luận văn hình học trên mặt cầu

luận văn hình học trên mặt cầu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ BÍCH NGUYÊN

HÌNH HỌC TRÊN MẶT CẦU

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN VĂN MINH

Thái Nguyên - Năm 2011

Mục lục

Mục lục 2

1 Các kiến thức cơ bản 6 1.1 Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ 6

1.2 Kinh độ và vĩ độ 13

2 Tam giác cầu 16 2.1 Khái quát về tam giác cầu 16

2.1.1 Tam giác cầu và các yếu tố cơ bản 16

2.1.2 Tính chất của tam giác cầu 18

2.1.3 Tam giác cầu cực 19

2.2 Các định lí trong tam giác cầu 22

2.2.1 Định lí hàm sin 22

2.2.2 Định lí cosin thứ nhất 23

2.2.3 Hướng tàu 25

2.2.4 Định lí hàm số cosin thứ hai 27

2.2.5 Định lý hàm số cotang 28

2.3 Các công thức theo góc, cạnh chia đôi 31

2.3.1 Công thức góc chia đôi 31

2.3.2 Công thức tổng hai góc chia đôi, hiệu hai góc chia đôi 32

2.4 Giải tam giác cầu 33

2.4.1 Khái quát chung 33

2.4.2 Giải tam giác cầu khi biết 3 cạnh 34

2.4.3 Giải tam giác cầu khi biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh ấy 36

2.4.4 Giải tam giác cầu biết 2 cạnh và một góc đối diện với một trong 2 cạnh ấy 39

2.4.5 Giải tam giác cầu biết 2 góc và một cạnh đối diện với một trong 2 góc ấy 42

2.5 Tam giác cầu vuông 43

2.5.1 Tam giác cầu vuông 43

2.5.2 Hai quy tắc dễ nhớ của Nêpe 44

2.5.3 Các ví dụ ứng dụng 45

3 Thiên cầu 50 3.1 Độ cao và góc cực; Độ thiên và góc giờ 50

3.1.1 Độ cao và góc cực 50

3.1.2 Độ thiên và góc giờ 53

3.2 Biểu đồ cho nam bán cầu và những ngôi sao thấy ở đường chân trời 57

3.2.1 Biểu đồ cho nam bán cầu 57

3.2.2 Những ngôi sao thấy ở đường chân trời 58

3.3 Độ lệch tiêu chuẩn hoặc thiên cầu địa tâm và cách tính góc tam giác cầu P ZX 60

3.3.1 Độ lệch tiêu chuẩn hoặc thiên cầu địa tâm 60

3.3.2 Cách tính góc tam giác cầu P ZX 62

3.4 Sự tiến thẳng và độ nghiêng; Quỹ đạo của trái đất 64

3.4.1 Sự tiến thẳng và độ nghiêng 64

3.4.2 Quỹ đạo của trái đất 66

3.5 Kinh độ và vĩ độ thiên; Thời gian thiên văn 69

3.5.1 Kinh độ và vĩ độ thiên 69

3.5.2 Thời gian thiên văn 70

Lời mở đầu

Việc ứng dụng hình học trong mặt phẳng đã được rất nhiều chuyên giavới nhiều công trình nghiên cứu khác nhau Tuy nhiên, từ khi con ngườiphát hiện ra trái đất không phải là mặt phẳng mà là hình cầu thì việcnghiên cứu hình học phẳng chưa đáp ứng được yêu cầu nghiên cứu vềthiên văn và hàng hải Vì vậy nó thôi thúc một lĩnh vực nghiên cứu mới

đó là ”Hình học cầu”

Hình học cầu ra đời đã phần nào đáp ứng được nhu cầu nghiên cứu

về việc đi lại trên biển, về việc đi lại giữa các vì sao, về vũ trụ, Vì vậy,hình học cầu không thể thiếu được trong các môn học nghiên cứu về thiênvăn và hàng hải Việc nghiên cứu hình học cầu là niềm say mê của không

ít người đặc biệt là những người đang trực trực tiếp dạy toán Chính vìthế để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập tác giả đã chọn đề tài ”Hìnhhọc trên mặt cầu” làm đề tài nghiên cứu của luận văn

Đề tài nhằm một phần nào đó đáp ứng mong muốn của bản thân vềmột đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc học tậpcủa các em học sinh, sinh viên nghiên cứu lĩnh vực thiên văn, hàng hải.Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục

tài liệu tham khảo.

Chương 1 Các kiến thức cơ bản

Chương 1 đưa ra các kiến thức về các định nghĩa, định lý và tính chất

cơ bản của hình học cầu

Chương 2 Tam giác cầu

Chương 2 đưa ra định nghĩa, tính chất của tam giác cầu, tam giác cầucực; các định lý và các công thức cơ bản của tam giác cầu Đặc biệt, chương

2 đưa ra các phương pháp giải tam giác cầu kèm theo ví dụ minh họa chotừng trường hợp cụ thể Đồng thời ở chương 2 chúng tôi muốn giới thiệuviệc ứng dụng của hình học cầu trong lĩnh vực hàng hải

Chương 3 Thiên cầu

Chương 3 đưa ra định nghĩa, tính chất của các yếu tố liên quan tới thiêncầu Đồng thời chương 3 cũng giới thiệu các cách xác định vị trí trên thiêncầu như: tính góc cầu của tam giác cầu, tính góc phương vị, góc giờ, độlệch của vị trí 1 ngôi sao xác định trên thiên cầu

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của tiến TSNguyễn Văn Minh Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâusắc đối với người thầy của mình, người đã nhiệt tình hướng dẫn chỉ bảo

và mong muốn được học hỏi thầy nhiều hơn nữa

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, KhoaToán-Tin trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên, các thầy côgiáo dạy lớp Cao học Toán K3 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và truyền

thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu-các thầy cô giáo tổToán-trường THPT Nhã Nam-tỉnh Bắc Giang, bạn bè, đồng nghiệp cùnggia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ khích lệ tôi hoàn thành luận vănnày

Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã tập trung học tập và nghiêncứu một cách nghiêm túc trong suốt khóa học Tuy nhiên,do hạn chế vềthời gian, cũng như trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện khôngtránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của cácthầy cô giáo và những góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiệnhơn

Thái Nguyên 2011Nguyễn Thị Bích Nguyên

Chương 1

Các kiến thức cơ bản

1.1 Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ

Trước hết ta có một vài định nghĩa sau

1 Hình cầu là một vật thể giới hạn bởi một mặt bao gồm các điểm cókhoảng cách không đổi tới một điểm cố định gọi là tâm của hình cầu.Đoạn thẳng nối điểm bất kì trên mặt cầu với tâm được gọi là bán kính.Đoạn thẳng đi qua tâm nối hai điểm bất kì trên mặt cầu gọi là đườngkính

2 Giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng là một đường tròn

CA

B

Giả sử AB là giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng nào đó,

O là tâm hình cầu Kẻ OC vuông góc với mặt phẳng; lấy D thuộc

giao tuyến và nối OD, CD Vì OC vuông góc với mặt phẳng nên góc

\

OCD là góc vuông; do đó CD = √

OD2

− OC2 Do O và C cố địnhnên OC là hằng số; OD cũng là hằng số vì bằng bán kính hình cầuvậy nên CD là hằng số Như vậy mọi điểm trên giao tuyến đều cách

C một khoảng không đổi, tức C là tâm của đường tròn giao tuyến

3 Giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng được gọi là đường tròn lớn nếumặt phẳng đó đi qua tâm hình cầu, gọi là đường tròn nhỏ nếu mặtphẳng đó không đi qua tâm hình cầu Như vậy bán kính đường trònlớn bằng với bán kính hình cầu

4 Trục của một đường tròn là đường kính của hình cầu vuông góc vớimặt phẳng chứa đường tròn; hai điểm đầu của đường kính gọi là cáccực của đường tròn Khoảng cách từ các cực của đường tròn lớn đếnmặt phẳng chứa đướng tròn là bằng nhau Các cực của đường trònnhỏ có khoảng cách khác nhau đến mặt phẳng chứa đường tròn; chúngđược gọi là tương ứng cực gần và xa

D

BO

RC

SF

E

AXY

Q

B’

Trên hình vẽ, EAB là một đường tròn lớn, vì mặt phẳng chứa nó

đi qua tâm của hình cầu Giả sử QOP là đường kính của hình cầuvuông góc với mặt phẳng (EAB) Lấy điểm R tùy ý trên OP, vẽ mặtphẳng qua R và song song với (EAB) giao với hình cầu theo đườngtròn nhỏ F CD Các điểm P, Q là các cực của đường tròn lớn EAB

và đường tròn nhỏ F CD

Giả sửP CAQlà đường tròn lớn đi qua các cựcP, Qvà cắtF CD, EAB

lần lượt tại C vàA; P DB là một cung của đường tròn lớn khác đi qua

P, Q Khi đó ta nói tại P có 1 góc cầu và được xác định theo cách sau:

Vẽ tiếp tuyến P S, P T tương ứng với các cung P A, P B; hiển nhiên

P T song song vớiOB, P S song song vớiOA Góc SP T[ gọi là góc cầu

tại P tạo bởi 2 cung đường tròn lớn P A, P B và nó bằng AOB[

5 Khoảng cách từ các điểm trên đường tròn đến các cực của đường trònluôn bằng nhau

P

BC

O

DA

P’

Giả sử O là tâm của hình cầu, AB là đường tròn bất kì, C là tâm,

P và P0 là các cực của đường tròn Lấy D thuộc đường tròn; nối

CD, OD, P D Khi đó P D = √

P C2

+ CD2 ; P C và CD không đổi

do đó P D cũng không đổi Giả sử có đường tròn lớn qua P và D thìdây cung P D không đổi, tức là cung của đường tròn lớn nằm giữa P

và D là hằng số khi D chạy trên đường tròn AB

6 Cung của đường tròn lớn tính từ cực tới bất kì điểm nào trên đườngtròn bằng 900

P

B

OAC

Giả sử P là cực của đường tròn lớn ABC thì cung P A có số đobằng 900

Thậy vậy ta thấy P O vuông góc với(ABC) vìP là cực của (ABC),

do đó P OA[ bằng 900 nghĩa là sđ P A_ bằng 900

7 Góc trương ở tâm hình cầu của một cung đường tròn lớn nối các cựccủa 2 đường tròn lớn luôn bằng góc giữa 2 mặt phẳng chứa các đườngtròn đó

Giả sử O là tâm của hình cầu, CD, CE là các đường tròn lớn giaonhau tại C, A và B lần lượt là các cực của CD, CE.

Vẽ đường tròn lớn qua A và B, cắt CD, CE tại M và N Khi đó

AO vuông góc với OC, BO vuông góc với OC nên OC vuông gócvới mặt phẳng(AOB), do đó OC vuông góc với OM, ON Như vậy

\

M ON là góc giữa 2 mặt phẳng (OCD) và (OCE)

Hơn nữa:

[AOB = \AOM − \BOM = \BON − \BOM = \M ON

8 Hai đường tròn lớn chia đôi nhau:

Vì mặt phẳng chứa các đường tròn lớn đi qua tâm của hình cầu,tức là đường nối các giao điểm chính là đường kính của hình cầu vàmỗi đường tròn lớn chỉ có duy nhất một đường kính, do đó các đườngtròn đó được chia thành 2 phần bằng nhau bởi các giao điểm

9 Các đường tròn lớn đi qua các cực của một đường tròn lớn cho trướcđược gọi là các đường tròn phái sinh (secondaries circle) Trong hình

vẽ C là cực của ABM N, do đó CM vàCN là các phần của các đườngtròn phái sinh; góc giữa CM và CN bằng số đo cung M N: Như vậy,góc giữa 2 đường tròn lớn bằng số đo cung chúng chắn trên đường trònlớn mà chúng là các đường tròn phái sinh

10 Cung tròn trên mặt cầu

Hai điểm A, B bất kì trên đường tròn sẽ chia đường tròn thành 2cung Cung có số đo nhỏ hơn gọi là cung tròn nhỏ, cung có số đo lớn

hơn gọi là cung tròn lớn Sau đây ta chỉ xét cung tròn nhỏ.

AB Cung tròn nhỏ trên mặt cầu được gọi là cungđường tròn lớn (đôi khi gọi là cung cầu lớn) Độ dài của cung cầu lớn

A, B Ngược lại, có vô số cung cầu nhỏ qua 2 điểm trên mặt cầu.Định lí 1.1 Đường đi ngắn nhất giữa 2 điểm trên mặt cầu là theocung cầu lớn

Chứng minh Giả sử σ : [a, b] −→ S là đường cong cho dưới dạng

tham số trên mặt cầu S với σ(a) = A, σ(b) = B Trong tọa độ Đề các

σ viết dưới dạng σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) Khi đó độ dài của σ được

tính bởi công thức sau:

l(σ) =

Z b

a

[p(x0(t)2

Dấu ”=” xảy ra khi ϕ0(t) = 0 hoặc sin2

θ(t) = 0 với mọi t, tức là đitheo cung cầu lớn AB

12 Số đo cung đường tròn nhỏ và số đo cung đường tròn lớn trương cùngmột góc ở tâm

P

C

O

AB

b

a

Giả sử ab là cung đường tròn nhỏ, C là tâm đường tròn, P là cực,

O là tâm hình cầu Qua P vẽ đường tròn lớn P aA và P bB, gặpđường tròn lớn cực làP tại 2 điểm A, B; nối Ca, Cb, OA, OB Khi đóCa,Cb,OA,OB đều vuông góc vớiOP, vì mặt phẳngaCb, AOB vuônggóc với OP nên Ca song song với OA, Cb song song với OB

Như vậy aCbd =AOB[, suy ra

_ab

Ca =

_ABOA

=⇒

_ab_AB

= Ca

OA = Ca

Oa = sin [P Oa1.2 Kinh độ và vĩ độ

*Trong nhiều bài toán thực tế Trái đất được xem như 1 quả cầu tuyệtđối với bán kính khoảng 6400 km, quay xung quanh 1 trục nối 2 cực từtrường trái đất N, S N gọi là cực bắc, S gọi là cực nam Đường tròn lớnnằm trong mặt phẳng vuông góc với N S gọi là xích đạo Mặt phẳng chứađường xích đạo gọi là mặt phẳng xích đạo Mặt phẳng xích đạo chia mặtcầu thành 2 bán cầu gọi là bán cầu bắc và bán cầu nam

*Các mặt phẳng song song với mặt phẳng xích đạo cắt mặt cầu theogiao tuyến là các đường tròn nhỏ, gọi là các vĩ tuyến Các vĩ tuyến ở báncầu bắc gọi là vĩ tuyến bắc, ở bán cầu nam gọi là vĩ tuyến nam

*Qua hai cực nam, bắc có vô số các đường tròn lớn Hai cực này chiacác đường tròn lớn thành 2 nửa, mỗi nửa đường tròn lớn đó gọi là 1 kinhtuyến Đặc biệt, kinh tuyến đi qua đài thiên văn Greenwich được quy ước

là kinh tuyến gốc; trên hình đó là N GKS.

N

JO

K

YL

EW

S

λϕ

X

*Giả sử kinh tuyến N HLS cắt xích đạo tại L Số đo góc KOL\ được

gọi là kinh độ của kinh tuyến N HS Nó bằng số đo cung KL nằm trênxích đạo và bằng số đo góc cầu cực KN L Kinh độ kí hiệu là λ và được

đo từ 00 đến 1800 đông hoặc tây so với kinh tuyến gốc (theo hướng mũitên gần K)

Trên hình vẽ kinh độ của N XS khoảng 1000

E (east), kinh độ của

N M S khoảng 600

W (west) Các điểm nằm trên cùng kinh tuyến thì cócùng kinh độ

Qui ước: Trái đất quay từ tây sang đông (W → E), tức là khi một

người đứng ở tâm trái đất, đầu hướng về phía bắc nhìn về xích đạo thìchiều quay ngược chiều kim đồng hồ

*Để xác định chính xác vị trí của 1 điểm trên mặt cầu, ta cần xác định

vị trí của điểm đó trên kinh tuyến qua nó Điều này được thực hiện nhờtham chiếu đến xích đạo Xét điểm J trên kinh tuyến N HS Kinh tuyếnqua J cắt xích đạo tại L và số đo góc LOJ[ hay cung tròn lớn LJ được gọi

là vĩ độ của J, kí hiệu là ϕ Nếu J nằm giữa xích đạo và cực bắc N thì tanói J có vĩ độ bắc (N), nếu J nằm giữa xích đạo và cực nam S thì ta nói

Chương 2

Tam giác cầu

2.1 Khái quát về tam giác cầu

2.1.1 Tam giác cầu và các yếu tố cơ bản

1 Cho 3 điểm A, B, C trên mặt cầu tâm O bán kính R Ta gọi phần mặtcầu giới hạn bởi 3 cung tròn lớn AB_ , BC_ , AC_ là tam giác cầu ABC,các điểm A, B, C được gọi là các đỉnh của tam giác cầu

O

A

C

BB’

tt’

2 Nối OA, OB, OC kéo dài ta được tam diện Oxyz đỉnh O Các góc ởđỉnh BOC\ = sđ BC_ = a, AOC[ = sđ AC= b_ , BOA[ = sđ AB= c_ làcác cạnh của tam giác cầu, viết tắt là a =BC_ , b =AC_ , c =AB_

3 Giả sử At là tiếp tuyến của cung AC_, At0 là tiếp tuyến của AB_ tại A

(các tiếp tuyến hướng từ A về B, C); khi đó tAt0 là góc tại đỉnh A củatam giác cầu Đó chính là góc nhị diện cạnh OA tạo bởi 2 mặt phẳng

(OAC) và (OBC) Tương tự ta cũng xác định được 2 góc còn lại tại

B và C

Vậy tam giác cầu có 6 yếu tố cơ bản là; 3 cạnh a, b, c và 3 góc A, B, C

đối diện lần lượt với cạnh

4 Quy ước:Số đo các cạnh trong tam giác cầu luôn nhỏ hơn 1800

Trong hình vẽ cung ADEB_ lớn hơn nửa vòng tròn, và có thể xem

ADEB, AC, BC là các cạnh của tam giác cầu với các góc là A, B, C.Tuy nhiên theo quy ước trên ta không xét tam giác cầu loại này; Ởđây tam giác với các góc A, B, C được hiểu là tam giác với 3 cạnh

7 Đường vuông góc (hay đường cao) của tam giác cầu kẻ từ một đỉnhđến cạnh đối diện là 1 cung tròn lớn nối đỉnh ấy với 1 điểm H trêncạnh đối diện sao cho góc cầu cực tại H tạo bởi cung tròn lớn ấy vàcạnh đối diện là 900 Trong tam giác cầu có thể có 2 hay 3 góc vuông

và có thể có vô số đường cao kẻ từ một đỉnh

và có vô số đường cao kẻ từ các đỉnh

2.1.2 Tính chất của tam giác cầu

1 Với mỗi tam giác cầu ABC có một góc tam diện đỉnh là tâm cầu O

Giả sử A, B, C là các góc của tam giác cầu: a0, b0, c0 là các cạnh củatam giác cầu cực Theo trên ta có:

a0+ b0+ c0 < 2π ⇔ π − A + π − B + π − C < 2π ⇔ A + B + C > π

Vì mỗi góc A, B, C đều nhỏ hơn π nên A+ B + C < 3π

6 Đại lượng ε = A + B + C − π là thặng dư cầu Khi đó với tam

giác cầu ABC trên mặt cầu bán kính R thì diện tích tam giác cầu

SABCcầu = εR2 (ε đo bằng radian)

7 Trong tam giác cầu đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngượclại, tức là: a > b ⇔ A > B.

2.1.3 Tam giác cầu cực

1 Tam giác cầu cực Cho ABC là một tam giác cầu, A0 là cực của BC_

cùng phía với A, B0 là cực của CA_ , C0 là cực của AB_ và nằm cùngphía với C Khi đó A0B0C0 được gọi là tam giác cầu cực của ABC.Chú ý: Vì mỗi cạnh của tam giác cầu đều có 2 cực, do đó sẽ có 8tam giác cầu được tạo nên bởi các đỉnh là các cực đó Tuy nhiên chỉ

có tam giác A0B0C0 tạo bởi quy tắc trên được goi là tam giác cầu cực.Tam giác ABC gọi là tam giác gốc tương ứng với tam giác A0B0C0

C’

E

DB

CB’

2 Nếu A0B0C0 là tam giác cầu cực của ABC thì ABC là tam giác cầucực của A0B0C0.

3 Các cạnh và các góc của tam giác cầu cực lần lượt là phần bù của cácgóc và các cạnh của tam giác gốc

Giả sử B_0C0 cắt AB_ ,AC_ lần lượt tại D và E Do Alà cực của B0C0

nên số đo góc tại A bằng số đo DE_ Hơn nữa B_0E, C_0D đều có số đobằng 900, do đó số đo DE_ + B_0C0 bằng 1800, tức là góc trương B_0C0

tại tâm cầu và góc A là bù nhau Có thể chỉ ra C_0A0 là phần bù của

B, A_0B0 là phần bù của C theo cách tương tự

Do ABC là tam giác cầu cực của A0B0C0 nên cũng suy ra BC_ , CA__

AB là phần bù của A0, B0, C0

Nếu kí hiệu A, B, C, a, b, c lần lượt là các góc và các cạnh của tamgiác cầu ABC còn A0, B0, C0, a0, b0, c0 lần lượt là các góc và các cạnhcủa tam giác cầu cực thì ta có:

Giả sử tam giác ABC có AC = BC, O là tâm hình cầu Kẻ tiếptuyến tại A và B tương ứng với cung AC_, BC_ ; chúng cùng cắt OC

tại điểm S, ta thấy AS = BS

Kẻ tiếp tuyến AT, BT tại A, B với cung AB_ , khi đó AT = T B;nối T với S Xét tam giác SAT, SBT có SA, AT, T S lần lượt bằng

SB, BT, T S; do đó hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra các góc ởđáy của tam giác cầu bằng nhau

5 Nếu hai góc của một tam giác cầu bằng nhau thì hai cạnh đối diệnbằng nhau

Vì tam giác gốc có hai góc bằng nhau nên tam giác cầu cực sẽ cóhai cạnh bằng nhau Theo trên trong tam giác cầu cực 2 góc đối diệnvới cạnh đó sẽ bằng nhau

Vậy suy ra trong tam giác gốc hai cạnh đối diện với hai góc bằngnhau là bằng nhau

6 Trong tam giác cầu cạnh đối diện với góc lớn hơn là lớn hơn

Giả sử trong tam giác cầu ABC; góc ABC[ lớn hơn góc BAC[:

khi đó cạnh AC lớn hơn cạnh BC Từ B kẻ BD sao cho góc \ABD

7 Trong tam giác cầu góc đối diện với cạnh lớn hơn là lớn hơn.

Chúng ta chứng minh nhờ tam giác cầu cực và theo kết quả trên

2.2 Các định lí trong tam giác cầu

OA = R Hạ AH⊥OBC và AB0⊥OB Khi đó HB0⊥OB, hay ta có

\

AB0H = B Tương tự kẻ AC0⊥OC tại C0 ta sẽ có AC\0H = C

Trong tam giác vuông AB0O có AB0 = Rsinc, trong tam giác AHB0 ta

có AH = AB0sinB = RsincsinB Trong tam giác vuông AC0O ta có

AC0 = Rsinb Trong tam giác AHC0 có AH = AC0sinC = RsinbsinC

Từ đó ta có RsincsinB = RsinbsinC Với 0 < B, C < π nên suy ra

sinb

sinB = sinc

sinC Tương tự ta có kết quả:

sinasinA = sinb

sinB = sinc

sinC

2.2.2 Định lí cosin thứ nhất

Trong tam giác cầu ABC thì

cosa = cosbcosc + sinbsinccosAcosb = cosacosc + sinasinccosBcosc = cosacosb + sinasinbcosC

Chứng minh Xét tam giác cầuABC trên mặt cầu tâm O Lấy điểm M bất

kỳ trên OA rồi trong ∆AOC kẻ M N⊥OA, trong ∆AOB kẻ M E⊥OA.

Khi đó ta có N M E\ là góc phẳng nhị diện cạnh OA hay N M E\ = A.

Xét tam giác vuông M N O có M N = OMtanb, ON = OM

cosb, trong

∆OME ta có M E = OMtanc, OE = OM

cosc.Xét ∆ON E có: N E2

c − 2OMcosbOMcosccosa

= OM2tan2b+ OM2tan2c− 2OM2tanbtanccosA

⇔ 1

cos2

b + 1cos2

c − 2 cosacosbcosc = tan2b+ tan2c− 2tanbtanccosA

⇔ 1 + tan2b+ 1 + tan2c− 2 cosa

cosbcosc

= tan2b+ tan2c− 2tanbtanccosA

⇔ 1 − cosa

cosbcosc = −tanbtanccosA

⇔ cosbcosc − cosa = −sinbsinccosA

⇔ cosa = cosbcosc + sinbsinccosA

Hai công thức còn lại chứng minh tương tự

Ví dụ 3 Một tầu đi từ cảng A đến cảng B biết ϕA = 150

S0

Xét tam giác cầu N AB: gọi kinh tuyến qua N A cắt xích đạo tại A0,kinh tuyến qua N B cắt xích đạo tại B0, tâm trái đất là O

Ta có: AOA\0 = ϕA = 150

20030” ⇒N A_ = 900

− ϕA = 740

39030”

24021”.Trên trái đất ta quy ước 1 hải lý ứng với 10 Vậy khoảng cách hai cảng

A và B là lAB = 2904, 35 hải lý, suy ra thời gian hành trình tàu là

t= lAB

v = 242h1045”

2.2.3 Hướng tàu

*Quy ước đường trục tàu là đường thẳng từ lái đến mũi tàu

*Giả sử một tàu khởi hành từ A đến B Gọi góc của tiếp tuyến với kinhtuyến tại A hướng về cực bắc và tiếp tuyến cung tròn lớn AB_ tại A tínhtheo chiều thuận kim đồng hồ là hướng chuyển động của tàu, kí hiệu là

chuyển động từ A theo hướng nào? biết ϕA = 550

2.2.4 Định lí hàm số cosin thứ hai

Trong tam giác cầu ABC thì

cosA = sinBsinCcosa − cosBcosCcosB = sinAsinCcosb − cosAcosCcosC = sinAsinBcosc − cosAcosB

Chứng minh Xét tam giác cầu cực đối A0B0C0 của ∆ABC Theo định lýhàm cosin thứ nhất ta có: cosa0 = cosb0cosc0 + sinb0sinc0cosA0

⇒ cos(π−A) = cos(π−B)cos(π−C)+sin(π−B)sin(π−C)cos(π−a).

⇒ cosA = sinBsinCcosa − cosBcosC.

Tương tự ta cũng chứng minh được hai công thức còn lại

Ví dụ 5: Một tầu chạy từ A theo hướng 2200

12035” qua kinh tuyến gốctại B Biết ϕA = 180

47020”N, λA = 220

50016”E Hỏi nếu tầu chạy từ B

về A thì hướng tầu là bao nhiêu? Xác định vị trí B

GiảiN

Xét tam giác cầu cực N AB ta có: AN B\ = bN = λA = 220

cosB = sinAsinN cos N A_ −cosAcosN = 0, 784522461

⇒ bB = 380

19024”.Vậy hướng tàu chạy từ B về A thì hướng tầu là: HTB = 380

19024”.Theo định lý hàm số sin ta có

sinN B_sin bA = sin

_

N Asin bB

⇒ sin N B=_ sin

_

N A sin bAsin bB = 0, 985625645, suy raN B= 80_ 0

16025”(loại)hoặc N B= 99_ 0

là viết theo thứ tự: cạnh, góc,cạnh, góc đối diện cạnh thứ nhất, chẳng hạn:

aBcA, cBaC, aCbA,

A

CB

b

ac

Trong tam giác cầu ABC ứng với 4 yếu tố liên tiếp aBcA thì

cotasinc− sinBcotA = cosccosB

Chứng minh Trong tam giác cầu ABC ta có :

cosb = cosacosc + sinasinccosB

và

sinbsinB = sina

sinA ⇒ sinb = sina

⇔ cosa = cosacos2c+ sinasinccosccosB + sinasincsinBcotA

⇔ cosa − cosacos2c = sinasinc[cosccosB + sinBcotA]

⇔ cosa(1 − cos2c) = sinasinc[cosccosB + sinBcotA]

⇔ cosasin2c = sinasinc[cosccosB + sinBcotA]

Vì 0 < a, c < π nên sinasinc 6= 0 Chia 2 vế cho sinasinc ta được:

cotasinc = cosccosB + sinBcotAcosccosB = cotasinc − sinBcotA

Chứng minh tương tự ta cũng được các công thức với 4 yếu tố khác

Ví dụ 6 Một tầu chạy từ cảng A đến cảng B theo hướng HTA =

SA= 900

− ϕA = 840

39015”, bS = 3600

− (λA + λB) = 180

Với cặp 4 yếu tố liên tiếp sAbS theo định lý cotang:

cotssinb − sin bAcot bS = cos bAcosb

⇒ cots = sin bAcot bS + cos bAcosb

sinb = 2, 706376903

Khi đó AB_ = s = 200

16045”.Với 4 cặp yếu tố liên tiếp SB, S, b, A_ ta cũng có:

cot SB sinb_ − sinScotA = cosbcosS

⇒ cot SB=_ sin bScot bA+ cos bScosb

2.3 Các công thức theo góc, cạnh chia đôi

2.3.1 Công thức góc chia đôi

Theo định lý cosin thứ nhất: cosa = cosbcosc + sinbsinccosA, suy ra:

cosA = cosa− cosbcosc

⇒cosA

2 =

rsinpsin(p − a)sinbsinc

Vậy ta có

tanA

2 =

ssin(p − b)sin(p − c)sinpsin(p − a)

Hoàn toàn tương tự ta cũng có

tanB

2 =

ssin(p − a)sin(p − c)sinpsin(p − b) ;

tanC

2 =

ssin(p − a)sin(p − b)sinpsin(p − c)

2.3.2 Công thức tổng hai góc chia đôi, hiệu hai góc chia đôi

Theo công thức tang ta có

1 − tanA2tanB

2

⇒ tanA+ B2 =

ssin(p − b)sin(p − c)sinpsin(p − a) +

ssin(p − a)sin(p − c)sinpsin(p − b)

1 −

ssin(p − b)sin(p − c)sinpsin(p − a)

ssin(p − a)sin(p − c)sinpsin(p − b)

⇔ tanA+ B

2 =

ssin(p − b)sin(p − c)sinpsin(p − a) +

ssin(p − a)sin(p − c)sinpsin(p − b)

1 −

ssin(p − b)sin(p − c)sinpsin(p − a)

ssin(p − a)sin(p − c)sinpsin(p − b)

⇔ tanA+ B

2 =

rsin(p − c)sinp (

ssin(p − b)sin(p − a) +

ssin(p − a)sin(p − b))

1 − sinsinp(p − c)

⇔ tanA+ B

2 =

rsin(p − c)sinp (sin(p − b) + sin(p − a)

psin(p − a)sin(p − b))sinp− sin(p − b)

sinp

⇔ tanA+ B

2 =

ssinpsin(p − c)sin(p − a)sin(p − b)

2sin2p − a − b

2 cos

a− b22cos2p − c

2 sin

c2

2 sin

c2

=

cosa− b2cosa+ b2

.cotC2

Tương tự ta cũng có

tanA+ C

2 =

cosa− c2cosa+ c2

.cotB2

tanB + C

2 =

cosb− c2cosb+ c2

.cotA2

2.4 Giải tam giác cầu

2.4.1 Khái quát chung

1 Bài toán: Tam giác cầu có 6 yếu tố cơ bản là 3 cạnh a, b, c và 3 góc

A, B, C Tam giác cầu hoàn toàn xác định khi biết 3 trong 6 yếu tố

cơ bản ấy Giải tam giác cầu tức là xác định 6 yếu tố cơ bản củatam giác cầu khi biết các giả thiết về tam giác cầu ấy Khi giải tamgiác cầu thường đưa về giải các phương trình lượng giác có vô sốnghiệm, do đó ta phải lựa chọn nghiệm thích hợp với điều kiện củatam giác cầu, phù hợp với thực tế của bài toán đặt ra Khi đó ta dựa

vào các điều kiện: 0 < a, b, c < π; 0 < A, B, C < π; |a − b| < c;

|a − c| < b; |b − c| < a; a < b + c; c < a + b; b < a + c; 0 < a + b + c <2π; π < A+B+C < 3π; A+B−C < π; B+C−A < π; A+C−B < π.

2 Dạng cơ bản

*Giải tam giác cầu biết 3 cạnh (hay 3 góc)

*Giải tam giác cầu biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh ấy

*Giải tam giác cầu khi biết 2 cạnh và 1 góc đối diện với 1 trong 2 cạnhấy

3 Phương pháp: Ta thường sử dụng 2 phương pháp để giải các bàitoán trên

*Giải trực tiếp: dựa vào các yếu tố đã cho tính trực tiếp các yếu tốchưa biết mà không cần thông qua các yếu tố trung gian

*Giải gián tiếp: Đưa về giải tam giác cầu cực, tính các yếu tố qua cáckết quả trung gian (thường mắc sai số tích lũy)

2.4.2 Giải tam giác cầu khi biết 3 cạnh

Cho tam giác cầu ABC biết 3 cạnh a, b, c, cần tính 3 góc A, B, C

Các góc khác cũng được tính tự.

*Chú ý: Với tam giác cầu biết 3 góc A, B, C ta đưa về giải tam giác cầutrực đối biếta0 = π − A, b0 = π − B, c0 = π − C được A0, B0, C0, từ đó suyra: a = π − A0, b = π − B0, c = π − C0

Ví dụ 7: Giải tam giác cầu ABC biết:

Hoàn toàn tương tự ta cũng được B, C

Ví dụ 8: Giải tam giác cầu ABC biết

A= 650230, B = 7201903000, C = 920470180

*Cách 2: Tính trực tiếp theo định lý cosin thứ hai

cosa = cosA+ cosBcosC

2.4.3 Giải tam giác cầu khi biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh ấy

Cho tam giác cầu ABC với giả thiết biết a, b, C Tính A, B, c?

Theo định lý cosin thứ nhất: cosc = cosacosb + sinasinbcosC