127 hsg 10 cap huyen nguyen vinh

b Chứng minh HF BI.. Thí sinh không được sử dụng tài liệu.. Giám thị không giải thích gì thêm.. Liên hệ tài liệu word môn toán:... Liên hệ tài liệu word môn toán:... b Chứng minh HF BI

Trang 1

ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009 – 2010

Câu 1: (2,0 điểm)

Cho biểu thức:

4



a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P tại a  2 3  3 1 2   3

Câu 2: (1,5 điểm)

Giải phương trình: x 2 x1 x1 1.

Câu 3: (2,5 điểm)

Cho ,x y là các số dương.

a) Chứng minh: 2

x y

yx 

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2

M

  



Câu 4: (3,0 điểm)

Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB2R ( M không trùng với A và B ) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn

có bờ là đường thẳng AB kẻ tiếp tuyến , Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại

;

I tia phân giác của IAM cắt nửa đường tròn O tại ,E cắt IB tại ; F đường thẳng BE cắt AI tại , H cắt AM tại K

a) Chứng minh 4 điểm , , , F E K M cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh HF BI

c) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R?

Câu 5: (1,0 điểm)

Tìm các số tự nhiên ,x y biết rằng: 2x1 2  x2 2  x3 2  x4 5y 11879

……….HẾT……….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

………

Liên hệ tài liệu word môn toán:

Trang 2

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009 – 2010

Câu 1: (2,0 điểm)

Cho biểu thức:

4



a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P tại a  2 3  3 1 2   3

Lời giải

a) Điều kiện

0

0 1

1 0

a

a a







 











 1 2 12 4  1 1

1

P





 

4

a

Vậy P4a

b) a  2 3 2   3 2   3 3 1   

2 3 3 1   2 3  3 12 2 3 4 2 3  

Vậy a  2 do đó P4a4 2

Câu 2: (1,5 điểm)

Giải phương trình: x 2 x1 x1 1.

Lời giải

Điều kiện x 1

 2

x x  x   x   x 

(1) Khi x1 1  x  1 1 x2: Ta có

(1) x1 1  x1 1 Phương trình vô nghiệm

Khi 0 x1 1  0 x 1 1   1 x 2: Ta có

 1  (1) 1 x1 x1 1  2 x1 0  x1

Vậy x 1 là nghiệm của phương trình đã cho

Trang 3

Câu 3: (2,5 điểm)

Cho ,x y là các số dương.

a) Chứng minh: 2

x y

yx 

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2

M

  



Lời giải

a) Vì x > 0, y > 0 nên 0

x

y  và 0

y

x 

Áp dụng bất đẳng thức a b 2 ab dấu "=" xảy ra  a b

ta có

y x  y x 

x y

yx 

Dấu "=" xảy ra

2 2

x y

y x

(vì x > 0, y > 0)

b) Đặt

x y a

y x

 

, ta có

4 4

a a

M a

    

x y a

y x

  

nên

3 3

4 2

a



;

Ta có

2 2 1

Do đó

1

a a

       

;

5

2 2

M   a  xy

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng

5

2 khi và chỉ khi x y

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB2R ( M không trùng với A và B ) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn

có bờ là đường thẳng AB kẻ tiếp tuyến , Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại

;

I tia phân giác của IAM cắt nửa đường tròn O tại ,E cắt IB tại ; F đường thẳng BE cắt AI tại , H cắt AM tại K

a) Chứng minh 4 điểm , , , F E K M cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh HF BI

c) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn

O để chu vi AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm

giá trị đó theo R?

Lời giải

x

K

F M I

Trang 4

a) Ta có M E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB nên , FMK  90 và FEK   90

Vậy 4 điểm , , , F E K M cùng nằm trên đường tròn đường kính FK

b) Ta có HAK cân tại A nên AH AK (1)

K là trực tâm của AFB nên ta có FK AB

Do đó FAH AFK mà FAH FAK (gt) cho nên AFK FAK

Suy ra AK KF, kết hợp với (1) ta được AH KF (3)

Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK Mà AK IB. 

suy ra HFIB

c) Chu vi của AMB C AMB MA MB AB  lớn nhất khi chỉ khi MA MB

lớn nhất (vì AB không đổi).

Áp dụng bất đẳng thức  2  2 2

2

a b  a b

dấu "=" xảy ra  a b , ta có

MA MB 2 2(MA2MB2) 2 AB2

Nên MA MB đạt giá trị lớn nhất bằng AB 2 khi và chỉ khi

MA MB hay M nằm chính giữa cung AB.

Vậy khi M nằm chính giữa cung AB thì CAMB đạt giá trị lớn nhất

Khi đó

AMB

C MA MB AB AB   AB  AB R 

Câu 5: (1,0 điểm)

Tìm các số tự nhiên ,x y biết rằng: 2x1 2  x2 2  x3 2  x4 5y 11879

Lời giải

Đặt A 2x1 2  x2 2  x3 2  x4

, ta có 2 x A là tích của 5 số tự nhiên

liên tiếp nên 2 x A chia hết cho 5 Nhưng 2 x

không chia hết cho 5, do đó

A chia hết cho 5.

Nếu y  , ta có 1 2x1 2  x2 2  x3 2  x4 5y

chia hết cho 5 mà 11879 không chia hết cho 5 nên y  không thỏa mãn, suy ra 1 y  0

Khi đó, ta có 2x 1 2  x 2 2  x 3 2  x 4 5y 11879

2x 1 2  x 2 2  x 3 2  x 4 1 11879

2x 1 2  x 2 2  x 3 2  x 4 11880

2x 1 2  x 2 2  x 3 2  x 4 9.10.11.12 3

x

Trang 5

Vậy x3;y là hai giá trị cần tìm.0

……… HẾT………

Tiêu đề	Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009 – 2010
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông Nguyễn Vĩnh
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	đề thi
Năm xuất bản	2009 – 2010
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	332,29 KB