Khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành giải tích_Lê Thị Vân

Lý do chọn đề tài Nhiều bài toán khác nhau của khoa học kĩ thuật đã dẫn tới việc nghiên cứu vấn đề sau: Cho X là một không gian bất kì nào đó, A là ánh xạ từ tập con M của không gian X

MỤC LỤC

1 Lời cảm ơn

2 Lời cam đoan

3 Ghi chú chữ viết tắt

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Cấu trúc khóa luận

PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ

1.2 Tô pô trong không gian metric

1.3 Ánh xạ liên tục

1.4 Tập hợp compact và bị chặn

1.5 Không gian vectơ

1.6 Không gian định chuẩn không gian Banch

1.7 Tính lồi

1.8 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều

1.9 Phương trình vi phân thường

CHƯƠNG 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG 2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach

2.2 Điểm bất động của ánh xạ không giãn

2.3 Định lý điểm bất động Brouwer

2.4 Định lý điểm bất động Schauder

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG 3.1 Áp dụng vào phương trình vi phân thường

3.2 Áp dụng vào phương trình tích phân

3.3 Áp dụng vào đại số giải tích

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng,

người thầy đã luôn quan tâm động viên và truyền cho tôi những kinh nghiệm quí báu trong quá trình hoàn thành khóa luận.Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn BGH trường ĐHSP Hà Nội 2, khoa Toán và tổ giải tích cùng toán thể các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp chương trình đại học và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, ngày tháng năm 2013

Người thực hiện

Lê Thị Vân

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài do chính tôi nghiên cứu và tìm hiểu dưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng Đề tài được tôi nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở kế thừa và phát huy những công trình nghiên

cứu có liên quan Kết quả đề tài không trùng lặp với đề tài nào khác Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Người thực hiện

Lê Thị Vân

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nhiều bài toán khác nhau của khoa học kĩ thuật đã dẫn tới việc nghiên cứu vấn đề sau:

Cho X là một không gian bất kì nào đó, A là ánh xạ từ tập con M của không gian X vào chính nó, xét phương trình phi tuyến Ax = x, x  M dưới các điều kiện cụ thể hãy khẳng định sự tồn tại nghiệm của phương trình đó.Điểm x  M thỏa mãn phương trình Ax = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ A trên tập M

Việc nghiên cứu vấn đề trên góp phần đắc lực cho việc giải quyết hàng loạt các bài toán trong toán học nói riêng và trong khoa học kĩ thuật nói chung Điều này dẫn tới một hướng nghiên cứu mới trong toán học và đã hình thành nên lý thuyết điểm bất động

Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của giải tích hàm phi tuyến Ngay đầu thế kỉ 20, các nhà toán học đã quan tâm đến vấn đề này và cho tới nay có thể khẳng định lý thuyết điểm bất động đã phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công cụ không thể thiếu để giải quyết những bài toán khác nhau do thực tế đặt ra

Sự phát triển của lĩnh vực này gắn liền với tên tuổi các nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder nhưng kết quả kinh điển của lý thuyết điểm bất động đồng thời cũng là những công trình khởi đầu cho lĩnh vực này đó là nguyên lý ánh xạ co Banach, nguyên lý điểm bất động Brouwer được áp dụng

ở nhưng lĩnh vực của toán học hiện đại như: phương trình vi phân, phương trình tích phân, lý thuyết điều khiển, lý thuyết tối ưu hóa…

Trên cơ sở các nguyên lý cơ bản trên điểm bất động được phát triển theo hai hướng chính:

Hướng thứ nhất là nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ liên tục, mở đầu là nguyên lý điểm bất động Brouwer

Hướng thứ hai là nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ dạng co, mở đầu là nguyên lý ánh xạ co Banach

Vào những năm 60 của thế kỉ 20 một hướng mới có thể xem là trung gian của hai hướng trên đó là

việc nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach

Tất cả kết quả của những nghiên cứu trên đã mang lại nhưng ứng dụng rất hiệu quả cho ngành toán học hiện đại

Vì các lý do đó mà em đã lựa chọn đề tài:

“Điểm bất động và ứng dụng

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Nghiên cứu một số vấn đề cơ bản về điểm bất động và việc áp dụng nó vào ngành toán học hiện đại

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số định lý điểm bất động trong không gian Banach, không gian định chuẩn hữu hạn chiều và không gian lồi địa phương

Nghiên cứu việc áp dụng các định lý điểm bất động trong việc giải bài tập về phương trình vi phân thường, phương trình tích phân và đại số giải tích

4 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, nội dung chính của khóa luận gồm 3 chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị quan trọng sẽ sử dụng trong chương 2 và chương 3.

Chương 2: Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động

Schauder, chưng minh định lý, các ví dụ áp dụng

Bước đầu tìm hiểu về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian lồi địa phương

Chương 3: Áp dụng các định lý điểm bất động vào việc giải phương trình vi phân thường, phương

trình tích phân và đại số giải tích

PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian metric, không gian metric đầy đủ.

Định nghĩa 1.1.1

Cho X  , ta gọi là một metric trong X một ánh xạ d từ tích Descartes XX vào tập số thực  thỏa mãn 3 tiên đề sau:

i) (x,y  X ) d(x,y)  0, d(x,y) = 0  x = y (tiên đề đồng nhất)

ii) (x,y  X) d(x,y) = d(y,x) (tiên đề đối xứng)

iii) (x,y, z  X ) d(x,y)  d(x,z) + d(z,y) (tiên đề tam )

Không gian metric là cặp (X,d) trong đó:

● X   được gọi là tập nền

● d là metric trong X

● d(x,y) là khoảng cách giữa hai phần tử x, y  X

● Các phần tử của X gọi là các điểm

Ví dụ 1.1.1:

Cho X ,  x,y  X

d(x,y) = 0 khi x y

1 khi x y









Chứng minh d là metric trong X và (X,d) được gọi là không gian metric _ không gian metric rời rạc ( d còn được gọi là metric rời rạc )

 Ta có mỗi cặp (x,y)  XX có duy nhất d(x,y)  

Ta kiểm tra ánh xạ thỏa mãn các tiên đề metric

Tiên đề 1 : d(x,y)  0 x, y  X , d(x,y) = 0 nếu x  y thì d(x,y) = 1 (trái giả

thiết)  x = y x, y  X

Tiên đề 2 : Nếu x = y thì y = x do đó d(x,y) = d(y,x) = 0  x, y  X

Nếu x  y thì y  x do đó d(x,y) = d(y,x) = 1  x, y  X

Tiên đề 3 :  x, y, z  X

Nếu x = y thì d(x,y) = 0

Ta có 0 d(x,z) + d(z,y) = d(x,y)

Nếu x  y thì

x  y  z thì d(x,y) = 1 < d(x,z) + d(z,y) = 2

x  y, x = z thì d(x,y) = 1 = 0 + 1 = d(x,z) + d(z,y)

x  y, y = z thì d(x,y) = 1 = 1 + 0 = d(x,z) + d(z,y)

Vậy d(x,y)  d(x,z) + d(z,y)

Định nghĩa 1.1.2

Cho không gian metric (X,d)

Dãy hội tụ : dãy xn  X gọi là hội tụ đến a X nếu (  > 0) ( n0  *): ( n  n0) thì d(xn, a) <  ,

kí hiệu:

n n

   hay xn  a (n  )

Điểm a còn được gọi là giới hạn của dãy (xn) trong không gian metric (X,d)

Dãy cơ bản : dãy xn  X gọi là dãy cơ bản ( dãy Cauchy )  (  > 0) ( n0  *): (m, n  n0) thì d(xn, xm) <   (  > 0) ( n0  *): ( n  n0) ( p  *) thì d(xn + p , xn) <  hay xn là dãy cơ bản 

m,n lim d(x , x )

  = 0 hoặc nlim d(x n p , x ) n

  = 0  p = 1,2,…

Không gian đủ: Không gian metric mà mọi dãy cơ bản đều hội tụ được gọi là không gian metric đủ.

1.2 Tô pô trong không gian metric

Định nghĩa 1.2.1:

Cho không gian (X,d), r > 0, a  X

Hình cầu mở: Ta gọi B(a, r) = { x  X: d(x,a) < r } là hình cầu mở tâm a, bán kính r.

Hình cầu đóng: Ta gọi B’(a, r) = { x  X: d(x,a)  r } là hình cầu đóng tâm a, bán kính r.

Định nghĩa 1.2.2:

Cho không gian (X,d), A  X

Tập mở: A được gọi là tập mở nếu  x A thì x là điểm trong của A

Điểm trong: x  A được gọi là điểm trong của A nếu   > 0 : B(x, )  A

Tập đóng: Tập A được gọi là tập đóng nếu X\A = Ac là tập mở

Quy ước , X vừa là tập đóng vừa là tập mở

Định lý 1.2.1: Trong không gian metric hình cầu đóng là tập đóng hình cầu mở là tập mở

Định lý 1.2.2: Cho không gian metric (X,d), F  X

F là tập đóng   {xn}  F và xn  x thì x  F

Định lý 1.2.3: Cho (X,d) là không gian metric thì:

a) Hợp của một họ tùy ý cac tập mở la tập mở:

G mở    G

 là tập mở

b) Giao của hữu hạn các tập mở là tập mở:

Gi là tập mở  i = 1, n 

n i

i 1

G



 là tập mở c) Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng:

Fi đóng  i = 1, n 

n i

i 1

F



 là tập đóng d) Giao của một họ tùy ý các tập hợp đóng là tập đóng:

F đóng   = 1, n  F

 là tập đóng

1.3 Ánh xạ liên tục

Định nghĩa 1.3.1:

Ánh xạ f: X  Y từ không gian metric (X,dX) vào không gian metric (Y,dY) được gọi là liên tục tại x0

nếu (  > 0), (  > 0) ( x  X): dX(x, x0) <  thì dY(f(x),f(x0)) < 

Ánh xạ liên tục tại mọi điểm thuộc A  X thì ta nói f liên tục trên A  X

Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x  X

Định nghĩa 1.3.2:

Ánh xạ f: X  Y từ không gian metric (X,dX) vào không gian metric (Y,dY) được gọi là liên tục đều trên A  X nếu (  > 0), (  > 0) ( x, x’  X):

dX(x, x’) <  thì dY(f(x),f(x’)) < 

Hiển nhiên ánh xạ f liên tục đều thì liên tục

1.4 Tập hợp compact và bị chặn.

Định nghĩa 1.4.1:

Không gian compact: Không gian metric (X,d) là không gian compact nếu với mỗi dãy điểm {xn} 

X,  {x n k }  {xn}: x n k x  X (k  )

Tập compact: Tập A  X là tập compact nếu không gian con A l à không gian compact nghĩa là 

{xn}  A,  {x n k }  {xn}: x n k x  A (k )

Định lý 1.4.1: (Định lý về tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact)

Ánh xạ lien tục f: X  Y từ không gian metric (X,dX) vào không gian metric (Y,dY) K là tập compact trong X thế thì:

1 f liên tục đều trên K

2 f(K) là tập compact trong Y

Định nghĩa 1.4.2:

Tập hợp bị chặn: Cho A là tập hợp tùy ý trong không gian metric (X,d) Số (A) =

x,y A

supd(x,y)

gọi là đường kính của tập A, nó có thể là số hữu hạn hoặc vô hạn Nếu (A) <  thì A được gọi là tập hợp bị chặn

Từ đó suy ra:

A bị chặn   B(a,R): A  B(a,R)

Tập hoàn toàn bị chặn: A được gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu   > 0,  xj  X (j = 1, n) sao cho A



n

j

j 1

B(x , )





Tập A  X hoàn toàn bị chặn thì bị chặn

Hệ quả:

Tập con của tập hoàn toàn bị chặn là tập hoàn toàn bị chặn

Hợp của hữu hạn các tập hoàn toàn bị chặn là tập hoàn toàn bị chặn

Trong không gian Euclid k

 tập A bị chặn  A hoàn toàn bị chặn

1.5 Không gian vectơ (không gian tuyến tính)

Định nghĩa:

Giả sử X là một tập hợp, K là một trường (K =   ) trên có hai phép toán “+” và “.” thỏa mãn 8 tiên đề sau:

1)  x, y  X ta có: x + y = y + x

2)  x, y, z  X ta có; (x + y) + z = x + (y+z)

3)  x X,  X: x +  = x

4)  x X,  x’ X: x + (-x’) =  kí hiệu: x – x’ = 

5)  x X,  ,  K: ((x)) = ()x

6)  x, y  X,  K: (x + y) = x + y

7)  x X,  ,  K: ( + )x = x + x

8)  x X,  K: x =  

x

 



Khi đó X được gọi là không gian vectơ trên trường K

Ví dụ:

[a,b

C ] = { x(t) liên tục trên [a,b] } được trang bị hai phép toán

a)  x, y C [a,b]: x + y = x(t) + y(t)

b)  xC [a,b], : x = x(t)

Khi đó nó là không gian vectơ

Thật vậy

1)  x, y C [a,b]: x + y = x(t) + y(t) = y(t) + x(t) = y + x

2)  x, y, zC [a,b]: x + (y + z) = x(t) + (y(t) + z(t)) = (x(t) + y(t)) + z(t) = (x + y)+z 3)  xC [a,b],   X: x +  = x(t) +  = x(t) = x

4)  xC [a,b],  -xC [a,b]: x + (-x) = x(t) + (-x(t)) = x – x = 

5)  xC [a,b],  ,  :   ( x)   ( x(t)) (   )x(t) (   )x

6)  x, y C [a,b],   :  (x y)   (x(t) y(t))   x(t)   y(t)    x y

7)  xC [a,b],  ,  : (   )x (    )x(t)  x(t)  x(t)   x x

8)  xC [a,b],   :

1.6 Không gian định chuẩn không gian Banach

Định nghĩa 1.6.1:

Không gian định chuẩn:

Giả sử X là không gian vectơ (không gian tuyến tính), ánh xạ

:X

 

 thỏa mãn các tính chất sau:

Khi đó ánh xạ . được gọi là một chuẩn xác định trên không gian vectơ X Không gian X cùng với một chuẩn xác định trên nó là một không gian định chuẩn Kí hiệu là: ( X, ), x là chuẩn của x X

Định nghĩa 1.6.2:

Sự hội tụ:

Dãy điểm {xn} hội tụ đến a trong không gian định chuẩn X

n n

Kí hiệu: nlim x n a hay x n a (n )

Định nghĩa 1.6.3:

Dãy cơ bản:

Dãy điểm xn trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy)  ( > 0) ( n0  *): (m, n  n0) thì x n  x m < 

 ( > 0) ( n0  *): ( n  n0) ( p = 1,2… thì x n p  x n 

Định nghĩa 1.6.4:

Không gian Banach:

Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Định lý 1.6.1:

Cho không gian định chuẩn X Với mọi x,y X thì:

a) x  y   x y

b) Đặt d(x, y)   x y thì d là metric trong X gọi là metric sinh bởi (hay metric tương thích với) chuẩn.

 a) Ta có:

Từ (1) và (2) ta có: x  y   x y

b) x, y, z  X ta có: d(x+z, y+z) = d(x,y)

x, y  X  (x-y) X do đó  d(x,y) = x y 

Kiểm tra các tiên đề:

i) x, y X ta có d(x, y)   x y  0

d(x,y) = 0  x y  = 0  x – y = 0

 x = y

ii) x, y X ta có d(x, y)   x y   ( 1)(y x)   1 y x    y x  d(y, x)

iii) x, y, z X :

d(x, y)   x y  (x z) (z y)      x z  z y d(x, z) d(z, y)   

Vậy d(x, y)   x y là một metric

Từ đó ta suy ra mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric ở định

lý trên Do đó mọi khái niệm mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.

Nhận xét:

 Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy

 Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy

Định nghĩa 1.6.5:

Tính liên tục: Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường K, M  X Khi đó

Toán tử A: M  Y được gọi là liên tục theo dãy điểm nếu với mỗi dãy {xn} M,

n = 1, 2… sao cho:

n

n

n

n



1.7 Tính lồi

 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.7.1:

Giả sử X là một không gian tuyến tính,  là tập các số thực Tập A  X được gọi là lồi nếu:

x1, x1 X,  : 0     1 x 1  (1   )x 2  A

Mệnh đề 1.7.1.

Giả sử A  X (  I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ Khi đó

A =

I

A



 cũng lồi.

Chứng minh:

Lấy x1, x1 A khi đó x1, x1 A ( I)

 I, do A là lồi nên:

  x 1  (1   )x 2  A( : 0   1 )

Mệnh đề 1.7.2.

Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T: X  Y là toán tử tuyến tính, khi đó

a) A  X lồi suy ra T(A) lồi

b) B  Y lồi suy ra nghịch ảnh T-1(B) của ảnh B là tập lồi

Định lý 1.7.1: Giả sử A  X lồi, x1, x2,…,xm  A Khi đó A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x1, x2,…,xm

 Bao lồi và bao đóng

Định nghĩa 1.7.2: Giả sử tập A X, giao của tất cả các tổ hợp chứa A được gọi là bao lồi của tập A và kí hiệu

là CoA

Nhận xét 1.7.1.

a) CoA là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A

b) A lồi  CoA = A

Định nghĩa 1.7.3 Giả sử tập A X, giao của tất cả các tập lồi, đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập

A và kí hiệu là CoA

Nhận xét 1.7.2:

CoA là tập đóng, đó là tập đóng nhỏ nhất chứa A

Định nghĩa 1.7.4:

Cho M  X, X là không gian tuyến tính trên trường K, khi đó ta định nghĩa:

spanM là không gian con tuyến tính nhỏ nhất chứa M

 Liên tục trên tập compact

Mệnh đề 1.7.3: Cho M   là một hàm liên tục trên tập compact khác rỗng M của không gian định chuẩn X Khi đó f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên M

Mệnh đề 1.7.4: Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng trường K, cho

A : M  X  Y là toán tử tuyến tính liên tục trên tập compact khác rỗng M của X, khi đó A liên tục đều trên M

Định nghĩa 1.7.5:

Toán tử compact: Cho X, Y là các không gian định chuẩn

Toán tử tuyến tính A: X  Y được gọi là toán tử compact nếu A biến tập bị chặn bất kỳ trong X thành tập compact tương đối trong Y

Định lý 1.7.2 Cho A, B là các toán tử compact: X  Y (X, Y là các không gian định chuẩn) thì  p, q ta có

pA + qB là toán tử compact

 Giả sử E là tập bị chặn trong X, {yn} là dãy tùy ý các phần tử của tập

(pA + qB)(E)  {xn}  X: yn = (pA + qB)xn , n = 1, 2…

Vì A là toán tử compact nên tồn tại dãy con (Ax n k ) (  Ax n ) hội tụ trong Y

Vì B là toán tử compact nên tồn tại dãy con (Bx n kj) (B  x n k ) hội tụ trong Y

 dãy (pA qB)x  n  p Ax n  qBx n (j = 1, 2,…) hội tụ trong Y hay yn chứa dãy con hội tụ trong Y