Khoá luận tốt nghiệp bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức cauchy đảo ngược

Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược cho n số không âm..... Các bất đắng thức Cauchy đảo ngược với ma trận và hàmtoán tử đơn điệu...40 2.3.. Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược cho chuẩn bất biến đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

KHỎA TOÁN

NGUYỄN THỊ THANH LOAN

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐẢO NGƯỢC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • •

C huyên ngành: Đ ạ i số

Lần đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, do khả năng còn hạn chế và thời gian nghiên cứu không có nhiều, khóa luận tốt nghiệp của em chắc chắn còn nhiều thiếu sót.Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên.

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Loan

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp là nghiên cứu của riêng em, do chính em nghiên cứu và hoàn thành dưới sự giúp đỡ của giảng viên hướng dẫn- thầy Nguyễn Huy Hưng, trên cơ sở một số tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan kết quả của mình không trùng với bất cứ kết quả của tác giả nào khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Loan

M Ụ C LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên c ứ u 1

4 Phương pháp nghiên c ứ u 1

CHƯƠNG 1 BẤT ĐẢNG THỨC CAUCHY 2

1.1 B ất đẳng thức Cauchy 2

1.1.1 Với hai số không â m 2

1.1.2 Với n số không â m 3

1.1.3 Bất đẵng thức Cauchy m ở rộng hay định lý tổng quát về trung bình cộng và trung bình nhân 3

1.2 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm 3

1.2.1 Chứng minh của P olya 3

7.2.2 Chứng minh băng quy nạp toán học 4

1.2.3 Chứng minh của Cauchy 6

1.2.4 Một cách chứng minh khác 8

1.3 ứ ng dụng của bất đẳng thức Cauchy 9

1.3.1 Chứng minh bât đắng thức 9

1.3.2 Tìm cực trị 19

1.3.3 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình 25

1.3.4 Úng dụng trong vật lý 32

CHƯƠNG 2 37

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐẢO NGƯỢC 37

2.1 Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược cho n số không âm 37

2.2.2 Các bất đắng thức Cauchy đảo ngược với ma trận và hàm

toán tử đơn điệu 40

2.3 Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược cho chuẩn bất biến đơn vị vàứng dụng 44Định lý 3 : 442.4 Bất đắng thức Cauchy đảo ngược với nhiều hơn hai ma trận 49KẾT LUẬN 51

M Ở Đ Ầ U 1.Lí do chọn đề tài

Bất đẳng thức Cauchy là một trong những bất đẳng thức cổ điển hay

và quan trọng bậc nhất Không chỉ được sử dụng nhiều trong chứng minh bất đẳng thức, nó còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác của Toán học Ngược lại, bất đẳng thức Cauchy đảo ngược lại là vấn đề khá mới, chưa nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.Bản thân em cũng có đam mê và thực sự quan tâm tới hai bất đẳng thức này

2.Mục đích nghiên cún

Nghiên cứu các cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy, những ứng dụng cụ thể của bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Cauchy đảo ngược

3.ĐỐÌ tượng nghiên cửu

Bất đẳng thức Cauchy và Cauchy đảo ngược

C H Ư Ơ N G 1 B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C C A U C H Y

1.1.Bất đẳng thức Cauchy

Bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng

và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:“Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau”

1.1.1 Với hai số không âm

Cho hai số không âm a, btSL luôn có:

Neu hai số dương a, b thay đổi nhưng tích không đổi thì tổng của

chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

Thật vậy, cho a, b > 0, p = a b , p không đổi

1.1.2 Với n số không âm

Cho n số không âm ỡị, an, ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhiứ, =a2 = = an.

1.1.3 Bất đẳng thức Cauchy m ở rộng hay định lý tổng quát về trung bình cộng và trung bình nhân

Cho n số không âm a]9 ỡ„và n số thực dương /?p Pn

.Khi đó:

^ /7j + p 2 + + /?„ )

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhiữ, =a2 = = an.

1.2.ChÚTig minh bất đăng thức Cauchy cho n số không âm

1.2.1 Chứng minh của Polya

n

=> f \ x ) = ex-x- \

f \ x ) = 0 o e x-' —1 =0<=> JC = 1

3

Ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng quy nạp theo n

• Với n = 1, bất đắng thức hiển nhiên đúng.

1.2.3 Chứng minh của Cauchy

ở bất đẳng thức (1), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Ở bất đẳng thức (2), dấu đẳng thức chỉ xảy ra nếu 2 giá trị trung bình

bằng nhau Vì không phải tất các dị ịi = 1, 2k+ij đều bằng nhau nên dấu

đẳng thức không thể xảy ra cả ở (1) và (2)

=>Bất đẳng thức đúng với n = 2k+i

=>Bất đẳng thức Cauchy đúng với mọi n = 2k, k nguyên dương.

• Với n< 2k , k nguyên dương: Neu n không phải một hàm mũ tự

nhiên cơ số 2 thì nó sẽ luôn nhỏ hơn một số nào đó biểu diễn theo hàm

mũ tự nhiên cơ số 2 vì chuỗi số 2,4,8, , 2k không bị chặn trên Không mất tính tổng quát, với m giá trị tuân theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2 lớn hơn n ,nếu có n số ta có thể biểu diễn giá trị trung bình cộng ỊẤ và có mở

rộng như sau:

Ta có:

n m

Bài l:Chứng minh rằng với các số dương a, b, c bất kỳ ta có:

Cộng vế với vế ta được:

+ — -— + —-— H - — =

Dấu đắng thức xảy ra khi và chỉkhi a = b = c

Nhận xét: Đe chứng minh bất đẳng thức đề bài cho, ta đã chứng

sinz A sinz B sinz c 2 A 2 B 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

A - B COS

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi A = B = c , hay tam giác ABC

đều

Đôi khi cùng một bài toán bất đẳng thức, ta có thể sử dụng bất đẳng

thức Cauchy để chứng minh theo nhiều cách khác nhau

1 + d V (1 + ứX1 + /?X1 + c )Nhân vế từng vế ta có:

(l + ứ)(l + £>)(l + c)(l + <i) (l + ứ)(l + £>)(l + c)(l + í/)

1ữ/?cí/ < —

1 + i? + c + ứí 4- be + bd + cd + bed + l + ứ + c + í/ + Í7C + Í7ứf 4- cd 4- ữCúí 4-1 + ữ + b + d + ab + ad + bd + abd + \ + a + b + c + ab + bc + ac + abc

> 3(1 + a + b + c + d + ab + ac + ad+ bc + bd+ cd + abc + abd + bed + acd + abed)

o l >ab + ac + ad+bc + bd + cd + 2 abc + 2 abd + 2 bed + 2 acd + 3abcd (1)

Cl b -\- c (ỉ + 2\[ãb + 2\Ịac + 2 yịcid + 2 yfbc + 2 yịbíỉ + '2,\fcd 5í£Z + /? + c + £/ + 4

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái:

Nhân vế với vế ta có điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhiứị =a2 = = an.

Nhận xét: Bất đẳng thức này được chứng minh đơn giản nhưng nó

lại được sử dụng khá nhiều trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức

Ở đây ta đưa ra 2 ví dụ cụ thể

17

Bài l:T ìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.Do đó hình cần tìm là hình vuông có chu vi bằng 8 tức hình vuông có cạnh bằng 2

b Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.Do đó hình cần tìm là hình vuông có diện tích bằng 9 tức hình vuông có cạnh bằng 3

Bài 4:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Cộng vế với vế ta có:

.2014 „ 2014 1006 1006 ^ 1007 / 2 2 \ 1007sin x + cos .2014x+ TU + T,ir > TU (sin x + cos x \ =1007 ni007 ,1006

y minmin /-»10061 <^> sin 2014 X = -T ^r = cos 1 2014X

b.Tìm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từM đến giao điểm

của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

GiảiTiệm cận đứng: X = 2

Vậy hai điêm A, B có hoành độ tương ứng là 2 - -ỴỊ= , 2 + -ỊỊ=

b Giao điểm của hai đường tiệm cận là: I (2,5)

Giả sửM có tọa độM (xơ, ỵơ), khoảng cách từM tới I được cho bởi:

MIỉ =(Xo- 2 ) 1 + ^ xl + x„ - 5 _ o o _ C

Vì Jt2 + Jt +1 > 0 nên \Í5x*~+3x^\-3x-2 có nghĩa khi5jc - 2 > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm X2 +X + Ì, 5 x - 2 ta có:

Cả hai giá trị * = 1, x = 3 đều thỏa mãn 5x - 2 > 0 nên phương trình

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

L b = - 5Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (x, y) = (5, 1) = (-1, - 5 )

Từ phương trình (1) để xác định thì X, ỵ, z cùng

'Ịx — J x *—T + \Ịx + %[x2 —1 < 2

GiảiĐiều kiện: X > 1

Với điều kiện X>1, V x - - ^ ^ T , \Ịx + \ [ ĩ = - \ đều không âm, áp

a Tim /?л để công suất trên Rx cực đại khi r = 0

b Tìm Rx để công suất trên Rx cực đại với r > 0 bất kì.

33

u không đổi, r không đổi, p đạt được khi và chỉ khi y nhỏ nhất

Có hai điện tích điểm qx =q 2 = q >0 đặt tại hai điểm A, # trong

không khí (e = 1) Cho biết AB = 2 d Xác định cường độ điện trường tại

M trên đường trung trực A B , cách đường thắng AB một khoảng X Tìm X để EM đạt giá trị lớn nhất.

Giải

35

Gọi AHM = a ta có:

Dùng quy tắc tổng hợp vec tơ EM vuông góc A B, hướng ra xa A B :

C H Ư Ơ N G 2

B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C C A U C H Y Đ Ả O N G Ư Ợ C

2.1.Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược cho n số không âm

Cho n số không âm al,a2, ,an ,tacó:

2.2.1 Một vài định nghĩa cơ bản

vết của ma trận A là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma

trận A Kí hiệu T r(A).

37

•Phỗ của ma trận

Phổ của ma trận A là tập họp tất cả các giá tộ riêng thuộc mặt phang

phức của ma trận A Kí hiệu cr( A ).

•M a trận chuyển yị và ma trận chuyển vị liên hợp

Ma trân A‘ =(a ) đươc goi là ma trân chuyển vỉ của ma trân

V ” / nxn

V J / nxn

các cột của ma trận A{ là các dòng tương ứng của ma trận A

đối xứng thực sao cho với mọi vec to'X e R n, x { Ax > 0 Kí hiệu A > 0

Ma trân A = (an ) đươc goi là xác đỉnh dương nếu A là ma trân nửa

V J //ÍX /I

x á c đ ịn h d ư ơ n g th ỏ a m ãn X 1 Ax = 0 <^> X = 0, X G Rn.

•Căn bậc hai của ma trận

Ma trận đối xứng thực B được gọi là căn bậc haỉcủa ma trận đối xứng thực A nếu A nửa xác định dương, B nửa xác định dương thỏa mãn

Ị_

A = B2 Kí hiệu A 2 hoặc \ [ Ã

•Căn bậc hai của toán tử dương

Căn bậc hai của toán tử dương A là toán tử là toán tử tự liên hợp B thỏa

Ị_

mãn B 2 = A Kí hiệu A 2 hoặc y /Ẵ

•Phần dương của ma trận(toán tử)

Kí hiệu |a| := VÃ* A và gọi 1 ầphần dương hay giá trị tuyệt đốicủa A

•Trung bình ỉũy thùa s của hai số khơng âm

Trung bình lũy thừa s của hai số khơng âm a, b kí hiệu là a # s£>được cho bởi: a #s/? = a 1' 2 { ã ^ b ã ^ )s a '/2.

•Trung bình của hai ma trận(tốn tử)

Trung bình cộng của hai ma trận, tốn tử là sự mở rộng khái niệm trung bình trên tập số khơng âm sang tập ma trận nửa xác định dương hay tập các tốn tử nửa xác định dương

Trung bình cộng của hai ma trận (tốn tử) dương A, B là ma trận(tốn

tử) nửa x á c định d ư ơ n g -

Trung bình nhân của hai ma trận(tốn tử) là sự mở rộng khái niệm trung bình nhân các số dương

Trung bình nhân của hai ma trận(tốn tử) xác định dương A, B là một

ma trận(tốn tử) dương kí hiệu là A # B (hoặc G (A ,5 )) được cho bởi:

\_

í -1 -] Aõ 1

A = A 2 A 2 B A 2 A 2.

•Đại số

Một đại số X trên trường K (gọi tắt là đại số X ) là một khơng gian vec

tơ trên trường K mà trên đĩ tồn tại một phép tốn hai ngơi, kí hiệu là (.)

gọi là phép nhân thỏa mãn các điều kiện sau:

/, + z) = xỵ + xz

///, /l(xy) = (ắ x ) ỵ =

với m ọ i X, y G X , Ả G K

39

•Quan hệ thứ tự trên tập các ma trận đối xúng thực

Cho hai ma trận đối xứng thực А, в , ta nói А > в nếu ma trận A - в là

ma trận nửa xác định dương

• Hàm đơn đỉệu ma trận

Một hàm / liên tục trên / được gọi là đơn điệu ma trận cấp n hay n

-đơn điệu nếu A < Æ = > /( A ) < /( Z ? ) với mọi cặp ma trận tự liên hợp

A, B & M n\ ở i Ỡ"(A), < т(в)< = /.

T a gọ i m ộ t h à m / là to á n tử đ ơ n đ iệ u n ế u / là n -đ ơ n đ iệ u v ớ i m ọ i

ĩ ĩ g N .

•Trung bình toán tử

Một phép toán hai ngôi xác định trên tập các ma trận xác định dương

được gọi là liên thông nếu:

/, А < С , ß < D => A ơ B < C ơ D ;

iu C (A ơ B )C < (C 4 C )cr(C ß C );

iii, An ị A, Bn ị В => AnơB n ị AơB.

Neu /ơ 7 = / , thì ơ được gọi là một trung bình.

Một hàm đơn điệu toán tử / trên [0,oo) với / (l) = 1 xác định một trung

bình toán t ử ơ , như sau:

Xét các b ấ t đ ắ n g th ứ c c h o 2 m a trậ n n ử a x á c đ ịn h d ư ơ n g /4 v à B, /

là một hàm toán tử đơn điệu, g(t) = - y ^ :

• Bât đắng thức Poxver-Stormer cho vết của ma trận

Bất đắng thức Hansen: “Cho / là một toán tử đơn điệu trên đoạn / chứa

0 với / ( 0)<0 nếu và chỉ nếu f ( a * x a ) ) < a * f ( x ) a với mọi X tự liên họpvới phổ trong / và mọi phép co fl”

Mệnh đề 1:

Cho A là một ma trận nghịch đảo dương và B là một ma trận nửa xác định dương, / là một hàm toán tử dương đon điệu trên [0,00 ) với

41

/((0, oo))c=(0, oo) và /(1) = 1 Giả sử rang AB + BA nửa xác định dương Khi đó ta có:

Từ A - p = B - Q < B ,ta có: A~2' ( A - p ) A~2' < Ẩ~2' b a '2

Từ tính đơn điệu của hàm / và bất đắng thức (1) ta có

chuẩn bất biến đơn vị ta có:

Ta chứng minh rằng bất đẳng thức Cauchy đảo ngược với hai toán tử dương đối với chuẩn bất biến đơn vị hằng đúng với một số điều kiện

Mệnh đề 2:

Cho / là một hàm toán tử đon điệu trên [0,oo) sao cho

/((0, oo))c=(0, oo) và /( 0 ) = 0, g là một hàm trên [0,oo) sao cho

g(0 = —7T» Ĩ E (0, °o), g(0) = 0 Khi đó, với moi ma trân nửa xác đinh

/ ( ỉ )

d ư ơ n g A v à B tro n g M n vớ i AB + B A > 0 ta có:

a +b - \a - b\ <2

C hủng m inh:

Giả sử rằng A < B, khi đó A + B - 1 A - Bị = 2 A Do / là toán tử đơn

điệu nên g là toán tử đơn điệu.Từ đó:

Theo chú ý trên, điều kiện AB + B A > 0 là quan trọng nhất trong mệnh

đề 3 Thật vậy, xét chuẩn Hilbert-Schmidt:

47

Xét chuấn vết III , ta có phản ví dụ sau:

Cho / (í) = í2 và lấy các ma trận sau:

2.4 Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược với nhiều hơn hai ma trận

Như ta thấy, bất đẳng thức Cauchy đảo ngược dạng vô hướng luôn

đúng với n số không âm.Vậy với n ma trận dương, bất đẳng thức có

đúng không?

Với 3 ma trận dương A, B, c , gọi G(A, B, c ) là trung bình nhân của

3 ma trận này Ta có bất đẳng thức Cauchy với 3 ma trận dương A, B , c

Đe tìm được điều kiện để bất đẳng trên đúng không phải vấn đề dễ dàng Ta chỉ có thể đưa ra một số phản ví dụ cho bất đẳng thức này với một số chuấn bất biến đơn vị

Nếu xét chuẩn vết của bất đẳng thức, thì bằng việc sử dụng hai ma trận X , Y ở trên, ta cũng có một phản ví dụ với chuẩn Hilbert- Schmidt:

Thấy rằng các ma trận X , Y ở trên không thỏa mãn điều kiện

X 2 < 2 ( X Y + yx), từ đó kéo theo X + 2 Y - 2 \ x — y| > 0.

Em xin chân thành cảm ơn.

51