Hướng dẫn học sinh12 giải một số bài toán về mặt cầu, hình cầu bằng phương pháp hình học tổng hợp

Nhiều bài toán trong các kỳ thi vào Đại học, Caođẳng, thi THPT Quốc Gia, thi HSG mặc dù có thể áp dụng các kiến thức cơ bản vàthêm một chút sáng tạo là có thể giải được, thế nhưng đa số

A MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình

thành đội ngũ lao động có tri thức và tay nghề, có năng lực thực hành, năng động,

sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội" (Trích

văn kiện Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ VII) Tại Hội nghị Ban Chấp hành Trung

ương Đảng (khóa XI), ngày 29/10/2012 cũng đã ban hành Kết luận số 51 KL/TW về

Đề án “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công

nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” Trong những năm qua giáo dục nước ta đã và đang có

những đổi mới mạnh mẽ cả về nội dung, phương pháp và đã thu được những kết quảkhả quan

2 Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạonhững con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi mới phương pháp dạy họckhông chỉ trong các bài giảng lí thuyết, mà ngay cả trong quá trình luyện tập Luyệntập ngoài việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận mà thông qua qua đócòn giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiếnthức một cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tậpmột cách năng động sáng tạo

3 Về mặt phương pháp, từ các phương pháp dạy truyền thống như phương phápdùng lời (thuyết trình, đàm thoại ), các phương pháp trực quan, các phương phápthực hành, luyện tập đến các xu hướng dạy học hiện đại như: dạy học giải quyếtvấn đề, lý thuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có sự hỗ trợ của công nghệthông tin, có sử dụng máy tính đã tạo ra một không khí học tập hoàn toàn mới

4 Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông

là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học Toán ởtrường phổ thông Việc đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay nhằm phát huy

tính tích cực của học sinh, qua đó khai thác tính chủ động tiếp thu và khám phá trithức của các em, tạo hứng thú trong học tập.

5 Với tinh thần đó, tôi cũng đã có những đổi mới về mặt phương pháp để phùhợp với giáo dục trong giai đoạn hiện nay Trong quá trình giảng dạy ở trường phổthông, bản thân tôi cũng đã dự nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồi dưỡnghọc sinh ôn thi vào Đại hoc, Cao đẳng trước đây và bây giờ là thi THPT Quốc Giahay bồi dưỡng đội tuyển học sinh Giỏi, chúng tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lựccủa học sinh còn nhiều hạn chế Nhiều bài toán trong các kỳ thi vào Đại học, Caođẳng, thi THPT Quốc Gia, thi HSG mặc dù có thể áp dụng các kiến thức cơ bản vàthêm một chút sáng tạo là có thể giải được, thế nhưng đa số các em gặp khó khăn.Chúng tôi thấy rằng, việc dạy học theo hướng khuyến khích tư duy sáng tạo và tìmmối liên hệ linh hoạt giữa các phần kiến thúc cần được quan tâm hơn, đặc biệt làtrong việc bồi dưỡng HSG, bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại học, thi THPT QuốcGia trong các trường phổ thông là việc làm rất cần thiết hiện nay

II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Rèn luyện cho học sinh biết cách vận dụng các phương pháp giải phương trình,bất phương trình vô tỉ trong trường phổ thông Phân loại các dạng toán thường gặptrong chương trình theo chuẩn kiến thức kĩ năng cũng như trong các kì thi THPTQG,thi HSG các cấp

III NHIỆM VỤ CỦA NGHIÊN CỨU

Trình bày đề tài thông qua hệ thống bài tập Hướng dẫn học sinh giải quyết cácbài toán trong một số tình huống cụ thể Bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng giải toán vàkhả năng sáng tạo tư duy

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách bài tập,

Sách tham khảo, đề thi THPT, đề thi HSG và các tài liệu liên quan

2 Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ của đồng nghiệp, quan sát việc dạy và

học phần bài tập này

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành trên các tập thể lớp.

4 Phương pháp thống kê.

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CỞ SỞ LÝ LUẬN: Muốn giải một bài toán ta thường thực hiện 2 bước:

Bước 1: Huy động kiến thức: Là một thao tác tư duy nhằm tái hiện các kiến thức có

liên quan với bài toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, các bài toán đã gặp, do đóngười làm toán phải biết và cần biết ý tưởng kiểu như: ta đã gặp bài toán nào gần

gũi với bài toán này hay chưa? Nhà bác học Polia đã viết ra một quyển sách kinh

điển với nội dung: "Giải bài toán như thế nào trong đó ông có đề cập đến nội

dung trên như một điều kiện thiết yếu”.

Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là một tổ hợp các hành động, thao tác để sắp xếp các

kiến thức đã biết và các yêu cầu của bài toán lên hệ với nhau như thế nào để từ đótrình bày bài toán theo một thể thống nhất Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chứckiến thức mà trong đó phương pháp tương tự hay tổng quát hóa là những thao tác tưduy cần thiết cho người làm toán

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Trong chương trình Toán cấp THPT hiện hành, phần mặt cầu, khối cầuđược trình bày trong chương trình lớp 12, đây là một nội dung không mới, có nhiềuứng dụng trong thực tiễn cuộc sống, tuy nhiên lại là một mảng kiến thức khá trừutượng đối với phần đại đa số học sinh Làm thế nào để các em học sinh tự tin tìmhiểu, học tập và nghiên cứu nội dung này một cách thích thú? Để trả lời được câuhỏi đó bản thân học sinh cần có kiến thức và nắm vững kỹ năng giải toán Songhiểu theo cách nói là một lẽ, nhưng để giải quyết tốt loại toán này lại là một vấn

đề không dễ Khi làm các bài tập dạng này đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn,lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến không có kết quả tốt, hoặc nếu có thì kếtquả cũng không cao

2 Với những đặc điểm như vừa nêu, tôi cũng đã nghiên cứu, tìm tòi qua nhiềutài liệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp các em học sinh có thể tiếpcận các bài toán về mặt cầu một cách đơn giản, nhẹ nhàng nhưng vẫn đảm bảo các

yêu cầu cần thiết đối với nội dung này, giúp học sinh có cái nhìn cụ thể, rõ ràng hơn

đối với một trong những vấn đề khó ở trường phổ thông, bởi vậy tôi chọn đề tài

“Hướng dẫn học sinh12 giải một số bài toán về mặt cầu, hình cầu bằng

phương pháp hình học tổng hợp ”.

III NỘI DUNG VÀ BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1.1 Mặt cầu và hình cầu (khối cầu):

Cho mặt cầu S(O;R) được xác định khi biết tâm và bán

kính R hoặc biết một đường kính AB của nó

Diện tích mặt cầu: S  4 R2

Thể tích khối cầu (hình cầu): 4 3

3

1.2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:

Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P) Gọi OH=d là khoảng cách từ O đến (P) thì: +) Nếu d < R: mp(P) cắt mặt cầu theo đường tròn giao tuyến có tâm H, bán kính

2 2

r R  d Đặc biệt khi d 0 thì mặt phẳng (P) đi qua tâm O của mặt cầu, mặtphẳng đó gọi là mặt phẳng kính; giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu làđường tròn có bán kính R, gọi là đường tròn lớn của mặt cầu

+) Nếu d = R, mp(P) và mặt cầu S(O;R) có điểm chung duy nhất là H Khi đó mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H hoặc mp(P) là tiếp diện của mặt cầu tại tiếp điểm H

+) Nếu d > R: mp(P) không có điểm chung với mặt cầu

1.3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:

Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của O trên  và

d OH là khoảng cách từ O tới 

+) Nếu d < R: đường thẳng  cắt mặt cầu tại hai điểm.

+) Nếu d = R, đường thẳng  và mặt cầu S(O;R) có điểm chung duy nhất là H

Khi đó, đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H hoặc  là tiếp tuyến của mặtcầu tại điểm H

+) Nếu d > R: Đường thẳng không có điểm chung vơi mặt cầu

1.4 Định lý: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;R) thì qua A có vô số tiếp tuyến

với mặt cầu Khi đó:

a) Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau

b) Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu

1.5 Phương tích: Cho mặt cầu S(O;R) và điểm M Qua điểm M, vẽ hai cát tuyến cắt

1.6 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:

Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện gọi là mặt

cầu ngoại tiếp hình đa diện gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện và hình đa diện gọi

là nội tiếp mặt cầu đó

Điều kiện cần và đủ để có một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp

có đường tròn ngoại tiếp

Điều kiện cần và đủ để có một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng vàđáy của hình lăng trụ đó có đường tròn ngoại tiếp

Xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp

Hình chóp S A A A 1 2 n có đáy là đa giác nội tiếp đường tròn (C), gọi  là trục củađường tròn đó và gọi O là giao điểm của  với mặt phẳng trung trực của một cạnhbên, chẳng hạn SA1 thì OS=OA1 OA2  OA n nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp đường tròn Gọi I, I’ là hai tâm củađường tròn ngoại tiếp 2 đáy thì II’ là trục của hai dường tròn Gọi O là trung điểmcủa II’ thì O cách đều các đỉnh nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp

1.7 Mặt cầu nội tiếp hình đa diện: Mặt cầu tiếp xúc với mọi mặt của hình đa diện

gọi là mặt cầu nội tiếp hình đa diện và hình đa diện gọi là ngoại tiếp mặt cầu đó

Xác dịnh tâm I của mặt cầu nội tiếp:

Tìm điểm I cách đều tất cả các mặt của khối đa diện Với 2 mặt song song thì I thuộcmặt phẳng song song cách đều, với 2 mặt phẵng cắt nhau thì I thuộc mặt phân giác(chứa giao tuyến và qua một đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng lần lượtthuộc 2 mặt phẳng, vuông góc với giao tuyến)

2 MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN

Bài toán 1: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C cho trước

b) Tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác ABC cho trước

Phân tích và hướng dẫn giải

a) I là tâm của mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt A, B, C cho trước khi và chỉ khi IA

= IB = IC Vậy tập hợp các điểm I là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Mặt cầu tâm O tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA

của tam giác ABC lần lượt tại các điểm I, J, K khi và

chỉ khi OI AB, OJ  BC, OK  CA, OI = OJ = OK

Gọi O' là hình chiếu vuông góc của điểm O trên

mp(ABC) thì các điều kiện là: O'l AB, O'J BC,

O'K CA, OT = O'J = O'K, hay O' là tâm đường tròn

nội tiếp tam giác ABC

Vậy tập hợp các tâm O là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài toán 2: Tìm tập hợp các điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ

M tới 8 đỉnh của một hình hộp cho trước bằng k2 cho trước

Phân tích và hướng dẫn giải

Giả sử ba kích thước của hình hộp là AB = a, BC = b, CC' = c thì:

Nếu k’ = 0 thì điểm M trùng với O Nếu k’ <0 thì tập hợp là rỗng.

Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD Từ một điểm M vẽ 4 cát tuyến MAA', MBB', MCC,

MDD' với mặt cầu nội tiếp Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

4

MA MB MC MD

MA MB MC MD 

Phân tích và hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD

Gọi mặt cầu ngoại tiếp S(O; R) Ta có:

Vậy H cố định nên tập hợp các điểm M là mặt phẳng vuông góc với OG tại H

Bài toán 4: Cho P là một điểm cố định nằm bên trong một mặt cầu cho trước Ba

dây PA, PB, PC vuông góc nhau từng đôi một Gọi Q là đầu mút thứ hai của đường

chéo PQ của hình hộp chữ nhật mà các cạnh là PA, PB, PC Tìm quỹ tích các điểm Qkhi ba điểm A, B, C chạy trên mặt cầu.

Phân tích và hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có:PQ PA PB PC  

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì: PA PB PC   3PG

Do đó PA 3PG nên quỹ tích của Q là ảnh của quỹ tích của G qua phép vị tự tâm p tỉ

2 2 2 3 2

OI PI IG

0 3

Suy ra quỹ tích của Q

Bài toán 5: Cho 2 đường tròn O r; ,O r'; 'cắt nhau tại A, B và lần lượt nằm trên haimặt phẳng phân biệt (P), (P')

a) Chứng minh mặt cầu (S) đi qua 2 đường tròn đó

b) Cho r = 5, r' = 7ĨÕ , OO ' 21, AB = 6 Tính bán kính của (S)

Phân tích và hướng dẫn giải

a) Gọi M là trung điểm của AB thì OM AB, O'M  AB.Từ đó mp(OMO') là mp trung trực của AB

Gọi  và  ' lần lượt là trục của đường tròn C(O; r) và C O r'( '; ')thì và  'cùngvuông góc với AB nên,  ' cùng nằm trong mp(OMO') và cắt nhau tại I Mặt cầu(S) có tâm I và bán kính R = IB là mặt cầu phải tìm.

b) Ta có: OM = 4, O'M = 1 Xét tam giác OMO':

    Nên R2 IB2 IM2 MB2  37. Vậy R  37

Bài toán 9: Cạnh đáy và đường cao của hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.

A'B'C'D'E'F' lần lượt bằng a và h Chứng minh rằng sáu mặt phẳng

(AB F' '),(CD B' '),(EF D' '),( 'D EC),( 'F CA) cùng tiếp xúc với một mặt cầu, xác định tâm

và bán kính

Phân tích và hướng dẫn giải

Gọi O là tâm hình lăng trụ Mặt phẳng (AB'F') tiếp xúc với mặt cầu tâm O và mặt cầu (S) này được xác định duy nhất Sáu mặt phẳng đều cách đều O suy ra rằng cả sáu mặt phẳng đều tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm O

Gọi P là trung điểm cạnh AE, P' là trung điểm cạnh A'E'; Q là trung điểm cạnh PF',

và gọi R là hình chiếu của O lên đường thẳng PF', thì các điểm P, P', Q, R, O, F' cùngnằm trên một mặt phẳng

Phân tích và hướng dẫn giải

Gọi M, F thứ tự là trung điểm của AB, CD và K là tâm đường tròn ngoại tiếp 

ABC Khi đó K thuộc CM Hạ KO FM thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, R = OD Ta có CM=DM= 74 9   65 Và MF= 65 16 7  

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

CM R CM

MK CM OM

Phân tích và hướng dẫn giải

Ta có AB = a, BC = a 2 và AC = a 3nên tam giác ABC

vuông ở B Gọi SH là đường cao của hình chóp, do SA = SB

= SC nên HA = HB = HC suy ra H là trung điểm của cạnh

Bài toán 9: Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường

cao SO = 1 và cạnh đáy bằng 2 6 Điểm M, N là trung

điểm của cạnh AC, AB tương ứng Tính thể tích hình chóp

SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó

Phân tích và hướng dẫn giải

Do ABC là tam giác đều nên:

6 2

Vì SABC là hình chóp đều nên O trùng với tâm đường

tròn nội tiếp tam giác ABC

Do đó OM AC, ON  AB và do SO (ABC) nên ta

suy ra SM  AC, SN AB và SM = SN Xét tam giác vuông AOM; SOM:

 

Bài toán 10: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ

diện ABCD Các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD) cắt mặt phẵng (P) lần lượt theocác giao tuyến d, b, c Biết d, b, c tạo với nhau thành 6 góc bằng nhau Chứng minhrằng: AB CD = AC BD = AD BC

Phân tích và hướng dẫn giải

Trên AB, AC, AD ta lấy lần lượt các điểm B', C' ,D' thoả

mãn: AB' = AC.AD, AC' = AB.AD

'

AD AB AC Ta có AB' AC' AD

nên 2 tam giác ABC và AC'B' đồng dạng.Vì d là tiếp

tuyến của đường tròn (ABC)

Suy ra d ACA B C(chắn cungAC) Do đód ACAC B' ' d // B' C' Tương tự b // C'D', c//B'D'.

Vì b,.c, d tạo thành các góc bằng nhau, suy ra tam giác B'C'D' đều

a) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện R

b) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp r

Phân tích và hướng dẫn giải

Xem tứ diện ABCD là một phần của hình hộp chữ

Bài toán 12: Cho tứ diện ABCD có tính chất: Mặt cầu nội tiếp của tứ diện tiếp xúc

với mặt (ABC) tại tâm đường tròn nội tiếp I tam giác ABC, tiếp xúc với mặt (BCD)tại trực tâm H của tam giác BCD và tiếp xúc với mặt (ACD) tại trọng tâm G của tamgiác ACD Chứng minh ABCD là tứ diện đều

Phân tích và hướng dẫn giải

Vì I là tâm của đường tròn nội tiếp ABC nên

Do đó DP là đường cao vừa là đường trung tuyến nên DAC cân đỉnh D suy ra

GAC cân đỉnh G Từ đó   nghĩa là ^ ^

DCB Từ đó DCB cân ở C, vậy CB = CD

Mặt khác ABC cân ở B nên BA = BC Vậy DA = DC = BC = BA Mặt khác do

   nên G C A G C D^  ^ , vậy CAD cân ở C, ngoài ra CAD còn cân ở D nên là tam giác đều suy ra   60 0.Chứng minh tương tự     30 0nên ABC và BCD đều suy ra 6 cạnh của tứ diện bằng nhau Vậy ABCD là tứ diện đều