Chuyên đề tính đơn điệu của hàm ẩn cho bởi đồ thị

CHO BỞI ĐỒ THỊ HÀM F’X1 Định nghĩa 1 Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và y f x là một hàm số xác định trên K.. Giả sử hàm số f cĩ đạo hàm trên khoảng K... Giả sử hà

CHO BỞI ĐỒ THỊ HÀM F’(X)

1 Định nghĩa 1

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và y f x là một hàm số xác định trên K Ta  

nĩi:

+ Hàm số y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu   x x1, 2K x, 1x2 f x 1  f x 2

+ Hàm số y f x được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu  x x1, 2K x, 1x2  f x 1  f x 2

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.

2 Nhận xét

Nhận xét 1

Nếu hàm số f x và   g x cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số   f x   g x cũng đồng

biến (nghịch biến) trên D Tính chất này cĩ thể khơng đúng đối với hiệu f x   g x

Giả sử hàm số f cĩ đạo hàm trên khoảng K Khi đĩ:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f ' x   0, x K

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f ' x   0, x K

4 Định lý 2

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I

=I

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu f ' x   0, x K thì hàm số f đồng biến trên K

b) Nếu f ' x   0, x K thì hàm số f nghịch biến trên K

c) Nếu f ' x   0, x K thì hàm số f không đổi trên K

Chú ý

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng Khi đó phải có

thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’ Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  a b và ; f ' x   0, x  a b thì hàm số f đồng biến trên đoạn ;

 a b ;

5 Định lý 3

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu f ' x   0, x K và f ' x 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K

b) Nếu f ' x   0, x K và f ' x 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

 Nếu f ' x 0 với mọi xK và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xK thì hàm số f đồng biến trên K

 Nếu f ' x 0 với mọi xK và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xK thì hàm số f nghịch biến trên K

1 Lời giải tham khảo

Bùi Sỹ Khanh – Nguyễn Đức Lợi – Huỳnh Đức Vũ

Câu 50 Cho hàm số y f x( ) Hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hàm số

Lời giải Chọn A

32

x x

 Bình luận: Đây là câu vận dụng cao về vấn đề tính đơn điệu của một hàm số Để làm được

nó hoặc những dạng tương tự mở rộng, ta cần nắm vững kiến thức cơ bản sau:

 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Điều kiện cần: Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm trên khoảng K

+f đồng biến trên khoảng K f x( ) 0, x K

+f nghịch biến trên khoảng K f x( ) 0, x K

Điều kiện đủ: Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm trên khoảng K

Nếu f x ( ) 0, x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K

Nếu f x ( ) 0, x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K

Nếu f x( ) 0, x K thì hàm số không đổi trên khoảng K

Mở rộng:

1)Nếu phương trình f x( ) 0 có hữu hạn nghiệm trên K thì ta có điều kiện cần và đủ sau đây:

+f đồng biến trên khoảng K f x( ) 0, x K

+f nghịch biến trên khoảng K f x( ) 0, x K

B3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g x  để loại các phương án sai

 Câu 1: Cho hàm số f x  Hàm số y f x có đồ thị như hình sau

Hàm số g(x)3f(12x)8x3 21x2 6x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

g

Đặt

2

12

2

32

3)

('12

1.72

1.4)(

Ta vẽ parapol

2

32

3:

)(P yx2  x trên cùng hệ trục Oxy với đồ thị y f x như hình

vẽ sau, ta thấy (P) có đỉnh )

16

33

;4

3

I và đi qua các điểm 3;3 , 1;2  , 1;1

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN III

=I

(

f

21

121

3     



Vậy hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng (1;2)

 Câu 2: Cho hàm số f x  Hàm số y f x có đồ thị như hình sau

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m đề hàm số

20202

)(4)(x  f xm x2 mx

('0)(

Đặt t xm thì

2)('

2)('

m x

m x m

t

t t

t f

Hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (1;2) g'(x)0 x 1;2

14

212

m

m m

m m

Vì m nguyên dương nên m 2;3

Vậy có hai giá trị nguyên dương của m đề hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (1;2)

 Câu 3: Cho hàm số đa thức f (x) có đạo hàm tràm trênR Biết f(0)0 và đồ thị hàm số

 

y f x như hình sau

)(4)

g   đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

dấu giá trị tuyệt đối

Từ đó ta có BBT của như sau :

Từ BBT ta suy ra g (x) đồng biến trên khoảng  0;4

 Câu 4: Cho hàm số y f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Biết rằng 1 f(x)5,xR Hàm số g(x) f(f(x)1)x33x22020 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây

)(

Do đó hàm g (x)nghịch biến trên khoảng 2;0

 Câu 5: Cho hàm số y f x( ) liên tục trên và có đồ thị hàm số f x( ) như hình bên dưới

 Câu 6: Cho hàm số f x ax5 bx4 cx3 dx2 ex f a b c d e f, , , , , Biết rằng đồ

thị hàm số f x có đồ thị như hình vẽ bên Hỏi hàm số g x f 1 2x 2x2 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

 Câu 7: Cho hàm số y f x( ) Hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m 10;10 đê hàm số

m m

 Câu 8: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 1 x2 1 với mọi x Tìm tất

cả các giá trị của tham số m để hàm số y g x f x2 2x m 2019 đồng biến trên khoảng 1;

 Câu 9: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ

Biết 1 f x 3, x Hàm số y g x f f x x3 6x2 1 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

 Câu 10: Cho hàm số f x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số y 2 1f x x2 1 x nghịch biến trên những khoảng nào dưới đây

 : Chưa xác định được dấu của g x

với giả thiết đã cho

+ ∞

Hàm số g x đồng biến trên khoảng ;0

 Câu 12: Cho hàm số y f x có đồ thị của hàm số y f x' như hình vẽ Hàm số

 Câu 13: Cho hàm số f x  Hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới

Do đó x   ( ; 2) (2; 4) vậy g(x) nghịch biến trên  2; 4

 Câu 15: Cho hàm số y f x  Hàm số y f ' x có đồ thị như hình bên

Vậy hàm số g x  đồng biến trên khoảng  1 2; 1  và  1 2;

 Câu 16: Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ

bên Đặt     2

2

x

yg x  f x  Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số yg x  đồng biến trên khoảng  1; 2

x x

x x

Từ BBT suy ra hàm số đồng biến trên 1;0

 Câu 22: Cho hàm số y f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Do đó, hàm ( )g x nghịch biến trên khoảng ( 2;0) 

 Câu 23: Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên và có bảng biến thiên của đạo hàm f ' x

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta Chọn A

Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 3;

x x

y g x f x x x x Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A Hàm số y g x đồng biến trên khoảng ; 0

B Hàm số y g x đồng biến trên khoảng  1; 2

C Hàm số y g x đồng biến trên khoảng  0;1

D Hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 2;

 Lời giải

Chọn C

x x

x x

Vậy hàm số đồng biến trên  0;1

 Câu 26: Cho hàm số y f x   Hàm số y f x '  có đồ thị như hình vẽ bên dưới

1 2 3

x y

Hàm số g x   f x2  3 4 x212x1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

  

32; 2

1 2 3

x y

g x  f x  x  x  x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số g x đồng biến trên 1;1 B Hàm số g x đồng biến trên 3;1

C Hàm số g x đồng biến  3; 1 D Hàm số g x nghịch biến trên 1;1

yx  x trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ trên

(đường nét đứt ), Đồ thị  P đi qua các điểm 3;3,  1; 2,  1;1 với đỉnh

Từ những nhận xét trên, ta có bảng biến thiên của hàm yg x  trên 3;1 như sau:

Vậy hàm số g x đồng biến trên 1;1 Chọn A

 Câu 28: Cho hàm số f x  Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ

x

y

11

 Câu 30: Cho hàm số y f x( )có đạo hàm trên Đồ thị của hàm số y f '( )x như hình vẽ

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x( )2 ( )f x  x2 2x2020

y

x

2

3 1 O

-2 -1

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số g x nghịch biến trên  1;3 B Hàm số g x có 2 điểm cực trị đại

C Hàm số g x đồng biến trên 1;1 D Hàm số g x nghịch biến trên 3;

 Lời giải

Chọn C

-2 -1

 Câu 31: Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu như hình vẽ

Tìm khoảng đồng biến của hàm số ( ) 2 (1 ) 1 5 5 4 3x3

Q  x x   x x x

53

53

Với 6      x 3 13 2x  1 7suy ra y’0 hàm số đồng biến (loại)

Với 3   x 6 5 2x 1 11suy ra y’0 hàm số đồng biến (loại)

Với x 6 2x 1 11suy ra y’0 hàm số đồng biến (loại)

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2 nên loại phương án B

 Câu 35: Cho hàm số f x  có đạo hàm, liên tục trên Hàm số y f x có đồ thị như hình

x x

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1; 0 và 1; 

 Câu 36: Cho hàm số yax5bx4cx3dx2 ex f với a b c d e f, , , , , là các số thực, đồ thị của

hàm số y f x như hình vẽ dưới đây Hàm số   2

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 3;

 Câu 38: Cho hàm số f x( ) liên tục trên có f( 1) 0 và có đồ thị hàm số y f x( ) như

y f x x đồng biến trên khoảng  0;3

 Câu 39: Cho hàm số f x  Hàm số y f x có đồ thị như hình sau

Hàm số g(x)3f(12x)8x3 21x2 6x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

g

Đặt

2

12

2

32

3)

('12

1.72

1.4)(

Ta vẽ parapol

2

32

3:

)(P y x2  x trên cùng hệ trục Oxy với đồ thị y f x như hình

vẽ sau ( đường nét đứt), ta thấy (P) có đỉnh )

16

33

;4

3

I và đi qua các điểm

3;3 , 1;2  , 1;1

(

f

21

121

3     



Vậy hàm số g (x) nghịch biến trên khoảng (1;2)

 Câu 40: Cho hàm số y f x  liên tục trên và có đạo hàm f x thỏa mãn:

3 2

01

1, 325

1, 32533

x x x x

Dựa vào bảng biến thiên g x  nghịch biến trên  ; 2

 Câu 42: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm   2

f x x  x  x Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m thuộc đoạn 10; 20 để hàm số    2  2

 Có 18 giá trị của tham số m

Vậy có 18 giá trị của tham số m cần tìm

 Câu 43: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số y f ' x

như hình vẽ

1 20192

g x  f x m  x m   với m là tham số thực Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của m để hàm số yg x  đồng biến trên khoản  5;6 Tổng các phần tử

m m

 Câu 44: Cho hàm số y f x  là hàm đa thức có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m, m Z, 2020 m 2020 để hàm số

   2 2 2 8

63

max

f x m

3max

 Câu 45: Cho hàm số f x  Hàm số y f x có đồ thị như hình sau

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m đề hàm số

20202

)(4)(x  f xm x2 mx

('0)(

Đặt t xm thì

2)('

02

2)('

m x

m x m

t

t t

t f

Hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (1;2) g'(x)0 x 1;2

14

212

m

m m

m m

Vì m nguyên dương nên m 2;3

Vậy có hai giá trị nguyên dương của m đề hàm số g (x) đồng biến trên khoảng (1;2)

 Câu 46: Cho hàm số f x   có đạo hàm f     x  x  1  x  1  x  4 ;    x Có bao nhiêu

số nguyên m  2020 để hàm số   2 x

  đồng biến trên  2;   

x x

x

x x

Căn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện   2 không có nghiệm m thỏa mãn

Điều kiện   1     m 1  m  1,kết hợp điều kiện m  2020 suy ra có 2019 giá trị

m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nhận xét: Có thể mở rộng bài toán đã nêu như sau:

Cho hàm số f x   có đạo hàm f     x  x  1  x  1  x  4 ;    x .Có bao nhiêu số

 Câu 47: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f '  x  x1e x, có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số m trong đoạn 2019; 2019 để hàm số     2

y g x  f x mx mx nghịch biến trên  2

 Lời giải

Chọn B