Chuyên đề ôn thi đại học năm 2015 môn toán bộ 2

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC (QUYỂN 2) (Phần 1: Đại số) Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt là khối 12). Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ GDĐT. Tài liệu được chia ra làm 2 phần: + Phần 1: Phần Đại số (Chiếm khoảng 7 điểm) gồm 2 quyển – Mỗi quyển 5 chuyên đề. Trong phần này có 10 chuyên đề:  Chuyên đề 1: Chuyên đề khảo sát hàm số và các câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số.  Chuyên đề 2: Chuyên đề PT – BPT Đại số.  Chuyên đề 3: Chuyên đề HPT – HBPT Đại số.  Chuyên đề 4: Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit.  Chuyên đề 5: Chuyên đề Lượng giác và PT Lượng giác.  Chuyên đề 6: Chuyên đề Tích phân.  Chuyên đề 7: Chuyên đề Tổ hợp – Xác suất.  Chuyên đề 8: Chuyên đề Nhị thức Newtơn.  Chuyên đề 9: Chuyên đề Số phức.  Chuyên đề 10: Chuyên đề Bất đẳng thức. + Phần 2: Phần Hình học (Chiếm khoảng 3 điểm) Trong phần này có 5 chuyên đề:  Chuyên đề 1: Chuyên đề Thể tích: Khối chóp, Khối lăng trụ...  Chuyên đề 2: Chuyên đề Hình học phẳng.  Chuyên đề 3: Chuyên đề Hình học không gian.  Chuyên đề 4: Chuyên đề Phương trình đường thẳng ().  Chuyên đề 5: Chuyên đề Các hình đặc biệt trong đề thi. Cuối cùng, Phần tổng kết và kinh nghiệm làm bài. Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn: 1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTTTT Thái Nguyên (Chủ biên) 2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên). 3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn). 4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên. 5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTTTT Thái Nguyên. 6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên. 7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTTTT Thái Nguyên. Tài liệu được lưu hành nội bộ Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức. Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được coi là vi phạm nội quy của nhóm. Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2. Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai xót nhất định. Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email: caotua5lg3gmail.com Xin chân thành cám ơn Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm 2015 an toàn, nghiêm túc và hiệu quả Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014 Trưởng nhóm Biên soạn Cao Văn Tú CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM 1. Khái niệm. Định nghĩa. Cho hàm số xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên K, nếu , với mọi . Định lý. Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng K. Khi đó a. Với mỗi hằng số C, hàm số cũng là một nguyên hàm của . b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C. c. Họ tất cả các nguyên hàm của là , trong đó là một nguyên hàm của , C là hằng số bất kỳ. d. Bảng các nguyên hàm cơ bản. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp ( ) ( ) ; . ; Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là. 2. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Định lý. Nếu tương ứng là một nguyên hàm của thì a. b. ; c. . 3. Một số phương pháp tìm nguyên hàm a. Phương pháp đổi biến số Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên K và hàm số liên tục sao cho xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là thì . b. Phương pháp tích phân từng phần Một số dạng thường gặp: Dạng 1. Cách giải: Đặt Dạng 2. Cách giải: Đặt I. TÍCH PHÂN. 1. Định nghĩa. Cho hàm liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu là một nguyên hàm của thì hiệu số được gọi là tích phân của từ a đến b và ký hiệu là . Trong trường hợp thì là tích phân của f trên . 2. Tính chất của tích phân . Cho các hàm số liên tục trên K và là ba số thuộc K. 3. Một số phương pháp tính tích phân • Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số . Trong đó là hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp xác định trên J; . Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách Cách 1. Đặt ẩn phụ ( là một hàm của x) Cách 2. Đặt ẩn phụ ( là một hàm số của t). • Phương pháp tích phân từng phần. Định lý. Nếu là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và là hai số thuộc K thì 4. Ứng dụng của tích phân • Tính diện tích hình phẳng • Nếu hàm số liên tục trên thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là . • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số , và hai đường thẳng là • Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm là . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là và S(x) là một hàm liên tục. • Tính thể tích khối tròn xoay. • Hàm số liên tục và không âm trên . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và hai đường thẳng quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức .

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC (QUYỂN 2)

- Tài liệu được chia ra làm 2 phần:

+ Phần 1: Phần Đại số (Chiếm khoảng 7 điểm) gồm 2 quyển – Mỗi quyển 5 chuyên đề.

Trong phần này có 10 chuyên đề:

 Chuyên đề 1: Chuyên đề khảo sát hàm số và các câu hỏi phụ trong khảo sát

hàm số.

 Chuyên đề 2: Chuyên đề PT – BPT Đại số.

 Chuyên đề 3: Chuyên đề HPT – HBPT Đại số.

 Chuyên đề 4: Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit.

 Chuyên đề 5: Chuyên đề Lượng giác và PT Lượng giác.

 Chuyên đề 6: Chuyên đề Tích phân.

 Chuyên đề 7: Chuyên đề Tổ hợp – Xác suất.

 Chuyên đề 8: Chuyên đề Nhị thức Newtơn.

 Chuyên đề 9: Chuyên đề Số phức.

 Chuyên đề 10: Chuyên đề Bất đẳng thức.

+ Phần 2: Phần Hình học (Chiếm khoảng 3 điểm)

Trong phần này có 5 chuyên đề:

 Chuyên đề 1: Chuyên đề Thể tích: Khối chóp, Khối lăng trụ

 Chuyên đề 2: Chuyên đề Hình học phẳng.

 Chuyên đề 3: Chuyên đề Hình học không gian.

 Chuyên đề 4: Chuyên đề Phương trình đường thẳng (*).

 Chuyên đề 5: Chuyên đề Các hình đặc biệt trong đề thi.

Cuối cùng, Phần tổng kết và kinh nghiệm làm bài.

- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:

1 Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên (Chủ biên)

2 Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).

3 Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).

4 Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.

5 Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.

6 Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên.

7 Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.

- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được coi là vi phạm nội quy của nhóm.

- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.

Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai xót nhất định

Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email:

caotua5lg3@gmail.com !

Xin chân thành cám ơn!!!

Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm 2015 an toàn, nghiêm túc và hiệu quả!!!

Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014 Trưởng nhóm Biên soạn

Cao Văn Tú

CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN

I NGUYÊN HÀM

1 Khái niệm

Định nghĩa Cho hàm số xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng) Hàm số

được gọi là nguyên hàm của hàm số trên K, nếu , với mọi

Định lý Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng K Khi đó

a Với mỗi hằng số C, hàm số cũng là một nguyên hàm của

b Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x)+ C

hàm của , C là hằng số bất kỳ

d Bảng các nguyên hàm cơ bản.

Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp

Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là.

2 Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

Định lý Nếu tương ứng là một nguyên hàm của thì

a

3 Một số phương pháp tìm nguyên hàm

a Phương pháp đổi biến số

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số có đạo hàm liên tục

trên K và hàm số liên tục sao cho xác định trên K Khi đó nếu F là một

1 Định nghĩa Cho hàm liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K Nếu

là một nguyên hàm của thì hiệu số được gọi là tích phân của từ

a đến b và ký hiệu là Trong trường hợp thì là tích phân của f trên

2 Tính chất của tích phân

Cho các hàm số liên tục trên K và là ba số thuộc K.

3 Một số phương pháp tính tích phân

là hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp

 Nếu hàm số liên tục trên thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số , và hai đường thẳng

là

 Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox

tại các điểm là Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắtbởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là và S(x) là một

hàm liên tục.

 Tính thể tích khối tròn xoay.

 Hàm số liên tục và không âm trên Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục hoành tạo nên mộtkhối tròn xoay Thể tích V được tính bởi công thức

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và hai đường thẳng

quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay Thể tích V được tính bởi công thức

Bảng công thức tích phân bất định

Phương pháp biến số phụ :

Cho hàm số liên tục trên đoạn có nguyên hàm là

Giả sử là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn và có miền giá trị là thì ta có :

BÀI TẬP

Tính các tích phân sau :

Bài làm :

2ln

1

2 1

2 3 1

3    t dt t  

x

dx x

I e

Cách làm :

Đặt :

Sau đó dùng đồng nhất thức

BÀI TẬP Tính tích phân :

a) b)

* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….

Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng

BÀI TẬPChứng minh rằng :

Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu là hàm chẳn và liên tục trên đoạn thì

Cho và là hàm chẵn , liên tục và xác định trên

0

111

x f dx a

x f dx

a

x

f

x x

x

Nếu hàm số liên tục trên và Thì ta luôn có :

Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :

Nếu hàm số liên tục,xác định , tuần hoàn trên và có chu kì , thì ta luôn có :

Tích phân từng phần :

Cho hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên đoạn , thì ta có :

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :

*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt hay

.2cos

0

2 0

2 2

0 1

g) h)

Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :

Muốn tính ta đi xét dấu trên đoạn , khử trị tuyệt đối

33

3

2 1

3 2 1

0

3 2

Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :

Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel

Dạng 1: ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ

Tới đây , đặt Dạng 2:

Tới đây , đặt Dạng 3:

Tới đây, đặt Dạng 4 (dạng đặc biệt) :

Một số cách đặt thường gặp :

đặt đặt

1ln

3 2

e x

Nếu hàm số liên tục trên và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay Lúc đó thể tích được tính :

Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy

3)Tính giới hạn :

trong đó

Từ đó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :

Viết dãy số thành dạng : sau đó lập phân hoạch đều trên , chọn ta có

4)Tính độ dài cung đường cong trơn:

Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh thì độ dài đường cung nó được tính như sau :

với là hoành độ các điểm đầu cung 4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton

Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối cùng là tính tích phân

Hình1a hình1b

hình1c hình1d

BÀI TẬPTính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R

Bài làm : (hình 1a)

Phương trình hoành độ giao điểm

Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử

hình a hình b

hình c hình d

Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :

Tính

Bài làm :

Ta lập phân hoạch đều trên với các điểm chia :

và chiều dài phân hoạch Chọn ta có

Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :

Tính

Bài làm :

Xét hàm số

Ta lập phân hoạch đều trên với các điểm chia :

và chiều dài phân hoạch

1lim

1

n

i n f

Bài 13 KA2008 Bài14.KB2008 .

Bài 15 KD2008 Bài 16 KA2007 Tính diện tích hình phẳng gới hạn bởi

ln x x1

Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt Mỗi cách chọn ra k phần tử của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là

Ví dụ 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số hàng ngàn

lớn hơn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị

i) Điều kiện để xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt

ii) Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn

tổ hợp thì không

4 Phương pháp giải toán

4.1 Phương pháp 1

Bước 1 Đọc kỹ các yêu cầu và số liệu của đề bài Phân bài toán ra các trường hợp, trong mỗi trường hợp lại

phân thành các giai đoạn

Bước 2 Tùy từng giai đoạn cụ thể và giả thiết bài toán để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp

hay tổ hợp

Bước 3 Đáp án là tổng kết quả của các trường hợp trên.

Ví dụ 8 Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành

một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập

tổ công tác

Giải

+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam

- Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách

- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách

- Bước 3: chọn 2 trong 13 nam còn lại có cách

Suy ra có cách chọn cho trường hợp 1

+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam

- Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có cách

- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách

- Bước 3: chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách

Suy ra có cách chọn cho trường hợp 2

+ Trường hợp 3: chọn 3 nữ và 2 nam

- Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có cách

- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách

Suy ra có cách chọn cho trường hợp 3

Cách khác:

+ Bước 1: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có cách

+ Bước 2: chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ

- Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 2 nam có cách

- Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 1 nam có cách

- Trường hợp 3: chọn 3 nữ có cách

Bước 2 Tính số cách chọn loại 1 và loại 2.

Bước 3 Đáp án là số cách chọn loại 1 trừ số cách chọn loại 2.

Chú ý:

Cách phân loại 1 và loại 2 có tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan của người giải

Ví dụ 9 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.

+ Loại 1: chọn 3 người tùy ý trong 13 người có cách

+ Loại 2: chọn 3 nam (không có nữ) trong 7 nam có cách

Ví dụ 11 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10 câu

để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra

Giải

+ Loại 1: chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có cách

+ Loại 2: chọn 10 câu có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó

- Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có cách

- Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có cách

- Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách

Chú ý:

Giải bằng phương pháp phần bù có ưu điểm là ngắn tuy nhiên nhược điểm là thường sai sót khi tính số lượng từng loại.

Ví dụ 12 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 7 câu để

làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra

Cách giải sai:

+ Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có cách

+ Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu

- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ trong 9 câu có cách

- Trường hợp 2: chọn 7 câu trung bình có 1 cách

- Trường hợp 3: chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có cách

- Trường hợp 4: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có cách

- Trường hợp 5: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách

Sai sót trong cách tính số đề loại 2 Chẳng hạn, khi tính số đề trong trường hợp 3 ta đã tính lặp lại trường hợp 1 và trường hợp 2

Cách giải sai khác:

+ Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có cách

+ Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu

- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu có cách

- Trường hợp 2: chọn 7 câu dễ hoặc khó trong 13 câu có cách

- Trường hợp 3: chọn 7 câu trung bình hoặc khó trong 11 câu có cách

Sai sót do ta đã tính lặp lại số cách chọn đề chỉ có 7 câu dễ và đề chỉ có 7 câu trung bình trong trường hợp 1

và trường hợp 2

Cách giải đúng:

+ Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có cách

+ Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu

- Trường hợp 1: chọn 7 câu dễ hoặc trung bình trong 16 câu có cách

- Trường hợp 2: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có cách

- Trường hợp 3: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách

Ví dụ 13 Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ Từ hội đồng quản trị đó người

ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có nữ

Giải

+ Loại 1: bầu 4 người tùy ý (không phân biệt nam, nữ)

- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có cách

- Bước 2: bầu 2 ủy viên có cách

Suy ra có cách bầu loại 1

+ Loại 2: bầu 4 người toàn nam

- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có cách

- Bước 2: bầu 2 ủy viên có cách

Suy ra có cách bầu loại 2

5 Hoán vị lặp (tham khảo)

Cho tập hợp X có n phần tử gồm n1 phần tử giống nhau, n2 phần tử khác lại giống nhau, …, nk phần tử khác nữa lại giống nhau Mỗi cách sắp n phần tử này vào n vị trí là một hoán vị lặp,

+ Bước 2: chọn 2 trong 5 vị trí còn lại để sắp 2 chữ số 2 có cách

+ Bước 3: sắp 3 chữ số 3 vào 3 vị trí còn lại có 1 cách

B BÀI TẬP

Bài 1 Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế có 7 chỗ ngồi sao cho 3 nam ngồi kề nhau và 2 nữ ngồi kề

nhau Hỏi có bao nhiêu cách

Bài 2 Xét đa giác đều có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh Tính số cạnh của đa giác đều đó.

Bài 3 Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho

2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau

Bài 4 Tính số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho trong

mỗi số đó đều có mặt ít nhất chữ số 1 hoặc 2

Bài 5 Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm

thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 nền kề nhau Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán (các nền như nhau và chưa có người mua) Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên

Bài 6 Từ 4 chữ số 0, 1, 2, 3 lập thành các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt Tính tổng các số được thành

lập

Bài 7 Tính số hình chữ nhật được tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giác đều có 20 cạnh nội tiếp đường

tròn tâm O

Bài 8 Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O Biết số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n

đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác Tính số hình chữ nhật

Bài 9 Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 em khối 12, 6 em khối 11 và 5 em

khối 10 Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn

Bài 10 Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác nhau Tính số tập hợp con khác rỗng chứa một số chẵn các

phần tử của X

Bài 11 Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng Tính số cách chọn 4 viên

bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu

Bài 12 Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận

đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải

Bài 13 Tính số các số tự nhiên gồm 7 chữ số được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho chữ số 2 có mặt đúng 2 lần,

chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần

Bài 14 Tính số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt và một trong 3 chữ số đầu tiên là 1 được thành lập

từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Bài 15 Từ một nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh khối C chọn ra

15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C Tính số cách chọn