132 hsg 09 cam lo phuong hoang

Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD HA .Đường vuông góc với với BC tại D cắt AC tại E.. a Chứng minh hai tam giác BECvà ADC đồng dạng.. b Chứng minh tam giác ABE cân.. c Gọi M là trung đi

ĐỀ THI CHỌN HSG CAM LỘ - NĂM HỌC 2008-2009

Câu 1: (1,0 điểm)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x42009x22008x2009

Câu 2: (2,0 điểm)

Giải phương trình sau:

2 2 45 3 8 4 69

Câu 3: (1,0 điểm)

a) Chứng minh rằng

4 4

3 3 2 2 2

ab a b a b



b) Cho hai số dương ,a b và a 5 b Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

1 1

P

a b

 

Câu 4: (2,0 điểm)

a) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện :

a2006+b2006=a2007+b2007=a2008+b2008 Hãy tính tổng: Sa2009b2009

b) Chứng minh rằng :

2 3 5 13 48

6 2

 là số nguyên

Câu 5: (1,0 điểm)

Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn phương trình sau:

2 3 1 0

xy x y 

Câu 6: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC AB, đường cao AH H( BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD HA Đường vuông góc với với BC

tại D cắt AC tại E

a) Chứng minh hai tam giác BECvà ADC đồng dạng

b) Chứng minh tam giác ABE cân.

c) Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G Chứng minh rằng:

GB

BC=

HD AH+HC

……….HẾT……….

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

………

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG CAM LỘ - HÀ TĨNH NĂM HỌC

2008-2009 Câu 1: (1,0 điểm)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x42009x22008x2009

Lời giải

4 2009 2 2008 2009

x  x  x x4x212008x2 x 1

x2 x 1 x2 x 2009 

Câu 2: (2,0 điểm)

Giải phương trình sau:

2 2 45 3 8 4 69

Lời giải

2 2 45 3 8 4 69

         

15 2( 15) 3( 15) 4( 15)

13 15 37 9

      

15

x

Câu 3: (2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng

4 4

3 3 2 2 2

ab a b a b



b) Cho hai số dương ,a b và a 5 b Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

1 1

P

a b

 

Lời giải

a)(1,0 điểm)

4 4

3 3 2 2 2

ab a b a b



4 4 2 3 2 3 2 2 2 0

⇔( a4−2 a3b+a2b2)+( b4−2 ab3+ a2b2)

⇔( a2− ab )2+( b2− ab )2≥0

1 1 a b 5

P



P

ab a b



Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

4

5 khi

5 2

a b 

Câu 4: (3,0 điểm)

a) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện :

a2006+b2006=a2007+b2007=a2008+b2008 Hãy tính tổng: Sa2009b2009

b) Chứng minh rằng :

2 3 5 13 48

6 2

 là số nguyên

Lời giải

a) (1,0 điểm)

Ta có: a2008b2008 a2007b2007 a b  ab a 2006 b2006

1 a b ab

     (1 a)(1 b) 0  a1,b1 Vậy S 1 1 2   

b) (1,0 điểm)

2 3 5 13 48

6 2



2

2 3 5 (2 3 1)

6 2





2

2 3 ( 3 1)

6 2





2 2 3

6 2

2 ( 6 2)

1

6 2



 

Câu 5: (3,0 điểm)

Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn phương trình sau:

2 3 1 0

xy x y 

Lời giải

xy x y   xy y x  y x  x

Ta thấy x 3 không thỏa mãn, với x 3thì

5 2

3

y

x

 

 ;

Để y nguyên thì x  3 phải là ước của 5;

Suy ra: x y = ,  4,7 ; 8,3   

Câu 6: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC AB, đường cao AH H( BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD HA

.Đường vuông góc với với BC tại D cắt AC

tại E

a) Chứng minh hai tam giác BEC và ADC

đồng dạng

b) Chứng minh tam giác ABE cân.

c) Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G Chứng minh rằng:

GB

BC=

HD AH+HC

Lời giải

a) (1 điểm)

XétADC và BECcó:

CE CB( vì CDECAB)

Cchung

Suy ra: ADCBEC (c-g-c)

b)(1 điểm)

Theo câu ta suy ra: BECADC

Ta có: ADC EDC ADE  135  BEC135

Suy ra: AEB   45

Do đó: ABE cân (tam giác vuông có một góc bằng 45)

c) (1 điểm)

ABE

 cân tại E nên AM còn là phân giác của BAC

Suy ra:

GC AC , mà

AC DC (doABCDEC)

Mà

DC HC (doED AH// ); Mặt khác :

HC HC

Do đó:

GC HC

