB Đường kính chứa OH vuông góc với AB nên
Tính OH : Áp dụng định lí Py-ta-go đối với tam giác vuông OHB, ta có
OH 2 = OB 2 – HB 2 = 5 2 – 4 2 = 9 neân OH = 3cm b) Keû OK A CD
OKI = KIH = IHO = 900 nên là hình chữ nhật
Do đó OK = IH = AB – (AI + HB) = 8 – (4 + 1) = 3 (cm)
Ta có OK = OH nên AB = CD (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau)
KL a) EH = EK b) EA = EC a) Ta có HA = HB, KC = KD nên
Ta có AB = CD (giả thiết) nên OH = OK (vì hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)
Các tam giác vuông OHE và OKE có H = K = 90 0 , OE là cạnh chung, OH = OK (chứng minh trên)
Do đó 'OEH = 'OEK (trường hợp cạnh – góc – cạnh)
Suy ra EH = EK (1) b) Ta có HA = AB
2 , mà AB = CD nên HA = KC (2) Từ (1) và (2) suy ra EH + HA = EK + KC, tức là EA = EC
GT Cho (O), đường kính AB
KL a) AO là tia phân giác CAD b) AB A CD a) Keû OH A AC, OH A AD
Trong bài toán, ta có AC = AD nên OH = OK vì hai dây bằng nhau cách đều tâm, từ đó suy ra AO là tia phân giác của góc CAD Hơn nữa, tam giác ACD có cạnh AC = AD nên là tam giác cân, giúp xác định các tính chất quan trọng của hình học trong bài Đồng thời, AO là đường cao của tam giác ACD, có ý nghĩa trong việc xác định vị trí điểm liên quan và các mối quan hệ hình học trong bài.
Bài 1 a) Xét đường tròn nhỏ, OH và OK là khoảng cách từ tâm đến các dây AB và
CD Do AB > CD (giả thiết) nên OH <
OK (vì dây AB lớn hơn thì gần tâm hơn) b) Xét đường tròn lớn, khoảng cách từ tâm đến các dây ME và MF là OH và
OK Do OH < OK (caâu a) neân ME > MF
(vì daây ME gaàn taâm hôn) c) Xét đường tròn lớn, do OH A ME nên MH = HE = 1
2ME Tương tự, do OK A MF nên MK = FK = 1
Ta lại có ME > MF (câu b) nên MH > MK
Dây BC có khoảng cách từ tâm đến dây là OA, dây EF có khoảng cách từ tâm đến dây là OH
Xét tam giác OHA vuông tại H, ta có
OA > OH (vì daây BC A OA)
Do OA > OH neân BC < EF (vì daây EF gaàn taâm hôn)
Bài 3 a) Đường kính chứa OE đi qua trung điểm E của AB nên OE là khoảng cách từ O đến dây AB
Chứng minh tương tự, OF là khoảng cách từ O đến dây CD
Tính OE : Áp dụng định lý Py-ta-go đối với tam giác vuông OEB, ta có OE 2
2 Đ ã ă á â ạ = 225 neõn OE = 15 Tính OF : Áp dụng định lí Py-ta-go đối với tam giác vuông OFC ta có : OF 2 = OC 2 – FC 2 = 25 2 –
2 Đ ã ă á â ạ = 49 neõn OF = 7 b) Qua O ta có OE A AB, OF A CD mà AB // CD nên E, O, F thẳng hàng ; điểm O nằm giữa E và F
Ta có EF = OE + OF = 15 + 7 = 22 (cm)
4 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Keû AH A Ox, AK A Oy
Do AH = 4 > R nên đường tròn (A) và trục hoành không cắt nhau
Do AK = 3 = R nên đường tròn (A) và trục tung tiếp xúc nhau
Điểm O là tâm của một đường tròn bán kính 1cm, tiếp xúc với đường thẳng xy Khoảng cách từ O đến đường thẳng xy gọi là d bằng với bán kính R của đường tròn, tức d = 1cm Vì đường tròn tiếp xúc với xy nên d bằng 1cm, đảm bảo tính chất về tiếp xúc chính xác.
Tâm O cách đường thẳng xy cố định 1cm nên nằm trên hai đường thẳng m và m' song song với xy và cách xy một khoảng là 1cm
