Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số liên kết

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K.. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K.. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K.. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng K

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x'   0, x K

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x'   0, x K

4 Định lí 2

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu f x'   0, x K thì hàm số f đồng biến trên K

b) Nếu f x'   0, x K thì hàm số f nghịch biến trên K

c) Nếu f x'   0, x K thì hàm số f không đổi trên K

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’ Chẳng hạn:

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  a b; và f x'   0, x  a b; thì hàm số f đồng biến trên đoạn

 a b;

Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên như sau:

5 Định lí 3.(mở rộng của định lí 2)

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu f x'   0, x K và f x' 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.b) Nếu f x'   0, x K và f x' 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K.Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

 Nếu f x' 0 với mọi x K và f x' 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f đồng

biến trên K

 Nếu f x' 0 với mọi x K và f x' 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x K thì hàm số f nghịch

biến trên K

BÀI TẬP MẪU:

(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020)Cho hàm số f x  Hàm số y f x'  có đồ thị như hình bên Hàm

số g x  f1 2 xx2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

2

  C. 2; 1 D  2;3 Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn dạng g x  f u x  v x  khibiết đồ thị của hàm số y f x .

x y

– 2

4 1

Cách 1:

B1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x f u x    v x 

B2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x 

B3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

B3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g x  để loại các phương án sai

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

tt

Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y f t  và

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN:Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm liên kết ( )h x  f u( )g x( ) khi biết

BBT,BXD, đồ thị của hàm số

2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

- Cách tính đạo hàm của hàm hợp

- Các bước lập bảng biến thiên của hàm số

- Đồ thị và sự tương giao hai đồ thị

3 HƯỚNG GIẢI:

Lời giải Chọn A

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 50.1: Cho hàm số f x  Hàm số y f x  có đồ thị như hình bên dưới

Hàm số g x  f3x 1 3 x2x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

– 2

4 1

g x  f x  nghịch

Do đó x   ( ; 2) (2; 4) vậy g(x) nghịch biến trên  2; 4

Câu 50.3: Cho hàm số y f x  Hàm số y f x'  có đồ thị như hình bên

Hàm số g x  f x 22x x2 2x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A  1 2; 1  B  1 2; 1  2

Lời giải Chọn A

Vậy hàm số g x  đồng biến trên khoảng  1 2; 1 và   1 2; 

Câu 50.4: Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên  Hàm số y f x'  có đồ thị như hình vẽ bên Đặt

2

x

y g x  f x  Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.Hàm số y g x   đồng biến trên khoảng  1;2

B.Đồ thị hàm số y g x   có 3 điểm cực trị

C.Hàm số y g x   đạt cực tiểu tại x 1

D.Hàm số y g x   đạt cực đại tại x1

Lời giảiChọn D

Ta có: g x'  f x' x; g x'  0 f x' x (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm giữa đồ thị hàm số y f x'  và đường thẳng

y x

Dựa vào hình bên ta thấy giao tại 3 điểm  1; 1 ; 1;1 ; 2; 2    

1

2

xxx

Lời giải Chọn A

Câu 50.6: Cho hàm sốy f x có đồ thị hàm số y f x  được cho như hình vẽ sau

Hàm số g x  f2x4 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?1

Ta có: g x 8 x f3 2x41

TH1: x0 Để hàm số g x  đồng biến thì

x y

So sánh với điều kiệnx   0 x 42    x  ; 4 2

Vậy hàm số g x  đồng biến trên 0; 24  và  ; 42 Do đó chọn khoảng 1;1

2

Câu 50.7: Cho hàm số y  f x   Hàm số y f x     có đồ thị như hình vẽ sau đây

Hàm số y f x x  2 nghịch biến trên khoảng nào?

A 1

;2

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị của hàm số y f x     f x x  20, x R

Bảng biến thiên của hàm số y f x x  2

Vậy hàm số nghịch biến trên 1 ;

2

 

  Chọn A

Câu 50.8: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm trên  Đồ thị hàm số y  f x  như hình vẽ

Hàm số y f x 22x đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A  1; 2 B   ; 3 C. 0;1 D 2; 0

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị của hàm số y  f x  ta có bảng biến thiên của hàm số y  f x  như sau

xx

Câu 50.9: Cho hàm số y f x , biết hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới

Hàm số g x  f3x2đồng biến trên khoảng?

A  2;3 B 1;0 C. 2; 1 D  0;1

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị, ta có bảng xét dấu

Từ BBT suy ra hàm số đồng biến trên 1;0.

Câu 50.10: Cho hàm số y f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

'( )

Biết: 1 f x( ) 5,  x R.Khi đó, hàm số g x ( )  f f x ( ( ) 1)   x3 3 x2 2020nghịch biến trong khoảng nào dưới đây:

A ( 2;0)  B (0;5) C.( 2;5)  D (   ; 2)

Lời giải Chọn A

Do đó, hàm g x( ) nghịch biến trên khoảng ( 2;0) 

Câu 50.11: Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên  và có bảng biến thiên của đạo hàm f x'  như

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A

Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 3;

Hàm số g x  f3x 1 9x318x212x2021 nghịch biến trên khoảng

Chọn D

g x  f x  x  x g x   f x  xĐặt t3x1 khi đó    2

xx

Đặt     1 4 3 2

4

yg x  f  x x    Khẳng định nào dưới đây là đúng?x x

A.Hàm số yg x  đồng biến trên khoảng ; 0

B.Hàm số yg x  đồng biến trên khoảng  1; 2

C.Hàm số yg x  đồng biến trên khoảng  0;1

D.Hàm số yg x  nghịch biến trên khoảng 2;

Lời giải Chọn C

Ta có: yg x  2f1  x x3 3x32x

Dựa vào bảng xét dấu f x  ta có  

21

03

xx

xx

Vậy hàm số đồng biến trên  0;1

Câu 50.14: Cho hàm số y f x   Hàm số y f x '  có đồ thị như hình vẽ bên dưới

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-3 -2 -1

1 2 3

x y

Hàm số g x   f x2  3 4 x212x1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

Lời giải Chọn B

-3 -2 -1

1 2 3

x y

 

'

y f x y 2xHàm số g x  đồng biến g x'  0 2 ' 2f  x 3 8 12 0 x   f' 2 x  3 2 2 x3

Câu 50.15: Cho hàm số y f x  có đồ thị y f x  như hình vẽ Xét hàm số

    1 3 3 2 3

2018

g x  f x  x  x  x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.Hàm số g x đồng biến trên 1;1 B.Hàm số g x đồng biến trên 3;1

C.Hàm số g x đồng biến     3; 1 D.Hàm số g x nghịch biến trên   1;1

Vẽ đồ thị  P của hàm số 2 3 3

y x  x trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ trên (đường nét

đứt ), Đồ thị  P đi qua các điểm 3;3,  1; 2,  1;1 với đỉnh 3; 33

Từ những nhận xét trên, ta có bảng biến thiên của hàm y g x   trên 3;1 như sau:

Vậy hàm số g x đồng biến trên 1;1 Chọn A

Câu 50.16: Cho hàm số f x  Hàm số y f x'  có đồ thị như hình vẽ

có hai nghiệm Từ đây dễ dàng suy ra hàm y f x( 2x) có 11 cực trị

Câu 50.18: Cho hàm số y f x( )có đạo hàm trên Đồ thị của hàm số y f x'( )như hình vẽ Tìm

các khoảng đơn điệu của hàm số g x( ) 2 ( ) f x  x2 2x2020

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.Hàm số g x nghịch biến trên  1;3 B.Hàm số g x có 2 điểm cực trị đại

C.Hàm số g x đồng biến trên 1;1 D.Hàm số g x nghịch biến trên 3;

Lời giải Chọn C

Dựa vào đồ thị ta có

1'( ) 0 2 '( ) ( 1) 0 1

Câu 50.19: Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu như hình vẽ

Tìm khoảng đồng biến của hàm số 1 5 5 4 3

Coi f x'   x 2x1 x x1 có bảng xét dấu như trên

  

Bảng xét dấu của Q

Từ hai BXD của P Q, Ta có P0,Q0 với  x  2;3 nên g x'( )  P Q 0với  x  2;3

Câu 50.20: Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ

Xét hàm số g x 2f x 2x34x3m6 5 với m là tham số thực Điều kiện cần và đủ

để g x 0 với mọi x   5; 5 là

53

3

53

53

Lời giải Chọn A

Ta có g x 0 với mọi x   5; 52f x 2x34x3m6 5 0 với mọi

5; 5

x    2f x 2x34x6 5 3 m với mọi x   5; 5

Với       6 x 3 13 2x  1 7suy ra y’ hàm số đồng biến (loại) 0

Với 3   x 6 5 2x 1 11suy ra y’ hàm số đồng biến (loại) 0

Với x 6 2x 1 11suy ra y’ hàm số đồng biến (loại) 0

Với      1 x 0 3 2x  1 1 nên 2 ’(2f x  và 1) 2  2

      suy ra y’ 0hàm số nghịch biến (nhận)

Câu 50.22: Cho hàm số f x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số g x 3f x   2 x3 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1;  B  ; 1 C.1;0 D  0; 2

Lời giải Chọn C

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2 nên loại phương án B

Câu 50.23: Cho hàm số f x  có đạo hàm, liên tục trên  Hàm số y f x  có đồ thị như hình

Chọn D

Ta có g x 6 x f x 2 2 6x36x6x f x  2 2 x21

00

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1;0 và 1; 

Câu 50.24: Cho hàm số y ax  5 bx4 cx3 dx2  ex f với , , , , ,a b c d e f là các số thực, đồ thị của

hàm số y f x  như hình vẽ dưới đây Hàm số y f1 2 x2x21 đồng biến trên khoảngnào sau đây?

Thử đáp án C: Chọn x 0,5  1;0g' 0,5  2 ' 2f  2.

Nhìn đồ thị f x'  ta thấyf ' 2   0 2 ' 2f   0 g' 0,5  0 Chọn đáp án C

Thử đáp án D: Chọn x 2  1;3 g' 2  2 ' 3f   8

Nhìn đồ thị f x'  ta thấyf ' 3    0 2 ' 3f    0 g' 2  0 loại đáp án D

Câu 50.25: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x  có đồ thị như hình dưới đây

Hàm số g x  f3x 1 27x354x227x4 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Vậy hàm số g x  đông biến trên các khoảng ;0 và 4;

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ;0 và 3;

Câu 50.26: Cho hàm số ( )f x liên tục trên  có ( 1) 0f   và có đồ thị hàm số y f x( ) như hình

vẽ

Hàm số y 2 (f x 1) x2 đồng biến trên khoảng

A 3; B 1;2 C 0; D  0;3

Lời giải Chọn D

Đặt g x( ) 2 ( f x 1) x2g x( ) 2[ ( f x    1) (x 1) 1]

Dựa vào đồ thị hàm số y f x( ) và đồ thị hàm số y  ta có: x 1

g x   f x   x          x x

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm sốy 2 (f x 1) x2 đồng biến trên khoảng  0;3

Câu 50.27: Cho hàm số f x  Hàm số y f x  có đồ thị như hình sau.

Hàm số g(x)3f(12x)8x321x2 6x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. 1;2 B.3;1 C. 0;1 D.1;2

Lời giải Chọn A

Ta có g'(x)6f'(12x)24x242x6

(*)174)21('0)(

3)

('12

1.72

1.4)(

Ta vẽ parapol

2

32

3:

)(P y x2 x trên cùng hệ trục Oxy với đồ thị y f x như hình vẽsau ( đường nét đứt), ta thấy (P có đỉnh ) I(3;33) và đi qua các điểm 3;3 , 1;2  , 1;1

Từ đồ thị hàm số ta thấy trên khoảng 3;1ta có 3 1

2

32

3)

(' t t2  t   tf

21

121



Vậy hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (1;2)

Câu 50.28: Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đạo hàm f x  thỏa mãn:

  1 2  5

f x  x x Hàm số y3f x   3 x3 12x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A  1;5 B 2;  C.1;0 D  ; 1

Lời giải Chọn B

   



   Vậy hàm số y3f x   3 x3 12x nghịch biến trên các khoảng  5; 2 và 2; 

Câu 50.29: Cho hàm số y f x , hàm số f x x3ax2bx c a b c  , ,  có đồ thị như hình vẽ

Hàm số g x  f f x    nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Vì các điểm 1;0 , 0;0 , 1;0     thuộc đồ thị hàm số y f x  nên ta có hệ:

3 2

01

xxxxx

Dựa vào bảng biến thiên g x  nghịch biến trên  ; 2

Câu 50.30: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm f x '    x2 2 x    3, x  Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m thuộc đoạn 10; 20 để hàm số g x  f x 23x m m21 đồngbiến trên  0;2 ?

Lời giải Chọn C

Vậy có 18 giá trị của tham số m cần tìm

Câu 50.31: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  và đồ thị của hàm số y f x'  như

hình vẽ

Đặt     1 12 2019

2

nguyên dương của m để hàm số y g x   đồng biến trên khoản  5;6 Tổng các phần tử của

S bằng:

Lời giải Chọn C

Do đó hàm số y g x   đồng biến trên các khoảng m1;m1 và m 3; 

Do vậy, hàm số y g x   đồng biến trên khoảng  5;6

mm

Câu 50.32: Cho hàm số y f x  là hàm đa thức có đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m , m Z , 2020  m 2020 để hàm số

   2 2 2 8

63

max

f xm

3max

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m đề hàm số

20202

)(4)

(x  f xm x2  mx

g đồng biến trên khoảng (1;2)

Lời giải Chọn A

Ta có g'(x)4f'(xm)2x2m

(*)2)('0)(

022

)('

mx

mxm

t

tt

tfHàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1;2) g'(x)0 x 1;2

14

212

m

mm

mm

Vì mnguyên dương nên m 2;3

Vậy có hai giá trị nguyên dương của m đề hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1;2)

Câu 50.34: Cho hàm số f x   có đạo hàm f x      x  1  x  1  x  4 ;    x .Có bao nhiêu số

Ta có:  

 2

1 1

x

x x

x x

Căn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện   2 không có nghiệm m thỏa mãn

Điều kiện   1     m 1  m  1,kết hợp điều kiện m  2020 suy ra có 2019 giá trị m

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nhận xét: Có thể mở rộng bài toán đã nêu như sau:

Cho hàm số f x   có đạo hàm f x      x  1  x  1  x  4 ;    x .Có bao nhiêu sốnguyên m  2020 để hàm số   2  

Câu 50.35: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x'   x1ex, có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số m trong đoạn 2019; 2019 để hàm số y g x  f  lnx mx2mx2 nghịchbiến trên  1;e 2

Lời giải Chọn B