Dethigt2 trường Đại học Bách Khoa tp HCM

ngày đăng 3172023■✳ P❤➛♥ ❝➙✉ ❤ä✐ tr➢❝ ♥❣❤✐➺♠ ✭✷✹ ❝➙✉✴✼✺ ♣❤ót✮❈➙✉ ✵✶✳ ❈❤å♥ ❝➙✉ tr↔ ❧í✐ ❙❆■ ✈➲ ❣✐→ trà ❝õ❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♠➦t ❧♦↕✐ ✶ I =Z Z S f(x, y, z)❞s ✈î✐ S ❧➔ ✶ ♠➦t ❤ú✉ ❤↕♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣❣✐❛♥ Oxyz tr♦♥❣ tø♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝ö t❤➸ ❞÷î✐ ✤➙②✿❆ ▲➔ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♠➦t trö s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ trö❝ Oz ♥➡♠ ❣✐ú❛ ✷ ♠➦t ❝♦♥❣ z = 0, f(x, y, z) = 0✳ ❇ ▲➔ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❦❤è✐ ❧÷ñ♥❣ ♠↔♥❤ ♠➦t ❝♦♥❣ S ❝â ♠➟t ✤ë ❦❤è✐ ❧÷ñ♥❣ t↕✐ ✶ ✤✐➸♠ (x, y, z) ∈ S ❧➔ f(x, y, z) ✳ ❈ I = π ❦❤✐ S ❧➔ ♠➦t ❝♦♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ♥➔♦ ✤â ❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❧➔ 4 ✈➔ f(x, y, z) = π4 ✳ ❉ I = 4 ❦❤✐ S ❧➔ ♠➦t ❝➛✉ ❜➜t ❦ý ❜→♥ ❦➼♥❤ ❜➡♥❣ 1 ✈➔ f(x, y, z) = 1π ✳ ❊ ▲➔ ❣✐→ trà ❝õ❛ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♠➦t ❝♦♥❣ S ❦❤✐ f(x, y, z) = 1✳❈➙✉ ✵✷✳ ❈❤♦ ❦❤è✐ Ω ❣✐î✐ ❤↕♥ ❜ð✐ ✷ ♠➦t ❝♦♥❣ z = x2 + y2, z = 2 ❝â ♠➟t ✤ë ❦❤è✐ ❧÷ñ♥❣ t↕✐ ✤✐➸♠ M(x, y, z) ∈ Ω ❧➔ρ(x, y, z) = p x2 + y2. ❑❤è✐ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛ Ω ❝â ❣✐→ trà ❜➡♥❣ ❣✐→ trà ❝õ❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ♥➔♦ s❛✉ ✤➙②❄❆ I = 2π Z 0 ❞ϕ 2 Z0 ❞r 2 Z r2 r ❞z✳ ❇ ❈→❝ ❝➙✉ ❦❤→❝ s❛✐✳ ❈ I = 2π Z 0 ❞ϕ 2 Z0 ❞r 2 Z r2 r2 ❞z✳ ❉ I = 2π Z 0 ❞ϕ √2 Z 0 ❞r r2 Z 2 r2 ❞z✳ ❊ I = 2π Z 0 ❞ϕ √2 Z 0 ❞r 2 Z r2 r2 ❞z✳❈➙✉ ✵✸✳ ❚➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♠➦t trö x2 + y2 = 2y ♣❤➛♥ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❜ð✐ ♠➦t ♣❤➥♥❣ z = 0 ✈➔ ♠➦t ❝♦♥❣ z = 2 + x2 + y2✳ ❆ 8π ❇ 11.1416✳ ❈ ❈→❝ ❝➙✉ ❦❤→❝ s❛✐✳ ❉ 6π✳ ❊ 16.5664✳❈➙✉ ✵✹✳ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ZC (y2 − y) d x + 2xy d y✱ ✈î✐ C ❧➔ ❜✐➯♥ ✤à♥❤ ❤÷î♥❣ ➙♠ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❧ö❝ ❣✐→❝ ✤➲✉ t➙♠ (0, 0) ❝â ✤➾♥❤ ❧➔A(1, 0)✳ ❆ −3√3 2 ✳ ❇ 3√2 3 ✳ ❈ 2√2✳ ❉ ❈→❝ ❝➙✉ ❦❤→❝ s❛✐✳❊ 3√3✳❈➙✉ ✵✺✳ ❈❤♦ I =Z Z Z Ω p x2 + y2 + z2 ❞x❞y❞z✱ ✈î✐ Ω ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ t÷ ❤➻♥❤ ❝➛✉✿ x2 + y2 + z2 ≤ 9, x ≥ 0, z ≤ 0. ✣➦tx = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ✳ ❚➻♠ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣✳❆ I =π2 Z −π2 ❞ϕ πZπ2 ❞θ 3 Z0 ρ2sin θ❞ρ✳ ❇ I =π2 Z −π2 ❞ϕ πZ0 ❞θ 3 Z0 ρ3sin θ❞ρ✳ ❈ I = πZ0 ❞ϕ πZπ2 ❞θ 3 Z0 ρ3sin θ❞ρ✳ ❉ ❈→❝ ❝➙✉ ❦❤→❝ s❛✐✳ ❊ I =π2 Z −π2 ❞ϕ πZπ2 ❞θ 3 Z0 ρ3sin θ❞ρ✳❈➙✉ ✵✻✳ ▼ët sñ✐ ❞➙② ❞➝♥ ♠ä♥❣ ❝â ❤➻♥❤ ❞↕♥❣ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ y = ❡2x ù♥❣ ✈î✐ 0 ≤ x ≤ 1. ✳ ❚➼♥❤ ❦❤è✐ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛sñ✐ ❞➙② ✈î✐ ♠➟t ✤ë ❦❤è✐ ❧÷ñ♥❣ t↕✐ ♠é✐ ✤✐➸♠ (x, y) tr➯♥ sñ✐ ❞➙② ❧➔ ρ(x, y) = xy. ❇ä q✉❛ ✤ì♥ ✈à t➼♥❤✳❆ 20.7234✳ ❇ 6.8122✳ ❈ 10.5433✳ ❉ 22.3355

Trang 1

¤i håc B¡ch khoa-HQG TPHCM

Khoa Khoa håc Ùng döng

CUÈI HÅC KÝ Ký/n«m håcNg y thi 23/12/2022I 2022

Ghi chó: Sinh vi¶n khæng ÷ñc dòng t i li»u Nëp l¤i · thi cho gi¡m thà · thi gçm 4 trang

I Ph¦n c¥u häi trc nghi»m (24 c¥u/75 phót)

C¥u 01 Chån c¥u tr£ líi SAI v· gi¡ trà cõa t½ch ph¥n m°t lo¤i 1 I =Z Z

S

f (x, y, z)ds vîi S l 1 m°t húu h¤n trong khæng gian Oxyz trong tøng tr÷íng hñp cö thº d÷îi ¥y:

A L gi¡ trà cõa di»n t½ch m°t trö song song vîi tröc Oz n¬m giúa 2 m°t cong z = 0, f(x, y, z) = 0

B L gi¡ trà cõa khèi l÷ñng m£nh m°t cong S câ mªt ë khèi l÷ñng t¤i 1 iºm (x, y, z) ∈ S l f(x, y, z)

C I = πkhi S l m°t cong húu h¤n n o â câ di»n t½ch l 4 v f(x, y, z) = π

4

D I = 4khi S l m°t c¦u b§t ký b¡n k½nh b¬ng 1 v f(x, y, z) = 1

π

E L gi¡ trà cõa di»n t½ch m°t cong S khi f(x, y, z) = 1

C¥u 02 Cho khèi Ω giîi h¤n bði 2 m°t cong z = x2+ y2, z = 2 câ mªt ë khèi l÷ñng t¤i iºm M(x, y, z) ∈ Ω l ρ(x, y, z) =px2+ y2 Khèi l÷ñng cõa Ω câ gi¡ trà b¬ng gi¡ trà cõa t½ch ph¥n n o sau ¥y?

A I =

2π

Z

0

dϕ

2 Z

0 dr

2 Z

r 2

2π Z

0 dϕ

2 Z

0 dr

2 Z

r 2

r2 dz

D I =

2π

Z

0

dϕ

√ 2 Z

0 dr

r2 Z

2

2π Z

0 dϕ

√ 2 Z

0 dr

2 Z

r 2

r2dz

C¥u 03 T½nh di»n t½ch m°t trö x2+ y2= 2yph¦n giîi h¤n bði m°t ph¯ng z = 0 v m°t cong z = 2 + x2+ y2

E 16.5664

C¥u 04 T½nh t½ch ph¥nZ

C (y2− y) d x + 2xy d y, vîi C l bi¶n ành h÷îng ¥m cõa h¼nh löc gi¡c ·u t¥m (0, 0) câ ¿nh l A(1, 0)

A −3

√

3

√ 2

E 3√

3

C¥u 05 Cho I = Z Z Z

Ω

p

x2+ y2+ z2 dxdydz, vîi Ω l mët ph¦n t÷ h¼nh c¦u: x2+ y2+ z2 ≤ 9, x ≥ 0, z ≤ 0 °t

x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ T¼m ¯ng thùc óng

A I =

π/2

Z

−π/2

dϕ

π Z

π/2 dθ

3 Z

0

ρ2sin θdρ B I =

π/2 Z

−π/2 dϕ

π Z

0 dθ

3 Z

0

ρ3sin θdρ C I =

π Z

0 dϕ

π Z

π/2 dθ

3 Z

0

ρ3sin θdρ

π/2 Z

−π/2 dϕ

π Z

π/2 dθ

3 Z

0

ρ3sin θdρ

C¥u 06 Mët sñi d¥y d¨n mäng câ h¼nh d¤ng l mët ph¦n ÷íng cong y = e2x ùng vîi 0 ≤ x ≤ 1 T½nh khèi l÷ñng cõa sñi d¥y vîi mªt ë khèi l÷ñng t¤i méi iºm (x, y) tr¶n sñi d¥y l ρ(x, y) = xy Bä qua ìn và t½nh

E 2.0973

Trang 2

C¥u 07 Cho un= 1

2n

n + 1 n

n , vn= n2 3n + 1

4n + 2

n Chån c¥u tr£ líi óng khi dòng ti¶u chu©n Cauchy º kh£o s¡t

sü hëi tö cõa 2 chuéi sè

∞ X n=1

un (1)v

∞ X n=1

vn (2)

C Chuéi (1) hëi tö, chuéi (2) ph¥n ký D 2 chuéi tr¶n còng hëi tö

E Chuéi (1) ph¥n ký, chuéi (2) hëi tö

C¥u 08 T¼m kho£ng hëi tö cõa chuéi lôy thøa

∞ X n=1

(−1)n

√

n2+ 1(x + 1)

n

E (0, 2)

C¥u 09 T½nh t½ch ph¥n I = Z Z

S

zdxdy , vîi S l m°t ph½a d÷îi (vector ph¡p h÷îng v· ph½a nûa ¥m cõa tröc Oz ) cõa m°t ph¯ng z = 2, ph¦n ùng vîi x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1

A C¡c c¥u kh¡c sai B I = −2

E I =2

3

C¥u 10 T½nh khèi l÷ñng m£nh cong câ h¼nh d¤ng l 1 ph¦n m°t nân z = px2+ y2, ph¦n ùng vîi z ≤ 1, x ≥ y v mªt

ë khèi l÷ñng t¤i iºm (x, y) thuëc m°t cong l ρ(x, y, z) = 3px2+ y2 Bä qua ìn và t½nh

A 3√

E 3π

C¥u 11 Cho chuéi sè

∞ X n=1

un, vîi un= 2

nn!

nn Chån c¥u tr£ líi sai

A un+1

un

= 2

n

n + 1

n

n→∞

un+1

un

D lim

n→∞

un+1

un

= 2

n+1(n + 1)!

(n + 1)n+1 C¥u 12 Tham sè hâa nûa ÷íng trán t¥m I(1,√3) b¡n k½nh 2, ph¦n n¬m tr¶n ÷íng th¯ng y =√3x

A x = 1 + cos t, y =√3 + sin t, vîi −2π

3 ≤ t ≤ 2π

3 B x = 1 + cos t, y =√3 + sin t, vîi π

3 ≤ t ≤4π

3

C x = 1 + 2 cos t, y =√3 + 2 sin t, vîi π

3 ≤ t ≤ 4π

3 D C¡c c¥u kh¡c sai

E x = 1 + 2 cos t, y =√3 + 2 sin t, vîi −2π

3 ≤ t ≤ 2π

3 C¥u 13 T½nh cæng cõa lüc ~F (x, y) = y~i − x~j khi chuyºn díi mët ch§t iºm i dåc theo ÷íng cong (C) câ ph÷ìng tr¼nh trong tåa ë cüc l r = cos(2ϕ), tø iºm A ùng ϕ = π/3 ¸n iºm B ùng vîi ϕ = −π/6

x y

A B

A π

2

E C¡c c¥u kh¡c sai

C¥u 14 B¡n k½nh hëi tö cõa chuéi lôy thøa

∞ X n=1

n + 1 n

n2

xn l :

Trang 3

A R = 1 B C¡c c¥u kh¡c sai C R =e D R = 1

e

E R = 0

C¥u 15 Cho chuéi lôy thøa

∞ X n=0

3n

22n+1xn Chån c¥u tr£ líi óng khi t½nh têng S(x) cõa chuéi

4 − 3x, ∀x ∈

−4

3,

4 3

4 − 3x, ∀x ∈

−4

3,

4 3

D S(x) = 2

3x − 4, ∀x ∈

−4

3,

4 3

3x − 4, ∀x ∈

−4

3,

4 3

C¥u 16 Khèi l÷ñng khèi çng ch§t Ω giîi h¤n bði 2 m°t z = 1 − x2− y2, z = 0 câ khèi l÷ñng ri¶ng a l :

A C¡c c¥u kh¡c sai B a

2

E π

2

C¥u 17 T½nh thº t½ch khèi Ω giîi h¤n bði: z ≥ px2+ y2, x2+ y2+ z2≤ 2z Bä qua ìn và t½nh

A C¡c c¥u kh¡c sai B π

E π

2

C¥u 18 Cho t½ch ph¥n I =Z Z

S

p

x2+ y2dS, vîi S l m°t nân x2+ y2− z2= 0, ph¦n ùng vîi 0 ≤ z ≤ 2 T¼m ¯ng thùc

óng khi chuyºn t½ch ph¥n n y v· t½ch ph¥n k²p

A I =

Z Z

D

p

x2+ y2dxdy, vîi D : x2+ y2≤ 4 B C¡c c¥u kh¡c sai

C I =

Z Z

D

p

2x2+ 2y2dxdy, vîi D : x2+ y2≤ 4 D I =

Z Z

D

p

x2+ y2dxdy, vîi D : x2+ y2≤ 2

E I =

Z Z

D

p

2x2+ 2y2dxdy, vîi D : x2+ y2≤ 2

C¥u 19 Cho I =Z Z

S 2xdydz + 2zdxdy, vîi S l MT BIN ph½a NGOI cõa h¼nh nân Ω : px2+ y26 z 6 2 T¼m ¯ng thùc óng

A I =4π

3

E I =32π

3

C¥u 20 Cho I =Z Z Z

Ω sinpx2+ y2dxdydz, vîi khèi Ω giîi h¤n bði: p x2+ y2≤ z ≤ 1 °t x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = z T¼m ¯ng thùc óng

A I =

2π

Z

0

dϕ

1 Z

0 dr

1 Z

r

π Z

0 dϕ

1 Z

0 dr

1 Z

r

2π Z

0 dϕ

1 Z

0 dr

1 Z

r sin rdz

2π Z

0 dϕ

1 Z

−1 dr

1 Z

r

r sin r dz

C¥u 21 T½nh di»n t½ch cõa mi·n D giîi h¤n bði ÷íng cong câ ph÷ìng tr¼nh trong tåa ë cüc l r = 3 cos(2ϕ), vîi

ϕ ∈h−π

4,

π

4i

A 1

8

Trang 4

C¥u 22 Cho t½ch ph¥n I =

S

xydydz + z dxdy , vîi S l m°t ph½a tr¶n (vector ph¡p h÷îng v· ph½a nûa d÷ìng cõa tröc

Oz ) ph¦n m°t ph¯ng x + y + z = 1 ùng vîi x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 Chån ¯ng thùc óng khi chuyºn t½ch ph¥n n y v· t½ch ph¥n k²p

A I =

Z Z

D

1 − x − y + xy

√

3 dxdy, vîi D giîi h¤n bði: x = 0, y = 0, x + y = 1

B I =

Z Z

D

xy + z

√

C I =

Z Z

D

(xy + z)dxdy, vîi D giîi h¤n bði: x = 0, y = 0, x + y = 1

D I =

Z Z

D

(1 − x − y + xy)dxdy, vîi D giîi h¤n bði: x = 0, y = 0, x + y = 1

C¥u 23 Chån c¥u tr£ líi SAI v· gi¡ trà cõa t½ch ph¥n I =Z

C

f (x, y)dl vîi C l 1 ÷íng cong húu h¤n thuëc m°t ph¯ng

Oxytrong tøng tr÷íng hñp cö thº d÷îi ¥y:

A I = πkhi C l bi¶n cõa h¼nh vuæng b§t ký c¤nh b¬ng 1 v f(x, y) = π

B L gi¡ trà cõa ë d i ÷íng cong C n¸u f(x, y) = 1

C L gi¡ trà cõa khèi l÷ñng d¥y cung C n¸u f(x, y) l mªt ë khèi l÷ñng t¤i 1 iºm (x, y) ∈ C

D I = 4khi C l ÷íng trán x2+ y2= 4yv f(x, y) = 1

π

E L gi¡ trà cõa di»n t½ch m°t trö song song vîi tröc Oz n¬m giúa 2 m°t cong z = 0, z = f(x, y) v (x, y) ∈ C

C¥u 24 Gi¡ trà chi·u d i cõa ÷íng cong C : y = ln(3x), 1 ≤ x ≤ 5 ÷ñc t½nh bði t½ch ph¥n n o d÷îi ¥y?

A

Z

C

Z

C ln(3x)dl C C¡c c¥u kh¡c sai D

Z

C ln(3x)dx

E

Z

C

dx

II Ph¦n c¥u häi tr£ líi ngn (2 c¥u/25 phót)

∞ X n=0

3n

2n + 1

xn L m theo c¡c y¶u c¦u sau:

(a) T½nh b¡n k½nh hëi tö cõa chuéi R = (b) Vi¸t ngn gån c¡ch t½nh têng chuéi cõa chuéi S(x) = (c) T¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà thüc cõa x thäa S(x) = 7

2 :

C¥u 02 Cho khèi Ω giîi h¤n bði x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ a − x, 0 ≤ z ≤ px2+ y2 Trong â, a l sè lîn hìn trong 2 sè m v

9 − m vîi m l chú sè cuèi còng trong MSSV cõa b¤n L m theo c¡c y¶u c¦u d÷îi ¥y, ph£i ghi rã cªn t½ch ph¥n cõa c¡c t½ch ph¥n c¦n t½nh v k¸t qu£ t½nh to¡n khæng c¦n ghi ìn và t½nh

(a) T½nh gi¡ trà a = (c) T½nh di»n t½ch m°t nân, ph¦n thuëc khèi Ω : S =

Z

d x

Z

d y =

Trang 5

P N 2225

I Ph¦n c¥u häi trc nghi»m

01 A

02 E

03 E

04 A

05 E

06 A

07 E

08 A

09 C

10 B

11 B

12 C

13 A

14 D

15 C

16 D

17 C

18 C

19 E

20 A

21 B

22 D

23 E

24 A

II Ph¦n c¥u häi tü luªn

C¥u 01 Líi gi£i

C¥u 02 Líi gi£i

Trang 6

C¥u 01 T¼m kho£ng hëi tö cõa chuéi lôy thøa

∞ X n=1

(−1)n

√

n2+ 1(x + 1)

n

E (−1, 0)

∞ X n=1

un, vîi un= 2

nn!

A lim

n→∞

un+1

un

n→∞

un+1

un

=2

e.

D un+1

un = 2

n + 1

n

n+1(n + 1)!

(n + 1)n+1 C¥u 03 T½nh di»n t½ch m°t trö x2+ y2= 2yph¦n giîi h¤n bði m°t ph¯ng z = 0 v m°t cong z = 2 + x2+ y2

E 16.5664

E 6.8122

C¥u 05 T½nh t½ch ph¥n I = Z Z

S

zdxdy , vîi S l m°t ph½a d÷îi (vector ph¡p h÷îng v· ph½a nûa ¥m cõa tröc Oz ) cõa m°t ph¯ng z = 2, ph¦n ùng vîi x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1

A I = −2

S

p

x2+ y2dS, vîi S l m°t nân x2+ y2− z2= 0, ph¦n ùng vîi 0 ≤ z ≤ 2 T¼m ¯ng thùc

óng khi chuyºn t½ch ph¥n n y v· t½ch ph¥n k²p

A I =

Z Z

D

p

x2+ y2dxdy, vîi D : x2+ y2≤ 4 B I =

Z Z

D

p 2x2+ 2y2dxdy, vîi D : x2+ y2≤ 2

C I =

Z Z

D

p

x2+ y2dxdy, vîi D : x2+ y2≤ 2 D C¡c c¥u kh¡c sai

E I =

Z Z

D

p

2x2+ 2y2dxdy, vîi D : x2+ y2≤ 4

S

xydydz + z dxdy , vîi S l m°t ph½a tr¶n (vector ph¡p h÷îng v· ph½a nûa d÷ìng cõa tröc

Oz ) ph¦n m°t ph¯ng x + y + z = 1 ùng vîi x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 Chån ¯ng thùc óng khi chuyºn t½ch ph¥n n y v· t½ch ph¥n k²p

A I =

Z Z

D

xy + z

√

B I =

Z Z 1 − x − y + xy

√

Trang 7

C C¡c c¥u kh¡c sai.

D I =

Z Z

D

(xy + z)dxdy, vîi D giîi h¤n bði: x = 0, y = 0, x + y = 1

E I =

Z Z

D

(1 − x − y + xy)dxdy, vîi D giîi h¤n bði: x = 0, y = 0, x + y = 1

C¥u 08 Chån c¥u tr£ líi SAI v· gi¡ trà cõa t½ch ph¥n I =Z

C

f (x, y)dl vîi C l 1 ÷íng cong húu h¤n thuëc m°t ph¯ng

Oxytrong tøng tr÷íng hñp cö thº d÷îi ¥y:

A L gi¡ trà cõa ë d i ÷íng cong C n¸u f(x, y) = 1

B I = 4khi C l ÷íng trán x2+ y2= 4yv f(x, y) = 1

π

C I = πkhi C l bi¶n cõa h¼nh vuæng b§t ký c¤nh b¬ng 1 v f(x, y) = π

D L gi¡ trà cõa khèi l÷ñng d¥y cung C n¸u f(x, y) l mªt ë khèi l÷ñng t¤i 1 iºm (x, y) ∈ C

E L gi¡ trà cõa di»n t½ch m°t trö song song vîi tröc Oz n¬m giúa 2 m°t cong z = 0, z = f(x, y) v (x, y) ∈ C

C¥u 09 T½nh khèi l÷ñng m£nh cong câ h¼nh d¤ng l 1 ph¦n m°t nân z = px2+ y2, ph¦n ùng vîi z ≤ 1, x ≥ y v mªt

ë khèi l÷ñng t¤i iºm (x, y) thuëc m°t cong l ρ(x, y, z) = 3px2+ y2 Bä qua ìn và t½nh

A π√

E π

C¥u 10 T½nh thº t½ch khèi Ω giîi h¤n bði: z ≥ px2+ y2, x2+ y2+ z2≤ 2z Bä qua ìn và t½nh

E π

2

C¥u 11 T½nh di»n t½ch cõa mi·n D giîi h¤n bði ÷íng cong câ ph÷ìng tr¼nh trong tåa ë cüc l r = 3 cos(2ϕ), vîi

ϕ ∈h−π

4,

π

4i

A 3π

8

E 9π

8

C¥u 12 B¡n k½nh hëi tö cõa chuéi lôy thøa

∞ X n=1

n + 1 n

n 2

xn l :

e

E R = 0

C¥u 13 Khèi l÷ñng khèi çng ch§t Ω giîi h¤n bði 2 m°t z = 1 − x2− y2, z = 0 câ khèi l÷ñng ri¶ng a l :

A aπ

C¥u 14 Tham sè hâa nûa ÷íng trán t¥m I(1,√3) b¡n k½nh 2, ph¦n n¬m tr¶n ÷íng th¯ng y =√3x

A x = 1 + 2 cos t, y =√3 + 2 sin t, vîi π

3 ≤ t ≤ 4π

3 B x = 1 + cos t, y =√3 + sin t, vîi π

3 ≤ t ≤4π

3

C x = 1 + cos t, y =√3 + sin t, vîi −2π

3 ≤ t ≤ 2π

3 D C¡c c¥u kh¡c sai

E x = 1 + 2 cos t, y =√3 + 2 sin t, vîi −2π

3 ≤ t ≤ 2π

3 C¥u 15 T½nh t½ch ph¥nZ

C (y2− y) d x + 2xy d y, vîi C l bi¶n ành h÷îng ¥m cõa h¼nh löc gi¡c ·u t¥m (0, 0) câ ¿nh l A(1, 0)

A 2√

√ 2

3

E −3

√

3

2

Trang 8

C¥u 16 Cho I =

S 2xdydz + 2zdxdy, vîi S l MT BIN ph½a NGOI cõa h¼nh nân Ω : px2+ y26 z 6 2 T¼m ¯ng thùc óng

A C¡c c¥u kh¡c sai B I = 4π

3

E I =16π

3

C¥u 17 Cho I =Z Z Z

Ω sinpx2+ y2dxdydz, vîi khèi Ω giîi h¤n bði: p x2+ y2≤ z ≤ 1 °t x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = z T¼m ¯ng thùc óng

2π Z

0 dϕ

1 Z

−1 dr

1 Z

r

2π Z

0 dϕ

1 Z

0 dr

1 Z

r sin rdz

D I =

2π

Z

0

dϕ

1 Z

0 dr

1 Z

r

π Z

0 dϕ

1 Z

0 dr

1 Z

r

r sin rdz

C¥u 18 Cho un= 1

2n

n + 1 n

n2 , vn= n2 3n + 1

4n + 2

n Chån c¥u tr£ líi óng khi dòng ti¶u chu©n Cauchy º kh£o s¡t

sü hëi tö cõa 2 chuéi sè

∞ X n=1

un (1)v

∞ X n=1

vn (2)

A Chuéi (1) ph¥n ký, chuéi (2) hëi tö B Chuéi (1) hëi tö, chuéi (2) ph¥n ký

E 2 chuéi tr¶n còng hëi tö

S

A L gi¡ trà cõa khèi l÷ñng m£nh m°t cong S câ mªt ë khèi l÷ñng t¤i 1 iºm (x, y, z) ∈ S l f(x, y, z)

B I = 4khi S l m°t c¦u b§t ký b¡n k½nh b¬ng 1 v f(x, y, z) = 1

π

C L gi¡ trà cõa di»n t½ch m°t trö song song vîi tröc Oz n¬m giúa 2 m°t cong z = 0, f(x, y, z) = 0

D L gi¡ trà cõa di»n t½ch m°t cong S khi f(x, y, z) = 1

E I = πkhi S l m°t cong húu h¤n n o â câ di»n t½ch l 4 v f(x, y, z) = π

4 C¥u 20 T½nh cæng cõa lüc ~F (x, y) = y~i − x~j khi chuyºn díi mët ch§t iºm i dåc theo ÷íng cong (C) câ ph÷ìng tr¼nh trong tåa ë cüc l r = cos(2ϕ), tø iºm A ùng ϕ = π/3 ¸n iºm B ùng vîi ϕ = −π/6

x y

A B

A −π

E −π

4

C¥u 21 Gi¡ trà chi·u d i cõa ÷íng cong C : y = ln(3x), 1 ≤ x ≤ 5 ÷ñc t½nh bði t½ch ph¥n n o d÷îi ¥y?

A

Z

C

Z

C

Z

C

Z

C dl

Trang 9

C¥u 22 Cho I =

Ω

p

A I =

π/2

Z

−π/2

dϕ

π Z

π/2 dθ

3 Z

0

ρ2sin θdρ B I =

π/2 Z

−π/2 dϕ

π Z

0 dθ

3 Z

0

ρ3sin θdρ C C¡c c¥u kh¡c sai

D I =

π

Z

0

dϕ

π Z

π/2 dθ

3 Z

0

ρ3sin θdρ E I =

π/2 Z

−π/2 dϕ

π Z

π/2 dθ

3 Z

0

ρ3sin θdρ

C¥u 23 Cho khèi Ω giîi h¤n bði 2 m°t cong z = x2+ y2, z = 2 câ mªt ë khèi l÷ñng t¤i iºm M(x, y, z) ∈ Ω l ρ(x, y, z) =px2+ y2 Khèi l÷ñng cõa Ω câ gi¡ trà b¬ng gi¡ trà cõa t½ch ph¥n n o sau ¥y?

A I =

2π

Z

0

dϕ

√ 2 Z

0 dr

r 2

Z

2

2π Z

0 dϕ

2 Z

0 dr

2 Z

r 2

2π Z

0 dϕ

2 Z

0 dr

2 Z

r 2

rdz

2π Z

0 dϕ

√ 2 Z

0 dr

2 Z

r 2

r2dz

∞ X n=0

3n

A S(x) = 4

4 − 3x, ∀x ∈

−4

3,

4 3

3x − 4, ∀x ∈

−4

3,

4 3

4 − 3x, ∀x ∈

−4

3,

4 3

D S(x) = 2

3x − 4, ∀x ∈

−4

3,

4 3

II Ph¦n c¥u häi tr£ líi ngn (2 c¥u/25 phót)

∞ X n=0

3n

2n + 1

xn L m theo c¡c y¶u c¦u sau:

(a) T½nh b¡n k½nh hëi tö cõa chuéi R = (b) Vi¸t ngn gån c¡ch t½nh têng chuéi cõa chuéi S(x) = (c) T¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà thüc cõa x thäa S(x) = 7

2 : C¥u 02 Cho khèi Ω giîi h¤n bði x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ a − x, 0 ≤ z ≤ px2+ y2 Trong â, a l sè lîn hìn trong 2 sè m v

9 − m vîi m l chú sè cuèi còng trong MSSV cõa b¤n L m theo c¡c y¶u c¦u d÷îi ¥y, ph£i ghi rã cªn t½ch ph¥n cõa c¡c t½ch ph¥n c¦n t½nh v k¸t qu£ t½nh to¡n khæng c¦n ghi ìn và t½nh

(a) T½nh gi¡ trà a = (c) T½nh di»n t½ch m°t nân, ph¦n thuëc khèi Ω : S =

Z

d x

Z

d y =

Trang 10

P N 2226

I Ph¦n c¥u häi trc nghi»m

01 B

02 A

03 E

04 A

05 D

06 E

07 E

08 E

09 A

10 A

11 E

12 D

13 A

14 A

15 E

16 C

17 D

18 A

19 C

20 B

21 D

22 E

23 E

24 C

II Ph¦n c¥u häi tü luªn

C¥u 01 Líi gi£i

C¥u 02 Líi gi£i

Trang 11

C¥u 01 T½nh di»n t½ch m°t trö x2+ y2= 2yph¦n giîi h¤n bði m°t ph¯ng z = 0 v m°t cong z = 2 + x2+ y2

E 11.1416

C¥u 02 Cho I =Z Z

S 2xdydz + 2zdxdy, vîi S l MT BIN ph½a NGOI cõa h¼nh nân Ω : px2+ y2

6 z 6 2 T¼m ¯ng

thùc óng

A I =32π

3

E I =16π

3

C¥u 03 Cho I = Z Z Z

Ω

p

A I =

π/2

Z

−π/2

dϕ

π Z

π/2 dθ

3 Z

0

ρ2sin θdρ B I =

π Z

0 dϕ

π Z

π/2 dθ

3 Z

0

ρ3sin θdρ C I =

π/2 Z

−π/2 dϕ

π Z

π/2 dθ

3 Z

0

ρ3sin θdρ

π/2 Z

−π/2 dϕ

π Z

0 dθ

3 Z

0

ρ3sin θdρ

∞ X n=0

3n

A S(x) = 4

3x − 4, ∀x ∈

−4

3,

4 3

3x − 4, ∀x ∈

−4

3,

4 3

C C¡c c¥u kh¡c sai

D S(x) = 2

4 − 3x, ∀x ∈

−4

3,

4 3

4 − 3x, ∀x ∈

−4

3,

4 3

E 22.3355

∞ X n=1

un, vîi un= 2

nn!

A un+1

un = 2

n + 1

n

n→∞

un+1

un =

2

n+1(n + 1)!

(n + 1)n+1

n→∞

un+1

un

= 2e

S

A I = πkhi S l m°t cong húu h¤n n o â câ di»n t½ch l 4 v f(x, y, z) = π

4

B I = 4khi S l m°t c¦u b§t ký b¡n k½nh b¬ng 1 v f(x, y, z) = 1

π

Tiêu đề	Các bài tập và đề thi môn Toán - Kỹ thuật tại Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM
Trường học	Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM
Chuyên ngành	Kỹ thuật và Toán học
Thể loại	Đề thi
Năm xuất bản	2022
Thành phố	TP.HCM

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	400,46 KB