Tiểu luận môn phương trình sai phân

Tính chất 2 Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.Tính chất 3 Sai phân cấp k của đa thức bậc m là2.. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Định nghĩa 3 Phương trình sai phân t

TIỂU LUẬN Môn: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

GVHD: TS Lê Hải Trung

Ngày 20 tháng 6 năm 2012

Nhóm thực hiện:

1 Đinh Thị Thủy

2 Vũ Hứa Hạnh Nguyên

3 Nguyễn Thị Kim Thoa

4 Lê Quang Huy

5 Phạm Đức Khanh

Chương I: MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH

SAI PHÂN

1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Định nghĩa 1 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x(n) = xn với

n ∈ Z : {n} = {0, ±1, ±2, , ±n} (hoặc n ∈ Z+, hoặc n ∈ N ) là hiệu:

∆xn = xn+1− xn

Định nghĩa 2 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 2 của hàm xn là sai phân củasai phân cấp 1 của xn, và nói chung sai phân cấp k của hàm xn là sai phâncấp k − 1 của hàm số đó

Tính chất 1 Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàmsố

Tính chất 2 Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.Tính chất 3 Sai phân cấp k của đa thức bậc m là

2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

Định nghĩa 3 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tínhgiữa sai phân các cấp:

F (xn, ∆xn, ∆2xn, ∆kxn) = 0trong đó, xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm xn; cấp lớn nhất của các saiphân (ở đây là bằng k), là cấp của phương trình sai phân

Định nghĩa 4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k của hàm xn là mộtbiểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau:

Lhxn= a0xn+k + a1xn+k−1+ + akxn= fn (2)

trong đó Lh là ký hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm xn, xác định trênlưới có bước lưới h; a0, a1, , ak với a0 6= 0, ak 6= 0 là các hằng số hoặc cáchàm số của n, được gọi là vế phải; xn là giá trị cần tìm, được gọi là ẩn.Phương trình (2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k (còn gọi

là bậc k), vì để tính được tất cả các giá trị xn, ta phải cho trước k giá trị liêntiếp của xn, rồi tính các giá trị còn lại của xn theo công thức truy hồi (2)Định nghĩa 5 Nếu fn ≡ 0 thì (2) gọi là phương trình sai phân tuyến tínhthuần nhất

Nếu fn 6= 0 thì (2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuầnnhất

Nếu fn ≡ 0 và a0, a1, ak là các hằng số, a0 6= 0, ak6= 0 thì phương trình (2)trở thành:

Lhxn= a0xn+k + a1xn+k−1+ + akxn= 0 (3)được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k với các hệ sốhằng số

Định nghĩa 6 Hàm số xn biến n, thỏa mãn (2) được gọi là nghiệm củaphương trình sai phân tuyến tính (2).

n của (3) có dạng

xT Nn = C1xn1+ C2xn2+ · · · + Ckxnk,trong đó, C1, C2, · · · , Ck là các hằng số tùy ý

Bây giờ ta chuyển sang tìm nghiệm xT Nn của (3) và xRn của (2) Xét phươngtrình

Lhλ = a0λn+k+ a1λn+k−1+ + akλn= 0 (4)Phương trình (4) gọi là phương trình đặc trưng của (3) (người ta cũng xem

là phương trình đặc trưng của (2)) Nghiệm xT Nn của (3) và xRn của (2) phụthuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của (4)

a Nghiệm tổng quát xT N

n của phương trình thuần nhấtĐịnh lý 3 Nếu (4) có k nghiệm thực khác nhau là λ1, λ2, · · · , λk thì nghiệmtổng quát xT N

Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm thực λj bội s, thì ngoài nghiệm

Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm phức λj = a + bi = r(cos ϕ +

i sin ϕ) , trong đó r = |λj| = √a2+ b2, ϕ = arg λj, có nghĩa là tan ϕ = a

b,thì (4) cũng có nghiệm liên hợp phức λj = r(cos ϕ − i sin ϕ) Khi đó, ta có

n

j + λn

j) = rnsin nϕlàm các nghiệm độc lập tuyến tính của (3) Khi đó

Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức λj bội s thì nó cũng có

nghiệm liên hợp λj bội s; trong trường hợp này, ngoài nghiệm λj1 = rncos nϕ, λj1 = rnsin ϕ

ta cần lấy thêm 2n − 2 vectơ nghiệm bổ sung:

λj2 = rncos nϕ, λj3 = rnn2cos nϕ, · · · , λjs = rnns−1cos nϕ

λj2 = rnsin nϕ, λj3 = rnn2sin nϕ, · · · , λjs = rnns−1sin nϕ

b Nghiệm riêng xRn

Trường hợp 1: fn là đa thức bậc m của n, m ∈ N:fn= Pm(n)

1 Nếu các nghiệm λ1, λ2, , λk là các nghiệm thực khác 1 của phương trìnhđặc trưng (4) thì

Trường hợp 3: fn= α cos nx + β sin nx với α, β là hằng số

Trong trường hợp này nghiệm riêng xRn được tìm dưới dạng

xRn = a cos nx + b sin nxTrường hợp 4: fn= fn1+ fn2+ + fns

Trong trường hợp này, ta tìm nghiệm riêng xRni ứng với hàm fni, i = 1, 2, , s.Nghiệm riêng xR

n ứng với hàm fn sẽ là xR

n = xR n1 + xR n2 + + xR

ns do tínhtuyến tính của phương trình sai phân

Chương II: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

TUYẾN TÍNH CẤP MỘT

Các bài toán thực tiễn thường dẫn về phương trình sai phân tuyến tínhcấp một, hoặc dẫn về dạng chính tắc, mà thực chất cũng là phương trình saiphân tuyến tính cấp một với ẩn là một vectơ Bởi vậy, các bài toán phươngtrình sai phân tuyến tính cấp một là vô cùng cơ bản và quan trọng

1 ĐỊNH NGHĨA

Phương trình có dạng

axn+1+ bxn = fn; a 6= 0, b 6= 0được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp một

Nếu a, b là các hằng số, thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấpmột với hệ số hằng số; nếu a, b phụ thuộc n, thì ta có phương trình sai phântuyến tính cấp một với hệ số biến thiên

fn là một hàm của n, gọi là vế phải; xn là ẩn

Nếu fn ≡ 0, ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất; nếu

fn6= 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất

2 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNHCẤP MỘT

Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp một códạng

xT Qn = xT Nn + xRn ,trong đó xT Nn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tínhthuần nhất

axn+1+ bxn = 0 (a, b ∈ R) (*)

Ta có:

(∗) ⇔ xn+1 = −b

axnhay

xn+1= λ.xn, với λ = −b

a.

xn= λn.C.

Như vậy, nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuầnnhất hay nghiệm thực nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp mộtkhông thuần nhất có dạng

Sau đây là một số phương pháp tìm nghiệm riêng xR

n của phương trìnhsai phân tuyến tính cấp một trong một số trường hợp đặc biệt

3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM RIÊNG xR

n CỦAPHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT KHÔNGTHUẦN NHẤT

Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất

axn+1+ bxn = fn; a 6= 0, b 6= 0, fn 6= 0 (1)Phương trình đặc trưng

a1λk+ a2λk−1+ · · · + ak+1 = 03.1 Phương pháp chọn (hay phương pháp hệ số bất định)

3.1.1 Nếu fn là đa thức bậc k của n: fn = Pk(n)

1 Nếu phương trình đặc trưng của (1)có nghiệm λ 6= 1 Khi đó, xRn tìm dướidạng đa thức cùng bậc k với fn, hay

xR

n = Qk(n), với Qk(n) là đa thức bậc k của n

2 Nếu phương trình đặc trưng của (1) có nghiệm λ = 1, thì tìm

n, và hiển nhiên nghiệm riêng xR

n là một đa thức bậc k theo n, hay

xRn = Qk(n), với Qk(n) là đa thức bậc k của n

Vì tìm nghiệm riêng, nên ta tìm xRn = nQk(n + 1) là đủ

Ví dụ 1 Giải phương trình sai phân:

B = −1

C = 13Suy ra:

aβ =

λ

β.Nhận xét thấy vế phải của (3) là α: là một đa thức bậc 0 Theo 3.1.1, ta có:

xn+1 = xn+ 2n ⇐⇒ xn+1− xn= 2nPhương trình đặc trưng: λ − 1 = 0 =⇒ λ = 1 6= β = 2.Suy ra: xT Nn = C.

Ta tìm: xRn = A.2n Thay vào phương trình xuất phát, ta được:

xn+1 = 2xn+ 6.2n ⇐⇒ xn+1− 2xn = 6.2n

Xét phương trình axn+1+ bxn= fn.

Thay xR

n = Acosnx + Bsinnx vào phương trình, ta được:

a(Acos(n + 1)x + Bsin(n + 1)x) + b(Acosnx + Bsinnx) = αcosnx + βsinnx

⇐⇒ a[Acosnx.cosx − Asinnx.sinx + Bsinnx.cosx + Bsinx.cosnx] +

+ b(Acosnx + Bsinnx) = αcosnx + βsinnx

⇐⇒ (aAcosx + aBsinx + bA)cosnx + (−aAsinx + aBcosx + bB)sinnx =

= αcosnx+βsinnx

So sánh hệ số của sinnx và cosnx ở 2 vế, ta được

(aAcosx + aBsinx + bA = α

−aAsinx.A + aBcosx + bB = β

⇐⇒

(a(cosx + b)A + asinx.B = α

−asinx.A + (acosx + b)B = β

Hệ này có định thức:

D =

acosx + b −asinxasinx acosx + b

= a2+ b2+ 2abcosx

Ta có:

2abcosx ≤ |2abcosx| < |2ab| (do x 6= kπ, k ∈ Z)

=⇒ −|2ab| < 2abcosx < |2ab|;

Và ta có: a2+ b2 ≥ |2ab| (bất đẳng thức Côsi)

Từ đó suy ra: D > a2+ b2− 2|ab| > 2|ab| − 2|ab| = 0 =⇒ D > 0

Do đó từ hệ phương trình trên, ta xác định được A, B duy nhất

n vào phương trình xuất phát, ta được:

x0 = 1 =⇒ 1 = C + 1 ⇔ C = 0.

Vậy: xT Q

n = cosnπ

4 .3.1.4 Nếu vế phải của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có dạng

xn+1 = 26xn− 494.7n− 2475n + 99

⇐⇒ xn+1− 26xn= −494.7n− 2475n + 99Phương trình đặc trưng: λ − 26 = 0 =⇒ λ = 26

xn+1− 2xn= (n2+ 1)2n

ta được:

(n + 1)[A(n + 1)2+ B(n + 1) + C]2n+1− 2n(An2+ Bn + C)2n = (n2+ 1)2n

⇐⇒ 2(n+1)(An2+2An+A+Bn+B +C)−2An3−2Bn2−2Cn = n2+1

⇐⇒ 2(An3+ 2An2+ An + Bn2+ Bn + Cn + An2+ 2An + A + Bn + B +

+ C) − 2An3− 2Bn2− 2Cn = n2+ 1

⇐⇒ 6An2+ (6A + 4B)n + (2A + 2B + 2C) = n2 + 1.

So sánh hệ số của n ở hai vế, ta được:

B = −1

4

C = 712Suy ra: xR,1

Suy ra: xT N

n = C.2n

xRn = Cn.λnThay vào phương trình sai phân, ta được

n vào phương trình xuất phát, ta được:

2

(với sinx

2 6= 0)

sin(n + 1 − 1

2)x2sinx2

−

sin(n − 1

2)x2sinx2

= ∆



sin(n − 1

2)x2sinx2

=⇒ xRn =

sin(n −1

2)x2sinx2

Từ đó, ta có nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

sin(n −1

2)xsinx2

Ví dụ 12 Giải phương trình sai phân:

xn+1= 3xn+ 2.3n+1, x0 = 1

Giải

xn+1 = 3xn+ 2.3n+1 ⇐⇒ xn+1− 3xn = 2.3n+1.Phương trình đặc trưng: λ − 3 = 0 ⇐⇒ λ = 3.Suy ra: xT N

xn+1 = 3xn− 2n + 1 ⇐⇒ xn+1− 3xn= −2n + 1.Phương trình đặc trưng: λ − 3 = 0 ⇐⇒ λ = 3.Suy ra: xT N

n vào phương trình xuất phát,...

Từ đó, ta có nghiệm tổng qt phương trình cho là:

sin(n −1

2)xsinx2

Ví dụ 12 Giải phương trình sai phân:

xn+1=... b2− 2|ab| > 2|ab| − 2|ab| = =⇒ D >

Do từ hệ phương trình trên, ta xác định A, B

n vào phương trình xuất phát, ta được: