Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và những vấn đề liên quan

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn ta nghiên cứu những bài toán liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự

Trang 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Thái Nguyên - Năm 2013

Trang 2

Lời cam đoan

Dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của GS.TSKH NguyễnXuân Tấn,

luân văn thạc sĩ chuyên ngành toán giải tíchvới đề tài: “Bao hàm thức tựa

biến phân Pareto loại I và những vấn đề liên quan” được hoàn thành từ

chính sự nhân thức của bản thân, không trùng với luận văn nào khác

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biêt ơn sâu sắc

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013

Phạm Đức Chính

Trang 3

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người đã tận tình hướng dẫn tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các thầy cô trường ĐHSP Thái nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013

Phạm Đức Chính

Trang 4

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Những đóng góp mới của đề tài 3

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Các không gian thường dùng 4

1.2 Nón và các khái niệm liên quan 11

1.3 Ánh xạ đa trị 13

1.4 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 14

1.5 Tính lồi của ánh xạ đa trị 16

1.6 Điểm bất động của ánh xạ đa trị 17

CHƯƠNG 2: BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO LOẠI I 19 2.1 Tổng quan về các loại bao hàm thức tựa biến phân 19

2.2 Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I 20

2.3 Sự tồn tại nghiệm 21

2.4 Nhận xét 27

2.5 Một số ví dụ 27

Trang 5

Trang 6

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 28

3.1 Sự tồn tại nghiệm bài toán bao hàm thức tựa biến phân yếu 28

3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng Pareto 31

3.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng yếu 33

3.4 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu tựa cân bằng Pareto 34

3.5 Bài toán tối ưu tựa cân bằng yếu 36

3.6 Một số ví dụ 37

KẾT LUẬN 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

Trang 7

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài

Lí thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lí thuyết giá trị của Edgeworth và Pareto từ cuối thế kỉ 19 và đầu thế kỉ 20.Trong sự phát triển của lý thuyết này có rất nhiều công trình nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau trong các ngành khoa học,đời sống….như: Borel(1921), Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi dựa trên các khái niệm và kết quả toán học, Koopman (1947) đã đưa ra lý thuyết lưu thông hàng hóa, Hoàng Tụy - Reiner Horst đã đưa ra lý thuyết tối

ưu toàn cục … Lý thuyết tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối

ưu Sau những công trình của H.W Kuhn và A.W.Tucker về các điều kiện cần và đủ cho một véctơ thoả mãn các ràng buộc là nghiệm hữu hiệu thỡ tối

ưu véctơ trở thành một ngành toán học độc lập và có nhiều ứng dụng trong thực tế và đời sống Các bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu véctơ bao gồm: bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân,bài toán điểm yên ngựa, Bài toán điểm cân bằng được biết đến bởi các công trình của Arrow-Debreu, Nash Sau đó các công trình này được nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20 Ky Fan (1972) và Browder-Minty (1978) đã phát biểu và chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động Năm 1991, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và Browder - Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm

∈ K sao cho f( , x) ≥ 0 với mọi x ∈K, trong đó K là tập cho Trước của không gian, f : K× K→ R là hàm số thực thỏa mãn f(x, x) ≥ 0 Đây là dạng suy rộng

trực tiếp của các bài toán cổ điển trong lý thuyết tối ưu véctơ Khởi đầu người

Trang 8

ta nghiên cứu những bài toán liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự được đưa ra bởi nón orthant dương Sau đó mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với nón bất kỳ Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được xây dựng và phát triển do nhu cầu phát triển của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác mà ỏnh xạ đơn trị chưa đáp ứng được Những định nghĩa, tínhchất, sự phân lớp của ánh

xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị sang đa trị

Xuất phát từ những vấn đề thực tế trong kinh tế và đời sống một số nhà toán học đã mô hình hóa những vấn đề đó thành bài toán tựa cân bằng tổng

quát loại I như sau: Cho X, Y, Z là các không gian tuyến tính, các tập con D

“Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và những vấn đề liên quan”

Trang 9

2.Mục đích nghiên cứu

Đưa ra mô hình bài toán và một số bài toán liên quan và nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của chúng

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và một số bài toán liên quan, sự tồn tại nghiệm của chúng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và một số bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu

5 Phương pháp nghiên cứu

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán đặt ra ta sử dụng các định lý về điểm bất động của Ky Fan, Fan-Browder, bổ đề Fan-KKM

6 Những đóng góp mới của đề tài

Trình bày kiến thức cơ bản về bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I

và một số bài toán liên quan Nghiên cứu một số ứng dụng của định lý tồn tại nghiệm trong một bài toán tối ưu

Trang 10

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong thực tế, nhiều bài toán liên quan đến phép chuyển mỗi điểm của tập này thành một tập con của tập kia Những khái niệm cổ điển về hàm số, về toán tử hay về ánh xạ không còn thích hợp.Việc mở rộng ánh xạ đa trị là tất yếu nhằm đáp ứng các vấn đề nảy sinh từ tự nhiên và cuộc sống Vỡ vậy mà môn giải tích đa trị được hình thành và trở thành công cụ đắc lực để nghiên cứu các bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị Ta dành chương này để nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích cổ điển và giải tích đa trị Các kiến thức này rất quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán ở các chương sau

1.1 Các không gian thường dùng

Trong mục này chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức quan trọng về các không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian tuyến tính lồi địa phương Hausdorff để phục vụ cho việc nghiên cứu ở các chương sau

Định nghĩa 1.1.1.Tập M khác rỗng cùng với ánh xạ d: M × M → ℝ là một không gian metric nếu các tiên đề sau được thỏa mãn:

Ví dụ 1.1.2.i) Cho M ⊆ℝ, với khoảng cách d(x, y) = , thì M là một

không gian metric

Trang 11

ii) Tổng quát hơn, trong không gian ta có thể xác định khoảng cách

giữa hai điểm x = ( ,…, ) và y = ( ,…, ) như sau:

Thấy rằng trên một tập hợp có thể xây dựng nhiều metric khác nhau để có những không gian metric khác nhau

Ta có các khái niệm dãy hội tụ trong không gian metric như sau:

Định nghĩa 1.1.3 Ta nói rằng dãy điểm { } của không gian M hội tụ tới

điểm của M nếu ∀ > 0 ∃ ∈ sao cho ∀n > d( , ) < , ta kí

hiệu lim

n xn = hay → (n →∞)

Ví dụ 1.1.4 i) Sự hội tụ trên đường thẳng là sự hội tụ của một dãy số theo

nghĩa thông thường

ii) Sự hội tụ trong không gian là sự hội tụ của dãy = ( ,…, )

tới x = ( ,…, ) có nghĩa là → , (i = 1, 2,…, k ) Sự hội tụ trong không

gian là hội tụ theo tọa độ

Dễ thấy rằng, nếu một dãy hội tụ thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ Ta có hai tính chất quan trọng sau:

1 Nếu → và → thì = (tính duy nhất của giới hạn)

2 Nếu → và → thì d( , ) → d( , ) (khoảng cách d là một hàm liên tục đối với x và y)

Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric (M, d), a ∈M, r > 0, ta gọi:

Tập S(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) <r} là hình cầu mở tâm a bán kính r

Tập S'(a, r) = {x ∈ M :d(x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a bán kính r

Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian metric (M, d), tập con V X được gọi là

lân cận của điểm nếu tồn tại số r > 0 sao cho:

S( , r) V

Trang 12

Cho không gian metric (M, d), A là tập con của M, x ∈ M, người ta phân loại

các điểm trong không gian metric như sau:

i) x được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại r > 0 sao cho: S(x, r) A ii) x được gọi là điểm dính của A nếu: S(x, r) ∩ A ≠ ∅, ∀ r> 0

iii) x được gọi là điểm tụ của A nếu: S(x, r) ∩ A \{x} = ∅, ∀ r> 0

iv) x được gọi là điểm biên của A nếu: S(x, r) ∩ A ≠ ∅ và S(x, r) ∩ CA ≠ ∅ (CA = X \ A là phần bù của A trong X)

v) x được gọi là điểm cô lập của A nếu: S(x, r) ∩ A = x

Ta lần lượt ký hiệu tập tất cả các điểm trong (tương ứng các điểm dính, các

điểm tụ, các điểm biên) của A được kí hiệu là A o hoặc IntA (tương ứng , A',

ii) Ta nói tập A là tập đóng nếu CA là tập mở

Mệnh đề 1.1.8 Trong không gian metric, hình cầu mở là tập mở, hình cầu

đóng là tập đóng

Mệnh đề 1.1.9 Trong không gian metric (M, d), tập con A≠ ∅ của M là tập đóng khi và chỉ khi mọi dãy { } A hội tụ tới x thì x ∈ A

Định nghĩa 1.1.10 Cho X là một tập khác rỗng Một họ các tập con của X

được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:

i) ∅, X ∈

ii) , ∈ ⇒ ∈

iii) ∈ , i ∈ I ⇒ ∈

Cặp (X, ) khi đó được gọi là không gian tôpô Ta thường viết X thay cho (X, )

Các khái niệm lân cận, hội tụ, tập mở, tập đóng đều xác định trên không gian metric cùng một cấu trúc ta gọi là cấu trúc tôpô

Trang 13

Định lý 1.1.11 Trong không gian metric (M, d), họ các tập mở trong M lập

thành một tôpô trên M

Định nghĩa 1.1.12 Họ tất cả các tập mở trong không gian metric (M, d) gọi

là tôpô sinh bởi metric d

Định lý 1.1.13 Trong không gian metric (M, d), tôpô sinh bởi metric d là

tôpô có cơ sở lân cận đếm được

Định lý 1.1.14 Trong không gian metric (M, d), dãy { } được gọi là dãy cơ

Ta thấy rằng mọi dãy ( ) ⊂ M hội tụ trong M đều là dãy cơ bản

Định nghĩa 1.1.15 Không gian metric (M, d) gọi là không gian đầy đủ nếu

mọi dãy cơ bản của không gian này đều hội tụ

Định nghĩa 1.1.16 Cho M là một tập khác rỗng, các phần tử của M được gọi

là các véctơ Trên M xác định hai phép toán:

Trang 14

viii) ∃ 1 ∈ M : 1x = x;

∀x, y, z∈M, ∀ α, β ∈ℝ;

0 và 1 lần lượt được gọi là phần không và phần tử đơn vị của M

Thấy rằng trên M có một cấu trúc đại số

Ví dụ 1.1.17.Tập với phép cộng và phép nhân thông thường là một không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.18 Không gian tuyến tính định chuẩn thực là cặp (M, ),

trong đó M là một không gian tuyến tính còn là một ánh xạ : M → ℝ thỏa

mãn :

i) ≥ 0, ∀ x ∈ M, = 0 ⇔ x = 0;

ii) = ;

( được gọi là chuẩn của x)

Ví dụ 1.1.19 Không gian tuyến tính định chuẩn (không gian các hàm

bị chặn trên đoạn [a, b]) với chuẩn : =

Dễ thấy mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric với khoảng cách

d(x, y) = Vậy không gian định chuẩn cũng là một không gian metric

Định nghĩa 1.1.20 Cho M là không gian tuyến tính trên trường số thực ℝ, hàm : M ×M→ℝ được gọi là tích vô hướng trên M nếu các điều kiện sau

Trang 15

Định nghĩa 1.1.21 Không giantuyến tính M được trang bị một tích vô hướng

được gọi là không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi

là không gian Hilbert

Ví dụ 1.1.22 Không gian với tích vô hướng = là các không gian Hilbert

Trên M ta cho ánh xạ ρ được xác định như sau:

ρ (x, y) =

Thấy rằng (M, ρ) là không gian metric Trên M có cả hai cấu trúc tôpô và đại

số Hai cấu trúc này tương thích với nhau, tức là hai phép tính đại số liên tục trong tôpô

Nếu (M, ρ) là không gian metric đầy đủ thì (M, ) được gọi là không gian

Banach Do vậy ta định nghĩa với x ∈ M đặt = thì dễ dàng chứng

minh được (M, ) là không gian định chuẩn Vậy không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn, do đó nó cũng là không gian metric và trên M có

cả hai cấu trúc: tôpô và đại số Nếu M là không gian Banach thì (M, ) là không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.23 Cho M là không gian tuyến tính thực đồng thời được

trang bị một cấu trúc tôpô τ và một cấu trúc đại số (phép cộng hai phần tử và phép nhân một số với một phần tử) Nếu hai phép toán cộng và nhân liên tục

trong τ thì M được gọi là không gian tôpô tuyến tính

Nếu cơ sở lân cận của 0 gồm các tập lồi thì M được gọi là không gian tôpô

tuyến tính lồi địa phương

Nếu M là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương thỏa mãn: x, y ∈ M, x≠y,

∩ = ∅ ( , lần lượt là lân cận của x, y) thì M được gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff

Trang 16

Ví dụ 1.1.24 Không gian Banach, không gian Hilbert là không gian tôpô

tuyến tính lồi địa phương Hausdorff

Trang 17

1.2 Nón và các khái niệm liên quan

Trong không gian các số thực hai phần tử bất kỳ đều so sánh được với nhau qua khái niệm lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng Điều này không có được trong các không gian khác Muốn mở rộng các bài toán nhận giá trị thực sang các bài toán nhận giá trị véctơ và đa trị người ta đưa vào các khái niệm mới đồng thời có thể xây dựng những khái niệm tương tự của số thực, số phức trong không gian tôpô tuyến tính Một phương pháp hữu hiệu để xây dựng những khái niệm đó là đưa nón vào không gian tôpô tuyến tính

Định nghĩa 1.2.1 Cho Y là không gian tuyến tính và C là tập con trong Y C

gọi là nón trong Y nếu tc ∈ C với mọi c ∈ C; t ≥ 0

i) Nón Cđược gọi là nón lồi nếu C là tập lồi

ii) Nếu Y là không gian tôpô tuyến tínhvà C là nón trong Y, ký hiệu clC, intC, convC tương ứng là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón C, l(C) = C∩ {− C}

iii) Nón C gọi là nón đóng nếu C là tập đóng

iv) Nón C gọi là nón nhọn nếu: l(C) = {0}

v) Nón C gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn

là nón lồi, đóng, nhọn và được gọi là nón Orthant dương trong

Khi ta xây dựng một nón trên không gian tuyến tính ta có thể tìm được các điểm hữu hiệu của tập hợp Ta có các định nghĩa và khái niệm sau:

Định nghĩa 1.2.3 Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y: B ⊆ Y được gọi là tập sinh của nón C, ký hiệu C = cone(B) nếu C = {tb │b ∈ B, t ≥ 0}

Trang 18

Trong trường hợp B không chứa điểm gốc và với mọi c ∈ C, C≠ 0 đều tồn tại duy nhất b ∈ B, c = tb thì B được gọi là cơ sở của nón C

Định nghĩa 1.2.4.Cho A là một tập con khác rỗng của Y Ta nói rằng:

i) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng của tập A đối với nón C nếu y – x ∈

C, với mọi y ∈ A; Tập hợp các điểm hữu hiệu lý tưởng của A được ký hiệu là IMin(A │C);

ii) x ∈ A là một điểm hữu hiệu Pareto (hoặc cực tiểu Pareto) của A đối với nón C nếu x − y ∈ C, với y ∈ A, thì y – x ∈ C; tập các điểm hữu hiệu Pareto của A được ký hiệu là PMin (A│C);

iii) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với C nếu tồn tại nón lồi khác toàn không gian và chứa C∖l(C) trong phần trong của nó để x ∈ PMin (A│(intC ∪{0})); Tập hợp các điểm hữu hiệu thực sự của A được ký hiệu là PrMin(A│C)

iv) Giả sử rằng intC là khác rỗng, x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu của A với C nếu x ∈ PMin (A│(intC ∪{0})); Tập các điểm hữu hiệu yếu của A được kí hiệu là WMin(A│C)

Chúng ta có mệnh đề sau :

PrMin(A│C) ⊆ PMin (A│C) ⊆WMin(A│C)

Mệnh đề 1.2.5 Cho X, Y và Z là không gian véctơ tôpô lồi địa phương

Hausdorff, Cho D X , K Z là các tập con khác rỗng và C Y là một nón Chúng ta gọi l (C) = C ∩ (− C) Nếu l (C) = {0}, C là một nón nhọn Cho Y'

là không gian tôpô đối ngẫu của Y Chúng ta kí hiệu cặp giá trị ξ, y là cặp

đối ngẫu ξ∈ Y' và y∈Y Nón đối ngẫu C', nón dương đối ngẫu chặt và nón yếu đối ngẫu của C được xác định như sau :

C'={ξ∈ Y': ξ, c ≥ 0, với mọi c ∈ C};

+={ξ∈Y': ξ,c > 0, với mọi c ∈ C ∖l(C)};

Trang 19

− ={ξ∈Y': ξ,c > 0, với mọi c ∈ intC } Trong luận văn này, chúng ta luôn giả thiết rằng C là một nón nhọn trong Y

1.3.Ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.3.1 Cho X là tập hợp bất kỳ Ký hiệu là tập gồm các tập con

của X Mỗi ánh xạ F từ tập X vào được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y: Ký hiệu F: X→

Ta xét một ánh xạ đa trị F: D → Miền định nghĩa và đồ thị của F được

định nghĩa lần lượt như sau :

Định nghĩa 1.3.3 Cho F: X → , ánh xạ : Y → được xác định bởi :

(y) = {x∈ X: y ∈ F(x)} được gọi là ánh xạ ngược của F

Chúng ta thấy rằng ánh xạ đa trị bất kì luôn tồn tại ánh xạ ngược (khác với ánh xạ đơn trị) Nếu tập (y) mở ∀y ∈ Y thì F được gọi là có nghịch ảnh

mở

Tương tự ánh xạ đơn trị ta cũng có các phép toán sau đối với ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.3.4 Cho , : X → là các ánh xạ đa trị, ánh xạ giao của

và được xác định như sau : ∩ = (x) ∩ (x)

Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính, F: X → , các ánh xạ bao đóng( ), phần trong (

o

F ) của ánh xạ F được xác định là : (x) = và (

o

F ) (x) = ( ( )

o

F x )

Trang 20

Nếu X, Y là các không gian tôpô tuyến tính thì ánh xạ bao lồi và bao lồi đóng của F được xác định lần lượt là :

(coF)(x) = coF(x) và ( F)(x) = F(x)

1.4 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Trong mục này ta trình bày khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị Trước hết ta nhắc lại khái niệm liên tục

của ánh xạ đơn trị Cho f: X →Y là ánh xạ đơn trị từ X vào Y; ánh xạ f gọi là

liên tục tại ∈ X nếu với mỗi tập mở V chứa f( ) tồn tại lân cận mở U của

sao cho f(x) ∈V, ∀ x ∈ U Ta nói f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trong X Dễ thấy f liên tục trên X nếu với mỗi tập mở V⊂Y, (V) ={x ∈,

f(x) ∈V} mở trong X

Do ánh xạ đa trị biến mỗi điểm thành một tập hợp, nên với mỗi tập mở V bất

kỳ và điểm x có thể xảy ra hai trường hợp, hoặc f(x) ⊆V, hoặc f(x) ⋂V≠ Vì

vậy có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục sang cho ánh xạ đa trị theo hai cách khác nhau và ta có hai khái niệm hoàn toàn khác nhau: ánh xạ

đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới Ta nhắc lại một số định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.4.1 (xem [4]) Cho F: X→ là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô

X vào không gian tôpô Y:

a) F gọi là nửa liên tục trên tại ∈ domF nếu mọi tập mở V⊂ Y thoả mãn F( ) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của sao cho F(x) ⊂ V ∀x ∈U

b) F được gọi là nửa liên tục dưới tại ∈ domF nếu với mọi V mở, F( ) ∩ V

≠ ∅ đều tồn tại tập mở U ⊃ sao cho F(x) ∩ V≠∅ ∀x ∈ U

c) F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu nó đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x F được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X

Trang 21

Định nghĩa 1.4.2 (xem [3]) Cho X, Y là các không gian tôpô, F: X→ là ánh

xạ đa trị F được gọi là ánh xạ đóng nếu đồ thị Gr(F) của F là một tập đóng trong không gian X × Y

Nếu là tập compact trong Y thì F gọi là ánh xạ compact

Sau đây chúng ta sẽ xét một số mệnh đề về điều kiện của một ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới

Bổ đề 1.4.3 (xem [4]) Cho X và Y là không gian véctơ tôpô Hausdorff, F: X

Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D, K là tập con khác rỗng trong X, C là nón trong Y và F là ánh xạ đa trị từ D vào Y Ta

có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.4.4 Cho F: D → là một ánh xạ đa trị;

i) F được gọi là C − liên tục trên (dưới) tại ∈ domF nếu bất kỳ lân cận V trong Y có một lân cận U của sao cho

F (x) ⊆F ( ) + V + C

( hoặc F ( ) ⊆ F (x) + V − C) với mọi x ∈ U ∩ domF

Trang 22

ii) Nếu F vừa là C − liên tục trên và C − liên tục dưới tại , ta nói rằng F là

1.5 Tính lồi của ánh xạ đa trị

Trong mục này chúng ta trình bày định nghĩa tính lồi, tựa giống như lồi của ánh xạ đa trị Các khái niệm này mở rộng các khái niệm đã quen biết trong trường hợp ánh xạ đơn trị và là các khái niệm cần thiết trong việc kiểm tra các định lý tồn tại nghiệm ở các chương sau

Định nghĩa F là một ánh xạ đa trị từ D đến 2Y:

i) F được gọi là C − lồi trên (C − lồi dưới) trên D nếu mọi dãy hữu hạn

Trong [7], Ferrocó một số ví dụ cho thấy có ánh xạ đa trị là C− lồi trên (C

− lồi dưới) mà không phải là C – tựa giống như lồi trên (C – tựa giống như lồi dưới) và ngược lại cũng có ánh xạ đa trị là C – tựa giống như lồi trên (C – tựa giống như lồi dưới) mà không phải là C − lồi trên (C − lồi dưới)

Trang 23

1.6 Điểm bất động của ánh xạ đa trị

Năm 1912, Brouwer đã dùng phương pháp tổ hợp chứng minh một ánh

xạ đơn trị liên tục từ một đơn hình K⊆ vào chính nó có điểm bất động Sau

đó năm 1941, Schauder đã mở rộng định lý cho trường hợp K là tập lồi

compact khác rỗng trong Kakutani mở rộng cho trường hợp ánh xạ đa trị với ánh xạ nửa liên tục trên Đến năm 1967, Ky Fan đã chứng minh định lý

điểm bất động với K nằm trong không gian tuyến tính lồi địa phương Năm

1929, ba nhà toán học Knater, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả rất quan trọng, hiện nay gọi là bổ đề KKM, từ đó suy ra được nguyên lý điểm bất động Browder Năm 1961, Ky Fan đã mở rộng Bổ đề KKM cổ điển trong không gian véctơ tôpô Hausdorff hữu hạn chiều với ánh

xạ đa trị Năm 1968, Browder đã chứng minh kết quả của Fan theo một dạng khác đó là định lý điểm bất động và ngày nay người ta thường gọi định lý đó

là định lý điểm bất động Fan-Browder Các kết quả những công trình trên là công cụ quan trọng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các loại bài toán tối

ưu Chúng ta nhắc lại một số kiến thức quan trọng về điểm bất động phát biểu trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương sau đây

Định lý 1.6.1 (Fan-Browder, 1968) Cho X là một không gian véctơ tôpô, K

X là một tập con lồi, khác rỗng, compact F:K→ là ánh xạ đa trị thoả mãn các điều kiện:

a) Với mọi x ∈ K; F(x) là tập lồi;

b) Với mọi y ∈ K; (y) là tập mở trong K;

thì tồn tại điểm ∈ K sao cho ∈ F( )

Định lý 1.6.2 (Định lý điểm bất động S.Park, xem [16]) Cho X là không gian

tôpô tuyến tính lồi địa phương, K X là một tập con lồi, compact

F :K→ là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng khác rỗng Khi

đó tồn tại tồn tại điểm ∈ K sao cho ∈ F( )

Định dạng
Số trang	47
Dung lượng	1,54 MB