(Luận văn thạc sĩ toán học) BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0  NỬA NHÓM

BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0  NỬA NHÓMBÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0  NỬA NHÓMBÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0  NỬA NHÓMBÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0  NỬA NHÓMBÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0  NỬA NHÓMBÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0  NỬA NHÓMBÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0  NỬA NHÓMBÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0  NỬA NHÓM

59

- 1

MỞ ĐẦU

Bài toán Cauchy trừu tượng của các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là bài toán có lịch sử lâu đời trong chuyên ngành Giải tích ứng dụng Nó được áp dụng khá nhiều trong các lĩnh vực khoa học như vật lý học, sinh học,

kỹ thuật, tài chính

Khi xét bài toán này ta thường gặp các khả năng khác nhau về nghiệm

của nó Theo định nghĩa của Hadamard, bài toán Cauchy được gọi là đặt chỉnh đều nếu nó tồn tại nghiệm, nghiệm này là duy nhất và nghiệm phụ

thuộc liên tục vào các dữ kiện của bài toán

Phương pháp nửa nhóm đã được phát triển mạnh mẽ và có vai trò quan trọng trong việc giải quyết bài toán Cauchy cho các phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach với toán tử không bị chặn

Luận văn nghiên cứu bài toán Cauchy trừu tượng dạng thuần nhất

u '

(t ) = Au (t ),

u

(0) =

x,

t ≥ 0,

(CP)

trong đó

A: X → X là toán tử tuyến tính, đóng, không bị chặn trên khônggian Banach X và u

việc ứng dụng phương pháp C0 − nửa nhóm và phương pháp nửa nhóm

n −lần tích hợp trên không gian Banach X để nghiên cứu tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy trên

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 - Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của

C0 − nửanhóm Đây là loại nửa nhóm đơn giản nhất trong số lớp các toán tử không bị chặn và bài toán Cauchy tương ứng được đặt chỉnh đều Từ đó đưa ra một số

ví dụ minh họa

Chương 2 - Trình bày lớp nửa nhóm mở rộng của lớp nửa nhóm

C0 đó là

nửa nhóm n −lần tích hợp và nửa nhóm n −lần tích hợp địa phương bị chặn

mũ, không suy biến Áp dụng phương pháp này để nghiên cứu tính

(n,ω

) − đặt chỉnh của bài toán Cauchy cho nhiều lớp phương trình Trong

chương này chúng tôi cũng đã đưa ra một số ví dụ minh họa dựa trên các phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Hà

Tiến Ngoạn Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thời gian

qua thầy đã dành nhiều thời gian và công sức, tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy phản biện, các thành viên Xêmina thuộc tổ Giải tích trường ĐHKHTN đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em để luận văn được hoàn thiện hơn

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN, các thầy Viện Toán học Việt Nam cùng các giáo sư nước ngoài đã từng tham gia giảng dạy tại trường Trong những năm qua thầy cô đã tâm huyết truyền đạt những kiến thức vô cùng quý báu cho chúng em, giúp

em có thêm nhiều kiến thức đặc biệt là kiến thức chuyên ngành cần thiết để ứng dụng khi thực hiện luận văn

Cuối cùng là lời cảm ơn đến cơ quan, gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện cho tác giả được đi học, động viên khích lệ và giúp đỡ về mọi mặt để tác giả

có thêm động lực học tập và hoàn thiện luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2011

Chương 1 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ C0 − NỬA NHÓM

1.1 C0 − nửa nhóm

Cho X là không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh)

Họ các toán tử tuyến tính, bị chặn

{T (t),

t

≥0}

trên không gian Banach

X được gọi là C0 −

nửa nhóm (nửa nhóm liên tục mạnh) nếu

(T1) T

(0)

=

I

(I là toán tử đồng nhất)

tử

A

),

ký hiệu

ρ

(

A

)

toán tử

(



Đối với toán

tử sinh A

của nửa nhóm liên tục mạnh

{T

(t),

t

≥0},

t

a có

ta có

T

(t ) x∈ D ( A) và

d T (t ) x = T (t ) Ax

= AT

(t ) x

với ∀t ≥ 0 ;(1.1.2)

ho

∀

t

≥

0,

ho

∀

t

≥0

x

∈

X

ta có

ta có

0

nếu

x∈ X ,

(1.1.4)

C

nếu

1 Hiể

n nhiên, d

án

tử tuyế

n tín

h

và d

o tín

h ch

ất củ

a gi

ới hạn

A(

x

) =

lim

Vì

li m

∀

ε

>

0,

ra

Theo định nghĩa

tích phân, ∀ε > 0 tồn tại phân hoạch của

[0,t ]

m y

∈

D

(

A

)

,

từ định nghĩa

của toán tử sinh

A suy ra

lim T ( t + h ) x

− T ( t )

x = T (t ) lim T ( h ) x − x = T (t ) Ax . h→ 0 + h h→ 0 + h V ậ ylim T

( h ) T

( t ) x

− T

( t

) x

tồn tại

Theo

định

nghĩa

của

D

(

A

)

ta có

T

(

t

)

x∈

D

(

A

)

v à

AT (t ) x = T (t ) Ax .

4 V

ới m ọi

x∈ X ,

∀t ≥ 0

ta có

1 

T

(h) t T (s) xds − t T (s) xds



=1 t

T

(h + s) xds −

1 t

T

(s) xds

=1 t+h T

(s) xds −1 t T

(s) xds

=1 t T

(s) xds +1 t+h T

(s) xds −1 h T

(s) xds

−1 t T

(s) xds

∫

h

=1 t+h T

(s) xds −1 h T

(s) xds

0

h

h h

h

A

và

T

(h)

với

∀τ: 0 ≤τ

≤1 và vì

T

(0)

=1

suy ra

K ≥1

Với

∀t ≥ 0

ta có

ta có thể viết dưới dạng t = n +τ,

n

∈Æ,

0 ≤τ <1,

T

( )

=

T

(

n T

( )

t

≥0}

là

C

0

−

nửa

nhóm

và toán tử sinh A của nó là toán

tử tuyến tính Ta phải chứng minh:

a A là toán tử đóngGiả sử lấy

minh

x∈ D ( A)

và

Ax = y

Do (1.1.5) ta có

hội tụ đều trên

trái tồn tại và hội tụ tới A

Thác triển liên tục trên toàn không gian X = D(

khác

lại

có

( (

(1.1.10)

Từ (1.1.9) và (1.1.10) suy ra sự tồn tại toán tử

bị chặn trên X

∞

∞

R

( λ ) :

= ( λ

Reλ,

Re µ

> ω,

(1.1.11)

nếu

và chỉ nếu

T

tho

ả mã

,

Ch ứn

g mi nh

Cho

Reλ,

Re µ >

ω , từ Định lý duy nhất của phép biến đổi

Laplace

sau là tương đương

trên không gian Banach X , các tính chất

1.2 Bài toán Cauchy

Xét bài toán Cauchy

u '

(t ) = Au (t ),

n

tử tuy

ến tín

h, đó

ng với mi

ền xá

c địn

h khôn

g gia

n Banach

Đ ịn

h n g hĩ

a 1 2 1

và thỏa

n

ế

u

Bài toán Cauchy (CP)

được gọi là đặt chỉnh đều

3 Nghiệm ổn định

đều đối với điều

kiện ban đầu

∀



B ổ

đ ề

1 2 1

Τ

>

0,

i đó

nếu

với

và du

y nh

ất nghiệm

của (CP), thì nghiệ

m này

ổn định đối với điều

ki

ện ba

n đầ

u

x

C h ứ

ng mi nh

Gi

ả sử

m du

y nh

ất củ

a bà

i

toán Cauchy với giá trị ban đầu

 ,

D (

A) }

là toán tử nghiệm với mọi Τ> 0 ,

g gia

n Banach:

phả

i chứng

mi

nh

T

(t )

→ Ay

(t )

tron

g X

đều theo t

y

có nghĩa

củ

a (C

P)

vớ

i giát

r

ị ban

đầu

y

(0)

=

x

,nghiệm

này

khả

vi

liên

tục

trên

[

0,Τ

]

Do

vậy

y (t ) = T

t ≥ 0

là nghiệ

m du

y nhấ

t

V

ậy to

nh trên

ác,

do tập giả

i khi

đó

ta có

xét

λ

0

∈

ρ (



Định lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn

c ơ

i đó

m

{

T

(t) , t

≥0};

(III) Đi

ều ki

ện Miyadera-Feller-Phillips-Hille-Yosi

da (MFPH

Y) đố

i vớigiải

thức

của

toán

tử

A

:

tồn

tại

K

>

0,

ω

∈\

sao cho

với

mọi

∀

λ

∈Ø: Re

≤

K k

!

,

(1.2

.2)

(Re

g trườn

g hợ

p nà

y nghiệmc

ủa (CP) có dạng

Giả

sử bài toá

n (CP)

là đặt chỉ

nh đều trên

u nà

y tươn

g đươngvớ

i

nghi

ệm

tồn

tạ

i và

du

y

nhấ

t vớ

i mọi

ta ký

hiệu

A

n đều với

Τ

∈

\

trên

toàn ước lượng chuẩn

Bây

i ∀x∈ D

( A).

Cho

T

(t +

kiện ban đầu T

(h)

x

Do tính duy nhất nghiệm ta suy ra

∀

A

T

(t + h)

thác triển trên toàn không gian X ,

ta có

T

)

t, h ≥ 0,

mãn điều kiện (T1) của định nghĩa

C0 −

nửa nhóm

Lạ

i c

ó điề

u kiệ

n ba

n đầu

T

(0)T (h)

x

=

T

(h)

x

với

ra

T

(0)

=

I

và do vậy (T2)

đư

ợc th

ỏa mãn

M

ặt khá

c do

T

( )

bị

chặn

đều

với

mọi

Τ

>

0,

Τ

∈

\,





và

n tụ

c trên

t

≥0

V

ì vậy

hàm

hi

t

≥

0,

do vậy thỏa mãn (T3)

Vậy họ các toán tử

{T

(t),

t

≥ 0}

nhóm

Hơn nữa, với

x

=

A x,

h→

0





ng min

x∈

D

t

a có:

(II⇒III)Giả sử A

là toán tử sinh của(1.1.7) và (1.1.8)

ta có

C0 − nửa nhóm

{T

(t),

t ≥ 0},

từ điều kiện

(

λ )

= ∞λ(dt t t T ) ∞

−Re λ

− ω t

≤K te dt

dλ A



0 0

=

K k

!

.(Re

λ

−ω

)

2

D

( A) = D T

Cứ tiếp tục như vậy, lấy đạo hàm đến cấp k ta có

^u

(x t,

) ≤ K

x

lim

1

−

ω

t

ω

t x

,

t

≥0

(1.2.6)

là công thức

nghiệ

m của (CP)

^

n

=



(•) của

(CP) đều được biểu diễn dưới dạng

u

(1.2.7)

Th

ật vậ

y,

từ đị

nh nghĩa 1.1.1, cho

(t ) ( x)

Do vậy

T (t)A x

=

A T (t)x,

ả

vi khi

AT

(t −

s

)u (s)+ T (t − s)

−λ )



µ

−λ

(

µ

−

λ )

) 

với Reλ, Re µ> ω, λ ≠ µ

Sử dụng bổ đề Jordan ta có

= v.p 1

∫

σ +i∞eλt R A

( λ )

− λ

theo (1.2.1) thì tích phâ

n trên hội

tụ tuyệ

t đối

và hội

tụ đều

theo t ≥ 0 Tiếp theo lấy đạo hàm dưới dấu

tích phân ta có

v p

^J (t ) là

nghiệm của bài toán Cauchy (CP)

Bây

giờ

ta

phải

chứng

minh

tínhd

uy nhất của nghiệ

m Giả sử

u

(•)

là

nghiệm

của

(CP), vì

ả v

i liê

n tụ

c với

t

≥

0,

lấ

y tíc

h phâ

n từn

g phần

∫

e

λ τ

u

( τ )

dτ

0

t

a có

t t

−

u

(t )e

− λt

+

dτ



0 0

Giả sử u

(0) = 0, do A đóng nên ta có

đó

Kết hợp với (1.2.8) suy

ra u

( τ )= 0

trên



0,t 

 , suy ra nghiệm là duy nhất

1.3 Một số ví dụ

Ví dụ 1.3.1

Xét bài toán Cauchy

∂ +

x

=0,

t

≥ 0,

x ∈ℜ

a Tr

ườ

ng

3.1)

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng

( )

t

≥0,

ả sử

ra

Sử dụng phép biến đổi Fourier, ta phải kiểm tra được

kiện Hille-Yosida

R A

(λ)

thỏa mãn điềuT

≤

λ

đún

g v

ới mọi

x ≥ 0

+ λ )

với

x∈\,

là nghiệm duy nhất của (1.3.1), ổn định đối với điều kiện ban đầu f

b Trường hợp ℜ =



0,∞)

Ta xét bài toán Cauchy (1.3.1) trên không gian trường hợp này

u

(0) = 0

R A

( λ ) f ≤ ∫0e f ds x

−λ (

x−s

)

1

−λ (

thỏa

mãn

điều

kiệ

n Hille- Yosida nhưng

ì lấ

cho

u

(0)

>

0

k

hi đ

ó khôn

g tồ

n tạ

i dã

y b

ất kỳ

do

đó

A

khôn

g sinh ra

C0 − nửa nhómtrên

khôn

g gian

trên không gian X = C0



0,∞)

(không gian các hàm liên tục trên 

0,∞

)

vàtriệt tiêu tại 0) và toán tử nửa nhóm xác định bởi:

,

u

(0) = 0}.

Nhận thấy với mọi

λ

>

0

thì

λ ∉ ρ ( A ) và khi đó bài

toán Cauchy (1.3.1) chỉ

giải được khi

f ≡ 0

Ví dụ 1.3.2 (lớp các toán tử sinh của C0 −

nửa nhóm) Xét bài toán

Cauchy

Đặt u '

(

t

=

u

1

L p

,



v

γ

∈

(

0,1

A

sinh ra

C0 − nửa nhóm trên

X và toán

tử nửa nhóm được xác định bởi:

u

y

ta có

1



kh

i đó

ều ki

ện M

FPHY

Thật

vậy,do

L p

+(+)

ta

có ướ

c lượn

g sau

λ k

≤

{T (t),

t ≥ 0},

khi đó bài toán

 0

(

λ+

n t

và do

đó

(R A ( λ )

tu

y nhiên

R A

( λ )

không thỏa mãn điều kiện MFPH

Y, do

đó trong trường hợpnày bài toán Cauchy không đặt chỉnh

- Nếuγ >

2 , thì toá

và

n hư vậy

bài toán Cauchy cũng không đặt chỉnh trong trường hợp này

A

Ví dụ 1.3.3 (phương pháp nửa nhóm cho phương trình truyền nhiệt)

d 2

t ∈[0, Τ],

Với mỗi t ≥ 0, toán tử tuyến tính trên L2

k = 1

kh

i đó

≤ 1 với mỗi t ≥ 0

Bây giờ ta chứng minh

{T (t ), t ≥ 0} thỏa mãn tính chất nửa nhóm:

Cho v ∈ X , sử dụng phép biến đổi

tự liên hợp

∞

∞

2

ν ∈ X , từ ước lượng (1.3.6) suy ra

u liên tục khi

t

≥0

và

u

(0)

=ν

2 < ∞

c là

k k k

tồn tại và liên tục với ∀t ≥ 0.

là nghiệm mạnh của bài toán

(1.3.5) Dễ kiểm tra A thỏa mãn A = lim T ( h ) −

I

do đó A là toán tử sinh

h→ 0 + h

của nửa nhóm liên tục mạnh

{T (t ), t ≥ 0} Vậy bài toán Cauchy (1.3.5) đặtchỉnh đều trên

D

( A).

∞

Chương 2 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ NỬA NHÓM

≤ Keωt

;

Nửa nhóm

{V (t ),

t ≥0}

được gọi là không suy biến nếu

V

0 (t ) = T (t )

t

0

n

≥ 0

ta có

R

A

( λ )

RA

( λ )

thỏa mãn phương trình giải thức khi và chỉ khi

( λ ) − R ( µ )

.2)

Sử dụng định lý tính duy nhất của phép biến đổi Laplace, ta có

e−λt V

(t ) dt

0 0

∞

(

µ−n R

( µ ) ( µ µ−nλ )

(r + t ) −(t + s − r )n− 1V (r ) dr.

Ch

ú ý:

là không suy biến, thì toán tử

R

( λ )

khả

nghịch Từ (2.1.1) ta nhận thấy

λ I − R ( λ )−1

phụ thuộc vào λ , nghĩa

n t

ử sin

h củ

a nử

a

nhóm

n

−

lầ

n tíc

h hợp

K

hi

đó

ta có1

3 Cho

4 Cho

x

.(2

1.6)

Vậy (2.1.3) được chứng minh Do A đóng nên từ

(2.1.3) suy ra (2.1.4) Đạo hàm n lần (2.1.3) ta được

(2.1.5) Lấy vi phân (2.1.5) ta được (2.1.6)

≤

Kk !

,( λ

thỏa

mãn

điều

kiện và

n

V

(0)

= 0

lim sup h−1

V

(t + h)−V (t )

>

0,

ω ∈\ Toán

tử tuyến tính

A là toán tử sinh

của nửa nhóm

(n

+1

) −

lần tích hợp

thỏa mãn điều kiện (2.1.7),

nếu

và chỉ nếu tồn tại

( λ )

(k ) ! Kk

vớ

K

>

0,

ω ∈

(−∞, a] Khi đó điều kiện

(2.1.8) tương đương với: A là

toán tử sinh của nửa nhóm n −lần tích hợp

{V (t ),

t

≥ 0}

sao cho

C h ứ n

g m i n h

V

( )

≤ Keωt.

Giả sử điều kiện (2.1.8) được thỏa mãn, thì A là toán tử sinh của nửa

nh

đề 2.1

2,

Do vậy

t ≥ 0}

sinh bởi A.

2.2 Bài toán Cauchy (n,ω) −đặt chỉnh

Xét bài toán Cauchy

( )

t

≥ 0,

u

(0)

=

x,

(CP)

Trong đó A là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong không

gian Banach

X

Ở đây

t

≥0

g đó

+

A x

+

+

n (CP)

là

(n,ω )

−đặt chỉnh

(I) A là toán tử sinh của nửa nhóm

khả vi liên tục

(n +1) − lần

u (t ) := V (n)

(t ) x,

∑

m của (CP) với giá trị

là nghiệm n −lần tích hợp duy nhất của (CP)

với giá trị ban đầu u n

t ≥ 0}

lên toàn

không gian X

∫

(n

Hàm toán tử

{V (t ),

t ≥ 0}

bị chặn mũ với mọi x ∈ D

( A n+1 ),

tục

theo

t

Do

vậy

dàng

chứng

minh

toá

n

tử

∫µ

n e V

(

t

)

d t

0

=

R A

{

V

(t ),

t

≥ 0} là nửa

nhóm n −lần tích hợp với toán tử sinh A

2.3 Nửa nhóm

n − lần tích hợp địa phương Định nghĩa 2.3.1

Cho

∞)

Họ cáctoántử

tuyếntínhbịchặn

{

V

(t ),

được gọi là

nửa nhóm n −

lần tích hợp địa phương

trên X ,

nếu điều kiện (V1) trong Định nghĩa 2.1.1

đượ

c

thỏa



0,Τ) .

là nửa nhóm n

−lần tích hợp thì toán

tử sinh của nó

được định nghĩa từ đẳng thức:

Đố

i vớ

i mộ

t nử

a nhóm

n

−

lầ

n tíc

h hợ

p đị

a ph

ương

{0Τ

thìtíc

h ph

ân (2

3.1)

có thể khôn

g tồn tại

Do vậ

y toá

n

tử sinh

A

0

của

nửa

nhóm

địa

phương

−

∞

pn}.

Ta có A0 là toán tử khả đóng, vì vậy ta có thể gọi

A0

là toán tử sinh của nửanhóm n −lần tích hợp địa phương

{V

(t ), 0 ≤ t < Τ} .

Mệnh đề 2.3.1 (tính chất của nửa nhóm

n − lần tích hợp địa phương)

Cho n∈Æ và

A là toán tử sinh của nửa nhóm n −lần tích hợp địaphươ

i mọi

u

(0)

=

x,

(LCP)

được gọi

là n − đặt chỉnh nếu

với mọi nghiệm duy nhất thỏa mãn:

sup

t∈0, τ  ⊂0, Τ

)với Kτ

là hằng

số nào đó

Bổ đề 2.3.1

u

(

t, x

Nếuvới

;

 

toán Cauchy địa phương (LCP) và

 D

( A n+1 ) và là

toán tử đóng

Cho

Do vậy, nghiệm ổn định theo

chuẩn n tương ứng đối với điều

kiện ban đầu

u

(0)

=

x

(LCP)

Nếu

A

là toá

n tử sinh của nửa nhó

m

n

−lầ

n tích hợp

địaphươ

ng, thì bài toán Cauc

hy địa phươ

ng

(LCP) được gọi là n −đặt chỉnh

u

(t )

:=

V

n

(t )

x,

t ∈



0,Τ

) .

Sử dụng

(2.3.2) ta dễ dàng chứng minh được

Theo định lý 2.2.1 đã chứng minh được mọi nghiệm của bài toán này

{V (t ), 0 ≤ t < Τ} và D ( A) =

X

Khi đó tồn tại

m iền

i

(1+λ)

giao hoán với R

( λ, A) trên X và với A trên D ( A).

Sử dụng ước lượng trên cho

G

( λ )

, ta tìm được miền Λ⊂Ø sao cho

G

( λ

)

<1 với mọi λ ∈Λ

( λ )

K λn

log (1+λ )và

− 1

∃K > 0: ∀λ ∈Λ,

( λI − A)

≤

mãn

địa phương và

D

) ≠ φ Khi

đó (2.3.5)

λ

Kết hợp với điều kiện (2.3.6) ta suy ra (2.3.5).

Ngược lại, nếu (2.3.5) được thỏa mãn đối với toán tử A, khi đó

γ

λ

ác địn

h v

ới mọi

=

T

(•)

x

là nghiệ

m duy

nhất của bài toán Cauchy địa phương ổn định theo (2.3.6), khi

đó A là toán tử sinh của nửa nhóm n −lần tích hợp địa phương

{V (t ),

0 ≤ t < Τ

}.

Định nghĩa 2.3.4

Họ các toá

n

tử tuy

ến

tín

h,

bị chặn



k→

{V (t ), 0 ≤ t

< Τ

},

được gọi

x

∈

D

và

Ngược

lại, nếu

−

t n

R

n A

( λ

( λ

)

y d

(

λ )x

d s

,

d

o vậ

y với

B

ổ đ

ề 2.

tử sinh của nửa nhó

m n

−lần tích hợp địaphương

{

V

(t ),

theo Định nghĩa 2.3.4

Khi

đó với mọi hàm liên tục

•)

)

−

H F

Hơn nữa, nếu H ∈C1

{0,τ ),Ø} ,

Chứn

g minh

Do A là toán tử đóng, ta có

r

( E •V ) (t + s) x −( E s •V

) (t )x −( E t •V

) (s) x − F (t )V (s) x+F

∀x ∈ X ,

D

( A)∩C

1

{0,τ ),

Ví dụ 2.4.1 (Nửa nhóm tích hợp với toán tử sinh không xác định trù mật)

Xét bài toán Cauchy

(2.4.1)trên không gian Banach

t ≥ 0,

u '∈C



0,∞),

g hợ

p này

R A

(

λ

)

thỏa mãn điều kiện Hille- Yosida

A không sinh ra C0

− nửa nhóm trên không gian

X = C



0,∞).

Tu

y nhi

ên

A

sin

h ra

C0 −

nửa nhóm trên không gian

(không

gian các hàm liên tục trên



0,∞)

và triệt tiêu tại 0)

Từ (1.1.8)

ta tìm được

toá

n tử tạo

n ên

x