Hàm số đa thức và những vấn đề lên quan

Hàm số đa thức và những vấn đề lên quan

Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

BÀI 6 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM ĐA THỨC

VẤN ĐỀ 1: HÀM BẬC BA DẠNG 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Tập xác định: D=

Đạo hàm:

2

2

 Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, hàm số có cực đại và cực tiểu

 Nếu (1) vô nghiệm hay có nghiệm kép, thì hàm số đơn điệu trên TXĐ

Giới hạn:

3

0

0

khi a

Bảng biến thiên:

Dấu của y' phụ thuộc vào dấu của a a 0hay a0 và dấu của y', do đó ta có bốn trường hợp biến thiên khác nhau

Đồ thị hàm số: Do có bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm bậc ba

có bốn dạng sau đay:

y’ = 0 có 2 nghiệm phân

biệt

  y' 0

( Có hai cực trị)

y’ = 0 vô nghiệm hoặc có

nghiệm kép

'

0

0

y

y

 



 



( Không có cực trị)

y

x

0

I

y

x

0

I

y

x

0 I

y

x

0

I

@ Mẹo nhỏ: Đối với trường hợp đồ thị hàm số không có cực trị, để vẽ đồ thị được đẹp và chính

xác ta nên tìm điểm uốn (điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai bằng 0) để biết đồ thị “uốn lượn” ở đâu? Và ta dễ dàng thấy rằng: đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: (Trường hợp có cực trị)

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: (Trường hợp y  có nghiệm kép) ' 0

3

a y x  x  x b y x x   x

Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: (Trường hợp y  vô nghiệm) ' 0

LUYỆN TẬP: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BẬC BA

MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN:

Cho hàm số yax3 bx2cx d ( )C

1 Điều kiện cần và đủ để đồ thị (C) có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) là:

2

y g x  ax  bx c  có hai nghiệm phân biệt

1 Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Ba điểm A, I, B thẳng hàng (I là điểm uốn: điểm mà tại đó y’’=0, A và B là hai điểm cực trị)

 Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là hằng số khác 0 thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = r x + q Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt chính là phần dư trong phép chia đa thức f x( ) : '( )f x

 Để chứng minh ba điểm A,I, B thẳng hàng ta chứng minh AB k AI

 

2 Qũy tích cực trị, điểm uốn hàm bậc ba:

Từ các điểm A,B,I chứa tham số m, ta tìm được quỹ tích của chính các điểm đó bằng cách:

Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

 Khử tham số m

 Giới hạn khoảng chạy của tọa độ từ điều kiện tồn tại m với moih giá trị tham số

mD m

 Qũy tích của A,B, hay I là y = r x + q.

4 Xác định tham số m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hồnh trong từng trường hợp cụ thể:

a) (C) tiếp xúc với Ox thì hệ sau cĩ nghiệm  0

' 0

y y

 





 b) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

' 0 có 2 nghiệm phân biệt x ,

( ) ( ) 0

y x y x

 









c) (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt

' 0 có 2 nghiệm phân biệt x ,

( ) ( ) 0

y x y x

 









d) (C) cắt Ox ít nhất 1 điểmax3bx2cx d 0(a0)khơng thể vơ nghiệm e) (C) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất 

phương trình y'=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

' 0 có hai nghiệm phân biệt x ,

( ) ( ) 0

y x y x





 









(C)

A

x 0 O x

y

(h.1a)

(C)

A

y

(h.1b)

x 1 o x 2

y CT

y CĐ

x" 0

C

x 1

(C)

y CĐ

y

A

o

x 2

x (H.3)

y CĐ

x 0 x' 0

B

(C)

y CĐ

y

A

x 0 o x 1

B x' 0

(y CT = f(x 0 ) = 0)

x (H.2)

f) Phương trình ax3bx2 cx d 0(a0) cĩ 3 nghiệm dương

hoặc

g) Phương trình ax3bx2 cx d 0(a0) cĩ 3 nghiệm âm

hoặc

h) Phương trình ax3bx2 cx d 0(a0) cĩ 2 nghiệm dương:

y'=0 có hai nghiệm phân biệt y'=0 có hai nghiệm phân biệt

hoặc

Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

i) Phương trình ax3bx2 cx d 0(a0) cĩ 2 nghiệm âm:

y'=0 có hai nghiệm phân biệt y'=0 có hai nghiệm phân biệt

hoặc

5 Phương trình bậc 3 cắt Ox lập thành cấp số cộng tức (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau

y'=0 có hai nghiệm phân biệt

2 hay ( ) Ox , , :

0 : điểm uốn I

DU





6 Biện luận số nghiệm của phương trình : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) (a  0) khi x =  là 1

nghiệm của (1)

Nếu x  là 1 nghiệm của (1), ta cĩ

ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b 1 x + c 1 ) nghiệm của (1) là x =  với nghiệm của phương trình ax2 + b 1 x + c 1 = 0 (2) Ta cĩ các trường hợp sau:

 nếu (2) vơ nghiệm thì (1) cĩ duy nhất nghiệm x = 

 nếu (2) cĩ nghiệm kép x =  thì (1) cĩ duy nhất nghiệm x = 

 nếu (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt   thì (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt

 nếu (2) cĩ 1 nghiệm x =  và 1 nghiệm khác  thì (1) cĩ 2 nghiệm

 nếu (2) cĩ nghiệm kép   thì (1) cĩ 2 nghiệm

7 Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn Cho M  (C):yax3bx2cx d a ( 0)

 Nếu M  I thì ta cĩ đúng 1 tiếp tuyến qua M

 Nếu M khác I và M( )C thì ta cĩ đúng 2 tiếp tuyến qua M

 Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N khơng nằm trên (C) ta cĩ nhiều trường hợp hơn

 Nếu a>0: hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn bé nhất; a<0: hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn lờn nhất

Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1(TNTHPT – 2008) Cho hàm số y2x33x2  1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Biệm luận theo m số nghiệm của phương trình 2x3 3x2 1 m

Bài 2 (TN THPT- lần 2 – 2008) Cho hàm số yx3 3x2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b Tìm các giá trị của m để phương trình x33x2 m0 có 3 nghiệm phân biệt

Bài 3 (TNTHPT - 2007) Cho hàm số y= x33x2 có đồ thị là (C)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2 ;4)

Bài 4 (TNTHPT - 2006) Cho hàm số y=x33x2 có đồ thị (C)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b/ Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình : x33x2  2 m

Bài 5 (TNTHPT – 2004- PB).Cho hàm số y=x36x29x có đồ thị là (C)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y  '' 0 c/ Với giá trị nào của m thì đường thẳng yx m 2m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối cực đại vào cực tiểu

Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB) Cho hàm số yx33mx2 4m3

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m  1

b/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1

Bài 7 (ĐH- A- 2002) Cho hàm số y x33mx2 3(1m x m2)  3m2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m  1

b Tìm k để phương trình: x3 3x2 k33k2 0 có 3 nghiệm phân biệt

c Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

Bài 8 (CĐ SP MGTW- 2004) Cho hàm số yx33x24m

a Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị

b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m  1

Bài 9 (ĐH-B- 2007) Cho hàm số y x3 3x23(m21)x3m2 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m  1

b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O

Bài 10 (ĐH - D - 2004) Cho hàm số yx33mx29x  1

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  2

b Tìm m để nghiệm của phương trình y  thuộc đường thẳng '' 0 yx 1

LUYỆN TẬP

Bài 1 (ĐH 2006- D) Cho hàm số yx33x 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt (C ) tại 3 điểm phần biệt (Gợi ý đường thẳng d qua M(x0;y0) có hệ số góc m có dạng: y = m(x - x0) + y 0)

Bài 2 Cho hàm số y = (x - m)3 - 3x

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1

b Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x  0

Bài 3 Cho hàm số y = (x -1)(x2 + mx + m)

a Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m  4

Bài 4 Cho hàm số y = x32mx2 m x2  2

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m  1

b Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x  1

Bài 5 Cho hàm số y4x3 mx2 3x

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m  0

2 Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x và 1 x thỏa 2 x1  4x2

Hướng dẫn: D 

Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

2

y  x  mx

Ta có:  ' m2360 với mọi m , vậy luôn có cực trị

1 2

4

9

1 4

m

x x



 













 



Bài 6 Cho hàm sốyx32mx2 (m3)x có đồ thị là 4  C m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số trên khi 1 m  1

2 Cho d có phương trình yx và điểm 4 K 1;3 Tìm các giá trị của tham số m sao cho d cắt  C m tại ba điểm phân biệt A0; 4, B C sao cho tam giác KBC có , diện tích bằng 8 2

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ điểm chung của  C m và d là:

2

0

x

 

 



(d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C  phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt

khác 0

( ) 2

a m



 



2

d K d     Do đó:

2

1

2

KBC

(x B x C) (y B y C) 256

     với x x là hai nghiệm của phương trình (2) B, C

2

2 2 1 137

2

2

m 

Bài 7 Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ (Cm); (m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m  3

2 Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là:

2

0

x

 



* (Cm) cắt đường thẳng y  tại C(0, 1), ,1 D E phân biệt:

 Phương trình (2) có 2 nghiệm , 2

0

9

D E

m m

x x

m m

 



Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:

kD = y’(xD) = 3x D2 6x D m (x D2 );m

kE = y’(xE) = 3x E2 6x Em (x E2 ).m

Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: kDkE = –1

(3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1

9m + 6m  (–3) + 4m2 = –1;(vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-et)

4m2 – 9m + 1 = 0  m = 19 65

Đáp số: 19 65 19 65

Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

VẤN ĐỀ 2: HÀM TRÙNG PHƯƠNG DẠNG 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

y=ax 4 +bx 2 +c (a 0)

Miền xác định : D=

Đạo hàm:

y  ax  bx x ax b

Phương trình y ' 0 hoặc có một nghiệm (a b  0) hoặc có 3 nghiệm phân biệt Do đó

hàm số hoặc chỉ có một cực trị hoặc có ba cực trị

Giới hạn:

4

khi 0

khi 0

a

Bảng biến thiên:

Dấu của y' phụ thuộc vào dấu của a a( 0 haya0) và dấu của a.b, do đó ta có bốn

trường hợp bảng biến thiên khác nhau

Đồ thị hàm số: Do đó bốn trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm

trùng phương có bốn dạng sau đây:

Hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng

a > 0 a < 0

y’ = 0 có 3 nghiệm phân

biệt

 ab < 0

y’ = 0 chỉ có

1 nghiệm

 ab > 0

y

x

0

y

x

0

y

x

0

y

x

0

MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KHẢO SÁT HÀM SỐ:

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (trường hợp có 3 cực trị)

4

x

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (trường hợp có 1 cực trị)

4

x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1

2

a y x x  b y x  x  c yx  x  d y x  x 

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm

- 2 b 2

- 2 3 2 1

Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN

Một số tính chất của hàm trùng phương

1 Hàm số luơn cĩ cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho a 0

2 Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu (cĩ ba cực trị)  y' 0 2 (2x ax2 b) 0

cĩ ba nghiệm phân biệt 0

2

b a

3 Đồ thị hàm số luơn nhận Oy là trục đối xứng

4 Hàm số cĩ hai cực đại và một cực tiểu 0

0

a b

 

 





5 Hàm số cĩ một cực đại và hai cực tiểu 0

0

a b

 

 





6 Nếu hàm số cĩ ba cực trị trị chúng tạo thành một tam giác cân

7 Đồ thị (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng:

2

2

tạo thành CSC

0 , 0 Lúc đó: (*)

0

3

Giải hệ p

t Đặt t x t

at bt c

 





1 2

1 2

9 hương trình :

S t t

P t t

 



 



 



8 Điều kiện cần để từ một điểm trên trục đối xứng kẻ đến đồ thị hàm trùng phương (C) ba tiếp tuyến là ba tiếp tuyến phải cĩ một tiếp tuyến nằm ngang

9 Điều kiện của tham số để đồ thị hàm số yax4bx2c a( 0) tiếp xúc với Ox

tại hai điểm phân biệt:

0 2

0 2

b a

b y

a









   



10 Phương trình trùng phương ax4 bx2 c 0 (a0) (*)

Đặt t x t2, 0lúc đó phương trình trở thành at2 bt c 0a0 Ta thấy rằng:

cứ 1 nghiệm dương của (**) thì sẽ cho ra 2 nghiệm (1 âm, 1 dương) của phương trình (*)

Vậy: điều kiện cần và đủ để phương trình(*) có nghiệm là phương trình (**) có ít nhất

1 nghiệm không âm

 Phương trình (*) có 4 nghiệm (**) có 2 nghiệm dương phân biệt

0 0 0

P S

 



 

 



 Phương trình (*) có 3 nghiệm (**) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng

0

P S

 

 





 Phương trình (*) có 2 nghiệm (**) có 1 nghiệm dương

0

P

0

0 2

S

 



 







 Phương trình (*) có 1 nghiệm (**) có nghiệm thỏa 1 2

1 2

0 0 0

0 0

0 2

P S

t t

S

 









  



















 Phương trình (*) vô nghiệm (**) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm

0 0 0 0

P S

 



 



 





 





BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1 (TNTHPT-2008) Cho hàm số yx42x2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x   2

Bài 2 (ĐH Đà Lạt - 2002)

a Giải phương trình x42x2   1 0

Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức

b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x42x2 1

c Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 2x2 1 m0

Bài 3 (ĐH Thái Nguyên - 2002) Cho hàm số y x42mx2 (C )m

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1

b Hãy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị

Bài 4 (ĐH Vinh - 2002)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x45x2 4

2 Xác định m để phương trình x45x2m2 3 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bài 5 Cho hàm số

4

2 9 2

x

y  x 

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số y k 2x2

Bài 6 Cho hàm số yx42mx2 m3m2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m  1

b Xác định m để đồ thị (C của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm m)

Bài 7 (ĐH Cần thơ - 2002) Cho hàm số yx42x2  2 m (Cm)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m  0

b Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm) của hàm số chỉ có hai điểm chung với Ox

c Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giác vuông cân

Bài 8 Cho hàm số yx42m x2 2 1

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1

b Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân

Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định trên 

Ta có: y'4x x 2m Với 2 m0 hàm có ba cực trị Khi đó tọa độ các điểm cực trị là

 0;1 ;  ;1 4 ;  ;1 4

Dễ thấy  





 

Vậy, m 1 là những giá trị cần tìm

Bài 9 Cho hàm số y = x4 – 2(2m2 – 1)x2 + m (1)

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1

2/ Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hịanh

Bài 10

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x4 – 6x2 + 5

2 Tìm m để phương trình: x4 – 6x2 – log2m = 0 cĩ 4 nghiệm phân biệt trong đĩ 3 nghiệm lớn hơn – 1

Hướng dẫn:

Pt  x4 – 6x2 + 5 = 5 + log2m

Nhìn vào đồ thị ta thấy yêu cầu bài tốn

 0 < 5 + log2m < 5  1/32 < m < 1

Bài 12 Cho hàm số y8x49x2 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình:

8cos x9 cos x m 0,  x 0;

Hướng dẫn:

1

Đặt cos , phương tình đã cho trở thành 8 9 0 (2)

Vì x 0; nên t 1;1

Ta có: (2) 8 9 1 1 (3)

Gọi (C ) : 8 9 1, 1;1 ; ( ) : 1

Số nghiệm của phương trình (3) chính



1 1

là số giao điểm của đồ thị (C ) và (D)

Chú ý rằng: đồ thị (C ) giống với đồ thị (C) trong miền -1 t 1

Dựa vào đồ thị (C) ta rút ra được kết luận

 

Bài 12 Cho hàm số 1 4 2

1 4

y x mx m

.

.

x o

y

4

5

1 -1 .

.

x o

y

4

5

1 -1