Cùng tham khảo Đề thi học kì 1 môn Đại số tuyến tính năm 2012-2013 có đáp án - Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM (Ca 2) sau đây để biết được cấu trúc đề thi cũng như những dạng bài chính được đưa ra trong đề thi. Từ đó, giúp các bạn sinh viên có kế hoạch học tập và ôn thi hiệu quả. Chúc các bạn thi tốt!
Trang 1Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM Đề thi cuối kỳ năm học 2012-2013
Bộ môn: Toán Ứng Dụng Môn: Đại số tuyến tính-Ca 2
Ngày thi 26 tháng 01 năm 2013
Thời gian 90 phút
(Sinh viên KHÔNG được sử dụng tài liệu)
Câu 1 Cho hai ma trận A =
4 2 1
2 7 3
2 3 7
và B =
2 3 5
−2 1 4
2 1 7
Tìm ma trận X
thỏa XA = 3X + BT
Câu 2 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3, biết ma trận của f trong cơ sở E =
{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} là A =
2 −1 1
Tìm f (−1, 5, −3)
Câu 3 Trong R4 cho 2 không gian con U =< (1, 1, −2, 1), (3, 6, −1, 1) > và
V =
( (x1, x2, x3, x4)
x1+ 2x2− 7x3− 5x4 = 0, &
2x1− x2+ 2x3+ x4 = 0
)
Tìm cơ sở và số chiều của U + V
Câu 4 Trong R4với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con U =< (1, 3, 2, 1), (2, −1, 1, 0) >
và véc-tơ z = (3, 2, 11, 16) Tìm hình chiếu vuông góc của véc-tơ z xuống U
Câu 5 Trong R3, cho hai véc-tơ u = (2, 4, 1), v = (1, 3, −2), với tích vô hướng (x, y) = ((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = 3x1y1− x1y2 − x2y1 + 5x2y2+ 2x3y3 Tìm khoảng cách giữa hai véc-tơ u, v
Câu 6 Cho ma trận
A =
1 −7 5
0 −7 6
2 −13 10
Hãy chéo hóa ma trận A Tìm một ma trận vuông cấp ba B sao cho B3 = A
Câu 7 Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao, nêu
rõ phép biến đổi
f (x1, x2, x3) = 3x21+ 3x22+ 3x23− 2x1x2− 2x1x3− 2x2x3
Chủ nhiệm bộ môn
PGS.TS Nguyễn Đình Huy
Trang 2Đáp án đề ca 2
Câu 1 (1,5đ)
XA = 3X+BT ⇒ X(A−3I) = BT ⇒ X = BT(A−3I)−1=
=
Câu 2 (1,5đ) [(−1, 5, −3)]E = (2, −6, 3)T ⇒ [f (−1, 5, −3)]E = A.[x]E =
(2, −6, 3)T =
(13, 6, −1)T ⇒ f (−1, 5, −3) = 13(1, 1, 0) + 6(1, 0, 1) − 1(1, 1, 1) = (18, 12, 5)
Câu 3 (1,5đ)
→
Cơ sở của V : (1, 1, −2, 1), (3, 6, −1, 1), (3, 16, 5, 0), (3, 11, 0, 5) và số chiều U + V là 4
Câu 4 (1,5đ)
z = α(1, 3, 2, 1) + β(2, −1, 1, 0) + g ⇒
15α + β = 47
α + 6β = 15
⇔ α = 3, β = 2 ⇒ prz = (7, 7, 8, 3) Câu 5 (1,5đ) d(u, v) = 2√
6 Câu 6 (1đ)
Trị riêng −1, 2, 3 Ma trận P =
⇒ B =
−1
0 √3
Câu 7 (1,5đ) Trị riêng 1(đơn), 4 (kép) Ma trận P =
1/√3 −1/√2 −1/√6 1/√3 1/√2 −1/√6
f = y12+ 4y22+ 4y32, với phép đổi biến x = (x1, x2, x3)T = P (y1, y2, y3)T
1
...
(2, −6, 3)T =
(13 , 6, ? ?1) T ⇒ f (? ?1, 5, −3) = 13 (1, 1, 0) + 6 (1, 0, 1) − 1( 1, 1, 1) = (18 , 12 , 5)
Câu (1, 5đ)
...
Cơ sở V : (1, 1, −2, 1) , (3, 6, ? ?1, 1) , (3, 16 , 5, 0), (3, 11 , 0, 5) số chiều U + V
Câu (1, 5đ)
z = α (1, 3, 2, 1) + β(2, ? ?1, 1, 0) + g ⇒
15 α + β =... =< (1, 3, 2, 1) , (2, ? ?1, 1, 0) >
và véc-tơ z = (3, 2, 11 , 16 ) Tìm hình chiếu vng góc véc-tơ z xuống U
Câu Trong R3, cho hai véc-tơ u = (2, 4, 1) , v = (1, 3, ? ?2),